이산시간 푸리에 변환

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. DTFT 정의
- 2.2. 역변환
3. 샘플링과의 관계
- 3.1. 주기성
4. 유한 시퀀스
- 4.1. 영점 채우기 (Zero-Padding)
5. 다른 푸리에 변환과의 관계
- 5.1. 푸리에 변환 종류
6. Z-변환과의 관계
7. 이산 시간 푸리에 변환표
- 7.1. 기본 신호 DTFT
- 7.2. 특수 함수 DTFT
8. 특성
참조

1. 개요

이산시간 푸리에 변환(DTFT)은 이산 신호의 주파수 성분을 분석하는 데 사용되는 수학적 도구이다. DTFT는 이산 신호 x[n]을 주파수 영역의 연속 함수 X(ω)로 변환하며, 역변환을 통해 주파수 영역 표현으로부터 원래의 이산 신호를 복원할 수 있다. DTFT는 샘플링된 신호의 분석에 중요한 역할을 하며, 샘플링 정리와 밀접한 관련이 있다. DTFT는 유한 시퀀스, 다른 푸리에 변환과의 관계, Z-변환과의 관계를 가지며, 선형성, 시간 이동, 주파수 이동, 컨볼루션, 대칭성 등 다양한 특성을 활용하여 신호 처리 시스템을 설계하고 분석하는 데 사용된다.

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이산시간 푸리에 변환
개요
종류	푸리에 해석
분야	수학, 신호 처리
관련 변환	푸리에 변환, 이산 푸리에 변환
정의
정의	주기적인 샘플링된 신호의 주파수 성분을 나타내는 푸리에 해석의 한 종류이다. 이산 시간 영역에서 정의된 신호에 적용된다.
수식	X(e^(jω)) = Σ[n=-∞ to ∞] x[n]e^(-jωn)
속성
선형성	선형적이다. 즉, 입력 신호의 선형 조합에 대한 DTFT는 개별 DTFT의 동일한 선형 조합과 같다.
시간 이동	시간 이동은 DTFT에 선형 위상 항을 곱하는 것에 해당한다.
주파수 이동	주파수 이동은 원래 신호에 복소 지수 함수를 곱하는 것에 해당한다.
컨볼루션 정리	두 신호의 컨볼루션의 DTFT는 각 신호의 DTFT의 곱이다.
파시발 정리	신호의 에너지 (또는 전력)는 시간 영역과 주파수 영역 모두에서 동일하다.
활용
활용 분야	디지털 신호 처리 오디오 처리 이미지 처리 통신 시스템
기타
관련 항목	이산 푸리에 변환 고속 푸리에 변환 Z 변환

2. 정의

실수 또는 복소수로 구성된 이산 신호 $x[n]$ 에 대한 DTFT는 다음과 같이 정의된다.

: $X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \,e^{-i \omega n}$

DTFT는 푸아송 합산 공식에 기반을 두고 있으며, 이는 푸리에 급수로 표현되는 주기 함수가 연속 푸리에 변환의 주기적 합산임을 알려준다.^[3] 이는 다음 식으로 표현된다.

: $S_{1/T}(f) =\sum_{n=-\infty}^{\infty} s[n]\cdot e^{-i 2\pi f T n}\;= \sum_{k=-\infty}^{\infty} S\left(f - k/T\right).$

위 식에서 주기적 합산의 구성 요소는 정규화된 주파수 (샘플당 사이클)의 정수 값( $k$ 로 표시)을 중심으로 한다. 일반/물리적 주파수(초당 사이클)는 $k$ 와 샘플 속도 $f_s=1/T$ 의 곱이다. 충분히 큰 $f_s$ 의 경우, $k=0$ 항은 $[-f_s/2, f_s/2]$ 영역에서 다른 항의 앨리어싱 없이 관찰될 수 있다.

$e^{-i2\pi fTn}$ 는 $\delta(t-nT).$ 의 푸리에 변환이므로, DTFT는 다음과 같이 표현될 수 있다.

