전기 쌍극자 모멘트

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1. 개요

전기 쌍극자 모멘트는 전하 분포의 극성을 나타내는 벡터량으로, 양전하와 음전하로 이루어진 계에서 음전하에서 양전하를 향하는 변위 벡터와 전하량의 곱으로 정의된다. 전기 쌍극자는 균일한 전기장 내에서 돌림힘과 위치 에너지를 가지며, 전기장과 자기장을 생성한다. 시간에 따라 변하는 전기 쌍극자는 전자기파, 특히 전기 쌍극자 복사를 방출하며, 분극 밀도와 관련된다. 기본 입자의 전기 쌍극자 모멘트는 CP-위반과 관련하여 연구되며, 분자와 같은 물질의 전기적 특성을 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 분자는 영구 쌍극자 또는 유도 쌍극자를 가질 수 있으며, 분극률과 유전 상수를 결정하는 데 사용된다.

전기 쌍극자 모멘트

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물리학 개념 - 전기 전도체

1. 개요
2. 정의
3. 전기 쌍극자의 운동
- 3.1. 돌림힘과 위치 에너지
- 3.2. 힘
4. 전기 쌍극자의 전기장과 자기장
- 4.1. 정적인 경우
- 4.2. 동적인 경우
  - 4.2.1. 전기 쌍극자 복사
5. 분극 밀도와 쌍극자 모멘트 밀도
6. 기본 입자의 전기 쌍극자 모멘트
7. 분자의 쌍극자 모멘트

2. 정의

전기 쌍극자 모멘트는 크기와 방향을 모두 가지는 벡터량이다. 가장 간단한 예로, 양전하 +q와 음전하 -q로 이루어진 계를 생각할 수 있다. 이때 전기 쌍극자 모멘트 p는 다음과 같이 정의된다.
:p^영어 = q r^영어
여기서 r^영어은 음전하에서 양전하를 가리키는 변위 벡터이다. 즉, 전기 쌍극자 모멘트의 방향은 음전하에서 양전하를 향한다.

물리학에서는 이러한 전하를 띤 점 입자를 점전하라고 부르며, +q와 -q 두 전하가 거리 d 만큼 떨어져 있는 경우를 전기 쌍극자라고 한다. 이때 전기 쌍극자 모멘트의 크기는 다음과 같다.
: p = qd

좀 더 일반적인 경우, 여러 개의 점전하

q_i

로 이루어진 계에 대해서는 각 전하에 대한 벡터의 합으로 나타낼 수 있다.
:p^영어 = Σ_i=1^N q_i r^영어_i
여기서 r^영어_i는 기준점으로부터 각 점전하를 가리키는 변위 벡터이다. 만약 전체 전하량의 합이 0인, 즉 전기적으로 중성인 계의 경우에는 어느 기준점을 선택하더라도 전기 쌍극자 모멘트의 값은 변하지 않는다.

전하가 연속적으로 분포하는 경우에는, 전하 분포를 나타내는 전하 밀도 함수 ρ(r)를 사용하여 적분 형태로 나타낸다.
:

\mathbf{p} = \int_V \mathbf{r} \, dq = \int_V \rho(\mathbf{r}) \mathbf{r} d V

여기서 V는 전하가 분포하는 전체 공간, dq는 전하 요소, dV는 부피 요소이다.

전기 쌍극자 모멘트는 전하 분포를 근사하는 다중극 전개에서 첫 번째 항에 해당하며, 전체 전하량이 0인 경우에는 전기 쌍극자 모멘트의 합으로 근사할 수 있다.

양성자와 같이 알짜 전하가 0이 아닌 계의 쌍극자 모멘트를 논의할 때는 기준점 선택이 중요하며, 일반적으로 질량 중심을 기준점으로 선택한다.

2.1. 기본 정의

+q의 양전하와 -q의 음전하로 이루어진 계의 경우 전기 쌍극자 모멘트 p는 다음과 같이 정의한다.
:p^영어 = q r^영어
여기서 r^영어은 음전하로부터 양전하를 가리키는 변위 벡터이다.

일반적으로, N개의 점전하

q_i

로 이루어진 계의 경우 전기 쌍극자 모멘트 p는 다음과 같이 정의한다.
:p^영어 = Σ_i=1^N q_i r^영어_i
여기서 r^영어_i는 어느 기준점으로부터 각 점전하를 가리키는 변위 벡터이다. 여기서 p의 값은 계가 전기적으로 중성일 때, 즉, 계의 전하량이 0일 때, 아무 기준점으로부터나 계산해도 값이 변하지 않는다. N = 2일 경우, 위의 경우와 같은 값을 얻는다.

물리학에서 전하를 가진 점 입자는 점전하라고 하며, 전하가 +q 인 점전하와 전하가 -q 이고 d의 거리에 의해 분리된 점전하 두 개는 전기 쌍극자(다극자 전개의 간단한 경우)를 구성한다. 이 경우 전기 쌍극자 모멘트의 크기는 다음과 같다.
: p = qd
전기 쌍극자 모멘트의 방향은 음전하에서 양전하 방향으로 향한다.

2.2. 연속 전하 분포

연속적으로 전하가 분포할 때 전기 쌍극자 모멘트 p는 다음과 같이 정의한다.

: $\mathbf{p} = \int_V \mathbf{r} \, dq = \int_V \rho(\mathbf{r}) \mathbf{r} d V$

여기서 각 변수는 다음과 같다.

* r_i : 어느 기준점으로부터의 변위 벡터
* V : 전하가 분포하는 전체 공간
* ρ(r) : 전하의 분포를 나타내는 전하 밀도 함수
* dq : 전하 요소
* dV : 부피 요소

좀 더 일반적으로, 부피 V에 갇힌 전하의 연속 분포에 대해 쌍극자 모멘트는 다음과 같이 표현한다.

: $\mathbf{p}(\mathbf{r}) = \int_{V} \rho(\mathbf{r}') \left(\mathbf{r}' - \mathbf{r}\right) d^3 \mathbf{r}',$

여기서 r은 관측점을 나타내고 d³r′은 V의 미소 부피를 나타낸다.

2.3. 기준점

알짜 전하가 0인 계의 경우 전기 쌍극자 모멘트는 기준점에 관계하지 않지만, 알짜 전하가 0이 아닌 경우에는 기준점에 따라 달라진다. 이런 경우에는 통상적으로 질량 중심을 기준점으로 삼는다.

