강제법

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
- 4.1. 무작위 강제법
- 4.2. 코언 강제법
5. 응용
6. 역사
참조

1. 개요

강제법은 집합론에서 새로운 집합론적 모델을 구성하는 강력한 기법이다. 강제법은 강제 조건, 강제 포셋, 이름, 해석 등의 개념을 사용하여, 기존 모델에 새로운 원소를 추가하고 그 속성을 연구한다. 코언에 의해 도입되어 연속체 가설의 독립성을 증명하는 데 사용되었으며, 이후 수많은 집합론적 명제의 독립성 증명에 활용되었다. 강제법은 기수의 보존, 강제법 언어, 강제성 관계 등의 개념을 통해 형식화되며, 무작위 강제법, 코언 강제법 등 다양한 예시가 존재한다.

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강제법 - 포괄적 필터
포괄적 필터는 원순서 집합에서 모든 공시작 집합과 교집합이 공집합이 아닌 필터를 의미하며, 이는 집합족 또는 순서 아이디얼에 대해 일반화된 개념으로 확장될 수 있고, 체르멜로-프렝켈 집합론 하에서 특정 조건 하에 존재성이 보장된다.
강제법 - 반복 강제법
반복 강제법은 ZFC 모형과 순서수를 기반으로 정의되는 구조로, 부분 순서 집합의 열을 초한 귀납법으로 정의하며, 모형 확장 및 수슬린 가설의 독립성 증명에 사용된다.

강제법
개요
분야	집합론
고안자	폴 코언
목적	모형 이론에서 공리계의 상대적 무모순성 및 독립성을 증명
관련 항목	선택 공리, 연속체 가설
역사
개발 연도	1963년
최초 적용	선택 공리가 체르멜로-프렝켈 집합론으로부터 독립임을 증명
중요성	연속체 가설이 ZFC로부터 독립임을 증명하는 데 사용
응용
적용 분야	다양한 수학적 명제의 독립성을 증명하는 데 사용됨
예시	수스린 문제 화이트헤드 문제
추가 정보
특징	기존의 집합론적 모형을 확장하여 새로운 모형을 구성하는 방법
비유	체론에서의 대수적 확대와 유사
설명	새로운 원소를 추가하되, 확장된 구조의 성질이 원래 구조에서 제어되도록 함

2. 정의

강제법은 집합론에서 원하는 속성을 만족하는 확장된 우주를 구성하는 데 사용되는 기법이다. 예를 들어, 확장된 우주는 원래 우주에는 없었던 새로운 실수를 포함하여 연속체 가설을 위반할 수 있다.

이러한 확장을 직관적으로 이해하기 위해 "오래된 우주"를 "실제 우주" $V$ 의 모델 $M$ 으로 생각할 수 있다. 뢰벤하임-스콜렘 정리에 의해 $M$ 은 외부적으로 셀 수 있는 모델로 선택될 수 있다. 이는 $M$ 에 없는 $\mathbb{N}$ (자연수 집합)의 부분 집합이 $V$ 에 많이 존재함을 의미한다.

강제법의 핵심은 $M$ 내에서 "이름"을 조작하여 $M[X]$ 를 구성하는 것이다. 여기서 $X$ 는 $M$ 에는 없지만 확장된 우주에 포함될 새로운 집합이다. 이름은 단순 체 확장에서처럼 $X$ 에 따라 표현될 수 있다.

강제법은 $X$ 가 $M$ 과 관련된 '''일반 집합'''이 되도록 요구한다. 일반 집합의 모든 속성은 어떤 '''강제 조건'''에서 참이 되도록 "강제"된다. "강제" 개념은 $M$ 내에서 정의될 수 있으며, 이를 통해 $M[X]$ 가 원하는 속성을 만족하는 모델임을 증명할 수 있다.

코헨의 원래 기법은 가지형 강제법이라고 불리며, 여기서는 '''비가지형 강제법'''을 설명한다. 강제법은 부울 값 모델의 방법과 동일하지만, 개념적으로 더 자연스럽고 직관적이라고 여겨진다.