: $S_{1/T}(f) = \mathcal{F}\left \{\sum_{n=-\infty}^{\infty} s[n] \cdot \delta(t-nT)\right \}.$

변조된 디랙 콤 함수는 ''임펄스 샘플링''이라고 하는 수학적 추상화이다.^[5]

2. 1. DTFT 정의

실수 또는 복소수 값으로 구성된 이산적인 집합

x[n], \; n\in\mathbb{Z}

(

\mathbb{Z}

는 정수를 의미)이 주어졌을 때,

x[n]\,

의 '''이산 시간 푸리에 변환'''(Discrete-Time Fourier Transform, DTFT)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[3]

:

X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \,e^{-i \omega n}

이산 시간 푸리에 변환(DTFT)은 주파수 영역에서 연속적이고 주기적인 함수로 나타난다. 여기서

\omega

는 라디안/샘플 (정규화된 단위)을 갖는 각 주파수를 의미하며 주기는

2\pi

이다.

그림 1. 푸리에 변환(왼쪽 위)과 그 주기적 합산(DTFT)의 모습을 왼쪽 아래 모서리에 나타낸다. 오른쪽 아래 모서리에는 이산 푸리에 변환(DFT)으로 계산되는 DTFT의 샘플이 묘사되어 있다.

2. 2. 역변환

주파수 영역 표현

X(\omega)

로부터 원래의 이산 신호

x[n]

을 복원하는 과정을 역 DTFT라고 한다. 역변환 공식은 다음과 같다.

:

x[n] = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi} X(\omega)\cdot e^{i \omega n} \, d \omega

:

x[n] = T \int_{-\frac{1}{2T}}^{\frac{1}{2T}} X_T(f)\cdot e^{i 2 \pi f nT}\, df

위 식에서 적분 구간은 DTFT의 한 주기 전체를 나타내며, 이는

\{x[n]\}

표본이 DTFT의 푸리에 급수 전개 계수임을 의미한다. 무한 구간 적분의 경우, 이 변환은 일반적인 푸리에 변환의 역변환이 되어 디랙의 델타 함수도 복원된다.

:

\int_{-\infty}^\infty X_T(f)\cdot e^{i 2 \pi f t}\, df = x_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\cdot \delta(t - n T)

3. 샘플링과의 관계

DTFT는 연속 시간 푸리에 변환과 밀접한 관련이 있으며, 연속 시간 신호 $x(t)\,$ 를 샘플링하여 얻은 이산 신호 $x[n]$ 에 적용된다. 샘플링 간격을 $T$ 라고 할 때, 각 표본의 시간은 $t = nT$ 이며, $1/T = f_s$ 는 샘플링 주파수가 된다.

샘플링 정리에 따라, DTFT는 원래 연속 시간 신호의 주파수 성분 $X(f)$ 를 $f_s$ 간격으로 주기적으로 반복하여 나타낸다. 이는 디랙 콤 함수 변조를 통해 표현할 수 있다.

: $\Delta_T(t) = T\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) \$

변조된 콤 함수는 다음과 같다.

: $x_\mathrm{T}(t) = T \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT)\, \delta(t - n T)$

이 함수의 푸리에 변환은 $f_s$ 간격으로 중첩된 $X(f)$ 의 복사본의 총합이 된다.

: $X_\mathrm{T}(f) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} X(f - {k f_s})$

이는 주기 함수의 DTFT이며, 특정 조건 하에서 k=0 항에서는 다른 항으로부터의 왜곡(앨리어싱)이 거의 관측되지 않는다.

다음 관계가 성립한다.

: $x[n] = T\cdot x(nT)\,$

: $\omega = 2\pi f T = 2\pi \left( \frac{f}{f_s}\right) \,$

즉, $X_\mathrm{T}(f)\,$ 는 $X(\omega)\,$ 와 같다. 여기서 $f$ 는 통상 주파수(단위 시간당 주기 수), $f_s$ 는 샘플링 주파수(단위 시간당 표본 수)이므로, $f/f_s$ 는 "표본당 주기 수"를 의미하는 정규화 주파수이다. $\omega$ 또한 정규화 주파수이지만, "표본당 라디안" 단위를 가진다.