예를 들어, 전하량이 서로 반대인 두 전하 또는 전기적으로 중성인 도체가 균일한 전기장 속에 있는 계의 경우 알짜 전하가 0이므로 쉽게 쌍극자 모멘트를 구할 수 있다. 하지만 양성자나 전자 따위의 전기 쌍극자 모멘트를 계산할 경우에는 질량 중심을 기준으로 잡아야 한다.

3. 전기 쌍극자의 운동

전기 쌍극자 모멘트 $\mathbf p$ 를 가진 물체는 외부 전기장 $\mathbf E$ 내에 놓일 때 토크 $\boldsymbol{\tau}$ 를 받는다. 토크는 쌍극자를 전기장과 정렬시키려는 경향이 있다. 이때, 임의의 지점에 대한 돌림힘은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\boldsymbol\tau=\mathbf p\times\mathbf E + \mathbf r \times \mathbf F$ .

전기장에 평행하게 정렬된 쌍극자는 전기장과 0이 아닌 각도를 이루는 쌍극자보다 더 낮은 전위 에너지를 갖는다.

3.1. 돌림힘과 위치 에너지

전기 쌍극자 모멘트 $\mathbf p$ 를 가진 쌍극자는 균일한 전기장 $\mathbf E$ 안에서 돌림힘을 받는다. 이 돌림힘 $\boldsymbol{\tau}$ 는 다음과 같다.

: $\boldsymbol\tau=\mathbf p\times\mathbf E$ .

이 돌림힘은 위치 에너지로도 나타낼 수 있는데, 다음과 같다.

: $U=-\mathbf p\cdot\mathbf E$ .

즉, 쌍극자가 전기장과 같은 방향을 가리키면 전기적 위치 에너지가 최소가 되고, 반대 방향을 가리키면 최대가 된다. 따라서 외부 힘이 없다면 쌍극자는 전기장과 같은 방향으로 정렬하게 된다.

3.2. 힘

전기 쌍극자 모멘트 $\mathbf p$ 를 가진 쌍극자가 불균일한 전기장 $\mathbf E$ 안에서 받는 힘은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\mathbf F=(\mathbf p\cdot\nabla)\mathbf E$ .

불균일한 전기장에서는 쌍극자의 한쪽 끝에 가해지는 힘이 다른 쪽 끝의 힘과 균형을 이루지 않기 때문에 실제로 순 힘을 받을 수 있다. 이 순 힘은 일반적으로 쌍극자 모멘트와 평행하다.

4. 전기 쌍극자의 전기장과 자기장

시간에 따라 변하는 전기 쌍극자는 자기장을 발생시킨다. 이는 쌍극자를 한 쌍의 점전하로 간주하여 한 점전하에서 다른 점전하로 전류가 흐르는 것으로 해석할 수 있다. 쌍극자의 크기가 $d$ 이고 쌍극자 모멘트가 $\mathbf p(t)=q(t)d$ 라면 그 전류는 다음과 같다.

: $I=\dot q=p/d$ .

따라서 시간에 따라 바뀌는 전기 쌍극자의 벡터 퍼텐셜은 다음과 같다.

: $\mathbf A(\mathbf r,t)=\frac{\mu_0\dot{\mathbf p}(t_\text{ret})}{4\pi r}$ .

4.1. 정적인 경우

물리적 전기 쌍극자의 전위 지도. 음의 전위는 파란색, 양의 전위는 빨간색으로 표시된다.

시간에 따라 변하지 않는 전기 쌍극자 모멘트

\mathbf p

를 가진 쌍극자의 전위

\phi(\mathbf r)

는 다음과 같다.
:

\phi(\mathbf r)=\frac{\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r}}{4\pi\epsilon_0r^2}

.

여기서

\mathbf r

은 쌍극자의 위치에서 전위를 측정하려는 위치를 가리키는 변위 벡터이고,

\hat{\mathbf r}

는

\mathbf r

방향의 단위 벡터이다.

\epsilon_0

는 진공의 유전율이다.

따라서 전기 쌍극자의 전기장

\mathbf E(\mathbf r)

는 다음과 같다.
:

\mathbf E(\mathbf r)=-\nabla\phi=\frac{3(\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r})\hat{\mathbf r}-\mathbf p}{4\pi\epsilon_0r^3}

.

이상적인 쌍극자는 무한히 작은 간격을 가진 두 개의 반대 전하로 구성된다. 간격

\mathbf{d}

로 분리된 두 개의 반대 전하에서 시작하여 이러한 이상적인 쌍극자의 전위와 장을 계산하고

\mathbf{d} \to 0

으로의 극한을 취하면 다음과 같다.

두 개의 가깝게 배치된 반대 전하 ±q는 다음과 같은 형태의 전위를 갖는다.
:

V(\mathbf{r}) \ =\ \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left(\frac{q}{\left|\mathbf{r} -\mathbf{r}_+\right|} - \frac{q}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_-\right|} \right) ,

쿨롱의 법칙에 의해, 전하 분리는 다음과 같다.
:

\mathbf{d} = \mathbf{r}_+ - \mathbf{r}_- \, ,\quad d = |\mathbf{d}|\,.

R을

\frac{\mathbf{r}_+ + \mathbf{r}_-}{2}

의 중점을 기준으로 한 위치 벡터로,

\hat{\mathbf{R}}

을 해당 단위 벡터로 나타낸다.
:

\mathbf{R} = \mathbf{r} - \frac{\mathbf{r}_+ + \mathbf{r}_-}{2}, \quad \hat{\mathbf{R}} = \frac{\mathbf R}

👆

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\, .

\tfrac dR

에서의 테일러 전개(다중극 전개 및 사중극자)는 이 전위를 일련의 항으로 표현한다.
:

V(\mathbf{R}) \ =\\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q\mathbf{d} \cdot \hat{\mathbf{R}}}{R^2} + \mathcal O\left(\frac{d^3}{R^3}\right)\ \approx\\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathbf p \cdot\hat{\mathbf R}}{|\mathbf R|^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathbf p \cdot\mathbf R}{|\mathbf R|^3}\, ,

여기서 전기 쌍극자 모멘트 p는 다음과 같다.
:

\mathbf{p} = q\mathbf{d}\, .

쌍극자 전위에 대한 결과는 다음과 같이 표현할 수도 있다.
:

V(\mathbf{R}) \approx -\mathbf{p} \cdot \mathbf{\nabla} \frac{1}{4 \pi \varepsilon _0 R}\, ,

이는 쌍극자 전위를 점전하의 전위와 관련시킨다. 핵심은 쌍극자의 전위가 점전하의 전위보다 거리 R에 따라 더 빠르게 떨어진다는 것이다.

