이십사각형

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1. 개요
2. 이십사각형의 성질
3. 정이십사각형
- 3.1. 작도 가능성
- 3.2. 십이각형과의 관계
4. 관련 다각형
5. 이십사각형의 활용
- 5.1. 원주율 근사
- 5.2. 조노곤 분할
참조

1. 개요

이십사각형은 24개의 변과 꼭짓점을 가진 다각형이다. 정이십사각형은 슐레플리 기호 {24}로 표시되며, 절단된 십이각형, 두 번 절단된 육각형, 세 번 절단된 삼각형으로 구성될 수 있다. 한 내각은 165°이며, 외각은 15°이다. 면적은 변의 길이를 t라고 할 때, 6t²(2 + √2 + √3 + √6)로 계산된다. 정이십사각형은 육각형, 십이각형, 사십팔각형, 구십육각형과 함께 원주율 π의 다각형 근사에서 나타나며, 작도가 가능하다. 또한 정규 이십사각형 외에도 별 모양 이십사각형, 엇각 이십사각형 등이 존재한다.

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이십사각형
개요
종류	다각형
변의 수	24
꼭짓점의 수	24
슈뢰플리 기호	{24}
콕서터 다이어그램
대칭군	D24
넓이	A = 6a^2 cot(π/24) ≈ 45.5745 a^2
정이십사각형
특징	변과 각이 모두 동일함 내각의 크기: 165°
활용
정이십사각형의 예시

2. 이십사각형의 성질

정이십사각형은 정다각형의 일종으로, 24개의 변과 24개의 각을 가진 도형이다. 정이십사각형은 슐레플리 기호 {24}로 표시되며, 절단된 십이각형(t{12}), 두 번 절단된 육각형(tt{6}), 세 번 절단된 삼각형(ttt{3})으로 구성될 수도 있다.

정이십사각형은 육각형, 십이각형, 사십팔각형, 구십육각형과 함께 아르키메데스의 원주율(π) 근삿값 계산에 사용되었다.^[1]

2. 1. 내각과 외각

정 정 이십사각형의 한 내각은 165°이며, 한 외각은 15°이다. 중심각과 외각은 15°이며, 내각은 165°이다.^[1]

코사인(

\cos (2\pi/24)

) 값은 다음과 같이 유리수와 제곱근으로 나타낼 수 있다.^[2]

:

\cos\frac{2\pi}{24} = \cos\frac{\pi}{12} = \frac {1}{4} \left( \sqrt{6} + \sqrt{2} \right) = \frac {1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{3}} = \frac {\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}

또한, 코사인(

\cos (2\pi/24)

) 값은 다음과 같이 세제곱근으로 나타낼 수 있다.^[3]

:

\cos\frac{2\pi}{24} = \frac {1}{2} \left( \sqrt[3]{\frac {1+i}{\sqrt{2}}} + \sqrt[3]{\frac {1-i}{\sqrt{2}}} \right)

2. 2. 넓이

한 변의 길이가 ''t''인 정이십사각형의 넓이 ''A''는 다음과 같다.

:

A = 6t^2 \cot \frac{\pi}{24} = {6}t^2(2+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}) \simeq 45.57452 a^2

2. 3. 대칭성

정이십사각형의 대칭. 꼭짓점은 대칭 위치에 따라 색칠되어 있다. 파란색 거울은 꼭짓점을 통과하도록 그려져 있고, 보라색 거울은 모서리를 통과하도록 그려져 있다. 회전 순서는 중앙에 주어진다.

정이십사각형은 Dih₂₄ 대칭이며, 그 차수는 48이다. 7개의 부분군 이면각 대칭: (Dih₁₂, Dih₆, Dih₃), (Dih₈, Dih₄, Dih₂, Dih₁)과 8개의 순환군 대칭: (Z₂₄, Z₁₂, Z₆, Z₃), (Z₈, Z₄, Z₂, Z₁)이 있다.