푸아송 합산 공식은 주기 함수로 표현되는 푸리에 급수가 연속 푸리에 변환의 주기적 합산임을 알려준다. 충분히 큰 $f_s$ 의 경우, $k=0$ 항은 $[-f_s/2, f_s/2]$ 영역에서 다른 항의 왜곡 없이 관찰될 수 있다(앨리어싱 방지). 그림 1은 앨리어싱을 방지하기에 $1/T$ 가 충분히 크지 않은 예를 보여준다.

3. 1. 주기성

DTFT는 주파수 영역에서 주기적인 특성을 가지며, 이는 샘플링 과정에서 발생하는 앨리어싱 현상과 관련이 있다.

x(t)\,

의 샘플링에 의해 이산시간 푸리에 변환(DTFT)의 스펙트럼은 주기적으로 된다. 통상의 주파수

f\,

(단위 시간당 주기 수)에서 그 주기는 샘플링 주파수

f_s\,

이다. 정규화 주파수

f / f_s\,

(표본당 주기 수)에서는 그 주기는 1이다.

\omega\,

(샘플당 라디안)에서 주기는

2\pi

이고,

e^{-i \omega n}\,

의 주기성을 직접 따른다. 즉,

:

e^{-i (\omega + 2\pi k) n} = e^{-i \omega n}\,

이며, 여기서 n, k는 임의의 정수이다. 따라서,

:

X(\omega + 2\pi k) = X(\omega)\,

이다.

4. 유한 시퀀스

실제 응용에서는 유한한 길이의 이산 신호를 다루는 경우가 많다. 따라서 이산시간 푸리에 변환(DTFT)을 계산할 때 유한 시퀀스를 사용한다. 유한 시퀀스의 DTFT는 이산 푸리에 변환(DFT)으로 계산할 수 있으며, 이는 고속 푸리에 변환(FFT) 알고리즘을 통해 효율적으로 계산할 수 있다.^[1]

DTFT의 수치해석에는 유한한 길이의 시퀀스가 필요하며, 실제로 긴 시퀀스는 구형파의 창 함수로 수정하여 사용한다. 수정된 시퀀스의 길이를 $L$이라고 하면 다음과 같이 표현된다.

: $X(\omega) = \sum_{n=0}^{L-1} x[n] \,e^{-i \omega n}\,$

이는 수정 전 시퀀스 스펙트럼의 근사치로 사용되며, 해상도는 $L$을 증가시켜 개선할 수 있다.

$X(\omega)$를 $(2\pi)$의 한 주기 위에 균일하게 분포하는 임의의 $(N)$개의 주파수에서 평가하는 것이 일반적이다.

: $\omega_k = \frac{2 \pi }{N} k\,$ , ($k = 0, 1, \dots, N-1 $)

따라서, 다음과 같은 식을 얻는다.

: $X[k] = X(\omega_k) = \sum_{n=0}^{L-1} x[n] \,e^{-i 2 \pi \frac{k}{N} n}$

$N \ge L\,$일 때, $n \ge L\,$에 대해 $x[n] = 0\,$으로 정의하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \,e^{-i 2 \pi \frac{k}{N} n}$

이처럼 변형하면 $X[k]\,$ 시퀀스는 이산 푸리에 변환(DFT)이 된다. $N$은 DTFT를 샘플링할 때의 해상도이고, $L$은 DTFT 자체의 고유 해상도이다. 보통 $N > L$을 선택하는데, 이는 DFT 계산에 고속 푸리에 변환(FFT) 알고리즘을 이용하기 위해서이다.

$N > L$이 일반적임을 보이기 위해 다음의 시퀀스를 고려한다.

