강제법

1. 개요

강제법은 집합론에서 새로운 집합론적 모델을 구성하는 강력한 기법이다. 강제법은 강제 조건, 강제 포셋, 이름, 해석 등의 개념을 사용하여, 기존 모델에 새로운 원소를 추가하고 그 속성을 연구한다. 코언에 의해 도입되어 연속체 가설의 독립성을 증명하는 데 사용되었으며, 이후 수많은 집합론적 명제의 독립성 증명에 활용되었다. 강제법은 기수의 보존, 강제법 언어, 강제성 관계 등의 개념을 통해 형식화되며, 무작위 강제법, 코언 강제법 등 다양한 예시가 존재한다.

2. 정의

강제법은 집합론에서 원하는 속성을 만족하는 확장된 우주를 구성하는 데 사용되는 기법이다. 예를 들어, 확장된 우주는 원래 우주에는 없었던 새로운 실수를 포함하여 연속체 가설을 위반할 수 있다.

이러한 확장을 직관적으로 이해하기 위해 "오래된 우주"를 "실제 우주" $V$의 모델 $M$으로 생각할 수 있다. 뢰벤하임-스콜렘 정리에 의해 $M$은 외부적으로 셀 수 있는 모델로 선택될 수 있다. 이는 $M$에 없는 $\backslash mathbb\{N\}$(자연수 집합)의 부분 집합이 $V$에 많이 존재함을 의미한다.

강제법의 핵심은 $M$ 내에서 "이름"을 조작하여 $M[X]$를 구성하는 것이다. 여기서 $X$는 $M$에는 없지만 확장된 우주에 포함될 새로운 집합이다. 이름은 단순 체 확장에서처럼 $X$에 따라 표현될 수 있다.

강제법은 $X$가 $M$과 관련된 일반 집합이 되도록 요구한다. 일반 집합의 모든 속성은 어떤 강제 조건에서 참이 되도록 "강제"된다. "강제" 개념은 $M$ 내에서 정의될 수 있으며, 이를 통해 $M[X]$가 원하는 속성을 만족하는 모델임을 증명할 수 있다.

코헨의 원래 기법은 가지형 강제법이라고 불리며, 여기서는 비가지형 강제법을 설명한다. 강제법은 부울 값 모델의 방법과 동일하지만, 개념적으로 더 자연스럽고 직관적이라고 여겨진다.

강제 개념을 공식화하기 위해 강제 조건을 포셋(poset) 구조를 가진 추상 객체로 간주한다. 강제 포셋은 순서 삼중항 $(\backslash mathbb\{P\},\backslash leq,\backslash mathbf\{1\})$이며, $\backslash leq$는 $\backslash mathbb\{P\}$에 대한 전순서이고, $\backslash mathbf\{1\}$은 가장 큰 원소이다. $\backslash mathbb\{P\}$의 구성원은 강제 조건 (또는 조건)이며, $p\; \backslash leq\; q$는 "$p$는 $q$보다 강하다"는 것을 의미한다.

강제 조건은 분할 조건을 만족해야 한다. 즉, 어떤 강제 조건 $p$를 적어도 두 개의 호환되지 않는 방향으로 강화하는 것이 가능해야 한다.

개별적인 강제 조건 $p$가 일반 객체 $X$를 완전히 결정할 수는 없지만, 모든 참인 강제 조건의 집합 $G\; \backslash subseteq\; \backslash mathbb\{P\}$는 $X$를 결정한다. $G$는 $M$과 관련하여 $\backslash mathbb\{P\}$에 대한 일반 필터여야 한다. 필터 조건은 $G$가 모든 참인 강제 조건의 집합임을 의미한다.

$G$가 "$M$과 관련하여 일반적"이라는 것은 $\backslash mathbb\{P\}$의 "조밀한" 부분 집합 $D\; \backslash in\; M$에 대해, $G\; \backslash cap\; D\; \backslash neq\; \backslash varnothing$임을 의미한다. 일반 필터 $G$의 존재는 라시와-시코르스키 보조정리로부터 유도된다.