쌍극자의 전기장은 전위의 음의 기울기이며, 다음과 같다.
:

\mathbf E\left(\mathbf R\right) = \frac{3\left(\mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{R}}\right) \hat{\mathbf{R}} - \mathbf{p}}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}\, .

두 전하가 더 가까워짐에 따라(d가 작아짐), d/R의 비율을 기반으로 하는 다중극 전개에서 쌍극자 항은 더욱 가까운 거리 R에서 유일하게 중요한 항이 되며, 무한히 작은 분리의 극한에서 이 전개의 쌍극자 항이 전부이다. 그러나 d가 무한히 작아지면 p를 일정하게 유지하기 위해 쌍극자 전하를 증가시켜야 한다. 이 제한 프로세스는 "점 쌍극자"를 생성한다.

위치

\boldsymbol{r}

에 있는 전기 쌍극자

\boldsymbol{p}

에 의한 전하 밀도는
:

\begin{aligned}\rho(\boldsymbol{x}) &=\lim_{\delta \to 0} \Big\{q\, \delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_+) -q\, \delta^3(\boldsymbol{x} -\boldsymbol{r}_-) \Big\} \\&=-\boldsymbol{p}\cdot \operatorname{grad} \delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}) \\\end{aligned}

이 된다.

전기 쌍극자에 의한 정전기적 포텐셜은
:

\phi(\boldsymbol{x}) =-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\boldsymbol{p} \cdot \operatorname{grad}\frac{1}{ |\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}| }=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\boldsymbol{p}\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r})}{ |\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}|^3 }

이 된다.

4.2. 동적인 경우

시간에 따라 모멘트가 변하는 전기 쌍극자 $\mathbf p(t)$ 는 뒤처진 퍼텐셜을 고려해야 한다. 전위는 다음과 같다.

: $\phi(\mathbf r,t)=\frac{(\mathbf p(t_\text{ret})+\dot{\mathbf p}(t_\text{ret})r/c)\cdot\hat{\mathbf r}}{4\pi\epsilon_0r^2}$ .

여기서 $t_\text{ret}=t-r/c$ 는 뒤처진 시간이다. 만약 $\mathbf p=\mathbf p_0\cos(\omega t)$ 이고, $r\gg c/\omega$ 인 경우(원거리장)는 다음과 같다.

: $\phi(\mathbf r,t)=-\frac{\mathbf p_0\sin(\omega t_\text{ret})\cdot\hat{\mathbf r}}{4\pi\epsilon_0cr}$ .

모멘트가 시간에 따라 변하는 전기 쌍극자 $\mathbf p(t)$ 는 자기장을 발생시키는데, 이는 쌍극자를 한 쌍의 점전하로 생각하여 한 점전하에서 다른 점전하로 전류가 흐르는 것으로 볼 수 있다. 쌍극자의 크기가 $d$ 이고 쌍극자 모멘트가 $\mathbf p(t)=q(t)d$ 라면 전류는 다음과 같다.

: $I=\dot q=p/d$ .

따라서 시간에 따라 변하는 전기 쌍극자의 벡터 퍼텐셜은 다음과 같다.

: $\mathbf A(\mathbf r,t)=\frac{\mu_0\dot{\mathbf p}(t_\text{ret})}{4\pi r}$ .

4.2.1. 전기 쌍극자 복사

전기 쌍극자 복사(電氣雙極子輻射, electric dipole radiation^영어)란 시간에 따라 크기가 바뀌는 전기 쌍극자가 방출하는 복사 전자기파다.

쌍극자 $\mathbf p=\mathbf p_0\cos(\omega t)$ 를 생각해 보자. 그 뒤처진 퍼텐셜은 다음과 같다.
: $\phi(\mathbf r,t)=-\frac{\mathbf p_0\cdot\hat{\mathbf r}\sin(\omega(t-r/c))}{4\pi\epsilon_0cr}$
: $\mathbf A(\mathbf r,t)=\frac{\mathbf p_0\omega}{4\pi\epsilon_0r}\sin(\omega(t-r/c))$ .
따라서 그 원거리 ( $O(1/r)$ ) 전자기장은 다음과 같다.
: $\mathbf{B} = \frac{\omega^2}{4\pi\varepsilon_0 c^3r} (\hat{\mathbf{r}} \times \mathbf p)\cos(\omega(t- r/c))/r$
: $\mathbf{E} = c \mathbf B \times \hat{\mathbf r}$ .
그 포인팅 벡터는 다음과 같다.
: $\mathbf S=\frac1{\mu_0}\mathbf E\times\mathbf B=\frac{\mu_0\omega^4}{32\pi^2cr^2} \hat{\mathbf r}$ .
이를 모든 입체각에 대하여 적분하면 전기 쌍극자 방사의 일률 $P$ 를 얻는다.
: $P =\oint_{4\pi}S\,d\Omega=\frac{\mu_0\omega^4p_0^2}{12\pi c}$ .
이는 쌍극자에 대한 라모 공식과 같다.

5. 분극 밀도와 쌍극자 모멘트 밀도

전하 배열의 쌍극자 모멘트는 다음과 같이 정의된다.

: $\mathbf p = \sum_{i=1}^N q_i \mathbf {d_i} \, ,$

이는 배열의 극성 정도를 나타내는 척도이지만, 중성 배열의 경우에는 배열의 위치 정보는 포함하지 않고 단순히 벡터량으로만 주어진다. 반면, 배열의 쌍극자 모멘트 밀도 p(r)는 배열의 위치와 쌍극자 모멘트 정보를 모두 포함한다. 어떤 영역에서 전기장을 계산할 때는 맥스웰 방정식을 풀게 되는데, 이때 전하 배열에 대한 정보는 맥스웰 방정식의 분극 밀도 P(r)에 포함된다. 전기장을 얼마나 정밀하게 계산해야 하는지에 따라 P(r)에 전하 배열에 대한 정보를 다르게 표현해야 한다. 때로는 P(r) = p(r)로 간주하는 것으로 충분하지만, 어떤 경우에는 쌍극자 모멘트 밀도에 사중극자 밀도를 추가하는 등 더 자세한 설명이 필요할 때도 있고, P(r)의 더욱 정교한 버전이 필요할 때도 있다.

맥스웰 방정식에서 분극 밀도 P(r)는 전하 배열의 쌍극자 모멘트 p와 어떤 관련이 있는지, 그리고 쌍극자 모멘트뿐만 아니라 배열 위치도 함께 나타내는 쌍극자 모멘트 밀도 p(r)와는 어떤 관련이 있는지 살펴본다. 여기서는 정적인 경우만 고려하므로 P(r)는 시간에 따라 변하지 않으며, 변위 전류는 없다.

