이차 형식 종수

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1. 개요

이차 형식 종수는 대수적 정수환 위의 유한 생성 자유 가군 위의 이차 형식들을 분류하는 개념이다. 두 이차 형식이 모든 국소 자리에서 동치일 경우 같은 종수에 속한다고 정의하며, 이는 하세-민코프스키 정리를 일반화한 것이다. 이차 형식 종수의 질량은 종수에 속하는 이차 형식의 수를 대칭군의 크기를 고려하여 센 것이며, 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식으로 계산할 수 있다. 또한, 스피너 종수와 같은 세분화된 분류도 존재하며, 이항 이차 형식의 경우 군 구조를 갖는다. 이차 형식 종수의 개념은 카를 프리드리히 가우스에 의해 처음 도입되었으며, 헨리 존 스티븐 스미스, 헤르만 민코프스키, 카를 루트비히 지겔 등에 의해 발전되었다.

이차 형식 종수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 질량
- 2.2. 스피너 종수
3. 성질
- 3.1. 추가 설명
4. 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식
5. 이항 이차 형식
6. 역사

2. 정의

대역체 $K$ 의 대수적 정수환 $\mathcal O_K$ 위의 유한 생성 자유 가군 $\mathcal O_K^n$ 위의 두 이차 형식 $Q$ , $Q'$ 이 다음 조건을 만족시킨다면, 같은 종수에 속한다고 한다.

* $K$ 의 모든 (유한 또는 무한) 자리 $\mathfrak p$ 에서, $Q\otimes_{\mathcal O_K}\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}$ 는 $Q'\otimes_{\mathcal O_K}\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}$ 와 동치이다. (여기서 $K_{\mathfrak p}$ 는 $\mathfrak p$ 에서의 국소체를 뜻하며, $\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}$ 는 그 대수적 정수환이다. 만약 $\mathfrak p$ 가 아르키메데스 자리라면, $\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}=K_{\mathfrak p}$ 이다.)

이는 $\mathcal O_K^n$ 위의 이차 형식들의 동치류들의 집합 위의 동치 관계를 정의한다.

이는 하세-민코프스키 정리와 유사하게, 각 유한 · 무한 소수에서의 "정수환"에서 동치인 것이다. 그러나 유리수 계수의 경우와 달리 같은 종수에 속하는 두 정수 계수 이차 형식이 서로 동치이지 않을 수 있다.

$V=K^n$ 위의 이차 형식 $Q$ 및 $V$ 속의 두 $\mathcal O_K$ -자유 가군 $L,L'\subset V$ 가 주어졌을 때, $(L,Q|_L)$ 와 $(L',Q|_{L'})$ 이 같은 종수에 속한다는 것은 각 자리 $\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 $f_{\mathfrak p}\in\operatorname O(V\otimes_KK_{\mathfrak p},Q;K_{\mathfrak p})$ 가 존재한다는 것과 같다.
: $L\otimes_KK_{\mathfrak p}=f_{\mathfrak p}(L'\otimes_KK_{\mathfrak p})\subset V\otimes_KK_{\mathfrak p}$

2.1. 질량

대역체 K의 대수적 정수환 \mathcal O_K 위의 n차원 자유 가군 \mathcal O_K^n 위의 이차 형식 종수 \mathcal G의 질량(mass^영어)은 다음과 같다.

:m(\mathcal G)=\sum_{Q\in\mathcal G}\frac1

👆

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여기서

* \sum_{Q\in\mathcal G}는 종수 g에 속한 모든 이차 형식의 동치류 Q에 대한 합이다.
* \operatorname O(n,Q;\mathbb O_K)=\{f\in\operatorname{GL}(n;\mathcal O_K)\colon Q\circ f=Q\}는 Q에 대한 직교군이다. 즉, (\mathcal O_K^n, Q)의 자기 동형군이다.
* |\cdots|는 집합의 크기이다.

즉, 질량은 종수에 속한 이차 형식의 수를 대칭군의 크기를 고려하여 센 것이다.

2.2. 스피너 종수

대역체 $K$ 가 주어졌다고 하자. $\mathcal O_K^n$ 위의 두 이차 형식
: $Q,Q'\colon\mathcal O_K^n\to\mathcal O_K$
및
: $g\in\operatorname O(n,Q;K)$
: $f_{\mathfrak p}\in\operatorname{\Omega}(n,Q;K)\qquad(\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K))$
에 대하여,
: $Q(v)=Q'\left(g(f_{\mathfrak p}(v))\right)\qquad\forall v\in K_{\mathfrak p}^n$
가 성립한다면, $Q$ 와 $Q'$ 이 같은 스피너 종수에 속한다고 한다. 여기서 $\operatorname{\Omega}(V,Q;K)=\ker\operatorname{sn}\subseteq\operatorname O(V,Q;K)$ 는 스피너 노름
: $\operatorname{sn}\colon\operatorname O(V,Q;K)\to K^\times/(K^\times)^2$
의 핵이다.