: $x[n] = e^{i 2\pi \frac{1}{8} n}$ , 여기서 $L=64$

위의 두 그림은 서로 다른 크기의 DFT를 나타낸다. 두 경우 모두 지배적인 주파수 성분은 $f = \begin{matrix} \frac{1}{8}\end{matrix} = 0.125\,$이다. 오른쪽 그림에 나타난 패턴은 $L=64$인 구형파 창 함수의 스펙트럼 누설이다. 왼쪽 그림은 오른쪽 그림에서 0과 교차하는 점을 샘플링한 결과가 겹쳐져 나타난다. 이는 유한한 길이의 시퀀스 DTFT라기보다는, 무한히 이어지는 정현파와 같은 인상을 준다. 이러한 그림이 되는 원인은 구형파 창 함수의 사용과, 64개의 샘플 당 8개라는 정수 개의 주기가 되도록 주파수를 선택했기 때문이다.

4. 1. 영점 채우기 (Zero-Padding)

DTFT(이산시간 푸리에 변환)의 수치해석에는 유한한 길이의 시퀀스가 필요하다. 실제로는 긴 시퀀스를 구형파의 창 함수로 수정하여 사용하며, 수정된 시퀀스의 길이를

L

이라고 하면 다음과 같이 표현된다.^[1]

:

X(\omega) = \sum_{n=0}^{L-1} x[n] \,e^{-i \omega n}\,

이는 수정 전 시퀀스 스펙트럼의 근사치로 사용되며, 해상도는

L

을 증가시켜 개선할 수 있다.^[1]

일반적으로

X(\omega)

는

(2\pi)

의 한 주기 위에 균일하게 분포하는

N

개의 주파수에서 평가한다.^[1]

:

\omega_k = \frac{2 \pi }{N} k\,

, (

k =  0, 1, \dots, N-1 \,

)

따라서 다음과 같은 식을 얻는다.^[1]

:

X[k] = X(\omega_k) = \sum_{n=0}^{L-1} x[n] \,e^{-i 2 \pi \frac{k}{N} n}

N \ge L\,

일 때,

n \ge L\,

에 대해

x[n] = 0\,

으로 정의하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]

:

X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \,e^{-i 2 \pi \frac{k}{N} n}

이 변형된

X[k]\,

시퀀스는 이산 푸리에 변환(DFT)이 된다.

N

은 DTFT를 샘플링할 때의 해상도이고,

L

은 DTFT 자체의 고유 해상도이다. 보통

N > L

을 선택하는데, 이는 DFT 계산에 고속 푸리에 변환 알고리즘을 이용하기 위해서이다. 이를 "영점 채우기 DFT" 또는 "보간 DFT"라고도 한다.

N < L

인 경우의 DTFT도 계산할 수 있지만, 이 경우에는 DFT와 같지 않다.^[1]

N > L

이 일반적인 경우를 보이기 위해,

L=64

인 시퀀스

x[n] = e^{i 2\pi \frac{1}{8} n}

를 생각해보자.^[1]

위 두 그림은 서로 다른 크기의 DFT를 나타낸다. 두 경우 모두 지배적인 주파수 성분은

f = \begin{matrix} \frac{1}{8}\end{matrix} = 0.125\,

이다. 오른쪽 그림의 패턴은

L=64

인 구형 창 함수의 스펙트럼 누설이다. 왼쪽 그림은 오른쪽 그림에서 0과 교차하는 점을 샘플링한 결과가 겹쳐져 나타난다. 이는 유한한 길이의 시퀀스 DTFT보다는 무한히 계속되는 정현파와 같은 인상을 준다. 이러한 현상은 구형 창 함수를 사용하고, 64개의 샘플 당 8개의 주기를 갖는 주파수(

\begin{matrix} \frac{1}{8}\end{matrix} = \begin{matrix} \frac{8}{64}\end{matrix}

)를 선택했기 때문이다.^[1]

5. 다른 푸리에 변환과의 관계

DTFT는 푸리에 급수와 밀접하게 관련되어 있다. DTFT는 푸리에 급수의 역변환으로, 연속적이지만 주기적인 입력과 이산 스펙트럼을 갖는다는 특징이 있다. 푸리에 급수는 주기적인 입력을 다루는 반면, DTFT는 이산적인 입력을 다룬다는 점에서 응용 분야가 다르다.

