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퐁슬레-슈타이너 정리

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목차

1. 개요

퐁슬레-슈타이너 정리는 자와 주어진 원(중심 포함)만 사용하여 자와 컴퍼스로 작도 가능한 모든 것을 작도할 수 있다는 기하학적 정리이다. 1822년 장 빅토르 퐁슬레가 제안하고 1833년 야코프 슈타이너가 증명했다. 이 정리는 사영 기하학의 기본 결과로, 컴퓨터 그래픽스, 계산 기하학, 건축 설계 등 다양한 분야에 실용적으로 적용될 수 있다. 또한, 퐁슬레-슈타이너 정리는 컴퍼스만으로 작도 가능한 모든 것을 자를 사용하여 작도할 수 있다는 모어-마셰로니 정리와 대조된다. 이 정리는 다양한 제한된 작도 패러다임, 예를 들어 녹슨 컴퍼스, 슈타이너 작도, 네우시스 작도 등과 관련이 있으며, 평면에서 원의 중심을 작도하는 문제와도 연결된다.

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퐁슬레-슈타이너 정리

2. 역사

"'야코프 슈타이너'의 책 ''직선과 고정된 원을 사용하여 수행한 기하학적 작도, 고등 교육 기관에서의 교육 주제 및 실용적 사용; 야코프 슈타이너 저, 철학 박사, 프로이센 왕립 교수이자 베를린 상업학교 수학 강사. 구리판 2개 포함. 베를린, 페르디난트 뒴믈러 출판. 1833.'""


10세기 페르시아 수학자 아부 알-와파 부즈자니는 자와 고정된 간격의 컴퍼스(일명 '녹슨 컴퍼스')를 사용한 기하학적 작도를 연구했다. 16세기 중반에는 컴퍼스 간격의 크기가 고정되었지만 임의적이라고 간주하고 유클리드의 작도 중 얼마나 많은 것을 얻을 수 있는가 하는 문제가 중요해졌다.[1]

르네상스 시대 로도비코 페라리는 니콜로 폰타나 타르탈리아에 맞선 "수학적 도전"에서 제롤라모 카르다노의 제자였는데, 유클리드 원론의 처음 여섯 권에 나오는 자와 컴퍼스 작도인 "모든 유클리드" 작도를 자와 녹슨 컴퍼스로 수행할 수 있음을 보였다. 이후 10년 안에 카르다노, 타르탈리아, 베네데티가 추가적인 해결책을 제시했다.[2] 1673년 게오르크 모어는 자신의 해결책을 담은 ''Euclidis Curiosi''를 익명으로 출판했다. 모어는 이전 결과에 대해 전해 듣고 이 문제에 매달리게 되었다.[3]

자와 컴퍼스로 수행할 수 있는 모든 작도를 자와 녹슨 컴퍼스만으로 수행할 수 있다는 것을 증명하기 위해서는 자와 컴퍼스가 무엇을 작도할 수 있는지 공식화해야 했다. 1822년 장 빅토르 퐁슬레는 모어-마셰로니 정리에 대한 모어의 연구에서 영감을 받아 이러한 기초 작업을 제공했다. 퐁슬레는 자와 녹슨 컴퍼스가 자와 컴퍼스와 동등하며, 녹슨 컴퍼스는 단 한 번만 사용하면 된다고 추측하고 가능한 증명을 제시했다.[4] 1833년 야코프 슈타이너는 ''자와 주어진 중심을 가진 단일 원은 자와 컴퍼스와 동등하다''는 정리를 증명했다.[4][1]

이후 프란체스코 세베리, 라자르 카르노, 카를 폰 슈타우트, 주세페 페아노 등이 이 분야에 주요 기여를 했다.