강제 부분 순서 집합 $\backslash mathbb\{P\}$와 관련된 것은 $\backslash mathbb\{P\}$-이름의 클래스 $V^\{(\backslash mathbb\{P\})\}$이다. $\backslash mathbb\{P\}$-이름은 $A\; \backslash subseteq\; \backslash \{\; (u,p)\; \backslash mid\; u$는 $\backslash mathbb\{P\}$-이름이고 $p\; \backslash in\; \backslash mathbb\{P\}\; \backslash \}$ 형태의 집합 $A$이다.

$\backslash mathbb\{P\}$에 대한 필터 $G$가 주어지면, $\backslash mathbb\{P\}$-이름으로부터의 해석은 $\backslash operatorname\{val\}(u,G)\; =\; \backslash \{\; \backslash operatorname\{val\}(v,G)\; \backslash mid\; \backslash exists\; p\; \backslash in\; G:\; ~\; (v,p)\; \backslash in\; u\; \backslash \}$로 주어진다.

$x\; \backslash in\; V$가 주어지면, $\backslash check\{x\}\; =\; \backslash \{\; (\backslash check\{y\},\backslash mathbf\{1\})\; \backslash mid\; y\; \backslash in\; x\; \backslash \}$는 $\backslash mathbb\{P\}$-이름으로 정의된다. $\backslash operatorname\{val\}(\backslash check\{x\},G)\; =\; x$가 되며, $\backslash check\{x\}$는 $G$에 의존하지 않는 "$x$의 이름"이다.

$G$의 이름은 $\backslash underline\{G\}\; =\; \backslash \{\; (\backslash check\{p\},p)\; \backslash mid\; p\; \backslash in\; \backslash mathbb\{P\}\; \backslash \}$로 정의되며, $\backslash operatorname\{val\}(\backslash underline\{G\},G)\; =\; G$이다.

$\backslash mathbb\{P\}$-이름, 해석, $\backslash check\{x\}$의 개념은 초한 귀납법으로 정의될 수 있다.

2.1. 강제법 언어

집합론의 1차 논리 언어 $\backslash mathcal\; L\_\backslash in$에 $M^P$의 원소들을 상수(0항 연산)로 추가한 1차 논리 언어이다. 여기서 $M^P=\backslash \{u\backslash in\backslash operatorname\{Name\}\_P\backslash colon\backslash operatorname\{val\}\_G(u)\backslash in\; M\backslash \}$는 $M$에서 $G$-해석할 수 있는 $P$-이름들의 집합이다.

임의의 원소 $x\backslash in\; M$에 대하여, $x\backslash in\; M$의 이름은 다음과 같이 정의된다.
:$\backslash check\; x=\backslash \{(\backslash check\; y,p)\backslash colon\; y\backslash in\; x,\backslash ;p\backslash in\; P\backslash \}\backslash in\; M^P$

일반화된 필터 G ⊆ P가 주어졌을 때, 강제 언어를 사용하여 M에서 집합론을 논할 수 있다. 이는 일계 술어 논리와 같이 구성되며, 소속 관계는 2항 관계로, 이름은 상수로 실현된다.

p $\backslash Vdash\_\{M,P\}$ φ(u₁,…,u_n) ("반순서 P와 모델 M 안에서 p가 φ를 강제한다"라고 읽는다.)라는 표현은, G가 p를 원소로 가지는 일반화된 필터라면 M[G] ⊨ φ(val(u₁,G),…,val(u_n,G))가 된다는 의미이다.

특히, 1 $\backslash Vdash\_\{M,P\}$ φ는 P $\backslash Vdash\_\{M,P\}$ φ 또는 $\backslash Vdash\_\{M,P\}$ φ로도 표기되며, 이러한 문장은 G가 무엇인지에 관계없이 M[G]에서 참이 된다.

