십이각형

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1. 개요
2. 정십이각형의 기하학적 성질
3. 정십이각형의 작도
- 3.1. 작도 방법
4. 정십이각형의 분할
5. 정십이각형의 활용
참조

1. 개요

십이각형은 12개의 변과 꼭짓점을 가진 다각형으로, 정십이각형은 변의 길이와 내각의 크기가 모두 같은 십이각형을 의미한다. 정십이각형은 12개의 반사 대칭선과 12차 회전 대칭을 가지며, 슐레플리 기호 {12}로 표시된다. 한 변의 길이가 a인 정십이각형의 면적은 3a²(2+√3)로 계산되며, 다양한 건축물, 디자인, 동전 등에 활용된다. 또한, 정십이각형은 자와 컴퍼스를 사용하여 작도할 수 있으며, 평면을 채우는 테셀레이션에도 사용된다.

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십이각형
개요
정십이각형
종류	다각형
변의 수	12
꼭짓점의 수	12
슈트레플리 기호	{12}
성질	볼록, 등각, 등변
정십이각형
내각	150°
특징	정십이각형은 원에 내접한다.
넓이
공식	A = 3a^2 cot(π/12) = 3a^2 (2 + √3) ≈ 11.19615 a^2 (a는 한 변의 길이)
설명	정십이각형의 넓이는 한 변의 길이가 a일 때 위와 같다.
작도
설명	정십이각형은 눈금 없는 자와 컴퍼스로 작도할 수 있다. 십이각형은 2의 거듭제곱, 3과 5의 서로 다른 페르마 소수의 곱으로 표현되므로 작도 가능하다.
활용
예시	십이각형은 대한민국의 원 주화의 도안으로 사용된다.

2. 정십이각형의 기하학적 성질

정십이각형은 12개의 변과 12개의 꼭짓점을 가지며, 모든 변의 길이와 내각의 크기가 같다.

한 변의 길이가 ''R''인 세 개의 정사각형을 잘라서 외접반지름이 ''R''인 십이각형으로 재배열할 수 있으며, 이는 그 면적이 3''R''²임을 보여주는 말없는 증명이다.

<math>\cos (2\pi/12)</math>는 다음과 같이 유리수와 제곱근으로 나타낼 수 있다.

:

\cos\frac{2\pi}{12} = \cos\frac{\pi}{6} =\cos 30^\circ= \frac {\sqrt3}{2} </math>

2. 1. 내각과 외각

정십이각형의 경우, 중심각과 외각은 30°이며, 내각은 150°이다.

2. 2. 넓이

한 변의 길이가

a

인 정십이각형의 넓이는 다음과 같이 주어진다.^[1]

:

A = 3 \cot\left( \frac{\pi}{12} \right) a^2 = 3 \left( 2+\sqrt{3} \right) a^2 \simeq 11.19615242 a^2

외접원의 반지름이

R

일 때, 넓이는 다음과 같다.^[1]

:

A = 6 \sin\left( \frac{\pi}{6}\right) R^2 = 3 R^2

내접원의 반지름(아포테마)이

r

일 때, 넓이는 다음과 같다.^[1]

:

A = 12 \tan\left( \frac{\pi}{12}\right) r^2 = 12 \left( 2-\sqrt{3} \right) r^2 \simeq 3.2153903 r^2

십이각형의 스팬(span) ''S''는 두 평행한 변 사이의 거리이며, 아포테마의 두 배와 같다. 변의 길이와 스팬이 주어졌을 때 넓이를 구하는 공식은 다음과 같다.

:

A = 3aS

이는 삼각 함수 관계를 통해 확인할 수 있다.

:

S = a(1+ 2\cos{30^{\circ}} + 2\cos{60^{\circ}})

2. 3. 둘레

정십이각형의 둘레는 외접원의 반지름을 기준으로 다음과 같다.^[2]

:p = 24R tan(π/12) = 12R√(2 - √3) ≃ 6.21165708246 R

내접원을 기준으로 한 둘레는 다음과 같다.

:p = 24r tan(π/12) = 24r(2 - √3) ≃ 6.43078061835 r

이 계수는 넓이 공식에서 내접원 방정식에서 찾은 계수의 두 배이다.^[3]

2. 4. 대칭

정십이각형은 12개의 반사 대칭선과 12차 회전 대칭을 가지며, 슐레플리 기호 {12}로 표현된다.^[6] 정십이각형은 깎은 육각형 t{6} 또는 두 번 깎은 삼각형 tt{3}으로 구성될 수 있다.