2. 1. 초기 연구

10세기에 페르시아 수학자 아부 알-와파 부즈자니는 자와 고정된 간격의 컴퍼스(일명 '녹슨 컴퍼스')를 사용한 기하학적 작도를 연구했다. 이러한 작도 방식은 레오나르도 다 빈치, 알브레히트 뒤러와 같은 르네상스 시대 예술가들이 사용하면서 실용적 중요성을 갖게 되었다.[1]

16세기 중반, 제롤라모 카르다노의 제자 로도비코 페라리는 니콜로 폰타나 타르탈리아와의 "수학적 도전"에서 자와 녹슨 컴퍼스만으로 모든 유클리드 작도(유클리드 원론의 처음 여섯 권에 나오는 자와 컴퍼스 작도)를 수행할 수 있음을 보였다. 이후 10년 안에 카르다노, 타르탈리아, 그리고 타르탈리아의 제자 베네데티가 추가적인 해결책을 제시했다.[2]

1673년, 게오르크 모어는 자신의 해결책을 담은 책 ''Euclidis Curiosi''를 익명으로 출판했다. 모어는 이전 연구 결과에 대해 전해 듣고 이 문제에 매달리게 되었다.[3]

자와 녹슨 컴퍼스로 모든 유클리드 작도를 수행할 수 있다는 것을 보이는 것은, 자와 컴퍼스로 수행 가능한 모든 작도를 자와 녹슨 컴퍼스만으로 할 수 있다는 증명과는 달랐다. 1822년 장 빅토르 퐁슬레는 모어-마셰로니 정리에 대한 모어의 연구에서 영감을 받아 자와 컴퍼스가 무엇을 작도할 수 있는지에 대한 기초 작업을 제공했다. 퐁슬레는 자와 녹슨 컴퍼스가 자와 컴퍼스와 동등하며, 녹슨 컴퍼스는 단 한 번만 사용해도 충분하다고 추측하고 증명 가능한 방법을 제시했다. 1833년 야코프 슈타이너는 ''자와 주어진 중심을 가진 단일 원은 자와 컴퍼스와 동등하다''는 정리를 증명했다.[4][1]

이후 프란체스코 세베리, 라자르 카르노, 카를 폰 슈타우트, 주세페 페아노 등이 이 분야에 주요 기여를 했다.

2. 2. 퐁슬레와 슈타이너의 증명

19세기 장 빅토르 퐁슬레는 자와 컴퍼스로 작도 가능한 모든 것은 자와 주어진 원(중심 포함)으로도 가능하다는 것을 추측하고, 가능한 증명을 제시했다.[4][1] 1833년 야코프 슈타이너는 퐁슬레의 추측을 증명하여, ''자와 주어진 중심을 가진 단일 원은 자와 컴퍼스와 동등하다''는 퐁슬레-슈타이너 정리가 확립되었다.[4][1]

이후 프란체스코 세베리, 라자르 카르노, 카를 폰 슈타우트, 주세페 페아노 등이 이 분야 연구에 기여했다.

3. 관련 작도법

퐁슬레-슈타이너 정리와 관련된 작도법으로는 슈타이너 작도와 녹슨 컴퍼스 작도가 있다.
슈타이너 작도는 자만을 사용하여 수행하는 모든 기하학적 작도를 의미하며, 야코프 슈타이너가 이 주제를 연구했기 때문에 "자만 사용 작도"라고도 불린다. 퐁슬레-슈타이너 정리에 따른 작도, 즉 컴퍼스 없이 자와 평면에 미리 주어진 원(중심 포함)만을 사용하는 작도는 슈타이너 작도의 특수한 경우이다.
녹슨 컴퍼스 작도는 경첩이 녹슬어 다리 폭을 조절할 수 없는 컴퍼스를 사용하는 작도법이다. 이는 거리가 고정되어 미리 결정된, 일정하지만 임의의 반지름으로 원을 그리는 컴퍼스를 의미한다. 자와 녹슨 컴퍼스만으로도 자와 표준 컴퍼스로 가능한 모든 것을 구성하기에 충분하다.[1]

3. 1. 슈타이너 작도

'''슈타이너 작도'''는 자만을 사용하여 수행하는 모든 기하학적 작도를 의미한다. 야코프 슈타이너가 이 주제를 연구했기 때문에 "자만 사용 작도"라고 불리기도 한다. 퐁슬레-슈타이너 정리에 따른 작도, 즉 컴퍼스 없이 자와 평면에 미리 주어진 원(중심 포함)만을 사용하는 작도는 슈타이너 작도의 특수한 경우이다.