이 강제 관계 p $\backslash Vdash\_\{M,P\}$ φ는 이름과 식의 복잡성에 관한 귀납법에 의한 "내부" 정의와 동치라는 점이 중요하다. 이는 M[G]의 성질이 사실 M에서 파악되며, ZFC가 M[G]에서 성립함을 확인할 수 있게 한다.

강제 관계는 다음 세 가지 중요한 성질을 가진다.

* 진실성: M[G] ⊨ φ(val(u₁,G),…,val(u_n,G))가 되는 것은, 어떤 조건 p ∈ G가 있어서 p $\backslash Vdash\_\{M,P\}$ φ(u₁,…,u_n)가 될 때이다.
* 정의 가능성: 문장 "p $\backslash Vdash\_\{M,P\}$ φ(u₁,…,u_n)"는 M에서 정의 가능하다.
* 간섭성: p $\backslash Vdash\_\{M,P\}$ φ(u₁,…,u_n)이고 q ≤ p이면 q $\backslash Vdash\_\{M,P\}$ φ(u₁,…,u_n)이다.

V 상에서 강제 관계는 식의 복잡성에 관한 귀납법으로 정의된다.

1. p $\backslash Vdash\_\{P\}$ a ∈ b는, 임의의 q ≤ p에 대해 r ≤ q이고, r $\backslash Vdash\_\{P\}$ a = c가 되는 (s, c) ∈ b가 존재하는 r ≤ q가 존재하는 것이다.

2. p $\backslash Vdash\_\{P\}$ a = b는, p $\backslash Vdash\_\{P\}$ a ⊆ b이고 p $\backslash Vdash\_\{P\}$ b ⊆ a가 되는 것이다.

: 여기서 p $\backslash Vdash\_\{P\}$ a ⊆ b는 임의의 q ≤ p와 임의의 (r,c) ∈ a에 대해, q ≤ r이면 q $\backslash Vdash\_\{P\}$ c ∈ b가 되는 것이다.

3. p $\backslash Vdash\_\{P\}$ ¬ f는, q $\backslash Vdash\_\{P\}$ f가 되는 q ≤ p가 존재하지 않는 것이다.

4. p $\backslash Vdash\_\{P\}$ f ∧ g는, p $\backslash Vdash\_\{P\}$ f이고 p $\backslash Vdash\_\{P\}$ g가 되는 것이다.

5. p $\backslash Vdash\_\{P\}$ ∀ x f는, 임의의 이름 a에 대해 p $\backslash Vdash\_\{P\}$ f(a)가 되는 것이다. 여기서 f(a)는 f에 출현하는 자유 변수 x를 모두 a로 대체한 결과의 식이다.

위 정의에서 1–5의 p는 임의의 조건이고, 1, 2의 a,b는 임의의 이름이며, 3–5의 f,g는 임의의 식이다.

이 정의는 V에서 작동하며, 가산 추이 모델 M 안에서는 그대로 작동하지 않는다. 하지만, p $\backslash Vdash\_\{M,P\}$ f는 M ⊨ p $\backslash Vdash\_\{P\}$ f가 되는 것과 동치라는 명제가 정의 가능성을 제공한다.

2.2. 강제법 모형

집합 $P$와 그 부분 집합 $G\backslash subseteq\; P$ 및 추이적 집합 $M$이 주어졌을 때, 강제법 모형은 $\backslash mathcal\; L\_P$의 추이적 모형 $M[G]$로 정의된다. 이는 $M$에 속하는 이름들의 해석으로 구성되며, 집합으로서 $M[G]=\backslash \{\backslash operatorname\{val\}(u,G)\backslash colon\; u\backslash in\; M^P\backslash \}$이다. $M[G]$에서 상수 $u\backslash in\; M^P$의 해석은 $\backslash operatorname\{val\}\_G(u)$이다.

케네스 쿠넌은 $M[G]$에 대해 다음과 같이 설명했다.