3. 성질

대역체 $K$ 의 대수적 정수환 $\mathcal O_K$ 위의 유한 생성 자유 가군 $\mathcal O_K^n$ 위의 두 이차 형식 $Q$ , $Q'$ 이 같은 종수에 속한다는 것은 $K$ 의 모든 (유한 또는 무한) 자리 $\mathfrak p$ 에서, $Q\otimes_{\mathcal O_K}\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}$ 와 $Q'\otimes_{\mathcal O_K}\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}$ 가 동치인 것이다. (여기서 $K_{\mathfrak p}$ 는 $\mathfrak p$ 에서의 국소체를 뜻하며, $\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}$ 는 그 대수적 정수환이다. 만약 $\mathfrak p$ 가 아르키메데스 자리라면, $\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}=K_{\mathfrak p}$ 이다.) 이는 $\mathcal O_K^n$ 위의 이차 형식들의 동치류들의 집합 위의 동치 관계를 정의한다.

이는 하세-민코프스키 정리와 유사하게, 각 유한 · 무한 소수에서의 "정수환"에서 동치인 것이나, 유리수 계수의 경우와 달리 같은 종수에 속하는 두 정수 계수 이차 형식이 서로 동치이지 않을 수 있다.

$V=K^n$ 위의 이차 형식 $Q$ 및 $V$ 속의 두 $\mathcal O_K$ -자유 가군 $L,L'\subset V$ 가 주어졌을 때, $(L,Q|_L)$ 와 $(L',Q|_{L'})$ 이 같은 종수에 속한다는 것은 각 자리 $\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)$ 에 대하여
: $L\otimes_KK_{\mathfrak p}=f_{\mathfrak p}(L'\otimes_KK_{\mathfrak p})\subset V\otimes_KK_{\mathfrak p}$
가 되는
: $f_{\mathfrak p}\in\operatorname O(V\otimes_KK_{\mathfrak p},Q;K_{\mathfrak p})$
가 존재한다는 것과 같다.

$\mathcal O_K$ 계수의 이차 형식들에 대하여 정의되는 동치 관계들은 다음과 같다.
: $\mathcal O_K$ -동치 → 같은 스피너 종수에 속함 → 같은 종수에 속함 → $K$ -동치 (= 모든 자리에 대하여 $K_{\mathfrak p}$ -동치)
왼쪽으로 갈 수록 더 섬세한 동치 관계이며, 오른쪽으로 갈 수록 더 엉성한 동치 관계이다.

이차 형식을 이차 형식 $Q\colon V\to K$ 가 주어진 벡터 공간 $V=\mathcal O_K^n$ 속의 격자들로 생각한다면, 이들의 정의에 등장하는 대칭군은 다음과 같다.
: $\operatorname O(n,Q;K)$ → $\operatorname O(n,Q;K)\times\prod_{\mathfrak p}'\operatorname\Omega(n,Q;K_{\mathfrak p})$ → $\prod_{\mathfrak p}'\operatorname O(n,Q;K_{\mathfrak p})$ → $\operatorname{GL}(n;K)$

종수를 정의하는 동치 관계는 아델 이론을 사용하여 아델 직교군
: $\operatorname O(V_{\mathbb A},Q)=\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)}'\operatorname O(V\otimes_KK_{\mathfrak p},Q;K_{\mathfrak p})$
로 생각할 수 있다. (여기서 $\textstyle\prod'$ 은 여유한 개의 원소가 1임을 뜻한다.)

$\operatorname O(V_{\mathbb A})$ 는 $V$ 위에 다음과 같이 작용한다. 하세-민코프스키 정리에 의하여 다음 두 집합 사이에 자연스러운 전단사 함수가 존재한다.
* $K^n$ 속의 $\mathcal O_K$ -격자 $L\subset K^n$
* 각 자리에 대한 격자들의 열 $(L_{\mathfrak p}\subseteq K_{\mathfrak p}^n)_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)}$ 가운데, 여유한 개의 $\mathfrak p$ 에 대하여 $L_{\mathfrak p}=\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}^n\subset K_{\mathfrak p}^n$ 인 것.
따라서, $(g_{\mathfrak p})_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)}\in \operatorname O(V_{\mathbb A},Q)$ 는 $L\mapsto(L_{\mathfrak p})_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)}$ 위에 다음과 같이 성분별로 작용한다.
: $(L_{\mathfrak p})_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)}\mapsto\left(g_{\mathfrak p}(L_{\mathfrak p})\right)_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)}$

이차 형식의 경우, 주어진 판별식을 갖는 형식의 동치류 집합 C에 군 구조가 존재한다. 속(genera)은 일반적 지표에 의해 정의된다. 주 속, 즉 주 형식을 포함하는 속은 정확히 부분군 C²이며, 속은 C²의 잉여류이다. 따라서 이 경우 모든 속은 동일한 수의 형식 클래스를 포함한다.

