자기 동형탑

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1. 개요

자기 동형탑은 군 G에 대해 초한 재귀를 통해 정의되는 군의 열과 군 준동형의 튜플이다. 자기 동형탑의 높이는 자기 동형탑을 구성하는 과정이 멈추는 시점을 나타내며, 군의 자기 동형탑 높이는 항상 존재한다. 무중심군, 유한군, 체르니코프 군, 다순환군, 유한 생성 군 등 특정 조건을 만족하는 군의 자기 동형탑 높이에 대한 다양한 성질이 존재한다.

자기 동형탑

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 자기 동형탑
- 2.2. 자기 동형탑 높이
3. 성질
- 3.1. 무중심군
- 3.2. 일반적인 군

2. 정의

군 $G$ 의 자기 동형탑 $(\operatorname{Aut}^\alpha(G),\phi_{\alpha\beta})$ 은 순서수 $\alpha$ 에 대한 군 $\operatorname{Aut}^\alpha(G)$ 와, $\alpha\le\beta$ 인 순서수 $\alpha,\beta$ 에 대한 군 준동형 $\phi_{\alpha\beta}\colon\operatorname{Aut}^\alpha(G)\to\operatorname{Aut}^\beta(G)$ (항등 함수)의 튜플이다. 이는 초한 재귀를 통해 다음과 같이 정의된다.
* $\operatorname{Aut}^0(G)=G$
* 따름 순서수 $\alpha+1$ 에 대하여, $\operatorname{Aut}^{\alpha+1}(G)=\operatorname{Aut}(\operatorname{Aut}^\alpha(G))$ 는 $\operatorname{Aut}^\alpha(G)$ 의 자기 동형군이다. $\phi_{\alpha,\alpha+1}\colon\operatorname{Aut}^\alpha(G)\to\operatorname{Aut}^{\alpha+1}(G)$ 는 임의의 $g\in\operatorname{Aut}^\alpha(G)$ 를 그에 대응하는 내부 자기 동형 $\phi_{\alpha,\alpha+1}(g)\colon h\mapsto ghg^{-1}$ 으로 보내는 자연스러운 군 준동형이다.
* 극한 순서수 $\alpha$ 에 대하여, $(\operatorname{Aut}^\alpha(G),(\phi_{\beta\alpha})_{\beta<\alpha})$ 는 유향 체계 $((\operatorname{Aut}^\beta(G))_{\beta<\alpha},(\phi_{\beta\gamma})_{\beta\le\gamma<\alpha})$ 의 귀납적 극한이다.

군 $G$ 의 자기 동형탑 높이(automorphism tower height^영어) $\tau_{\operatorname{Aut}}(G)$ 는 다음 조건을 만족시키는 최소의 순서수이다.
* $\phi_{\tau_{\operatorname{Aut}}(G),\tau_{\operatorname{Aut}}(G)+1}$ 는 군의 동형이다. 즉, $\operatorname{Aut}^{\tau_{\operatorname{Aut}}(G)}(G)$ 는 완비군이다.
이 경우, 임의의 순서수 $\beta\ge\alpha\ge\tau_{\operatorname{Aut}}(G)$ 에 대하여 $\phi_{\alpha\beta}$ 는 군의 동형이다. 즉, $\tau_{\operatorname{Aut}}(G)$ 는 자기 동형탑을 만드는 과정이 멈추는 시점이다.

2.1. 자기 동형탑

군 $G$ 의 자기 동형탑 $(\operatorname{Aut}^\alpha(G),\phi_{\alpha\beta})$ 은 순서수 $\alpha$ 에 대한 군 $\operatorname{Aut}^\alpha(G)$ 와, $\alpha\le\beta$ 인 순서수 $\alpha,\beta$ 에 대한 군 준동형 $\phi_{\alpha\beta}\colon\operatorname{Aut}^\alpha(G)\to\operatorname{Aut}^\beta(G)$ ( $\alpha=\beta$ 이면 $\phi_{\alpha\alpha}$ 는 항등 함수)의 튜플이다. 이는 초한 재귀를 통해 정의된다.