맥스웰 방정식에서 전하와 전류를 "자유" 및 "결합" 전하와 전류로 나누면 다음과 같은 D와 P 장을 도입할 수 있다.

: $\mathbf{D} = \varepsilon _0 \mathbf{E} + \mathbf{P}\, ,$

여기서 P는 분극 밀도를 나타낸다. 이 식을 발산 형태로 나타내면 다음과 같다.

: $\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_\text{f} = \varepsilon _0 \nabla \cdot \mathbf{E} +\nabla \cdot \mathbf{P}\, ,$

여기서 E의 발산 항은 총 전하를 나타내고, ρ_f는 "자유 전하"를 나타내므로, 다음과 같은 관계를 얻을 수 있다.

: $\nabla \cdot \mathbf{P} = -\rho_\text{b} \, ,$

여기서 ρ_b는 결합 전하를 나타내며, 이는 총 전하 밀도와 자유 전하 밀도의 차이를 의미한다.

자기 효과가 없는 경우, 맥스웰 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\nabla \times \mathbf{E} = \boldsymbol{0}\, ,$

이는 다음과 같다.

: $\nabla \times \left( \mathbf{D} - \mathbf{P} \right) = \boldsymbol{0}\, ,$

헬름홀츠 분해를 적용하면,

: $\mathbf{D} - \mathbf{P} = -\nabla \varphi \, ,$

(여기서 φ는 스칼라 전위) 이고,

: $\nabla \cdot (\mathbf{D} - \mathbf{P}) = \varepsilon_0 \nabla \cdot \mathbf{E} = \rho_\text{f} + \rho_\text{b} = - \nabla^2 \varphi\, .$

이다.

전하가 자유 전하와 결합 전하로 나뉘고, 전위가 다음과 같이 나뉜다고 가정한다.

: $\varphi = \varphi_\text{f} + \varphi_\text{b}\, .$

φ에 대한 경계 조건은 φ_f와 φ_b 사이에 임의로 나눌 수 있다. 따라서 P는 편리한 경계 조건을 갖는 결합 전하로 인한 전기장에 비례한다. 특히, 자유 전하가 없는 경우에는 P = ε₀ E로 선택할 수 있다.

만약 어떤 전하 시스템에서 멀리 떨어진 영역만 관찰한다면, 정확한 분극 밀도를 다중극 전개로 나타낼 수 있다. 이 전개를 쌍극자 항까지만 고려하면, 전하 영역에 국한된 균일한 쌍극자 모멘트에 의해 생성된 분극 밀도와 구별할 수 없다. 즉, 쌍극자 근사를 사용하는 경우, 쌍극자 모멘트 밀도 p(r) (p와 p의 위치를 모두 포함)는 P(r)의 역할을 한다.

하지만 전하 배열 내부를 관찰하는 경우에는 짝을 이룬 전하 배열을 p(r)만으로 근사하는 데 추가적인 고려가 필요하다. 가장 간단한 방법은 전하 배열을 이상적인 (무한히 작은 간격을 가진) 쌍극자 모델로 대체하는 것이다. 특히, 유한한 영역에 국한된 일정한 쌍극자 모멘트 밀도를 사용하면 표면 전하와 분극 해제장이 발생한다. 이 모델의 일반적인 버전(분극이 위치에 따라 변하는 경우)은 전기 감수율 또는 유전율을 사용하여 나타낼 수 있다.

점 전하 배열의 복잡한 모델은 미세 전하를 평균하여 유효 매질 근사를 도입하여 해결할 수 있다. 예를 들어, 평균을 통해 쌍극자 장만 고려할 수도 있다. 또 다른 방법은 전하를 관찰 지점 근처의 전하와 다중극 전개를 허용할 만큼 멀리 떨어진 전하로 나누는 것이다. 근처의 전하는 국부장 효과를 발생시킨다. 일반적인 모델에서는 멀리 떨어진 전하는 유전 상수를 사용하여 균질한 매질로 처리하고, 근처의 전하는 쌍극자 근사로만 처리한다. 매질 또는 전하 배열을 쌍극자와 관련 쌍극자 모멘트 밀도로 근사하는 것을 점 쌍극자 근사, 이산 쌍극자 근사, 또는 쌍극자 근사라고 한다.

5.1. 전하와 쌍극자 밀도를 가진 매질

연속 전하 밀도 $ \rho(\mathbf{r}) $와 연속 쌍극자 모멘트 분포 $ \mathbf{p}(\mathbf{r}) $로 구성된 매질을 고려하면, 위치 $ \mathbf{r} $에서의 전위는 다음과 같이 주어진다.

:\( \phi (\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{\rho \left(\mathbf{r}_0\right)}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0\right|} d^3 \mathbf{r}_0 + \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0}\int \frac{\mathbf{p} \left(\mathbf{r}_0\right) \cdot \left(\mathbf{r} - \mathbf{r}_0\right)}

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= \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}_0}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0\right|^3} \)

분극 적분을 변환하면 다음과 같다.

:$ \begin{align}
\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{\mathbf{p} \left(\mathbf{r}_0\right) \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_0)}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0\right|^3 } d^3 \mathbf{ r}_0
= {} & \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0}\int \mathbf{p} \left(\mathbf{r}_0\right) \cdot \nabla_{\mathbf{r}_0} \frac{1}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0\right|} d^3 \mathbf{r}_0 \\
= {} &\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \nabla_{\mathbf{r}_0} \cdot \left(\mathbf{p} \left(\mathbf{r}_0\right) \frac {1}{\left|\mathbf{r} -
\mathbf{r}_0\right|}\right) d^3 \mathbf{r}_0 - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{\nabla_{\mathbf{r}_0} \cdot \mathbf{p} \left(\mathbf{r}_0\right)}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0\right|} d^3 \mathbf{r}_0 ,
\end{align} $

여기서 벡터 항등식 $ \nabla\cdot(\mathbf{A}{B}) = (\nabla\cdot\mathbf{A}){B} + \mathbf{A}\cdot(\nabla{B}) \implies \mathbf{A}\cdot(\nabla{B}) = \nabla\cdot(\mathbf{A}{B}) - (\nabla\cdot\mathbf{A}){B} $가 마지막 단계에서 사용되었다. 첫 번째 항은 적분 부피를 경계 짓는 표면에 대한 적분으로 변환될 수 있으며, 이는 나중에 논의될 표면 전하 밀도를 제공한다. 이 결과를 전위에 다시 넣고, 현재 표면 전하를 무시하면 다음과 같다.