강제 개념을 공식화하기 위해 강제 조건을 포셋(poset) 구조를 가진 추상 객체로 간주한다. 강제 포셋은 순서 삼중항 $(\mathbb{P},\leq,\mathbf{1})$ 이며, $\leq$ 는 $\mathbb{P}$ 에 대한 전순서이고, $\mathbf{1}$ 은 가장 큰 원소이다. $\mathbb{P}$ 의 구성원은 '''강제 조건''' (또는 '''조건''')이며, $p \leq q$ 는 " $p$ 는 $q$ 보다 '''강하다'''"는 것을 의미한다.

강제 조건은 분할 조건을 만족해야 한다. 즉, 어떤 강제 조건 $p$ 를 적어도 두 개의 호환되지 않는 방향으로 강화하는 것이 가능해야 한다.

개별적인 강제 조건 $p$ 가 일반 객체 $X$ 를 완전히 결정할 수는 없지만, 모든 참인 강제 조건의 집합 $G \subseteq \mathbb{P}$ 는 $X$ 를 결정한다. $G$ 는 $M$ 과 관련하여 $\mathbb{P}$ 에 대한 '''일반 필터'''여야 한다. 필터 조건은 $G$ 가 모든 참인 강제 조건의 집합임을 의미한다.

$G$ 가 " $M$ 과 관련하여 일반적"이라는 것은 $\mathbb{P}$ 의 "조밀한" 부분 집합 $D \in M$ 에 대해, $G \cap D \neq \varnothing$ 임을 의미한다. 일반 필터 $G$ 의 존재는 라시와-시코르스키 보조정리로부터 유도된다.

강제 부분 순서 집합 $\mathbb{P}$ 와 관련된 것은 $\mathbb{P}$ -'''이름'''의 클래스 $V^{(\mathbb{P})}$ 이다. $\mathbb{P}$ -이름은 $A \subseteq \{ (u,p) \mid u$ 는 $\mathbb{P}$ -이름이고 $p \in \mathbb{P} \}$ 형태의 집합 $A$ 이다.

$\mathbb{P}$ 에 대한 필터 $G$ 가 주어지면, $\mathbb{P}$ -이름으로부터의 '''해석'''은 $\operatorname{val}(u,G) = \{ \operatorname{val}(v,G) \mid \exists p \in G: ~ (v,p) \in u \}$ 로 주어진다.

$x \in V$ 가 주어지면, $\check{x} = \{ (\check{y},\mathbf{1}) \mid y \in x \}$ 는 $\mathbb{P}$ -이름으로 정의된다. $\operatorname{val}(\check{x},G) = x$ 가 되며, $\check{x}$ 는 $G$ 에 의존하지 않는 " $x$ 의 이름"이다.

$G$ 의 이름은 $\underline{G} = \{ (\check{p},p) \mid p \in \mathbb{P} \}$ 로 정의되며, $\operatorname{val}(\underline{G},G) = G$ 이다.

$\mathbb{P}$ -이름, 해석, $\check{x}$ 의 개념은 초한 귀납법으로 정의될 수 있다.

2. 1. 강제법 언어

집합론의 1차 논리 언어

\mathcal L_\in

에

M^P

의 원소들을 상수(0항 연산)로 추가한 1차 논리 언어이다.^[7] 여기서

M^P=\{u\in\operatorname{Name}_P\colon\operatorname{val}_G(u)\in M\}

는

M

에서

G

-해석할 수 있는

P

-이름들의 집합이다.

임의의 원소

x\in M

에 대하여,

x\in M

의 이름은 다음과 같이 정의된다.

:

\check x=\{(\check y,p)\colon y\in x,\;p\in P\}\in M^P

일반화된 필터 ''G'' ⊆ '''P'''가 주어졌을 때, ''강제 언어''를 사용하여 ''M''에서 집합론을 논할 수 있다. 이는 일계 술어 논리와 같이 구성되며, 소속 관계는 2항 관계로, 이름은 상수로 실현된다.

