누적 위계

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1. 개요

누적 위계는 집합을 집합에 대응시키는 연산 Q와 추이적 집합 X에 대해, 초한 귀납법을 사용하여 정의되는 일련의 집합들의 구조를 의미한다. 이는 순서수 α에 따라 Q^α(X)를 정의하고, 모든 순서수의 모임 Ord에 대한 합집합 Q^Ord(X)를 구성하는 방식으로 이루어진다. 누적 위계 내의 각 대상 x는 계수(rank)라는 값을 가지며, 이는 x가 속하는 최소의 Q^α(X) 단계를 나타낸다. 폰 노이만 전체, 구성적 우주, 강제법에서의 부울값 모델 등이 누적 위계의 예시이며, 칸토어 역설과 반영 원리와 관련된 성질을 갖는다.

누적 위계

개요

이름	누적 위계
정의	집합론에서, 모든 집합이 순서수를 계층으로 하는 누적적 계층에 속하는 것으로 생각하는 관점
다른 이름	폰 노이만 우주, 폰 노이만 계층

역사

창시자	존 폰 노이만
발달	쿠르트 괴델이 구성 가능한 집합의 모형을 만드는 데 사용

정의

순서수 α에 따른 Vα 정의	V₀ = ∅ (공집합) Vα₊₁ = 𝒫(Vα) (Vα의 멱집합) "Vλ = ∪{Vα : α < λ} (λ는 극한 순서수)"
V의 정의	V = ∪{Vα : α는 순서수}
ZFC 공리계와의 관계	만약 모든 집합이 V에 속한다면, 이는 ZFC의 공리들을 만족시킴
정칙성 공리	모든 집합은 누적 위계에 속하며, 이는 정칙성 공리와 동치임

성질

추이적 집합	각 Vα는 추이적 집합임
ZFC의 모형	V가 '실제' 집합론적 우주라면, V는 ZFC의 모형임

응용

집합론적 구성	집합론적 대상을 순서수를 이용하여 구성하는 데 사용됨
구성 가능 집합	구성 가능 집합의 모형을 만드는 데 사용됨

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 누적 위계
- 2.2. 계수
3. 성질
- 3.1. 반영 원리
4. 예
5. 역사

2. 정의

$Q$ 가 집합을 집합에 대응시키는 연산이고, $X$ 가 추이적 집합이라고 하자. 그러면 초한 귀납법을 사용하여, 임의의 순서수 $\alpha$ 에 대하여 집합 $Q^\alpha(X)$ 와 모임 $Q^{\operatorname{Ord}}(X)$ 를 정의할 수 있다. 여기서 $\operatorname{Ord}$ 는 모든 순서수의 모임이다.

2.1. 누적 위계

$Q$ 가 집합을 집합에 대응시키는 연산이라고 하고, 추이적 집합 $X$ 가 주어졌다고 하자. 그러면 초한 귀납법을 사용하여, 임의의 순서수 $\alpha\in\operatorname{Ord}$ 에 대하여 다음과 같은 집합들을 정의할 수 있다.

: $Q^\alpha(X)=\begin{cases}X\cup\bigcup_{\beta<\alpha}X_\beta&\nexists\beta\colon\alpha=\beta+1\\Q\left(Q^\beta(X)\right)&\alpha=\beta+1\end{cases}\qquad(\alpha\in\operatorname{Ord})$

또한, 다음과 같은 모임을 정의할 수 있다.

: $Q^{\operatorname{Ord}}(X)=\bigcup_{\alpha\in\operatorname{Ord}}(X)$

여기서 $\operatorname{Ord}$ 는 모든 순서수의 모임이다. 이러한 구성을 누적 위계라고 하며, 임의의 대상 $x\in Q^{\operatorname{Ord}}(X)$ 에 대하여,

: $\min\{\alpha\colon x\in Q^\alpha\}$

를 $x$ 의 $Q^{\operatorname{Ord}}(X)$ 에서의 계수(rank^영어)라고 한다. 만약 $Q$ 가 주어지지 않았다면, 이는 흔히 폰 노이만 위계에서의 계수를 뜻한다.

2.2. 계수

임의의 대상 $x\in Q^{\operatorname{Ord}}(X)$ 에 대하여, $x$ 가 $Q^\alpha(X)$ 에 속하는 최소의 순서수 $\alpha$ 를 $x$ 의 $Q^{\operatorname{Ord}}(X)$ 에서의 계수(rank^영어)라고 정의한다. 만약 $Q$ 가 주어지지 않았다면, 이는 흔히 폰 노이만 위계에서의 계수를 뜻한다.

3. 성질

임의의 순서수 α에 대하여 Q^영어^α(X^영어)는 항상 집합이다. 그러나 Q^영어^Ord(X^영어)는 집합이 아니라 고유 모임일 수 있는데, 이는 칸토어 역설의 일종이다.

3.1. 반영 원리

누적 위계는 반사 원리를 만족시킨다. 즉, 집합론 언어에서 누적 위계의 합집합 $W$ 에서 성립하는 모든 잘 정의된 공식은 일부 단계 $W_\alpha$ 에서도 성립한다. 누적 위계는 반영 원리의 한 형태를 만족시키는데, 집합론의 어떠한 논리식이 누적 위계의 총합 $W$ 에서 성립한다면, 어떤 스테이지 $W_\alpha$ 에서도 성립한다.