3.1. 추가 설명

같은 종수에 속한 이차 형식들은 같은 판별식을 갖는다. 따라서, 주어진 종수에 속하는 이차 형식의 동치류의 수는 유한하다.

주어진 종수에 속하는 스피너 종수의 수는 항상 2의 거듭제곱이다.

4. 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식

대역체 $K$ 의 대수적 정수환 $\mathcal O_K$ 위의 $n$ 차원 자유 가군 $\mathcal O_K^n$ 위의 이차 형식 종수 $\mathcal G$ 의 질량(mass^영어)은 다음과 같다.
: $m(\mathcal G)=\sum_{Q\in\mathcal G}\frac1$

👆

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여기서
*

\textstyle\sum_{Q\in\mathcal G}

는 종수

g

에 속한 모든 이차 형식의 동치류

Q

에 대한 합이다.
*

\operatorname O(n,Q;\mathbb O_K)=\{f\in\operatorname{GL}(n;\mathcal O_K)\colon Q\circ f=Q\}

는

Q

에 대한 직교군이다. 즉,

(\mathcal O_K^n,Q)

의 자기 동형군이다.
*

|\cdots|

는 집합의 크기이다.

즉, 질량은 종수에 속한 이차 형식의 수를 대칭군의 크기를 고려하여 센 것이다. 주어진 종수의 질량은 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식(Smith-Minkowski-Siegel質量公式, Smith–Minkowski–Siegel mass formula^영어)으로 구체적으로 계산할 수 있다.

구체적으로,

n\ge2

일 때,

\mathbb Q^n

속의

\mathbb Z

-격자

\Lambda

가 속하는 종수의 질량은 다음과 같다.
:

m(\Lambda)=2\pi^{-n(n+1)/4}\prod_{j=1}^n\Gamma(j/2)\prod_p2m_p(\Lambda)

m_p(\Lambda)=\frac{p^{(rn(n-1)+s(n+1))/2}}{N(p^r)}\qquad(r\gg1)

N(p^r)=\operatorname{Aut}_{\mathbb F_{p^r}}(Q\otimes_{\mathbb Z}\mathbb F_{p^r})=\{M\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb F_{p^r})\colon M^\top AM\}

여기서
*

\textstyle\prod_p

는 모든 소수에 대한 곱이다. (이는 항상 유한하다.)
*

(r\gg1)

은 충분히 큰

r

에 대하여 등식이 성립함을 뜻한다.
*

A

는 격자

\Lambda

의 그람 행렬이다.

이 공식은 자명한 경우인

n=0,1

일 때 성립하지 않을 수 있다. 이는 다음과 같은 점에서 기인한다.
*

m(\Lambda)

의 공식 맨 앞의 2는 특수 직교군

\operatorname{SO}(n)

의 다마가와 수(Tamagawa number^영어)인데, 이는

n<2

일 때 1이다.
*

m_p(\Lambda)

의 공식 맨 앞의 2는 지표

[\operatorname O(n):\operatorname{SO}(n)]

를 뜻한다. 이는

n=0

일 때 1이다.

5. 이항 이차 형식

이차 형식의 경우, 주어진 판별식을 갖는 형식의 동치류 집합 C에 군 구조가 존재한다. 속(genera)은 일반적 지표에 의해 정의된다. 주 속, 즉 주 형식을 포함하는 속은 정확히 부분군 C²이며, 속은 C²의 잉여류이다. 따라서 이 경우 모든 속은 동일한 수의 형식 클래스를 포함한다.

6. 역사

카를 프리드리히 가우스가 1801년에 《산술 연구》(Disquisitiones Arithmeticae^라틴어)에서 이항 이차 형식의 종수의 개념 및 용어(genus^라틴어, 복수 genera^라틴어)를 도입하였다.

1867년에 헨리 존 스티븐 스미스는 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 최초로 발견하였으나, 널리 알려지지 않았다. 1885년에 헤르만 민코프스키는 박사 학위 논문에서 임의의 이차 형식의 종수의 개념을 도입하였고, 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 재발견하였다.

카를 루트비히 지겔(1896~1982)은 1935년에 민코프스키가 제시한 질량 공식의 오류를 교정하여 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 완성하였다.

마르틴 아이클러(Martin Eichler^독일어, 1912~1992)는 스피너 종수를 사용하여 부정부호 정수 계수 이차 형식을 분류하였다.