''p''

\Vdash_{M,P}

φ(''u''₁,…,''u''_''n'') ("반순서 P와 모델 '''M''' 안에서 ''p''가 φ를 강제한다"라고 읽는다.)라는 표현은, ''G''가 ''p''를 원소로 가지는 일반화된 필터라면 '''M'''[''G''] ⊨ φ(val(''u''₁,''G''),…,val(''u''_''n'',''G''))가 된다는 의미이다.

특히, 1

\Vdash_{M,P}

φ는 '''P'''

\Vdash_{M,P}

φ 또는

\Vdash_{M,P}

φ로도 표기되며, 이러한 문장은 ''G''가 무엇인지에 관계없이 '''M'''[''G'']에서 참이 된다.

이 강제 관계 ''p''

\Vdash_{M,P}

φ는 이름과 식의 복잡성에 관한 귀납법에 의한 "내부" 정의와 동치라는 점이 중요하다. 이는 '''M'''[''G'']의 성질이 사실 '''M'''에서 파악되며, ZFC가 '''M'''[''G'']에서 성립함을 확인할 수 있게 한다.

강제 관계는 다음 세 가지 중요한 성질을 가진다.

'''진실성''': '''M'''[''G''] ⊨ φ(val(''u''₁,''G''),…,val(''u''_''n'',''G''))가 되는 것은, 어떤 조건 ''p'' ∈ ''G''가 있어서 ''p'' $\Vdash_{M,P}$ φ(''u''₁,…,''u''_''n'')가 될 때이다.
'''정의 가능성''': 문장 "''p'' $\Vdash_{M,P}$ φ(''u''₁,…,''u''_''n'')"는 '''M'''에서 정의 가능하다.
'''간섭성''': ''p'' $\Vdash_{M,P}$ φ(''u''₁,…,''u''_''n'')이고 ''q'' ≤ ''p''이면 ''q'' $\Vdash_{M,P}$ φ(''u''₁,…,''u''_''n'')이다.

'''V''' 상에서 강제 관계는 식의 복잡성에 관한 귀납법으로 정의된다.

1. ''p''

\Vdash_{P}

''a'' ∈ ''b''는, 임의의 ''q'' ≤ ''p''에 대해 ''r'' ≤ ''q''이고, ''r''

\Vdash_{P}

''a'' = ''c''가 되는 (''s'', c) ∈ ''b''가 존재하는 ''r'' ≤ ''q''가 존재하는 것이다.

2. ''p''

\Vdash_{P}

''a'' = ''b''는, ''p''

\Vdash_{P}

''a'' ⊆ ''b''이고 ''p''

\Vdash_{P}

''b'' ⊆ ''a''가 되는 것이다.

: 여기서 ''p''

\Vdash_{P}

''a'' ⊆ ''b''는 임의의 ''q'' ≤ ''p''와 임의의 (r,''c'') ∈ ''a''에 대해, ''q'' ≤ ''r''이면 ''q''

\Vdash_{P}

''c'' ∈ ''b''가 되는 것이다.

3. ''p''

\Vdash_{P}

¬ ''f''는, ''q''

\Vdash_{P}

''f''가 되는 ''q'' ≤ ''p''가 존재하지 않는 것이다.

4. ''p''

\Vdash_{P}

''f'' ∧ ''g''는, ''p''

\Vdash_{P}

''f''이고 ''p''

\Vdash_{P}

''g''가 되는 것이다.

5. ''p''

\Vdash_{P}

∀ ''x'' ''f''는, 임의의 이름 ''a''에 대해 ''p''

\Vdash_{P}

''f''(''a'')가 되는 것이다. 여기서 ''f''(''a'')는 ''f''에 출현하는 자유 변수 ''x''를 모두 ''a''로 대체한 결과의 식이다.

위 정의에서 1–5의 ''p''는 임의의 조건이고, 1, 2의 ''a'',''b''는 임의의 이름이며, 3–5의 ''f'',''g''는 임의의 식이다.

이 정의는 '''V'''에서 작동하며, 가산 추이 모델 '''M''' 안에서는 그대로 작동하지 않는다. 하지만, ''p''

\Vdash_{M,P}

''f''는 '''M''' ⊨ ''p''

\Vdash_{P}

''f''가 되는 것과 동치라는 명제가 정의 가능성을 제공한다.