퐁슬레-슈타이너 정리는 실제 컴퍼스를 사용하지 않고, 평면에 이미 주어진 원과 중심만으로도 모든 작도가 가능함을 보여준다. 따라서 퐁슬레-슈타이너 정리를 따르는 모든 작도는 슈타이너 작도에 해당한다. 그러나 모든 슈타이너 작도가 퐁슬레-슈타이너 정리처럼 평면에 중심이 있는 원이 하나만 있어야 한다는 엄격한 조건을 따르는 것은 아니다.

3. 2. 녹슨 컴퍼스 작도

녹슨 컴퍼스는 경첩이 녹슬어 다리 폭을 조절할 수 없는 컴퍼스를 말한다. 본질적으로, 거리가 고정되어 미리 결정된, 일정하지만 임의의 반지름으로 원을 그리는 컴퍼스이다. 임의의 점에서 원을 그릴 수 있지만, 반지름은 변경할 수 없다.[1]

제한적인 작도 패러다임으로서, *녹슨 컴퍼스 작도*는 자와 고정 폭 컴퍼스의 사용을 허용한다. 녹슨 컴퍼스 등가성은 다음과 같다.[1]

:''컴퍼스-자와 구성의 고유한 설명을 위해 필요한 모든 점은 자와 고정 폭 컴퍼스로 얻을 수 있다.''[1]

자와 녹슨 컴퍼스만으로도 자와 표준 컴퍼스로 가능한 모든 것을 구성하기에 충분하다. 이는 임의의 반지름의 원호를 그릴 수 없으며, 구성 목적보다는 미적 목적을 위해서만 그려야 한다는 것을 암시한다. 역사적으로 이것은 퐁슬레-슈타이너 정리가 증명되었을 때 증명되었는데, 이는 더 강력한 결과이다. 따라서 녹슨 컴퍼스는 퐁슬레-슈타이너 정리보다 약하지 않다. 녹슨 컴퍼스도 더 강력하지 않다.[1]

4. 관련 개념 및 용어

퐁슬레-슈타이너 정리와 관련된 다양한 개념, 도구, 용어 등은 다음과 같다.


  • '''사영 기하학''': 사영 변환 하에서 변하지 않는 기하학적 성질을 연구하는 분야이다. 장 빅토르 퐁슬레와 야코프 슈타이너는 사영 기하학의 개념(공점, 무한 원점, 원근법, 교차비, 쌍대성 등)을 활용하여 퐁슬레-슈타이너 정리를 제안하고 증명했다.
  • '''무한대점''': 사영 기하학에서 사용되는 개념으로, 선의 "끝점" 또는 평면의 지평선과 교차하는 점을 의미한다. 모든 평행선은 동일한 무한대점을 공유하며, 무한대점 개념은 슈타이너 작도를 가능하게 하고 증명하는 데 중요한 역할을 한다.
  • '''선 또는 원의 묶음(Pencil)''': 펜슬은 일반적으로 기하학적 맥락에서만 사용되는 용어로, 정확히 두 개의 원소에 의해 고유하게 식별되는 공통적인 속성을 공유하는 기하학적 대상들의 집합을 의미한다. 예를 들어, ''직선의 펜슬''은 동일한 점을 통과하는(공점성) 직선들의 집합이다. ''원의 펜슬''은 동일한 근축(직선)을 갖는 원들의 집합으로 해석된다. ''점의 펜슬''은 주어진 선 상의 모든 점의 집합을 의미하며, 이 집합의 임의의 두 점은 동일한 선을 정의한다.

4. 1. 사영 기하학

사영 변환 하에서 불변하는 기하학적 속성을 연구하는 사영 기하학은 퐁슬레-슈타이너 정리와 밀접하게 관련되어 있다. 장 빅토르 퐁슬레와 야코프 슈타이너는 사영 기하학의 개념(공점, 무한 원점, 원근법, 교차비, 쌍대성 등)을 활용하여 정리를 제안하고 증명했다.