:$ \phi (\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{\rho \left(\mathbf{r}_0\right) - \nabla_{\mathbf{r}_0} \cdot \mathbf{p} \left(\mathbf{r}_0\right)}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0\right|} d^3 \mathbf{r}_0 $

여기서 부피 적분은 경계 표면까지만 확장되며, 이 표면을 포함하지 않는다.

전위는 총 전하에 의해 결정되며, 총 전하는 다음과 같다.

:$ \rho_\text{total} \left(\mathbf{r}_0\right) = \rho\left(\mathbf{r}_0\right) - \nabla_{\mathbf{r}_0} \cdot \mathbf{p} \left(\mathbf{r}_0\right) $

따라서 다음 관계가 성립한다.

:$ -\nabla_{\mathbf{r}_0} \cdot \mathbf{p} \left(\mathbf{r}_0\right) = \rho_\text{b} $

요약하면, 쌍극자 모멘트 밀도 $ \mathbf{p}(\mathbf{r}) $은 이 매질에 대한 분극 밀도 $ \mathbf{P} $의 역할을 한다. $ \mathbf{p}(\mathbf{r}) $은 결합 전하 밀도와 동일한 0이 아닌 발산을 갖는다(이 근사에서 모델링됨).

이 접근 방식은 쌍극자, 사중극자 등 모든 다중극자를 포함하도록 확장될 수 있다.

5.2. 표면 전하

위에서, 쌍극자에 의한 전위에 대한 표현식에서 첫 번째 항에 대한 논의는 보류되었다. 발산을 적분하면 표면 전하가 발생한다. 오른쪽 그림은 표면 전하가 발생하는 이유에 대한 직관적인 아이디어를 제공한다. 이 그림은 두 표면 사이에 동일한 쌍극자의 균일한 배열을 보여준다. 내부적으로, 쌍극자의 머리와 꼬리는 인접하며 상쇄된다. 그러나 경계 표면에서는 상쇄가 발생하지 않는다. 대신, 한 표면에서 쌍극자 머리는 양의 표면 전하를 생성하는 반면, 반대쪽 표면에서 쌍극자 꼬리는 음의 표면 전하를 생성한다. 이 두 개의 반대 표면 전하는 쌍극자 방향과 반대 방향으로 순 전기장을 생성한다.

이 아이디어는 위의 전위 표현식을 사용하여 수학적인 형태로 주어진다. 자유 전하를 무시하면 전위는 다음과 같다.

\phi\left(\mathbf{r}\right) =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \nabla_{\mathbf{r}_0} \cdot \left(\mathbf{p} \left(\mathbf{r}_0\right) \frac{1}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0\right|} \right) d^3 \mathbf{r}_0 -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{\nabla_{\mathbf{r}_0} \cdot \mathbf{p} \left(\mathbf{r}_0\right)}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0\right|} d^3 \mathbf{r}_0\, .

발산 정리를 사용하면, 발산 항은 표면 적분으로 변환된다.

\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \nabla_{\mathbf{r}_0} \cdot \left(\mathbf{p} \left(\mathbf{r}_0\right) \frac{1}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0\right|}\right) d^3\mathbf{r}_0= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{\mathbf{p} \left(\mathbf{r}_0\right) \cdot d \mathbf{A}_0}\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0\right| \, ,

여기서 dA₀는 부피의 표면적 요소이다. p(r)이 상수인 경우, 표면 항만 남는다.

\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{1}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0\right|}\ \mathbf{p} \cdot d\mathbf{A}_0 \, ,

여기서 dA₀는 전하를 경계짓는 표면의 미소 면적이다. 즉, 표면 내의 상수 p에 의한 전위는 표면 전하의 전위와 같다.

\sigma = \mathbf{p} \cdot d \mathbf{A}

이는 p의 방향으로 구성 요소를 갖는 표면 요소에 대해 양수이고, 반대 방향으로 향하는 표면 요소에 대해 음수이다. (일반적으로 표면 요소의 방향은 요소의 위치에서 표면에 대한 바깥쪽 법선의 방향으로 간주된다.)

경계 표면이 구이고, 관찰 지점이 이 구의 중심에 있는 경우, 구의 표면에 대한 적분은 0이다. 전위에 대한 양의 표면 전하와 음의 표면 전하의 기여는 상쇄된다. 그러나 관찰 지점이 중심에서 벗어난 경우 (상황에 따라) 양전하와 음전하가 관찰 지점으로부터 다른 거리에 있기 때문에 순 전위가 발생할 수 있다. 표면 전하에 의한 필드는 다음과 같다.

\mathbf{E}\left(\mathbf{r}\right) = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \nabla_\mathbf{r} \int \frac{1}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0\right|}\ \mathbf{p} \cdot d\mathbf{A}_0\, ,

구형 경계 표면의 중심에서 0이 아니며 (중심 반대편의 양전하와 음전하의 장은 동일한 방향을 가리키기 때문에 더해진다) 대신 다음과 같다.

\mathbf{E} = -\frac{\mathbf{p}}{3 \varepsilon_0}\, .

만약 쌍극자의 분극이 외부 필드에 의해 유도되었다고 가정하면, 분극 필드는 가해진 필드에 반대하며 때때로 탈분극 필드라고 불린다. 분극이 구형 캐비티의 외부에 있는 경우, 주변 쌍극자에 의한 캐비티 내의 필드는 분극과 동일한 방향에 있다.

특히, 전기 감수율이 다음 근사를 통해 도입되는 경우:

\mathbf{p}(\mathbf{r}) = \varepsilon_0 \chi(\mathbf{r}) \mathbf{E}(\mathbf{r})\, ,

여기서 E는 이 경우와 다음에 분극을 유도하는 외부 필드를 나타낸다.

그러면:

\nabla \cdot \mathbf{p}(\mathbf{r}) = \nabla \cdot \left(\chi(\mathbf{r}) \varepsilon_0 \mathbf{E}(\mathbf{r})\right) = -\rho_\text{b}\, .

χ(r)이 두 영역 사이의 경계에서 단계 불연속성을 모델링하는 데 사용될 때마다, 이 단계는 표면 전하 층을 생성한다. 예를 들어, 한 표면의 바로 내부 지점에서 다른 표면의 바로 외부 지점까지 경계 표면에 수직으로 적분하면 다음과 같다.