2. 2. 강제법 모형

집합

P

와 그 부분 집합

G\subseteq P

및 추이적 집합

M

이 주어졌을 때, 강제법 모형은

\mathcal L_P

의 추이적 모형

M[G]

로 정의된다. 이는

M

에 속하는 이름들의 해석으로 구성되며, 집합으로서

M[G]=\{\operatorname{val}(u,G)\colon u\in M^P\}

이다.

M[G]

에서 상수

u\in M^P

의 해석은

\operatorname{val}_G(u)

이다.

케네스 쿠넌은

M[G]

에 대해 다음과 같이 설명했다.^[7]

Roughly, this [

M[G]

] will be the set of all sets which can be constructed from

G

by applying set-theoretic processes definable in

M

. Each element of

M[G]

will have a name in

M

, which tells how it has been constructed from

G

. […] People living within

M

will be able to comprehend a name,

\tau

, for an object in

M[G]

, but they will not in general be able to decide the object,

\tau_G

, that

\tau

names, since this will require a knowledge of

G

.|해석|대략, 이것[

M[G]

]은

M

에서 정의 가능한 집합론적 과정을

G

에 적용하여 구성할 수 있는 모든 집합들의 집합이다.

M[G]

의 각 원소들은

M

속의 이름을 가지며, 이는 이것이 어떻게

G

로부터 구성되었는지를 가리킨다. […]

M

속에 사는 사람들은

M[G]

의 원소의 이름

\tau

를 이해할 수 있다. 그러나 이들은 이름

\tau

가 명명하는 대상

\tau_G

를 일반적으로 결정하지 못한다. 이는

\tau_G

의 이해는

G

에 대한 지식을 필요로 하기 때문이다.^영어

2. 3. 강제성 관계

추이적 집합

M

, 원순서 집합

(P,\lesssim)

및 그 부분 집합

G\subseteq P

가 주어졌을 때, 강제 조건

p\in P\in M

과 강제법 언어

\mathcal L_P

의 1차 논리 문장

\phi\in\operatorname{Sent}(\mathcal L_P)

사이의 관계는 다음과 같이 정의된다.^[7]

:

p\Vdash_{P,M}\phi\iff\forall G\in\operatorname{Generic}(P,M)\colon p\in G\implies M[G]\models\phi

여기서

\operatorname{Generic}(P,M)

는

M

에 속하는

P

의 모든 공종 집합들의 족

\operatorname{Cofin}(P)\cap M

에 대하여 모든

\operatorname{Cofin}(P)\cap M

-포괄적 순서 아이디얼들의 집합이다.

또한,

p\Vdash^*\phi

관계는 재귀적으로 정의된다.^[7] (

u,v\in\operatorname{Name}_P

는 임의의

P

-이름이다.)

:

\left(p\Vdash^* u\in v\right)\iff\forall q\gtrsim p\exists r\gtrsim q\exists(\tilde u,s)\in v\colon r\gtrsim s\land\left(r\Vdash u=\tilde u\right)

:

\left(p\Vdash^* u=v\right)\iff\forall q\gtrsim p\forall w\in M^P\colon(q\Vdash^* w\in u)\iff(q\Vdash^* w\in v)

:

\left(p\Vdash^* \lnot\phi\right)\iff\nexists q\gtrsim p\colon q\Vdash\phi

:

\left(p\Vdash^*\phi\land\chi\right)\iff\left(p\Vdash^*\phi\right)\land\left(p\Vdash^*\phi\right)

:

\left(p\Vdash^*\forall x\colon\phi(x)\right)\iff\forall u\in M^P\colon\left(p\Vdash^*\phi[u]\right)

이러한 관계들은 확장된 모델에서의 참/거짓을 결정한다.

3. 성질

$\mathbb{P}$ -이름, 해석, $\check{x}$ 의 개념은 초한 귀납법으로 정의된다. 우선, 다음과 같은 계층을 정의한다.