연속 푸리에 변환의 관점에서 보면, 입력 데이터의 특성에 따라 DTFT, 푸리에 급수, 이산 푸리에 변환(DFT) 등으로 구분할 수 있다.

입력이 이산적이면, 푸리에 변환은 DTFT가 된다.
입력이 주기적이면, 푸리에 변환은 푸리에 급수가 된다.
입력이 이산적이고 주기적이면, 푸리에 변환은 DFT가 된다.^[3]

시간 영역에서 s(t)를 연속 함수라고 할 때, 연속 푸리에 변환은 다음과 같이 정의된다.

:

S(f) \triangleq \int_{-\infty}^\infty s(t)\cdot e^{-i 2\pi ft} dt.

여기서 f는 주파수(헤르츠 단위), t는 시간(초 단위)을 나타낸다.

s(t)를 T초 간격으로 샘플링하면 적분을 합으로 나타낼 수 있다. 이를 통해 DTFT의 한 형태를 얻을 수 있다.

:

S_{1/T}(f) \triangleq \sum_{n=-\infty}^{\infty} \underbrace{T\cdot s(nT)}_{s[n]}\ e^{-i 2\pi f T n}.

이는 푸리에 급수(주파수 영역에서)이며, 연속 주기 함수이고 주기는 샘플링 주파수 1/T이다.

DTFT는 푸아송 합산 공식을 통해 연속 푸리에 변환의 주기적 합산으로 표현될 수 있다.^[3]

충분히 큰 샘플링 주파수에서는 앨리어싱 없이 특정 주파수 영역을 관찰할 수 있다. 위 그림은 앨리어싱이 발생하는 경우를 보여준다.

입력 데이터 시퀀스가 N-주기일 때, DTFT는 이산 푸리에 변환(DFT)으로 계산될 수 있다.^[3]

5. 1. 푸리에 변환 종류

푸리에 변환은 입력 신호의 특성에 따라 여러 종류로 나뉜다. 입력 신호가 이산적인지 연속적인지, 주기적인지 비주기적인지에 따라 다른 변환을 사용해야 한다.

이산 시간 푸리에 변환 (DTFT): 입력이 이산적일 때 사용한다. DTFT는 기본적으로 푸리에 급수의 역변환이며, 연속적이지만 주기적인 입력과 이산 스펙트럼을 가진다.
푸리에 급수: 입력이 주기적일 때 사용한다.
이산 푸리에 변환 (DFT): 입력이 이산적이고 주기적일 때 사용한다.

DFT와 DTFT는 연속 푸리에 변환을 이산 데이터에 적용하려는 시도에서 비롯된 것으로 볼 수 있다. 이러한 관점에서 보면 입력 형식만 다를 뿐 변환 자체는 동일하다고 볼 수 있다.

6. Z-변환과의 관계

DTFT는 Z-변환의 특수한 경우이다. 양측 Z-변환은 다음과 같이 정의된다.

: $X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \,z^{-n}$

DTFT는 $z = e^{i \omega}\,$ 인 경우인데, 이때 $|e^{i \omega}| = 1\,$ 이다. 이는 복소평면에서의 단위 원 부근에서 Z-변환을 평가하는 것이다.^[3]

$S_{2\pi}(\omega)$ 는 푸리에 급수이며, 양방향 Z 변환의 관점에서 다음과 같이 표현될 수 있다.

: $S_{2\pi}(\omega) = \left. S_z(z) \, \right|_{z = e^{i \omega}} = S_z(e^{i \omega}),$

여기서 $S_z$ 표기는 Z 변환을 푸리에 변환과 구별한다. 따라서 Z 변환의 일부를 푸리에 변환의 관점에서 표현할 수도 있다.