존 콘웨이는 이러한 낮은 대칭을 문자와 대칭의 차수로 표시하였다. 그는 꼭짓점을 통과하는 거울 선을 갖는 '''d''' (대각선, 비대칭), 변을 통과하는 거울 선을 갖는 '''p''' (수직, 완대칭), 꼭짓점과 변 모두를 통과하는 거울 선을 갖는 '''i''' (등대칭), 회전 '''g''' (자이로대칭)를 제공하며, '''a1'''은 비대칭을 나타낸다.^[6]

정십이각형은 Dih₁₂ 대칭, 차수 24를 가지며, 15개의 뚜렷한 부분군 이면 및 순환 대칭이 있다. 각 부분군 대칭은 불규칙한 형태에 대해 하나 이상의 자유도를 허용한다. '''g12''' 부분군만 자유도가 없지만 방향 모서리로 볼 수 있다.

3. 정십이각형의 작도

정십이각형은 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 작도할 수 있는 다각형이다. 이는 12가 2의 제곱과 3의 곱(12 = 2² × 3)으로 소인수분해되기 때문이다.^[1]

3. 1. 작도 방법

정십이각형은 작도 가능한 다각형으로, 자와 컴퍼스를 사용하여 작도할 수 있다. 이는 12 = 2² × 3이기 때문이다.

4. 정십이각형의 분할

콕세터는 모든 조노곤(마주보는 변이 평행하고 길이가 같은 2''m''-각형)은 ''m''(''m''-1)/2개의 평행사변형으로 분할될 수 있다고 언급했다.^[4] 특히, 이것은 변이 짝수인 정다각형에도 적용되며, 이 경우 평행사변형은 모두 마름모이다. ''정십이각형''의 경우, ''m''=6이므로, 15개로 나눌 수 있다: 3개의 정사각형, 6개의 넓은 30° 마름모 및 6개의 좁은 15° 마름모. 이 분해는 240개 면 중 15개 면을 가진 6-초입방체의 페트리 다각형 투영에 기반한다.

15개의 마름모로의 분할
6-초입방체

수학적 조작물 패턴 블록이 사용되는 방법 중 하나는 여러 개의 다른 십이각형을 만드는 것이다.^[5] 그들은 60° 마름모 3개가 육각형으로 합쳐지거나, 반육각형 사다리꼴로 합쳐지거나, 2개의 정삼각형으로 나뉘는 마름모 분할과 관련이 있다.

다른 정다각형 분할
		소콜라 타일링	패턴 블록

5. 정십이각형의 활용

정십이각형은 건축, 디자인, 동전 등 다양한 분야에서 활용된다.

스페인 세비야의 토레 델 오로는 알모하드 왕조 시대에 건설된 십이각형 군사 망루이다. 스페인 세고비아의 베라 크루스 교회는 13세기에 지어진 십이각형 건물이며, 이탈리아 스펠로의 포르타 디 베네레(비너스의 문)에는 기원전 1세기에 지어진 두 개의 십이각형 탑이 있다.

여러 국가에서 정십이각형 모양의 동전을 사용한다.

국가	동전 종류	사용 기간
영국	쓰리페니 비트	1937년 ~ 1971년
영국	1파운드 동전	2017년 ~ 현재
호주	50센트 동전
피지	50센트
통가	50-세니티	1974년 이후
솔로몬 제도	50센트
크로아티아	25 쿠나
루마니아	5000 레이	2001년 ~ 2005년
캐나다	페니	1982년 ~ 1996년
남베트남	20 동	1968년 ~ 1975년
잠비아	50 응궤	1969년 ~ 1992년
말라위	50 탐발라	1986년 ~ 1995년
멕시코	20 센타보	1992년 ~ 2009년

아날로그 12시간 시계는 시간을 표시하는 눈금을 정십이각형의 꼭짓점에 배치하는 경우가 많다. 북반구에서는 낮 동안 시계의 짧은 바늘을 태양에 향하게 했을 때, 12시 위치와 짧은 바늘의 중간 지점이 남쪽을 가리킨다는 점을 이용해 방위를 측정할 수 있다.