기호	정의	설명
$\varnothing$	공집합
$\alpha + 1$	$\alpha$ 의 후임 순서수
$\mathcal{P}$	멱집합 연산자
$\lambda$	극한 순서수

: $\begin{align}\operatorname{Name}(\varnothing) & = \varnothing, \\\operatorname{Name}(\alpha + 1) & = \mathcal{P}(\operatorname{Name}(\alpha) \times \mathbb{P}), \\\operatorname{Name}(\lambda) & = \bigcup \{ \operatorname{Name}(\alpha) \mid \alpha < \lambda \}.\end{align}$

그 다음, $\mathbb{P}$ -이름의 클래스는 다음과 같이 정의된다.

: $V^{(\mathbb{P})} = \bigcup \{ \operatorname{Name}(\alpha) ~|~ \alpha ~ \text{is an ordinal} \}.$

해석 맵과 맵 $x \mapsto \check{x}$ 도 마찬가지로 계층적 구성을 사용하여 정의할 수 있다.

강제 순서 $\mathbb{P}$ 가 주어졌을 때, 일반 필터 $G$ 가 존재한다고 가정한다. 이 필터는 원래 우주 $V$ 에 속하지 않지만, $V[G]$ 는 다시 $\mathsf{ZFC}$ 를 모델로 하는 집합론적 우주이다. $V[G]$ 의 모든 진실은 강제 관계를 포함하는 $V$ 의 진실로 축소될 수 있다.^[7]

일반적으로 가산적 추이 모델 $M$ 또는 전체 우주 $V$ 에 $G$ 를 추가하는 두 가지 방식이 사용된다. 덜 일반적인 방식은 강제의 "내부" 정의를 사용하는 것으로, 집합 또는 클래스 모델에 대한 언급은 하지 않는다. 이는 폴 코헨(Paul Joseph Cohen)의 원래 방법이며, 부울 값 분석 방법으로 이어진다.

강제법 모형과 강제성 관계의 성질에 대한 자세한 내용은 하위 섹션을 참고하면 된다.

3. 1. 강제법 모형

집합

P

와 그 부분 집합

G\subseteq P

및 추이적 집합

M

이 주어졌을 때,

\mathcal L_P

의 추이적 모형

M[G]

는 다음과 같이 정의된다.^[7]

집합으로서, $M[G]=\{\operatorname{val}(u,G)\colon u\in M^P\}$ 는 $M$ 에 속하는 이름들의 해석들이다.
$\in$ 의 해석은 외적인 개념과 같다.
$M[G]$ 에서, 상수 $u\in M^P$ 의 해석은 $\operatorname{val}_G(u)$ 이다.

M[G]

는

M

에서 정의 가능한 집합론적 과정을

G

에 적용하여 구성할 수 있는 모든 집합들의 집합이다.

M[G]

의 각 원소들은

M

속의 이름을 가지며, 이는 이것이

G

로부터 구성되었는지를 가리킨다.

M

속에 사는 사람들은

M[G]

의 원소의 이름

\tau

를 이해할 수 있지만, 이들이 이름

\tau

가 명명하는 대상

\tau_G

를 일반적으로 결정하지 못하는데, 이는

\tau_G

의 이해는

G

에 대한 지식을 필요로 하기 때문이다.^[7]

만약

M

이 ZFC의 추이적 모형이라면, 다음이 성립한다.^[7]^[14]

임의의 $M'\supseteq M$ 에 대하여, 만약 $M'$ 역시 ZFC의 추이적 모형이며 $M'\ni G$ 라면, $M[G]\subseteq M'$ 이다.

즉,

M[G]

는

G

와

M

을 포함하는 최소의 ZFC 추이적 모형이다.

강제법의 기본 정리에 따르면, 매우 일반적인 조건 아래, ZFC 공리들을 만족시키는 수학적 구조

M

에 새 원소

U

를 추가하여, ZFC를 여전히 만족시키는 더 큰 구조

M[U]

를 만들 수 있다.