Roughly, this [$M[G]$] will be the set of all sets which can be constructed from $G$ by applying set-theoretic processes definable in $M$. Each element of $M[G]$ will have a name in $M$, which tells how it has been constructed from $G$. […] People living within $M$ will be able to comprehend a name, $\backslash tau$, for an object in $M[G]$, but they will not in general be able to decide the object, $\backslash tau\_G$, that $\backslash tau$ names, since this will require a knowledge of $G$.^영어

2.3. 강제성 관계

추이적 집합 $M$, 원순서 집합 $(P,\backslash lesssim)$ 및 그 부분 집합 $G\backslash subseteq\; P$가 주어졌을 때, 강제 조건 $p\backslash in\; P\backslash in\; M$과 강제법 언어 $\backslash mathcal\; L\_P$의 1차 논리 문장 $\backslash phi\backslash in\backslash operatorname\{Sent\}(\backslash mathcal\; L\_P)$ 사이의 관계는 다음과 같이 정의된다.

:$p\backslash Vdash\_\{P,M\}\backslash phi\backslash iff\backslash forall\; G\backslash in\backslash operatorname\{Generic\}(P,M)\backslash colon\; p\backslash in\; G\backslash implies\; M[G]\backslash models\backslash phi$

여기서 $\backslash operatorname\{Generic\}(P,M)$는 $M$에 속하는 $P$의 모든 공종 집합들의 족 $\backslash operatorname\{Cofin\}(P)\backslash cap\; M$에 대하여 모든 $\backslash operatorname\{Cofin\}(P)\backslash cap\; M$-포괄적 순서 아이디얼들의 집합이다.

또한, $p\backslash Vdash^*\backslash phi$ 관계는 재귀적으로 정의된다. ($u,v\backslash in\backslash operatorname\{Name\}\_P$는 임의의 $P$-이름이다.)

:$\backslash left(p\backslash Vdash^*\; u\backslash in\; v\backslash right)\backslash iff\backslash forall\; q\backslash gtrsim\; p\backslash exists\; r\backslash gtrsim\; q\backslash exists(\backslash tilde\; u,s)\backslash in\; v\backslash colon\; r\backslash gtrsim\; s\backslash land\backslash left(r\backslash Vdash\; u=\backslash tilde\; u\backslash right)$
:$\backslash left(p\backslash Vdash^*\; u=v\backslash right)\backslash iff\backslash forall\; q\backslash gtrsim\; p$
\forall w\in M^P\colon
(q\Vdash^* w\in u)\iff(q\Vdash^* w\in v)
:$\backslash left(p\backslash Vdash^*\; \backslash lnot\backslash phi\backslash right)\backslash iff\backslash nexists\; q\backslash gtrsim\; p\backslash colon\; q\backslash Vdash\backslash phi$
:$\backslash left(p\backslash Vdash^*\backslash phi\backslash land\backslash chi\backslash right)\backslash iff$
\left(p\Vdash^*\phi\right)\land\left(p\Vdash^*\phi\right)
:$\backslash left(p\backslash Vdash^*\backslash forall\; x\backslash colon\backslash phi(x)\backslash right)\backslash iff\backslash forall\; u\backslash in\; M^P\backslash colon\backslash left(p\backslash Vdash^*\backslash phi[u]\backslash right)$

이러한 관계들은 확장된 모델에서의 참/거짓을 결정한다.

3. 성질

$\backslash mathbb\{P\}$-이름, 해석, $\backslash check\{x\}$의 개념은 초한 귀납법으로 정의된다. 우선, 다음과 같은 계층을 정의한다.

:$$
\begin{align}
\operatorname{Name}(\varnothing) & = \varnothing, \\
\operatorname{Name}(\alpha + 1) & = \mathcal{P}(\operatorname{Name}(\alpha) \times \mathbb{P}), \\
\operatorname{Name}(\lambda) & = \bigcup \{ \operatorname{Name}(\alpha) \mid \alpha < \lambda \}.
\end{align}


그 다음, $\backslash mathbb\{P\}$-이름의 클래스는 다음과 같이 정의된다.