페루의 쿠스코에는 12각의 돌이 있다.

5. 1. 테셀레이션

정십이각형은 다른 정다각형과 함께 평면을 채우는 테셀레이션에 사용될 수 있다.

정십이각형을 사용한 주기적 평면 테셀레이션의 예시는 다음과 같다.

1-균일		2-균일
3.12.12	4.6.12	3.12.12; 3.4.3.12

5. 2. 건축 및 디자인

정십이각형은 안정감과 균형미를 제공하여 건축 및 디자인 분야에서 다양하게 활용된다. 스페인 세비야에 있는 토레 델 오로는 알모하드 왕조에 의해 건설된 십이각형 군사 망루이다. 스페인 세고비아의 베라 크루스 교회는 13세기 초에 지어진 십이각형 건물이다. 이탈리아 스펠로의 포르타 디 베네레(비너스의 문)에는 기원전 1세기에 지어진 두 개의 십이각형 탑이 있다.

5. 3. 동전

정십이각형 모양의 동전은 여러 나라에서 사용되고 있다.

국가	동전
	쓰리페니 비트 (1937년~1971년, 법정 통화 효력 상실)
	1파운드 동전 (2017년 도입)
	호주 50센트 동전
	50센트
	50-세니티 (1974년 이후)
	50센트
	25 쿠나
	5000 레이 (2001년–2005년)
	페니 (1982년–1996년)
	20 동 (1968년–1975년)
	50 응궤 (1969년–1992년)
	50 탐발라 (1986년–1995년)
	20 센타보 (1992년-2009년)

5. 4. 기타

대문자 E, H, X (그리고 I는 슬래브 세리프 글꼴)는 십이각형의 윤곽을 가지고 있다. 십자는 십이각형이며, 쉐보레 자동차 부문의 로고도 십이각형이다.

정십이각형은 많은 건물에서 두드러지게 나타난다. 토레 델 오로는 남부 스페인 세비야에 있는 십이각형 군사 망루로, 알모하드 왕조에 의해 건설되었다. 스페인 세고비아에 있는 13세기 초 베라 크루스 교회는 십이각형이다. 또 다른 예로는 기원전 1세기에 지어진 이탈리아 스펠로의 포르타 디 베네레(비너스의 문)가 있는데, "프로페르티우스의 탑"이라고 불리는 두 개의 십이각형 탑이 있다.

정십이각형 동전은 다음과 같다.

국가	동전 종류	사용 기간
영국	쓰리페니 비트	1937년 ~ 1971년
영국	1파운드 동전	2017년 ~ 현재
호주	50센트 동전
피지	50센트
통가	50-세니티	1974년 이후
솔로몬 제도	50센트
크로아티아	25 쿠나
루마니아	5000 레이	2001년 ~ 2005년
캐나다	페니	1982년 ~ 1996년
남베트남	20 동	1968년 ~ 1975년
잠비아	50 응궤	1969년 ~ 1992년
말라위	50 탐발라	1986년 ~ 1995년
멕시코	20 센타보	1992년 ~ 2009년

아날로그 12시간 시계는 시간을 표시하는 눈금을 정십이각형의 정점에 배치하는 경우가 많다. 이 12시간 시계를 사용하면, 낮 동안 짧은 바늘을 태양에 향하게 했을 때, 12시 위치와 짧은 바늘의 중간 지점이 남쪽이라는 방위를 측정할 수 있다. (이는 북반구의 경우이며, 북회귀선과 남회귀선 사이는 특히 주의가 필요하다.)

페루의 쿠스코에 있는 12각의 돌 (그 외 13각의 돌과 14각의 돌도 있다)

참조

_[1] 문서 Kürschák's geometric proof on the Wolfram Demonstration Project http://demonstration[...]
_[2] 서적 Plane Geometry: Experiment, Classification, Discovery, Application https://books.google[...] Blakiston's Son & Company 1922
_[3] 서적 Elements of geometry https://books.google[...] Bell & Bradfute 1814
_[4] 서적 Mathematical recreations and Essays
_[5] 웹사이트 Doin' Da' Dodeca' http://mathforum.org[...]
_[6] 서적 The Symmetries of Things 2008
_[7] 간행물 Metamorphoses of polygons 1994

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