* $\operatorname{Aut}^0(G)=G$
* 따름 순서수 $\alpha+1$ 에 대하여, $\operatorname{Aut}^{\alpha+1}(G)=\operatorname{Aut}(\operatorname{Aut}^\alpha(G))$ 는 $\operatorname{Aut}^\alpha(G)$ 의 자기 동형군이다. $\phi_{\alpha,\alpha+1}\colon\operatorname{Aut}^\alpha(G)\to\operatorname{Aut}^{\alpha+1}(G)$ 는 임의의 $g\in\operatorname{Aut}^\alpha(G)$ 를 그에 대응하는 내부 자기 동형 $\phi_{\alpha,\alpha+1}(g)\colon h\mapsto ghg^{-1}$ 으로 보내는 자연스러운 군 준동형이다.
* 극한 순서수 $\alpha$ 에 대하여, $(\operatorname{Aut}^\alpha(G),(\phi_{\beta\alpha})_{\beta<\alpha})$ 는 유향 체계 $((\operatorname{Aut}^\beta(G))_{\beta<\alpha},(\phi_{\beta\gamma})_{\beta\le\gamma<\alpha})$ 의 귀납적 극한이다.

군 $G$ 의 자기 동형탑 높이(automorphism tower height^영어) $\tau_{\operatorname{Aut}}(G)$ 는 $\phi_{\tau_{\operatorname{Aut}}(G),\tau_{\operatorname{Aut}}(G)+1}$ 가 군의 동형인 최소의 순서수이다. 즉, $\operatorname{Aut}^{\tau_{\operatorname{Aut}}(G)}(G)$ 는 완비군이다. 이 경우, 임의의 순서수 $\beta\ge\alpha\ge\tau_{\operatorname{Aut}}(G)$ 에 대하여 $\phi_{\alpha\beta}$ 는 군의 동형이다.

2.2. 자기 동형탑 높이

군 $G$ 의 자기 동형탑 높이(automorphism tower height^영어) $\tau_{\operatorname{Aut}}(G)$ 는 $\phi_{\tau_{\operatorname{Aut}}(G),\tau_{\operatorname{Aut}}(G)+1}$ 가 군의 동형이 되는 최소의 순서수이다. 즉, $\operatorname{Aut}^{\tau_{\operatorname{Aut}}(G)}(G)$ 는 완비군이다. 이는 자기 동형탑을 만드는 과정이 멈추는 시점이다. 임의의 순서수 $\beta\ge\alpha\ge\tau_{\operatorname{Aut}}(G)$ 에 대하여 $\phi_{\alpha\beta}$ 는 군의 동형이다.

3. 성질

3.1. 무중심군

임의의 군 G에 대하여, 그 내부 자기 동형군은 자기 동형군의 정규 부분군을 이룬다. 만약 G의 중심이 자명군이라면, 그 내부 자기 동형군의 자기 동형군에서의 중심화 부분군은 자명군이다.
: $\operatorname C_{\operatorname{Aut}(G)}(\operatorname{Inn}(G))=1$
특히, 만약 G의 중심이 자명군이라면, $\operatorname{Aut}(G)$ 의 중심 역시 자명군이다. 자명한 중심을 갖는 조건은 자연스러운 군 준동형 $\phi_{0,1}\colon G\to\operatorname{Aut}(G)$ 이 단사 함수인 조건과 동치이다. 따라서, 자명한 중심을 갖는 군 G의 자기 동형탑
: $G\vartriangleleft\operatorname{Aut}(G)\vartriangleleft\operatorname{Aut}(\operatorname{Aut}(G))\vartriangleleft\dotsb\vartriangleleft\operatorname{Aut}^\omega(G)\vartriangleleft\operatorname{Aut}^{\omega+1}(G)\vartriangleleft\dotsb$
은 점점 커지는 일련의 (정규) 부분군들의 열이다.

