이항식
1. 개요
이항식은 두 개의 단항식의 합으로 이루어진 다항식이다. 일변수 이항식은 a*x^m - b*x^n 형태로 표현되며, 여기서 a, b는 수, m, n은 음이 아닌 정수, x는 변수이다. 이항식은 제곱의 차, 세제곱의 합/차 등의 형태로 인수분해될 수 있으며, 이항 정리를 통해 거듭제곱을 전개할 수 있다. 또한, 이항식 제곱 공식을 활용하여 피타고라스 수를 생성할 수 있다.
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계승과 이항식 주제 -
이항 정리
이항 정리는 이변수 다항식 (x + y)ⁿ을 전개하는 공식으로, 이항 계수를 사용하며, 조합론적 증명과 수학적 귀납법을 통해 증명할 수 있고, 다양한 분야에 응용되며, 이항 급수, 다항 정리 등 일반화된 형태가 존재한다. -
계승과 이항식 주제 -
감마 분포
감마 분포는 형상 모수와 척도 모수로 정의되는 연속 확률 분포로, 확률 밀도 함수가 감마 함수로 표현되며, 베이즈 통계학에서 켤레 사전 분포로 활용되고, 형상 모수가 양의 정수일 때는 얼랑 분포를 나타낸다. -
대수학 -
다항식
다항식은 변수, 계수, 상수항으로 구성되어 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 거듭제곱 연산으로 결합된 항들의 유한한 합으로 표현되는 식이며, 대수 방정식 해를 구하는 데 중요하고 현대 수학에서 폭넓게 활용된다. -
대수학 -
상수
상수는 변하지 않는 일정한 값을 가지는 수로, 함수에서 변수와 대비되며 수식 내에서 고정된 값을 갖고, 원주율, 자연로그의 밑, 허수 i 등이 대표적인 예시이다.
2. 정의
이항식은 두 개의 단항식의 합으로 이루어진 다항식이다. 일변수 이항식은 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.
: ${\displaystyle ax^{m}-bx^{n}}$
여기서 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle b}$는 수이고, ${\displaystyle m}$과 ${\displaystyle n}$은 서로 다른 음이 아닌 정수이며, ${\displaystyle x}$는 미지수 또는 변수라고 불리는 기호이다. 로랑 다항식의 맥락에서 "로랑 이항식"은 종종 단순히 "이항식"이라고 불리며 유사하게 정의되지만, 지수 ${\displaystyle m}$과 ${\displaystyle n}$은 음수가 될 수 있다.
더 일반적으로, 이항식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
: ${\displaystyle a\,x_{1}^{n_{1}}\dotsb x_{i}^{n_{i}}-b\,x_{1}^{m_{1}}\dotsb x_{i}^{m_{i}}}$
이항식의 예시는 다음과 같다.
: ${\displaystyle 3x-2x^{2}}$
: ${\displaystyle xy+yx^{2}}$
: ${\displaystyle 0.9x^{3}+\pi y^{2}}$
3. 예시
다음은 이항식의 예시이다.
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4. 이항식 연산
이항식 연산에는 다음과 같은 것들이 있다.
* 제곱의 차이는 다른 두 이항식의 곱으로 인수분해할 수 있다.
* 두 일차 이항식의 곱은 삼항식을 만든다.
* 이항식의 거듭제곱은 이항 정리나 파스칼의 삼각형을 사용하여 전개할 수 있다.
* 피타고라스 수는 이항식 제곱 공식을 활용하여 만들 수 있다.
* 세제곱의 합 또는 차인 이항식은 더 작은 차수의 다항식으로 인수분해할 수 있다.
4.1. 인수분해
* 이항식 , 즉 제곱의 차이는 다른 두 이항식의 곱으로 인수분해될 수 있다.
이는 더 일반적인 공식의 특수한 경우이다.
복소수에서 이 공식은 다음과 같이 확장될 수도 있다.
* 세제곱의 합 또는 차인 이항식은 다음과 같이 더 작은 차수 다항식으로 인수분해될 수 있다.
4.2. 두 일차 이항식의 곱
두 일차 이항식 $(ax+b)$와 $(cx+d)$의 곱은 삼항식이다.
$$(ax+b)(cx+d) = acx^2+(ad+bc)x+bd$$