M[U]

의 구성은 ZFC의 공리계가 환의 공리계보다 훨씬 더 복잡하기 때문에 더 복잡하다.^[3]

3. 2. 강제성 관계의 성질

강제성 관계는 다음 세 가지 주요 성질을 만족한다.^[7]

'''진실성''': $M[G] \models \phi(\operatorname{val}(u_1,G),\ldots,\operatorname{val}(u_n,G))$ 인 것은 $G$ 에 의해 강제될 때, 즉 어떤 조건 $p \in G$ 에 대해 $p \Vdash_{M,\mathbb{P}} \phi(u_1,\ldots,u_n)$ 일 때이다. 다시 말해, $M[G]$ 에서 어떤 명제가 참이려면, 그 명제를 강제하는 조건 $p$ 가 $G$ 안에 존재해야 한다.
'''정의 가능성''': " $p \Vdash_{M,\mathbb{P}} \phi(u_1,\ldots,u_n)$ "라는 명제는 $M$ 안에서 정의 가능하다. 즉, 강제 관계를 $M$ 내부에서 파악할 수 있다.
'''일관성''': $p \Vdash_{M,\mathbb{P}} \phi(u_1,\ldots,u_n)$ 이고 $q \leq p$ 이면, $q \Vdash_{M,\mathbb{P}} \phi(u_1,\ldots,u_n)$ 이다. 즉, 강제 관계는 순서 보존 함수를 정의한다. 어떤 조건이 특정 명제를 강제하면, 그보다 더 강한 조건도 같은 명제를 강제한다.

이러한 성질들은 강제법 모형을 구성하고 다양한 성질을 증명하는 데 핵심적인 역할을 한다.

3. 3. 기수의 보존

순서수의 개념은 절대적이다. 즉, 모형 속의 순서수 개념은 모형 밖의 순서수 개념과 일치한다. 그러나 기수의 개념은 절대적이지 않으며, 모형

M

의 기수가 확장된 모형

M[G]

에서는 기수가 아닌 순서수일 수 있다.

ZFC의 추이적 모형

M

및

P\in M

와

P

위의 원순서

\lesssim

가 주어졌다고 하자. 다음 조건이 성립하면

P

가 '''

M

의 기수를 보존한다'''고 한다.^[7]

임의의 포괄적 순서 아이디얼 $G\subseteq P$ 및 순서수 $\alpha\in\operatorname{Ord}\cap M$ 에 대하여, $M\models(\alpha\in\operatorname{Card})\iff M[G]\models(\alpha\in\operatorname{Card})$ 이다.

이는 특정 조건을 만족하는 강제법은 기수를 보존하여, 원래 모델과 확장된 모델에서 기수의 크기가 변하지 않도록 함을 의미한다.

만약 다음 조건이 성립한다면,

P

가 '''

M

의 공종도를 보존한다'''고 한다.^[7]

임의의 포괄적 순서 아이디얼 $G\subseteq P$ 및 두 순서수 $\alpha,\beta\in\operatorname{Ord}\cap M$ 에 대하여, $M\models(\operatorname{cf}\alpha=\beta)\iff M[G]\models(\operatorname{cf}\alpha=\beta)$ 이다. (여기서 $\operatorname{cf}$ 는 순서수의 공종도를 뜻한다.)

임의의

P\in M

에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.^[7]

:(

M\models

(

P

는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다)) ⇒

P

는

M

의 공종도를 보존한다 ⇒

P

는

M

의 기수를 보존한다

V[G]

에서,

f: \alpha \to \beta

가 한 무한 서수에서 다른 서수로의 전사 함수이면,

V

에 있는 전사 함수

g: \omega \times \alpha \to \beta

가 존재하며, 결과적으로

V

에 있는 전사 함수

h: \alpha \to \beta

가 존재한다. 특히, 기수는 붕괴될 수 없다.

4. 예

강제법에는 여러 가지 예시가 있다. 강제 개념은 강제 조건을 포셋(poset) 구조를 가진 추상 객체로 간주하여 공식화하는 방식으로 접근한다.