: $\begin{align}S_z(e^{i \omega}) &= \ S_{1/T}\left(\tfrac{\omega}{2\pi T}\right)\ = \ \sum_{k=-\infty}^{\infty} S\left(\tfrac{\omega}{2\pi T} - k/T\right)\\&= \sum_{k=-\infty}^{\infty} S\left(\tfrac{\omega - 2\pi k}{2\pi T} \right).\end{align}$

7. 이산 시간 푸리에 변환표

이산 시간 푸리에 변환(DTFT)은 이산 신호를 주파수 영역에서 분석하는 데 사용되는 중요한 도구이다. 다음은 일반적인 이산 신호와 그에 해당하는 DTFT를 표로 정리한 것으로, DTFT 계산 및 분석에 활용할 수 있다.

$n$ 은 이산 시간 영역(표본)을 나타내는 정수이다.
$\omega$ 는 $(-\pi, \pi)$ 범위 내의 실수이며, 연속 각 주파수(표본당 라디안)를 나타낸다.
* 그 외 $(|\omega| > \pi)$ 의 변환은 $X(\omega + 2\pi k) = X(\omega)$ 로 정의된다.
$u[n]$ 은 이산 시간 단위 계단 함수이다.
$\operatorname{sinc}(t)$ 은 정규화 싱크 함수이다.
$\delta(\omega)$ 은 디랙 델타 함수이다.
$\delta[n]$ 은 크로네커 델타 $\delta_{n,0}$ 이다.
$\operatorname{rect}(t)$ 은 임의의 실수값 ''t''에 관한 구형 함수이다.
$\mathrm{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases}$

0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\[3pt] \frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\[3pt] 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2} \end{cases}

$\operatorname{tri}(t)$ 는 임의의 실수값 ''t''에 관한 삼각형 함수이다.
$\operatorname{tri}(t) = \land(t) = \begin{cases}$

1 + t; & -1 \leq t \leq 0 \\1 - t; & 0 < t \leq 1 \\0 & \mbox{otherwise}\end{cases}

7. 1. 기본 신호 DTFT

x[n] \,

주파수 영역

X(\omega) \,

비고

\delta [n] \!

1 \!

\delta [n - M] \!

e^{-i \omega M} \!

M은 정수

\sum_{m = -\infty}^{\infty} \delta[n - M m] \,

\sum_{m = -\infty}^{\infty} e^{-i \omega M m} = \frac{1}{M}\sum_{k = -\infty}^{\infty} \delta \left( \frac{\omega}{2\pi} - \frac{k}{M} \right) \,

M은 정수

u[n]\!

\frac{1}{1-e^{-i \omega}} \!

e^{-ian} \!

2\pi \delta (\omega + a)  \,

a는 실수

\cos (a n) \!

\pi \left[ \delta (\omega - a) + \delta (\omega + a) \right]

a는 실수

\sin (a n) \!

\frac{\pi}{i} \left[ \delta (\omega - a) - \delta ( \omega + a) \right]

a는 실수

\mathrm{rect} \left[ { ( n - M/2 ) \over M  } \right]

{ \sin[ \omega (M+1) / 2 ] \over \sin( \omega / 2 ) } \,  e^{ -i \omega M / 2 }

M은 정수

\operatorname{sinc} [(a + n)]

e^{i a \omega} \!

a는 실수

W\cdot \operatorname{sinc}^2(W n)\,

\operatorname{tri} \left( { \omega \over 2\pi W } \right)

W는 실수,

0 < W \le 0.5

W\cdot \operatorname{sinc} [ W (n + a)]

\operatorname{rect} \left( { \omega \over 2\pi W } \right) \cdot e^{j a \omega}

W, a는 실수,

0 < W \le 1

j \omega 미분 회로 필터로 기능 \frac{W}{(n + a)} \left\{ \cos [ \pi W (n+a)] - \operatorname{sinc} [ W (n+a)] \right\} j \omega \cdot \operatorname{rect} \left( { \omega \over \pi W } \right) e^{j a \omega}

W,a는 실수,

0 < W \le 1

\frac{1}{\pi n^2} [(-1)^n - 1]

>\omega | \!

