점과 직선 사이의 거리

2. 공식

평면 좌표계, 벡터 등 다양한 표현 방식에 따른 점과 직선 사이의 거리를 구하는 공식들을 소개한다.

2.1. 직선의 방정식으로 정의된 경우

평면에서 직선이 $ax + by + c = 0$ 형태로 주어질 때 ($a$, $b$, $c$는 실수 상수이고, $a$와 $b$는 동시에 0이 아니다), 점 $(x_0, y_0)$에서 이 직선까지의 거리는 다음과 같다.

:$\backslash frac$

2.3. 벡터 표현을 사용한 경우

3. 증명

점과 직선 사이의 거리 공식은 대수적, 기하학적, 벡터 등 다양한 방법으로 증명될 수 있다.

3.1. 대수적 증명

이 증명은 a와 b가 모두 0이 아닌 값을 가질 때만 사용 가능하다. 즉, 직선이 수직선이나 수평선이 아닌 경우에 해당한다.

직선 ax + by + c = 0의 기울기는 -a/b이다. 따라서 이 직선에 수직인 직선의 기울기는 b/a(기울기의 역수에 음수를 취한 값)이다. 점 (x₀, y₀)을 지나고 기울기가 b/a인 직선과 ax + by + c = 0이 만나는 교점을 (m, n)이라고 하자. 그러면 기울기의 정의에 의해 다음 식이 성립한다.

:$\backslash frac\{y\_0\; -\; n\}\{x\_0\; -\; m\}=\backslash frac\{b\}\{a\}$

이를 정리하면 $a(y\_0\; -n)\; -\; b(x\_0\; -\; m)\; =\; 0$이고, 양변을 제곱하면 다음 식을 얻는다.

:$a^2(y\_0\; -\; n)^2\; +\; b^2(x\_0\; -\; m)^2\; =\; 2ab(y\_0\; -\; n)(x\_0\; -\; m)$

이제 다음 식을 고려해보자.

:$$
\begin{align}
(a(x_0 - m) + b(y_0 - n))^2 & = a^2(x_0 - m)^2 + 2ab(y_0 -n)(x_0 - m) + b^2(y_0 - n)^2 \\
& = \left(a^2 + b^2\right) \left((x_0 - m)^2 + (y_0 - n)^2\right)
\end{align}


여기서 (m, n)은 ax + by + c = 0 위의 점이므로, 다음 식도 성립한다.

:$(a(x\_0\; -\; m)\; +\; b(y\_0\; -\; n))^2\; =\; (ax\_0\; +\; by\_0\; -\; am\; -\; bn)^2\; =\; (ax\_0\; +\; by\_0\; +\; c)^2$

따라서 위 두 식을 연립하면 다음을 얻는다.

:$\backslash left(a^2\; +\; b^2\backslash right)\; \backslash left((x\_0\; -\; m)^2\; +\; (y\_0\; -\; n)^2\backslash right)\; =\; (ax\_0\; +\; by\_0\; +\; c)^2$

유클리드 거리의 정의에 의해 (m, n)과 (x₀, y₀)의 거리는 다음과 같이 유도된다.

:$d=\backslash sqrt\{(x\_0\; -\; m)^2+(y\_0\; -\; n)^2\}\; =\; \backslash frac$

3.3. 벡터의 사영을 사용한 증명

4. 추가 공식

점과 직선 사이의 최단 거리를 구하는 다른 공식들을 유도할 수 있다. 이 유도 과정은 직선이 수직이나 수평이 아님을 전제로 한다.

점 P의 좌표가 ($x\_0,\; y\_0$)로 주어지고, 직선의 방정식이 $y=mx+k$(기울기-절편 형태)로 주어질 때, 점 P를 지나고 이 직선에 수직인 직선의 방정식은 $y=\backslash frac\{x\_0-x\}\{m\}+y\_0$이다.

두 직선의 교점은 원래 직선에서 점 P에 가장 가까운 점이다. 따라서:

:$mx+k=\backslash frac\{x\_0-x\}\{m\}+y\_0.$

이 방정식을 x에 대해 풀면,

:$x=\backslash frac\{x\_0+my\_0-mk\}\{m^2+1\}.$

교점의 y 좌표는 이 x 값을 원래 직선의 방정식에 대입하여 구할 수 있다.

:$y=m\backslash frac\{(x\_0+my\_0-mk)\}\{m^2+1\}+k.$

두 점 사이의 거리를 구하는 공식 $d=\backslash sqrt\{(X\_2-X\_1)^2+(Y\_2-Y\_1)^2\}$을 사용하면, 직선과 점 사이의 최단 거리를 구하는 공식은 다음과 같다.

:$d=\backslash sqrt\{\; \backslash left(\; \{\backslash frac\{x\_0\; +\; m\; y\_0-mk\}\{m^2+1\}-x\_0\; \}\; \backslash right)\; ^2\; +\; \backslash left(\; \{m\backslash frac\{x\_0+m\; y\_0-mk\}\{m^2+1\}+k-y\_0\; \}\backslash right)\; ^2\; \}\; =\; \backslash frac$