:$V^\{(\backslash mathbb\{P\})\}\; =\; \backslash bigcup\; \backslash \{\; \backslash operatorname\{Name\}(\backslash alpha)\; ~|~\; \backslash alpha\; ~\; \backslash text\{is\; an\; ordinal\}\; \backslash \}.$

해석 맵과 맵 $x\; \backslash mapsto\; \backslash check\{x\}$도 마찬가지로 계층적 구성을 사용하여 정의할 수 있다.

강제 순서 $\backslash mathbb\{P\}$가 주어졌을 때, 일반 필터 $G$가 존재한다고 가정한다. 이 필터는 원래 우주 $V$에 속하지 않지만, $V[G]$는 다시 $\backslash mathsf\{ZFC\}$를 모델로 하는 집합론적 우주이다. $V[G]$의 모든 진실은 강제 관계를 포함하는 $V$의 진실로 축소될 수 있다.

일반적으로 가산적 추이 모델 $M$ 또는 전체 우주 $V$에 $G$를 추가하는 두 가지 방식이 사용된다. 덜 일반적인 방식은 강제의 "내부" 정의를 사용하는 것으로, 집합 또는 클래스 모델에 대한 언급은 하지 않는다. 이는 폴 코헨(Paul Joseph Cohen)의 원래 방법이며, 부울 값 분석 방법으로 이어진다.

강제법 모형과 강제성 관계의 성질에 대한 자세한 내용은 하위 섹션을 참고하면 된다.

3.1. 강제법 모형

집합 $P$와 그 부분 집합 $G\backslash subseteq\; P$ 및 추이적 집합 $M$이 주어졌을 때, $\backslash mathcal\; L\_P$의 추이적 모형 $M[G]$는 다음과 같이 정의된다.

* 집합으로서, $M[G]=\backslash \{\backslash operatorname\{val\}(u,G)\backslash colon\; u\backslash in\; M^P\backslash \}$는 $M$에 속하는 이름들의 해석들이다.
* $\backslash in$의 해석은 외적인 개념과 같다.
* $M[G]$에서, 상수 $u\backslash in\; M^P$의 해석은 $\backslash operatorname\{val\}\_G(u)$이다.

$M[G]$는 $M$에서 정의 가능한 집합론적 과정을 $G$에 적용하여 구성할 수 있는 모든 집합들의 집합이다. $M[G]$의 각 원소들은 $M$ 속의 이름을 가지며, 이는 이것이 $G$로부터 구성되었는지를 가리킨다. $M$ 속에 사는 사람들은 $M[G]$의 원소의 이름 $\backslash tau$를 이해할 수 있지만, 이들이 이름 $\backslash tau$가 명명하는 대상 $\backslash tau\_G$를 일반적으로 결정하지 못하는데, 이는 $\backslash tau\_G$의 이해는 $G$에 대한 지식을 필요로 하기 때문이다.

만약 $M$이 ZFC의 추이적 모형이라면, 다음이 성립한다.

* 임의의 $M\text{'}\backslash supseteq\; M$에 대하여, 만약 $M\text{'}$ 역시 ZFC의 추이적 모형이며 $M\text{'}\backslash ni\; G$라면, $M[G]\backslash subseteq\; M\text{'}$이다.

즉, $M[G]$는 $G$와 $M$을 포함하는 최소의 ZFC 추이적 모형이다.

강제법의 기본 정리에 따르면, 매우 일반적인 조건 아래, ZFC 공리들을 만족시키는 수학적 구조 $M$에 새 원소 $U$를 추가하여, ZFC를 여전히 만족시키는 더 큰 구조 $M[U]$를 만들 수 있다. $M[U]$의 구성은 ZFC의 공리계가 환의 공리계보다 훨씬 더 복잡하기 때문에 더 복잡하다.

3.2. 강제성 관계의 성질

강제성 관계는 다음 세 가지 주요 성질을 만족한다.