이십사각형에서 이 16개의 대칭은 22개의 서로 다른 대칭으로 나타낼 수 있다. 존 콘웨이는 이 대칭들을 문자와 군의 차수로 표기했다.^[2] 정규 형태의 전체 대칭은 '''r48'''이며, 대칭이 없는 경우는 '''a1'''으로 표기한다. 이면각 대칭은 꼭짓점을 통과하는지('''d'''는 대각선), 모서리를 통과하는지('''p'''는 수직선)에 따라 구분하고, 반사선이 모서리와 꼭짓점 모두를 통과할 때는 '''i'''로 구분한다. 중앙 열의 순환 대칭은 중심 회전 차수에 대해 '''g'''로 표기한다.

각 부분군 대칭은 불규칙한 형태에 대해 하나 이상의 자유도를 허용한다. '''g24''' 부분군만이 자유도가 없지만, 방향 모서리로 볼 수 있다.

3. 정이십사각형

정정이십사각형은 슐레플리 기호 {24}로 표시되며, 절단된 십이각형 t{12}, 두 번 절단된 육각형 tt{6}, 세 번 절단된 삼각형 ttt{3}으로 구성될 수 있다. 정이십사각형의 한 내각은 165°이며, 외각은 15°이다.

정 이십사각형의 면적(''A'')은 변의 길이를 ''t''라고 할 때 다음과 같다.

: $A = 6t^2 \cot \frac{\pi}{24} = {6}t^2(2+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}).$

아르키메데스는 육각형, 십이각형, 이십사각형, 사십팔각형, 구십육각형을 이용하여 원주율 π의 근사값을 계산했다.

한 변의 길이가 ''a''인 정24각형의 면적 ''S''는 다음과 같다.

: $S = \frac{24}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{24} = 6 (2+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}) a^2 \simeq 45.57452 a^2$

$\cos (2\pi/24)$ 는 유리수와 제곱근으로 나타낼 수 있다.

: $\cos\frac{2\pi}{24} = \cos\frac{\pi}{12} = \frac {1}{4} \left( \sqrt{6} + \sqrt{2} \right) = \frac {1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{3}} = \frac {\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$

$\cos (2\pi/24)$ 를 세제곱근으로 나타내면 다음과 같다.

: $\cos\frac{2\pi}{24} = \frac {1}{2} \left( \sqrt[3]{\frac {1+i}{\sqrt{2}}} + \sqrt[3]{\frac {1-i}{\sqrt{2}}} \right)$

3. 1. 작도 가능성

정이십사각형은 작도 가능한 다각형이며 삼등분선을 사용하여 작도할 수 있다.^[1] 십이각형을 절단한 도형이므로, 정십이각형의 변을 이등분하여 작도할 수 있다. 정24각형은 자와 컴퍼스를 이용한 작도가 가능한 도형이다.

3. 2. 십이각형과의 관계

십이각형을 절단하여 만들 수 있으며, 정십이각형의 변을 이등분하여 정이십사각형을 작도할 수 있다.^[1]

4. 관련 다각형

정삼각형, 정팔각형, 정이십사각형은 평면의 한 꼭짓점을 완전히 채울 수 있다.

정규 십이각형{12}과 십이각성{12/5}을 더 깊이 절단하여 구성된 이등각 다각형 정이십사각형도 있으며, t{12/11}={24/11}, t{12/7}={24/7}의 두 가지 준절단을 생성한다.^[4]

정규 십이각형 및 십이각성의 이등각 절단
준정규	이등각	준정규
t{12}={24}		t{12/11}={24/11}
t{12/5}={24/5}		t{12/7}={24/7}

4. 1. 별 모양 이십사각형

정 이십사각형은 24개의 변을 가진 별 다각형이다. 슐래플리 기호로 표시되는 {24/5}, {24/7}, {24/11}의 3가지 정규 형태가 있다. 동일한 꼭짓점 배열을 사용하는 2{12}, 3{8}, 4{6}, 6{4}, 8{3}, 3{8/3}, 2{12/5}의 7가지 정규 별 모양도 있다.