4. 예

* 폰 노이만 우주는 누적 위계 $\mathrm{V}_\alpha$ 로부터 구성된다.
* 구성 가능 우주의 $\mathrm{L}_\alpha$ 도 누적 위계를 이룬다.
* 강제법에 의해 구성된 부울 대수값 모형도 누적 위계를 사용하여 구성된다.
* 정칙성 공리를 만족하지 않을 수도 있는 집합론 모형의 기초 집합 전체는 누적 위계를 이루며, 그 안에서는 정칙성 공리가 성립한다.

4.1. 자명한 경우

어떤 집합 $A$ 에 대하여, $Q$ 가 상수 함수 $X\mapsto A$ 일 때, $Q$ 에 대한 위계는 다음과 같다.
: $Q^{\operatorname{Ord}}=A$

$Q$ 가 항등 함수 $X\mapsto X$ 일 때, $Q$ 에 대한, $X$ 로부터 시작하는 위계는 다음과 같다.
: $Q^{\operatorname{Ord}}(X)=X$

보다 일반적으로, 어떤 순서수 $\alpha_0$ 가 다음 성질을 갖는다고 하자.

* 임의의 $\alpha\ge\alpha_0$ 에 대하여 $Q$ 는 $X_\alpha$ 에 대하여 항등 함수이다.

그렇다면 다음이 성립한다.
: $Q^{\operatorname{Ord}}(X)=Q^\alpha(X)$

4.2. 폰 노이만 전체

폰 노이만 전체(von Neumann universe^영어)는 멱집합 연산 $Q=\mathcal P$ 를 사용하여 정의되며, $V=Q^{\operatorname{Ord}}(\varnothing)$ 로 표기된다.

체르멜로-프렝켈 집합론의 정칙성 공리에 의해 $V$ 는 모든 집합의 모임과 같다. 집합 $S$ 의 계수 $\operatorname{rank}S$ 는 $S$ 가 부분 집합으로 등장하는 최초의 단계로, 다음과 같은 순서수이다.
: $\operatorname{rank}S=\min\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon S\subset V_\alpha\}$

$V$ 는 모든 집합을 포함하므로 체르멜로-프렝켈 집합론의 표준 모형이다. 최소 무한 순서수를 $\omega$ 로 쓰면, $V_\omega$ 는 계승적 유한 집합들의 집합이 되며, 이는 무한 공리를 가정하지 않는 집합론의 모형을 이룬다. $\kappa$ 가 도달 불가능한 기수일 경우 $V_\kappa$ 는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 모형이며, $V_{\kappa+1}$ 은 모스-켈리 집합론의 모형이다. 이러한 꼴의 $V_\kappa$ 를 그로텐디크 전체라고 한다.

4.3. 구성 가능 전체

$Q=\operatorname{Def}_{A_1,\dots,A_n}$ (정의 가능 멱집합 연산)일 때, $Q^\alpha(X)$ 는 $L_\alpha[A_1,\dots,A_n](X)$ 로 표기하며, $L(X)=Q^{\operatorname{Ord}}(X)$ 를 $X$ -구성 가능 집합(X-constructible universe^영어)이라고 한다. 흔히 $X=\varnothing$ 일 경우 $L[A_1,A_2,\dots,A_n](\varnothing)=L$ 로 표기하며, $n=0$ 일 경우 흔히 $L(X)$ 로 표기한다.

4.4. 이름 (강제법)

임의의 집합 $X$ 가 주어졌다고 할 때, 연산
: $Q\colon S\mapsto\mathcal P(S\times X)$
에 대한 누적 위계를 $X$ -이름 위계(hierarchy of $X$ -names^영어)라고 하며, $\operatorname{Name}_{X,\alpha}$ 로 표기한다. 이 개념은 강제법에 핵심적으로 사용된다.

4.5. 기타 예시

* 폰 노이만 우주는 누적 위계 $\mathrm{V}_\alpha$ 로부터 구성된다.
* 구성적 우주의 집합 $\mathrm{L}_\alpha$ 는 누적 위계를 형성한다.
* 강제법에 의해 구성된 부울값 모델은 누적 위계를 사용하여 구성된다.
* 기초 공리를 만족하지 않을 수도 있는 집합론 모델에서 잘 기초된 집합은 그 합집합이 기초 공리를 만족하는 누적 위계를 형성한다.

5. 역사

주세페 페아노는 1889년에 모든 대상들의 모임을 나타내는 개념을 제시했고, 존 폰 노이만은 1928년에 초한 귀납법을 도입하였다. 에른스트 체르멜로는 1930년에 폰 노이만 전체를 최초로 도입하였다.

5.1. 주세페 페아노

주세페 페아노는 1889년에 참 또는 모든 대상들의 모임을 vērum^라틴어(참)의 머리글자 V로 나타내었다. (페아노는 명제와 이로부터 정의되는 모임을 구별하지 않았다.)

5.2. 존 폰 노이만

존 폰 노이만은 1928년에 초한 귀납법을 도입하였으나, 구성 가능 전체를 도입하지는 않았다.

5.3. 에른스트 체르멜로

존 폰 노이만이 1928년에 초한 귀납법을 도입하였으나, 폰 노이만은 구성 가능 전체를 도입하지 않았다. 곧 에른스트 체르멜로가 1930년에 이를 사용하여 폰 노이만 전체를 최초로 도입하였다.