* 진실성: $M[G]\; \backslash models\; \backslash phi(\backslash operatorname\{val\}(u\_1,G),\backslash ldots,\backslash operatorname\{val\}(u\_n,G))$인 것은 $G$에 의해 강제될 때, 즉 어떤 조건 $p\; \backslash in\; G$에 대해 $p\; \backslash Vdash\_\{M,\backslash mathbb\{P\}\}\; \backslash phi(u\_1,\backslash ldots,u\_n)$일 때이다. 다시 말해, $M[G]$에서 어떤 명제가 참이려면, 그 명제를 강제하는 조건 $p$가 $G$ 안에 존재해야 한다.
* 정의 가능성: "$p\; \backslash Vdash\_\{M,\backslash mathbb\{P\}\}\; \backslash phi(u\_1,\backslash ldots,u\_n)$"라는 명제는 $M$ 안에서 정의 가능하다. 즉, 강제 관계를 $M$ 내부에서 파악할 수 있다.
* 일관성: $p\; \backslash Vdash\_\{M,\backslash mathbb\{P\}\}\; \backslash phi(u\_1,\backslash ldots,u\_n)$이고 $q\; \backslash leq\; p$이면, $q\; \backslash Vdash\_\{M,\backslash mathbb\{P\}\}\; \backslash phi(u\_1,\backslash ldots,u\_n)$이다. 즉, 강제 관계는 순서 보존 함수를 정의한다. 어떤 조건이 특정 명제를 강제하면, 그보다 더 강한 조건도 같은 명제를 강제한다.

이러한 성질들은 강제법 모형을 구성하고 다양한 성질을 증명하는 데 핵심적인 역할을 한다.

3.3. 기수의 보존

순서수의 개념은 절대적이다. 즉, 모형 속의 순서수 개념은 모형 밖의 순서수 개념과 일치한다. 그러나 기수의 개념은 절대적이지 않으며, 모형 $M$의 기수가 확장된 모형 $M[G]$에서는 기수가 아닌 순서수일 수 있다.

ZFC의 추이적 모형 $M$ 및 $P\backslash in\; M$ 와 $P$ 위의 원순서 $\backslash lesssim$가 주어졌다고 하자. 다음 조건이 성립하면 $P$가 $M$의 기수를 보존한다고 한다.
* 임의의 포괄적 순서 아이디얼 $G\backslash subseteq\; P$ 및 순서수 $\backslash alpha\backslash in\backslash operatorname\{Ord\}\backslash cap\; M$에 대하여, $M\backslash models(\backslash alpha\backslash in\backslash operatorname\{Card\})\backslash iff\; M[G]\backslash models(\backslash alpha\backslash in\backslash operatorname\{Card\})$이다.

이는 특정 조건을 만족하는 강제법은 기수를 보존하여, 원래 모델과 확장된 모델에서 기수의 크기가 변하지 않도록 함을 의미한다.

만약 다음 조건이 성립한다면, $P$가 $M$의 공종도를 보존한다고 한다.
* 임의의 포괄적 순서 아이디얼 $G\backslash subseteq\; P$ 및 두 순서수 $\backslash alpha,\backslash beta\backslash in\backslash operatorname\{Ord\}\backslash cap\; M$에 대하여, $M\backslash models(\backslash operatorname\{cf\}\backslash alpha=\backslash beta)\backslash iff\; M[G]\backslash models(\backslash operatorname\{cf\}\backslash alpha=\backslash beta)$이다. (여기서 $\backslash operatorname\{cf\}$는 순서수의 공종도를 뜻한다.)

임의의 $P\backslash in\; M$에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:($M\backslash models$($P$는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다)) ⇒ $P$는 $M$의 공종도를 보존한다 ⇒ $P$는 $M$의 기수를 보존한다

$V[G]$에서, $f:\; \backslash alpha\; \backslash to\; \backslash beta$가 한 무한 서수에서 다른 서수로의 전사 함수이면, $V$에 있는 전사 함수 $g:\; \backslash omega\; \backslash times\; \backslash alpha\; \backslash to\; \backslash beta$가 존재하며, 결과적으로 $V$에 있는 전사 함수 $h:\; \backslash alpha\; \backslash to\; \backslash beta$가 존재한다. 특히, 기수는 붕괴될 수 없다.