강제 포셋은 순서 삼중항 $(\mathbb{P},\leq,\mathbf{1})$ 인데, 여기서 $\leq$ 는 $\mathbb{P}$ 에 대한 전순서이고, $\mathbf{1}$ 은 가장 큰 원소이다. $\mathbb{P}$ 의 구성원은 강제 조건(또는 간단히 조건)이라고 부른다. 순서 관계 $p \leq q$ 는 " $p$ 는 $q$ 보다 강하다"는 것을 의미한다. 예를 들어, 구간 $[3.1415926,3.1415927]$ 이 구간 $[3.1,3.2]$ 보다 π에 대한 더 많은 정보를 제공하는 것처럼, "작은" 조건은 "더 많은" 정보를 제공한다.

분할 조건도 만족해야 하는데, 각 $p \in \mathbb{P}$ 에 대해, $q,r \leq p$ 이고, $s \leq q,r$ 인 $s \in \mathbb{P}$ 가 없는 $q,r \in \mathbb{P}$ 가 존재해야 한다. 즉, 어떤 강제 조건 $p$ 를 적어도 두 개의 호환되지 않는 방향으로 강화하는 것이 가능해야 한다.

강제법의 예시는 다음과 같다.

'''코헨 강제법''': $S$ 를 무한 집합이라고 할 때, 각 강제 조건은 $a \in X$ 또는 $a \notin X$ 형태의 유한 문장 집합이다. 여기서 $X \subseteq S$ 이다.
'''무작위 강제법''': $(\operatorname{Bor}(I),\subseteq,I)$ 인데, 여기서 $I = [0,1]$ 이고 $\operatorname{Bor}(I)$ 는 0이 아닌 르베그 측도를 갖는 $I$ 의 보렐 집합들의 모음이다.

4. 1. 무작위 강제법

구간

[0,1]

위의 르베그 측도가 양수인 보렐 집합들의 집합족을 이용하여 정의되는 강제법이다. 이 강제법을 통해 새로운 실수

r

이 추가되는데, 이를 '''무작위 실수'''라고 부른다.

V[r]

는 무작위 강제법(random forcing^영어)이라고 한다.

무작위 강제법은

P

집합에 대한 강제법으로 정의할 수 있다. 여기서

P

는

[0,1]

의 양의 측도를 갖는 모든 콤팩트 부분 집합의 집합이며, 포함 관계

\subseteq

에 의해 정렬된다. 이때, 포함 관계에서 작은 집합은 정렬에서 더 작은 집합이며, 더 많은 정보를 가진 조건을 나타낸다.

다음은 두 가지 유형의 중요한 조밀 집합이다.

# 임의의 양의 정수

n

에 대해, 집합

D_n= \left \{p\in P : \operatorname{diam}(p)<\frac 1n \right \}

는 조밀 집합이며, 여기서

\operatorname{diam}(p)

는 집합

p

의 지름이다.

# 측도가 1인 임의의 보렐 부분 집합

B \subseteq [0,1]

에 대해, 집합

D_B=\{p\in P : p\subseteq B\}

는 조밀 집합이다.

이러한 과정을 통해 추가되는 무작위 실수

r

은 원래 우주(

V

)에서는 "기술될" 수 없으며, 측도가 1인

[0, 1]

의 모든 보렐 부분 집합에 속한다. 이는

r

이

V

의 관점에서 "0과 1의 무한 랜덤 시퀀스"이며, 기본 모형

V

의 모든 통계 테스트를 만족한다는 것을 의미한다.

4. 2. 코언 강제법

기수

\kappa

에 대하여, 정의역의 크기가

\kappa

미만인 부분 정의 함수

X\to Y

들의 부분 순서 집합을

\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)

라고 한다. 이 부분 순서 집합에 대한 강제법을 '''코언 강제법'''(Cohen forcing^영어)이라고 하며, 이를 사용하여 연속체 가설의 독립성을 증명할 수 있다.