힐베르트 변환 \frac{C (A + B)}{2 \pi} \cdot \operatorname{sinc} \left[ \frac{A - B}{2\pi} n \right] \cdot \operatorname{sinc} \left[ \frac{A + B}{2\pi} n \right] --

A, B는 실수, C는 복소수

특성	시간 영역 $x[n] \!$	주파수 영역 $X(\omega) \!$	비고
선형성	$a x[n] + b y[n] \!$	$a X(e^{i \omega}) + b Y(e^{i \omega}) \!$
시간 이동	$x[n - k] \!$	$X(e^{i \omega}) e^{-i \omega k} \!$	k는 정수
주파수 이동 (변조)	$x[n]e^{ian} \!$	$X(e^{i (\omega-a)}) \!$	a는 실수
시간 반전	$x[- n] \!$	$X(e^{-i \omega}) \!$
시간 켤레	$x[n]^* \!$	$X(e^{-i \omega})^* \!$
시간 반전과 켤레	$x[-n]^* \!$	$X(e^{i \omega})^* \!$
주파수 미분	$\frac{n}{i} x[n] \!$	$\frac{d X(e^{i \omega})}{d \omega} \!$
주파수 적분	$\frac{i}{n} x[n] \!$	$\int_{-\pi}^{\omega} X(e^{i \vartheta}) d \vartheta \!$
시간 합성곱	$x[n] * y[n] \!$	$X(e^{i \omega}) \cdot Y(e^{i \omega}) \!$
시간 곱셈	$x[n] \cdot y[n] \!$	$\frac{1}{2 \pi} X(e^{i \omega}) * Y(e^{i \omega}) \!$
상관 관계	$\rho_{xy} [n] = x[-n]^* * y[n] \!$	$R_{xy} (\omega) = X(e^{i \omega})^* \cdot Y(e^{i \omega}) \!$

특성	시간 영역 $x[n] \!$	주파수 영역 $X(\omega) \!$	비고
선형성	$a x[n] + b y[n] \!$	$a X(e^{i \omega}) + b Y(e^{i \omega}) \!$
시간 이동	$x[n - k] \!$	$X(e^{i \omega}) e^{-i \omega k} \!$	k는 정수
주파수 이동 (변조)	$x[n]e^{ian} \!$	$X(e^{i (\omega-a)}) \!$	a는 실수
시간 반전	$x[- n] \!$	$X(e^{-i \omega}) \!$
시간 켤레	$x[n]^* \!$	$X(e^{-i \omega})^* \!$
시간 반전과 켤레	$x[-n]^* \!$	$X(e^{i \omega})^* \!$
주파수 미분	$\frac{n}{i} x[n] \!$	$\frac{d X(e^{i \omega})}{d \omega} \!$
주파수 적분	$\frac{i}{n} x[n] \!$	$\int_{-\pi}^{\omega} X(e^{i \vartheta}) d \vartheta \!$
시간 합성곱	$x[n] * y[n] \!$	$X(e^{i \omega}) \cdot Y(e^{i \omega}) \!$
시간 곱셈	$x[n] \cdot y[n] \!$	$\frac{1}{2 \pi} X(e^{i \omega}) * Y(e^{i \omega}) \!$
상관 관계	$\rho_{xy} [n] = x[-n]^* * y[n] \!$	$R_{xy} (\omega) = X(e^{i \omega})^* \cdot Y(e^{i \omega}) \!$

이산시간 푸리에 변환

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7. 2. 특수 함수 DTFT

8. 특성

8. 1. 기본 특성

8. 2. 컨볼루션 특성

8. 3. 대칭성

참조