4. 예

강제법에는 여러 가지 예시가 있다. 강제 개념은 강제 조건을 포셋(poset) 구조를 가진 추상 객체로 간주하여 공식화하는 방식으로 접근한다.

강제 포셋은 순서 삼중항 $(\backslash mathbb\{P\},\backslash leq,\backslash mathbf\{1\})$인데, 여기서 $\backslash leq$는 $\backslash mathbb\{P\}$에 대한 전순서이고, $\backslash mathbf\{1\}$은 가장 큰 원소이다. $\backslash mathbb\{P\}$의 구성원은 강제 조건(또는 간단히 조건)이라고 부른다. 순서 관계 $p\; \backslash leq\; q$는 "$p$는 $q$보다 강하다"는 것을 의미한다. 예를 들어, 구간 $[3.1415926,3.1415927]$이 구간 $[3.1,3.2]$보다 π에 대한 더 많은 정보를 제공하는 것처럼, "작은" 조건은 "더 많은" 정보를 제공한다.

분할 조건도 만족해야 하는데, 각 $p\; \backslash in\; \backslash mathbb\{P\}$에 대해, $q,r\; \backslash leq\; p$이고, $s\; \backslash leq\; q,r$인 $s\; \backslash in\; \backslash mathbb\{P\}$가 없는 $q,r\; \backslash in\; \backslash mathbb\{P\}$가 존재해야 한다. 즉, 어떤 강제 조건 $p$를 적어도 두 개의 호환되지 않는 방향으로 강화하는 것이 가능해야 한다.

강제법의 예시는 다음과 같다.

* 코헨 강제법: $S$를 무한 집합이라고 할 때, 각 강제 조건은 $a\; \backslash in\; X$ 또는 $a\; \backslash notin\; X$ 형태의 유한 문장 집합이다. 여기서 $X\; \backslash subseteq\; S$이다.
* 무작위 강제법: $(\backslash operatorname\{Bor\}(I),\backslash subseteq,I)$인데, 여기서 $I\; =\; [0,1]$이고 $\backslash operatorname\{Bor\}(I)$는 0이 아닌 르베그 측도를 갖는 $I$의 보렐 집합들의 모음이다.

4.1. 무작위 강제법

구간 $[0,1]$ 위의 르베그 측도가 양수인 보렐 집합들의 집합족을 이용하여 정의되는 강제법이다. 이 강제법을 통해 새로운 실수 $r$이 추가되는데, 이를 무작위 실수라고 부른다. $V[r]$는 무작위 강제법(random forcing^영어)이라고 한다.

무작위 강제법은 $P$ 집합에 대한 강제법으로 정의할 수 있다. 여기서 $P$는 $[0,1]$의 양의 측도를 갖는 모든 콤팩트 부분 집합의 집합이며, 포함 관계 $\backslash subseteq$에 의해 정렬된다. 이때, 포함 관계에서 작은 집합은 정렬에서 더 작은 집합이며, 더 많은 정보를 가진 조건을 나타낸다.

다음은 두 가지 유형의 중요한 조밀 집합이다.

# 임의의 양의 정수 $n$에 대해, 집합 는 조밀 집합이며, 여기서 $\backslash operatorname\{diam\}(p)$는 집합 $p$의 지름이다.
# 측도가 1인 임의의 보렐 부분 집합 $B\; \backslash subseteq\; [0,1]$에 대해, 집합 $D\_B=\backslash \{p\backslash in\; P\; :\; p\backslash subseteq\; B\backslash \}$는 조밀 집합이다.

