이항식
1. 개요
이항식은 두 개의 단항식의 합으로 이루어진 다항식이다. 일변수 이항식은 a*x^m - b*x^n 형태로 표현되며, 여기서 a, b는 수, m, n은 음이 아닌 정수, x는 변수이다. 이항식은 제곱의 차, 세제곱의 합/차 등의 형태로 인수분해될 수 있으며, 이항 정리를 통해 거듭제곱을 전개할 수 있다. 또한, 이항식 제곱 공식을 활용하여 피타고라스 수를 생성할 수 있다.
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대수학 -
다항식
다항식은 변수, 계수, 상수항으로 구성되어 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 거듭제곱 연산으로 결합된 항들의 유한한 합으로 표현되는 식이며, 대수 방정식 해를 구하는 데 중요하고 현대 수학에서 폭넓게 활용된다. -
대수학 -
상수
상수는 변하지 않는 일정한 값을 가지는 수로, 함수에서 변수와 대비되며 수식 내에서 고정된 값을 갖고, 원주율, 자연로그의 밑, 허수 i 등이 대표적인 예시이다. -
계승과 이항식 주제 -
이항 정리
이항 정리는 이변수 다항식 (x + y)ⁿ을 전개하는 공식으로, 이항 계수를 사용하며, 조합론적 증명과 수학적 귀납법을 통해 증명할 수 있고, 다양한 분야에 응용되며, 이항 급수, 다항 정리 등 일반화된 형태가 존재한다. -
계승과 이항식 주제 -
감마 분포
감마 분포는 형상 모수와 척도 모수로 정의되는 연속 확률 분포로, 확률 밀도 함수가 감마 함수로 표현되며, 베이즈 통계학에서 켤레 사전 분포로 활용되고, 형상 모수가 양의 정수일 때는 얼랑 분포를 나타낸다.
2. 정의
이항식은 두 개의 단항식의 합으로 이루어진 다항식이다. 일변수 이항식은 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.
: ${\displaystyle ax^{m}-bx^{n}}$
여기서 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle b}$는 수이고, ${\displaystyle m}$과 ${\displaystyle n}$은 서로 다른 음이 아닌 정수이며, ${\displaystyle x}$는 미지수 또는 변수라고 불리는 기호이다. 로랑 다항식의 맥락에서 "로랑 이항식"은 종종 단순히 "이항식"이라고 불리며 유사하게 정의되지만, 지수 ${\displaystyle m}$과 ${\displaystyle n}$은 음수가 될 수 있다.
더 일반적으로, 이항식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
: ${\displaystyle a\,x_{1}^{n_{1}}\dotsb x_{i}^{n_{i}}-b\,x_{1}^{m_{1}}\dotsb x_{i}^{m_{i}}}$
이항식의 예시는 다음과 같다.
: ${\displaystyle 3x-2x^{2}}$
: ${\displaystyle xy+yx^{2}}$
: ${\displaystyle 0.9x^{3}+\pi y^{2}}$
3. 예시
다음은 이항식의 예시이다.
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4. 이항식 연산
이항식 연산에는 다음과 같은 것들이 있다.
* 제곱의 차이는 다른 두 이항식의 곱으로 인수분해할 수 있다.
* 두 일차 이항식의 곱은 삼항식을 만든다.
* 이항식의 거듭제곱은 이항 정리나 파스칼의 삼각형을 사용하여 전개할 수 있다.
* 피타고라스 수는 이항식 제곱 공식을 활용하여 만들 수 있다.
* 세제곱의 합 또는 차인 이항식은 더 작은 차수의 다항식으로 인수분해할 수 있다.
4.1. 인수분해
* 이항식 , 즉 제곱의 차이는 다른 두 이항식의 곱으로 인수분해될 수 있다.
이는 더 일반적인 공식의 특수한 경우이다.
복소수에서 이 공식은 다음과 같이 확장될 수도 있다.
* 세제곱의 합 또는 차인 이항식은 다음과 같이 더 작은 차수 다항식으로 인수분해될 수 있다.
4.2. 두 일차 이항식의 곱
두 일차 이항식 $(ax+b)$와 $(cx+d)$의 곱은 삼항식이다.
$$(ax+b)(cx+d) = acx^2+(ad+bc)x+bd$$