\varepsilon_0 \hat{\mathbf{n}} \cdot \left[\chi\left(\mathbf{r}_+\right) \mathbf{E}\left(\mathbf{r}_+\right) - \chi\left(\mathbf{r}_-\right) \mathbf{E}\left(\mathbf{r}_-\right)\right] = \frac{1}{A_n} \int d \Omega_n\ \rho_\text{b} = 0 \, ,

여기서 A_n, Ω_n는 영역 사이의 경계를 가로지르는 미소 영역의 면적과 부피를 나타내고

\hat{\mathbf{n}}

는 표면에 대한 단위 법선이다. 오른쪽은 ρ_b가 유한하므로 부피가 줄어들면서 사라지며, E의 불연속성, 즉 표면 전하를 나타낸다. 즉, 모델링된 매질이 유전율의 단계를 포함하는 경우, 쌍극자 모멘트 밀도에 해당하는 분극 밀도

\mathbf{p}(\mathbf{r}) = \chi(\mathbf{r}) \mathbf{E}(\mathbf{r})

는 반드시 표면 전하의 기여를 포함한다.

p(r)의 물리적으로 더 현실적인 모델링은 경계에서 쌍극자 모멘트 밀도가 갑자기 0으로 단계적으로 변하는 것이 아니라, 감소하지만 부드럽게 0으로 떨어지도록 한다. 그러면 표면 전하는 무한히 얇은 표면에 집중되지 않지만, 부드럽게 변화하는 쌍극자 모멘트 밀도의 발산이므로 얇지만 유한한 전이 층 전체에 분포하게 된다.

5.3. 균일한 외부 전기장 내의 유전체 구

표면 전하에 대한 일반적인 언급은 균일한 전기장 내의 유전체 구의 예시를 통해 더 구체적으로 이해할 수 있다. 유전체 구는 내부의 쌍극자 모멘트와 관련된 표면 전하를 갖는 것으로 나타났다.

균일한 외부 전기장이 z 방향을 가리킨다고 가정하고, 이 장에 의해 생성된 전위가 다음과 같도록 구면 좌표계를 도입한다.

:

\phi_\infty = -E_\infty z = -E_\infty r \cos\theta \, .

구는 유전 상수 κ로 설명된다고 가정하며, 구 내부에서는

:

\mathbf{D} = \kappa \varepsilon_0 \mathbf{E} \, ,

이다. 구 내부의 전위는 라플라스 방정식을 만족하며, 그 해는 다음과 같다.

:

\phi_< = A r \cos\theta \, ,

구 외부의 경우:

:

\phi_> = \left(Br + \frac{C}{r^2} \right) \cos\theta \, .

먼 거리에서 φ_> → φ_∞이므로 B = −E_∞이다. 전위와 변위 D = κε₀E의 방사형 성분의 연속성은 다른 두 상수 값을 결정한다. 구의 반지름이 R이라고 가정하면,

:

A = -\frac{3}{\kappa + 2} E_\infty\ ;\ C = \frac{\kappa - 1}{\kappa + 2} E_\infty R^3\, ,

결과적으로, 전위는 다음과 같다.

:

\phi_> = \left(-r + \frac{\kappa - 1}{\kappa + 2} \frac{R^3}{r^2}\right) E_\infty \cos\theta\, ,

이는 인가된 장에 의한 전위이며, 유전체 구는 다음과 같은 쌍극자 모멘트를 가진다.

:

\mathbf{p} = 4 \pi \varepsilon_0 \left(\frac{\kappa - 1}{\kappa + 2} R^3\right) \mathbf{E}_\infty\, ,

또는, 단위 부피당:

:

\frac{\mathbf{p}}{V} = 3 \varepsilon_0 \left(\frac{\kappa - 1}{\kappa + 2}\right) \mathbf{E}_\infty\, .

인자 (κ − 1)/(κ + 2)는 클라우지우스-모소티 인자라고 불리며, κ < 1이면 유도된 분극이 부호가 바뀐다. 이 예시에서는 이런 일이 일어날 수 없지만, 두 개의 서로 다른 유전체가 있는 예시에서는 κ가 내부와 외부 영역의 유전 상수 비율로 대체될 수 있다. 구 내부의 전위는 다음과 같다.

:

\phi_< = -\frac{3}{\kappa + 2} E_\infty r \cos\theta\, ,

구 내부의 장은 다음과 같다.

:

-\nabla \phi_< = \frac{3}{\kappa + 2} \mathbf{E}_\infty = \left(1 - \frac{\kappa - 1}{\kappa + 2}\right)\mathbf{ E}_\infty\, ,

이는 쌍극자의 탈분극 효과를 보여준다. 구 내부의 장은 균일하고 인가된 장과 평행하며, 쌍극자 모멘트는 구 내부 전체에서 균일하다. 구의 표면 전하 밀도는 방사형 장 성분 간의 차이이다.

:

\sigma = 3 \varepsilon_0 \frac{\kappa - 1}{\kappa + 2} E_\infty \cos\theta = \frac{1}{V} \mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{R}}\, .

이 예시는 유전 상수 처리가 균일한 쌍극자 모멘트 모델과 동일하며 구 경계의 표면 전하를 제외하고는 모든 곳에서 0의 전하를 생성한다는 것을 보여준다.

5.4. 일반적인 매질

일반적인 경우, 부피 V에 갇힌 연속적인 전하 분포에 대해 쌍극자 모멘트는 다음과 같이 표현된다.

: $\mathbf{p}(\mathbf{r}) = \int_{V} \rho(\mathbf{r}') \left(\mathbf{r}' - \mathbf{r}\right) d^3 \mathbf{r}',$

여기서 r은 관측점을 나타내고, d³r′은 V의 미소 부피를 나타낸다. 점 전하 배열의 경우, 전하 밀도는 디랙 델타 함수의 합으로 표현된다.

: $\rho(\mathbf{r}) = \sum_{i=1}^N \, q_i \, \delta \left(\mathbf{r} - \mathbf{r}_i\right),$

여기서 각 r_i는 기준점에서 전하 q_i까지의 벡터이다. 위 적분 공식에 대입하면 다음과 같다.

: $\mathbf{p}(\mathbf{r}) =\sum_{i=1}^N \, q_i \int_V \delta\left(\mathbf{r}_0 - \mathbf{r}_i\right)\, \left(\mathbf{r}_0 - \mathbf{r}\right)\, d^3 \mathbf{r}_0 =\sum_{i=1}^N \, q_i \left(\mathbf{r}_i - \mathbf{r}\right).$

이 표현식은 전하 중성이며 N=2 인 경우 이전 표현식과 동일하다. 두 개의 반대 전하를 가진 경우, 양전하 위치를 r₊, 음전하 위치를 r₋로 나타내면 다음과 같다.