이러한 과정을 통해 추가되는 무작위 실수 $r$은 원래 우주($V$)에서는 "기술될" 수 없으며, 측도가 1인 $[0,\; 1]$의 모든 보렐 부분 집합에 속한다. 이는 $r$이 $V$의 관점에서 "0과 1의 무한 랜덤 시퀀스"이며, 기본 모형 $V$의 모든 통계 테스트를 만족한다는 것을 의미한다.

4.2. 코언 강제법

기수 $\backslash kappa$에 대하여, 정의역의 크기가 $\backslash kappa$ 미만인 부분 정의 함수 $X\backslash to\; Y$들의 부분 순서 집합을 $\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y;\backslash kappa)$라고 한다. 이 부분 순서 집합에 대한 강제법을 코언 강제법(Cohen forcing^영어)이라고 하며, 이를 사용하여 연속체 가설의 독립성을 증명할 수 있다.

코헨 강제법의 강제 포셋은 $(\backslash operatorname\{Fin\}(S,2),\backslash supseteq,0)$로 쓸 수 있는데, 여기서 $S$에서 $2\; \backslash stackrel\{\backslash text\{df\}\}\{=\}\; \backslash \{\; 0,1\; \backslash \}$로의 유한 부분 함수는 "역" 포함 관계에 있다. 코헨 강제법은 분할 조건을 만족하는데, 주어진 조건 $p$에 대해 $p$에 언급되지 않은 원소 $a\; \backslash in\; S$를 항상 찾을 수 있으며, 문장 $a\; \backslash in\; X$ 또는 $a\; \backslash notin\; X$를 $p$에 추가하여 서로 호환되지 않는 두 개의 새로운 강제 조건을 얻을 수 있기 때문이다.

가장 단순한 비자명 강제 포셋은 $(\backslash operatorname\{Fin\}(\backslash omega,2),\backslash supseteq,0)$인데, 이는 $\backslash omega$에서 $2\; \backslash stackrel\{\backslash text\{df\}\}\{=\}\; \backslash \{\; 0,1\; \backslash \}$로의 유한 부분 함수이며, 역 포함 관계를 따른다. 즉, 조건 $p$는 본질적으로 $\backslash omega$의 두 개의 분리된 유한 부분 집합 $\{p^\{-1\}\}[1]$과 $\{p^\{-1\}\}[0]$으로 이루어져 있으며, $p$의 "예"와 "아니오" 부분으로 생각할 수 있는데, $p$의 정의역 밖의 값에 대한 정보는 제공되지 않는다. "$q$는 $p$보다 강하다"는 것은 $q\; \backslash supseteq\; p$를 의미하며, 다시 말해 $q$의 "예"와 "아니오" 부분은 $p$의 "예"와 "아니오" 부분의 상위 집합이며, 그런 의미에서 더 많은 정보를 제공한다.

5. 응용

강제법은 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적인 여러 명제들을 증명하는 데 사용된다. 연속체 가설, 구성 가능성 공리가 대표적인 예시이다. 강제법은 선택 공리의 독립성을 증명하는 데에도 활용된다.

또한 강제법은 계산 가능성 이론에도 응용된다.

6. 역사

폴 코언이 ZFC에서 연속체 가설의 독립성을 증명하기 위해 1963년에 강제법을 도입하였다. 코언이 사용한 기법은 구성 가능 위계를 핵심적으로 사용하였고, 오늘날 분기 강제법(分岐強制法, ramified forcing^영어)이라고 불린다.

이후 데이나 스콧과 로버트 솔로베이가 완비 불 대수를 사용하여 구성 가능 위계를 사용하지 않는 기법을 개발하였으나, 출판하지 않았다. 1971년에 조지프 로버트 숀필드가 이 기법을 정리하여 비분기 강제법(非分岐強制法, unramified forcing^영어)이라는 이름으로 출판하였다. 비분기 강제법이 더 간편하므로, 오늘날 "강제법"이라는 용어는 통상적으로 후자를 일컫게 되었다.

1971년에 로버트 솔로베이와 스탠리 테넨바움은 수슬린 가설의 독립성을 보이기 위하여 [[반복 강제법]]을 도입하였다.