자기 동형탑이 유한·가산 시간 내에 멈출 일부 충분조건은 다음과 같다.
* 군이 자명한 중심을 갖는 유한군이라면, 자기동형탑 높이 $\tau_{\operatorname{Aut}}(G)$ 는 ω보다 작다.
* 만약 G가 자명한 중심을 갖는 체르니코프 군(Černikov群, Chernikov group^영어)이라면, $\tau_{\operatorname{Aut}}(G)<\omega$ 이다.
* G가 자명한 중심을 갖는 다순환군(多循環群, polycyclic group^영어)이라면, $\tau_{\operatorname{Aut}}(G)<\omega_1$ 이다.
* 만약 G가 자명한 중심을 갖는 유한 생성 군이라면, $\tau(G)<\omega_1$ 이다.

임의의 무한 기수 $\kappa$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 크기 $\kappa$ 의 군 G의 자기 동형탑 높이는 $(2^\kappa)^+$ 미만이며 (여기서, $(2^\kappa)^+$ 는 $2^\kappa$ 의 따름 기수이다), 이는 선택 공리를 필요로 하지 않는다. 또한, 임의의 순서수 $\alpha<\kappa^+$ 에 대하여, 자기 동형탑 높이가 $\alpha$ 인, 크기 $\kappa$ 의 자명한 중심을 갖는 군 G가 존재한다. 즉, $\kappa$ 에 대하여, $\tau_{\operatorname{Aut}}(\kappa)$ 가 다음 조건을 만족시키는 최소의 순서수라고 하자.
* 임의의 크기 $\kappa$ 의 자명한 중심을 갖는 군 G에 대하여, $\tau_{\operatorname{Aut}}(G)<\tau_{\operatorname{Aut}}(\kappa)$
그렇다면, 위 결론들에 따라 $\kappa^+\le\tau_{\operatorname{Aut}}(\kappa)\le(2^\kappa)^+$ 이다. 하지만 크기 $\kappa$ 의 자명한 중심을 갖는 군은 $2^\kappa$ 개이므로, 다음과 같은 더 강한 결론이 성립한다.
: $\kappa^+\le\tau_{\operatorname{Aut}}(\kappa)<(2^\kappa)^+$
즉, $(2^\kappa)^+$ 는 크기 $\kappa$ 의 무중심군의 자기 동형군 높이 $\tau_{\operatorname{Aut}}(G)$ 에 대한 ‘최적의 근사’가 아니다. 반면, 만약 $\kappa$ 가 비가산 기수라면, $(2^\kappa)^+$ 는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 명제 $\tau_{\operatorname{Aut}}(\kappa)<(2^\kappa)^+$ 를 증명 가능한 최소의 순서수이며, 이는 강제법을 사용하여 보일 수 있다. (이러한 일이 가능한 것은 $\tau_{\operatorname{Aut}}(\kappa)$ 의 값이 모형마다 다를 수 있기 때문이다.)

3.1.1. 유한군

군이 자명한 중심을 갖는 유한군이라면, 자기동형탑 높이 $\tau_{\operatorname{Aut}}(G)$ 는 ω보다 작다.

3.1.2. 체르니코프 군

만약 $G$ 가 자명한 중심을 갖는 체르니코프 군(Černikov群, Chernikov group^영어)이라면, $\tau_{\operatorname{Aut}}(G)<\omega$ 이다.

3.1.3. 다순환군

$G$ 가 자명한 중심을 갖는 다순환군(多循環群, polycyclic group^영어)이라면, $\tau_{\operatorname{Aut}}(G)<\omega_1$ 이다.

3.1.4. 유한 생성 군

만약 $G$ 가 자명한 중심을 갖는 유한 생성 군이라면, $\tau(G)<\omega_1$ 이다.

3.2. 일반적인 군

임의의 군 $G$ 에 대하여, $\operatorname{Aut}^\alpha(G)$ 의 중심이 자명군인 순서수 $\alpha$ 가 존재한다. 특히, 모든 군의 자기 동형탑은 결국 멈춘다.