: $\mathbf{p}(\mathbf{r}) =q_1(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}) + q_2(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}) =q(\mathbf{r}_+ -\mathbf{r})-q(\mathbf{r}_- - \mathbf{r}) =q (\mathbf{r}_+ - \mathbf{r}_-) = q\mathbf{d},$

이는 쌍극자 모멘트 벡터가 음전하에서 양전하 방향을 가리킨다는 것을 보여준다. 위치 벡터가 원점에서 점까지 바깥쪽으로 향하기 때문이다.

쌍극자 모멘트는 전체적으로 중성인 전하 시스템(예: 반대 전하 쌍, 균일한 전기장 내 중성 도체)에서 유용하다. 이러한 시스템을 짝을 이룬 반대 전하 배열로 시각화하면, 전기 쌍극자 모멘트는 다음과 같이 표현된다.

: $\begin{align}\mathbf{p}(\mathbf{r})&= \sum_{i=1}^N\, \int_V q_i \left[\delta \left(\mathbf{r}_0 - \left(\mathbf{r}_i + \mathbf{d}_i\right)\right) - \delta\left(\mathbf{r}_0 - \mathbf{r}_i\right)\right]\, \left(\mathbf{r}_0 - \mathbf{r}\right)\ d^3 \mathbf{r}_0 \\&= \sum_{i=1}^N\, q_i\, \left[\mathbf{r}_i + \mathbf{d}_i - \mathbf{r} - \left(\mathbf{r}_i - \mathbf{r}\right)\right] \\&= \sum_{i=1}^N q_i \mathbf{d}_i = \sum_{i=1}^{N} \mathbf{p}_i \, ,\end{align}$

여기서 r은 관측점이고, d_i = r_i − r_i이며, r_i는 쌍극자 i의 음전하 위치, r_i는 양전하 위치이다. 이는 중성 전하 쌍의 개별 쌍극자 모멘트의 벡터 합이다. 전체 전하 중성이기 때문에 쌍극자 모멘트는 관찰자 위치 r에 독립적이다. 따라서 p의 값은 시스템의 전체 전하가 0인 경우 기준점 선택과 무관하다.

양성자와 같이 비중성 시스템의 쌍극자 모멘트를 논의할 때는 기준점 선택에 따라 값이 달라진다. 이 경우, 일반적으로 기준점을 시스템의 질량 중심으로 선택한다. 이는 관례의 문제일 뿐만 아니라, 쌍극자 모멘트 개념이 토크의 역학적 개념에서 파생되었기 때문이다. 질량 중심을 관측점으로 선택하는 것이 계산 및 이론적으로 유용하다. 전하를 띤 분자의 경우, 질량 중심 대신 전하 중심을 기준점으로 사용해야 한다. 중성 시스템의 경우 기준점은 중요하지 않으며, 쌍극자 모멘트는 시스템의 고유 특성이 된다.

전하 배열의 쌍극자 모멘트
: $\mathbf p = \sum_{i=1}^N q_i \mathbf {d_i} \, ,$
는 배열의 극성 정도를 결정하지만, 중성 배열의 경우 배열의 절대 위치 정보 없이 단순히 배열의 벡터 속성일 뿐이다. 배열의 쌍극자 모멘트 밀도 p(r)는 배열의 위치와 쌍극자 모멘트를 모두 포함한다. 전기장을 계산할 때, 맥스웰 방정식을 풀고 전하 배열 정보는 분극 밀도 P(r)에 포함된다. 필요한 정밀도에 따라 P(r)에 전하 배열 정보를 더 많이 또는 더 적게 표현해야 한다. 때로는 P(r) = p(r)로 충분하지만, 더 자세한 설명(예: 쌍극자 모멘트 밀도에 사중극자 밀도 추가)이나 더욱 정교한 P(r) 버전이 필요할 수 있다.

맥스웰 방정식에 들어가는 분극 밀도 P(r)이 중성 전하 배열의 쌍극자 모멘트 p 및 쌍극자 모멘트 밀도 p(r)(쌍극자 모멘트와 배열 위치 모두 설명)와 어떻게 관련되는지 살펴본다. 정적인 상황만 고려하므로 P(r)는 시간 의존성이 없고 변위 전류도 없다. 먼저 분극 밀도 P(r)에 대해 논의하고, 몇 가지 예를 제시한다.

맥스웰 방정식 공식에서 분극 밀도 P는 다음과 같이 정의된다.
: $\mathbf{D} = \varepsilon _0 \mathbf{E} + \mathbf{P}\, ,$

이 방정식의 발산은 다음과 같다.
: $\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_\text{f} = \varepsilon _0 \nabla \cdot \mathbf{E} +\nabla \cdot \mathbf{P}\, ,$

E의 발산 항은 총 전하, ρ_f는 "자유 전하"이므로 다음 관계가 성립한다.
: $\nabla \cdot \mathbf{P} = -\rho_\text{b} \, ,$

여기서 ρ_b는 결합 전하로, 총 전하 밀도와 자유 전하 밀도의 차이를 의미한다.

자기 효과가 없는 경우, 맥스웰 방정식은 다음을 지정한다.
: $\nabla \times \mathbf{E} = \boldsymbol{0}\, ,$
이는 다음을 의미한다.
: $\nabla \times \left( \mathbf{D} - \mathbf{P} \right) = \boldsymbol{0}\, ,$

헬름홀츠 분해를 적용하면,
: $\mathbf{D} - \mathbf{P} = -\nabla \varphi \, ,$
(여기서 φ는 스칼라 전위) 이고,
: $\nabla \cdot (\mathbf{D} - \mathbf{P}) = \varepsilon_0 \nabla \cdot \mathbf{E} = \rho_\text{f} + \rho_\text{b} = - \nabla^2 \varphi\, .$
이다.

전하가 자유 전하와 결합 전하로 나뉘고, 전위가
: $\varphi = \varphi_\text{f} + \varphi_\text{b}\, .$
로 나뉜다고 가정한다.

φ에 대한 경계 조건 만족은 φ_f와 φ_b 사이에 임의로 나눌 수 있다. 따라서 P는 편리한 경계 조건을 가진 결합 전하로 인한 전기장에 비례한다. 자유 전하가 없는 경우, 한 가지 가능한 선택은 P = ε₀ E 이다.

매질의 여러 쌍극자 모멘트 설명이 맥스웰 방정식에 들어가는 분극과 어떻게 관련되는지 논의한다.