코헨 강제법의 강제 포셋은

(\operatorname{Fin}(S,2),\supseteq,0)

로 쓸 수 있는데, 여기서

S

에서

2 \stackrel{\text{df}}{=} \{ 0,1 \}

로의 유한 부분 함수는 "역" 포함 관계에 있다. 코헨 강제법은 분할 조건을 만족하는데, 주어진 조건

p

에 대해

p

에 언급되지 않은 원소

a \in S

를 항상 찾을 수 있으며, 문장

a \in X

또는

a \notin X

를

p

에 추가하여 서로 호환되지 않는 두 개의 새로운 강제 조건을 얻을 수 있기 때문이다.

가장 단순한 비자명 강제 포셋은

(\operatorname{Fin}(\omega,2),\supseteq,0)

인데, 이는

\omega

에서

2 \stackrel{\text{df}}{=} \{ 0,1 \}

로의 유한 부분 함수이며, ''역'' 포함 관계를 따른다. 즉, 조건

p

는 본질적으로

\omega

의 두 개의 분리된 유한 부분 집합

{p^{-1}}[1]

과

{p^{-1}}[0]

으로 이루어져 있으며,

p

의 "예"와 "아니오" 부분으로 생각할 수 있는데,

p

의 정의역 밖의 값에 대한 정보는 제공되지 않는다. "

q

는

p

보다 강하다"는 것은

q \supseteq p

를 의미하며, 다시 말해

q

의 "예"와 "아니오" 부분은

p

의 "예"와 "아니오" 부분의 상위 집합이며, 그런 의미에서 더 많은 정보를 제공한다.

5. 응용

강제법은 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적인 여러 명제들을 증명하는 데 사용된다. 연속체 가설, 구성 가능성 공리가 대표적인 예시이다. 강제법은 선택 공리의 독립성을 증명하는 데에도 활용된다.

또한 강제법은 계산 가능성 이론에도 응용된다.

6. 역사

폴 코언이 ZFC에서 연속체 가설의 독립성을 증명하기 위해 1963년에 강제법을 도입하였다.^[8]^[9]^[10]^[11]^[12] 코언이 사용한 기법은 구성 가능 위계를 핵심적으로 사용하였고, 오늘날 분기 강제법(分岐強制法, ramified forcing^영어)이라고 불린다.

이후 데이나 스콧과 로버트 솔로베이가 완비 불 대수를 사용하여 구성 가능 위계를 사용하지 않는 기법을 개발하였으나, 출판하지 않았다.^[13] 1971년에 조지프 로버트 숀필드가 이 기법을 정리하여 비분기 강제법(非分岐強制法, unramified forcing^영어)이라는 이름으로 출판하였다.^[14] 비분기 강제법이 더 간편하므로, 오늘날 "강제법"이라는 용어는 통상적으로 후자를 일컫게 되었다.

1971년에 로버트 솔로베이와 스탠리 테넨바움은 수슬린 가설의 독립성을 보이기 위하여 반복 강제법을 도입하였다.^[15]

참조

_[1] 문서
_[2] 저널 What is … forcing? http://www.ams.org/n[...] 2008-06
_[3] 서적 Communicating mathematics: a conference in honor of Joseph A. Gallian’s 65th birthday, July 16–19, 2007, University of Minnesota, Duluth, Minnesota 2009
_[4] 저널 A cheerful introduction to forcing and the continuum hypothesis 2007
_[5] 서적 Forcing for mathematicians World Scientific 2014-04
_[6] 서적 Logique, dynamique et cognition http://www.publicati[...] Publications de la Sorbonne 2016-08-05
_[7] 서적 Set theory: an introduction to independence proofs http://store.elsevie[...] North-Holland 2016-08-07
_[8] 저널 The independence of the continuum hypothesis 1963-12-15
_[9] 저널 The independence of the continuum hypothesis II 1964-01-15
_[10] 저널 The discovery of forcing 2002
_[11] 저널 Paul Cohen and forcing in 1963 2011-07-21
_[12] 저널 Cohen and set theory http://math.bu.edu/p[...] 2008-09
_[13] 서적 Logic colloquium ’86. Proceedings of the colloquium held in Hull, U.K., 13–19 July 1986 1987
_[14] 서적 Axiomatic set theory American Mathematical Society
_[15] 저널 Iterated Cohen extensions and Souslin’s problem

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