형태	볼록 다각형	합성물			별 다각형	합성물
이미지	{24/1}={24}	{24/2}=2{12}	{24/3}=3{8}	{24/4}=4{6}	{24/5}	{24/6}=6{4}
내각	165°	150°	135°	120°	105°	90°
형태	별 다각형	합성물			별 다각형	합성물
이미지	{24/7}	{24/8}=8{3}	{24/9}=3{8/3}	{24/10}=2{12/5}	{24/11}	{24/12}=12{2}
내각	75°	60°	45°	30°	15°	0°

정규 십이각형 {12}과 십이각성 {12/5}을 더 깊이 절단하여 구성된 이등각 다각형 정이십사각형도 있으며, t{12/11}={24/11}, t{12/7}={24/7}의 두 가지 준절단을 생성한다.^[4]

4. 2. 엇각 이십사각형

엇각 이십사각형은 같은 평면에 존재하지 않는 24개의 꼭짓점과 모서리를 가진 엇각 다각형이다. 이러한 이십사각형의 내부는 일반적으로 정의되지 않는다. ''엇각 지그재그 이십사각형''은 두 평행 평면 사이에서 꼭짓점이 교대로 나타난다.

'''정규 엇각 이십사각형'''은 동일한 모서리 길이를 갖는 정점 추이이다. 3차원에서는 지그재그 엇각 이십사각형이 되며, 동일한 D_12d, [2⁺,24] 대칭, 차수 48을 가진 십이각형 반각기둥의 꼭짓점과 측면 모서리에서 볼 수 있다. 십이각성 반각기둥, s{2,24/5} 및 십이각성 교차 반각기둥, s{2,24/7}도 정규 엇각 십이각형을 갖는다.

3개의 정규 엇각 지그재그 이십사각형
{12}#{ }	{12/5}#{ }	{12/7}#{ }

정규 엇각 이십사각형은 십이각형 반각기둥, 십이각성 반각기둥, 십이각성 교차 반각기둥의 지그재그 모서리로 볼 수 있다.

4. 3. 페트리 다각형

정규 이십사각형은 여러 고차원 다포체의 페트리 다각형이며, 콕서터 평면에서 직교 투영으로 볼 수 있다.

F₄
두 번 깎은 24-포체	각진 24-포체	전체 깎은 24-포체

E₈
4₂₁ 다포체	2₄₁ 다포체	1₄₂ 다포체

5. 이십사각형의 활용

이십사각형은 아르키메데스가 원주율을 근사할 때 사용한 다각형 중 하나이다. 코세터는 모든 조노곤(마주보는 변이 평행하고 길이가 같은 2''m''-각형)이 ''m''(''m''-1)/2개의 평행사변형으로 분해될 수 있다고 설명했는데,^[3] 특히 짝수 개의 변을 가진 정다각형의 경우, 평행사변형은 모두 마름모가 된다. 정규 이십사각형은 ''m''=12이므로 66개(6개의 정사각형과 5세트의 12개의 마름모)로 나눌 수 있으며, 이 분해는 12-초입방체의 페트리 다각형 투영을 기반으로 한다.

이십사각형 마름모 분할 예시
12-초입방체
24각형 마름모 분할
24각형 마름모 분할 2
24각형 마름모 분할 x
24각형 무작위 분할

5. 1. 원주율 근사

이십사각형은 아르키메데스가 원주율 π를 근사할 때 사용한 다각형 중 하나로, 육각형(6각형), 십이각형(12각형), 사십팔각형(48각형), 구십육각형(96각형)과 함께 사용되었다.

5. 2. 조노곤 분할

코세터는 모든 조노곤(마주보는 변이 평행하고 길이가 같은 2''m''-각형)이 ''m''(''m''-1)/2개의 평행사변형으로 분해될 수 있다고 설명한다.^[3] 특히 짝수 개의 변을 가진 정다각형의 경우, 평행사변형은 모두 마름모가 된다. 정규 이십사각형의 경우, ''m''=12이므로 66개(6개의 정사각형과 5세트의 12개의 마름모)로 나눌 수 있다. 이 분해는 12-초입방체의 페트리 다각형 투영을 기반으로 한다.

예시

참조

_[1] 웹사이트 Constructible Polygon http://mathworld.wol[...]
_[2] 서적 The Symmetries of Things
_[3] 서적 Mathematical recreations and Essays
_[4] 간행물 Metamorphoses of polygons

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