전하 시스템에서 멀리 떨어진 영역에 대한 관찰만 이루어진다면, 정확한 분극 밀도에 대한 다중극 전개를 수행할 수 있다. 전개를 쌍극자 항에서 잘라내면, 전하 영역에 국한된 균일한 쌍극자 모멘트에 의해 생성된 분극 밀도와 구별할 수 없다. 이 쌍극자 근사 정확도에 따라, 쌍극자 모멘트 밀도 p(r)( p와 p 위치 포함)는 P(r) 역할을 한다.

전하 배열 내부 위치에서, 짝을 이룬 전하 배열을 p(r)만 포함하는 근사치에 연결하려면 추가 고려가 필요하다. 가장 간단한 근사는 전하 배열을 이상적인(무한히 간격을 둔) 쌍극자 모델로 대체하는 것이다. 특히, 유한 영역에 국한된 일정한 쌍극자 모멘트 밀도를 사용하면 표면 전하와 분극 해제장이 발생한다. 이 모델의 일반적인 버전(분극이 위치에 따라 변하도록 허용)은 전기 감수율 또는 유전율을 사용한다.

점전하 배열의 복잡한 모델은 미세 전하를 평균하여 유효 매질 근사를 도입한다. 예를 들어, 평균을 통해 쌍극자 장만 역할을 하도록 할 수 있다. 관련 접근 방식은 전하를 관찰 지점 근처 전하와 다중극 전개를 허용할 만큼 멀리 떨어진 전하로 나눈다. 근처 전하는 국부장 효과를 발생시킨다. 일반적인 모델에서, 먼 전하는 유전 상수를 사용하여 균질 매질로 처리하고, 근처 전하는 쌍극자 근사치로만 처리한다. 매질 또는 전하 배열을 쌍극자 및 관련 쌍극자 모멘트 밀도로 근사하는 것을 점 쌍극자 근사, 이산 쌍극자 근사, 또는 쌍극자 근사라고 한다.

6. 기본 입자의 전기 쌍극자 모멘트

전자와 중성자 등 기본 입자의 전기 쌍극자 모멘트(EDM)를 측정하기 위한 여러 실험이 진행 중이다. EDM은 패리티(P)와 시간 반전(T) 대칭성을 모두 위반하므로, 그 값은 자연에서 CP-위반이 얼마나 일어나는지를 보여주는 중요한 척도가 된다 (CPT 대칭성이 유효하다고 가정할 때). 이러한 EDM 값은 입자 물리학의 표준 모형을 확장한 이론들이 허용할 수 있는 CP-위반의 크기에 강력한 제한을 가한다. 현재 실험들은 초대칭성 범위의 EDM을 측정할 수 있도록 설계되어, LHC에서 수행되는 실험을 보완한다.

많은 이론들이 현재의 한계와 맞지 않아 배제되었으며, 기존 이론은 이러한 한계보다 훨씬 큰 값을 허용하여 강 CP 문제를 일으키고 액시온과 같은 새로운 입자를 찾게 만들었다.

유카와 상호작용에서 CP가 깨진다는 것은 중성 K 중간자 진동을 통해 알려져 있다. 전자 및 중성자와 같은 다양한 입자의 전기 쌍극자 모멘트를 측정하기 위한 실험이 수행되었다. 추가적인 CP 위반 항을 가진 표준 모형 너머의 많은 모델들은 0이 아닌 전기 쌍극자 모멘트를 예측하며, 이는 새로운 물리학에 대한 민감한 지표가 된다. 양자 색역학에서 0이 아닌 θ 항으로부터의 인스턴톤 보정은 실험에서 관찰되지 않은 중성자와 양성자에 대한 0이 아닌 전기 쌍극자 모멘트를 예측한다(최고의 경계는 중성자 분석에서 얻어짐). 이것은 강 CP 문제이며, 손지기 섭동 이론의 예측이다.

7. 분자의 쌍극자 모멘트

분자 내 쌍극자 모멘트는 외부 전기장 하에서 물질의 거동에 영향을 미친다. 쌍극자는 외부 전장에 정렬되는 경향이 있으며, 이는 상수이거나 시간에 따라 변동될 수 있다. 이 효과는 유전체 분광법이라고 하는 현대적인 실험 기법의 기초를 형성한다.

쌍극자 모멘트는 물과 같은 흔한 분자뿐만 아니라 단백질과 같은 생체 분자에서도 발견될 수 있다.

어떤 물질의 총 쌍극자 모멘트를 이용하여 전도도와 더 직관적으로 관련된 개념인 유전 상수를 계산할 수 있다.

전자 구조 이론으로부터 쌍극자 모멘트를 계산하는 것이 가능하며, 이는 일정한 전기장에 대한 반응으로 또는 밀도 행렬로부터 계산할 수 있다. 그러나 이러한 값들은 핵 양자 효과의 존재 가능성 때문에 실험 결과와 직접적으로 비교하기 어려운데, 이는 암모니아 분자와 같은 간단한 시스템에도 상당할 수 있다. 결합 클러스터 이론(특히 CCSD(T))은 매우 정확한 쌍극자 모멘트를 제공할 수 있으며, 밀도 범함수 이론으로부터 (약 5% 이내의) 합리적인 추정값을 얻는 것이 가능하며, 특히 하이브리드 범함수 또는 이중 하이브리드 범함수를 사용할 경우 더욱 그렇다. 분자의 쌍극자 모멘트는 그룹 기여도 방법의 개념을 사용하여 분자 구조를 기반으로 계산할 수도 있다.

전기 쌍극자 모멘트는 원점 근처에 국한된 전하 분포를 근사하는 다중극 전개에서의 첫 번째 근사이며, 전하의 총합이 0인 경우에 전기 쌍극자의 총합으로 근사됨을 의미한다.

전기 쌍극자 모멘트의 물리적인 실체로는 전자와 원자핵의 결합 상태인 원자나, 원자 간의 결합 상태인 분자가 있다.

예를 들어 물 분자의 경우, 산소 원자가 전자를 끌어당기고 있으며, 분자 모양도 굽어 있기 때문에, 산소 원자가 음전하, 수소 원자가 양전하로 편향된 전기 쌍극자로 간주할 수 있다. 이처럼 전장이 걸려 있지 않은 상태에서도 분자가 갖는 전기 쌍극자를 영구 쌍극자라고 부른다.

또한 원자나 분자에 외부 전장을 가하면 전하의 편향이 생겨 분극된다. 이때의 전기 쌍극자를 유도 쌍극자라고 한다.