4. 2. 무한대점

무한대점은 사영 기하학에서 사용되는 개념으로, 선의 "끝점" 또는 평면의 지평선과 교차하는 점을 의미한다. 모든 평행선은 동일한 무한대점을 공유하며, 무한대점 개념은 슈타이너 작도를 가능하게 하고 증명하는 데 중요한 역할을 한다.

4. 3. 선 또는 원의 묶음(Pencil)

'''펜슬'''은 일반적으로 기하학적 맥락에서만 사용되는 용어로, 정확히 두 개의 원소에 의해 고유하게 식별되는 공통적인 속성을 공유하는 기하학적 대상들의 집합을 의미한다. 문제의 속성은 보통 기하학적 대상으로 표현된다. 예를 들어, ''직선의 펜슬''은 동일한 점을 통과하는(공점성) 직선들의 집합이다. 두 직선은 한 점(교차점)에서 만나며, 이 점이 속성을 정의하는 기하학적 대상이 된다. 따라서 같은 점에서 교차하는 모든 직선은 펜슬에 속하며, 그렇지 않은 직선은 속하지 않는다.

''원의 펜슬''은 동일한 근축(직선)을 갖는 원들의 집합으로 해석된다. 어떤 원이 펜슬 내의 다른 원과 동일한 근축을 공유하면, 그 원은 펜슬에 포함된다. ''점의 펜슬''은 주어진 선 상의 모든 점의 집합을 의미하며, 이 집합의 임의의 두 점은 동일한 선을 정의한다.

이것들이 일반적인 의미이지만, 기하학자가 선택한 어떤 속성이든 유효하며, 펜슬은 두 개의 서로 다른 구성원에 의해 완전히 정의되는 (잠재적으로 무한한) 기하학적 대상의 전체 집합이다.

5. 슈타이너 정리와 힐베르트의 오류

슈타이너 정리는 평면에 원 하나만 주어지고 중심이 주어지지 않은 경우, 자만으로는 그 중심을 작도할 수 없음을 증명한다. 이는 다비드 힐베르트의 "힐베르트의 오류"로도 알려져 있으며, 선형 사영 변환의 가역성과 관련된 논리를 통해 증명된다.[1]

하지만 중심은 충분한 추가 정보가 주어지면 생략될 수 있다. 이는 퐁슬레-슈타이너 정리의 약화가 아니라 대안적인 프레임워크일 뿐이다. 대부분의 경우 최소 두 개의 원을 포함하며, 사영 변환 하에서 매핑을 명확하게 하여 다양한 슈타이너 작도를 통해 원의 중심을 복구할 수 있게 한다.[1]

이러한 대안에는 두 개의 동심원 또는 두 개의 교차하는 원, 또는 세 개의 원 등, 제공된 원의 중심이 없는 기타 변형이 포함될 수 있다. 각각의 경우, 동심성, 교차점, 세 번째 원 등과 같이 고유하지만 충분한 추가 기준이 충족된다. 다른 구성도 존재하며, 충분한 대안 정보가 제공되는 단일 원 구성도 가능하다. 이러한 경우, 원의 중심을 작도할 수 있어, 문제를 퐁슬레-슈타이너 정리 가설로 줄일 수 있다.[1]

6. 구성적 증명 개요

이 정리를 증명하기 위해, 각 자, 컴퍼스 작도의 기본 작도가 자만을 사용하여 가능함을 증명해야 한다(평면에 원과 그 중심이 존재한다는 전제하에). 즉, 모든 작도는 다음 다섯 가지 기본 작도 단계를 포함하는 일련의 단계로 작성할 수 있다.

기본 작도 1에서 5까지를 왼쪽에서 오른쪽으로 보여준다. 윗줄은 주어진 정보이고, 아랫줄은 원하는 작도이며, 빨간색은 새로운 정보를 나타낸다.


# 두 개의 기존 점을 지나는 선 만들기

# 한 점을 지나고 다른 점을 중심으로 하는 원 만들기

# 두 개의 기존, 평행하지 않은 선의 교차점인 점 만들기

# 선과 원의 교차점에서의 하나 또는 두 개의 점 만들기 (교차하는 경우)

# 두 원의 교차점에서의 하나 또는 두 개의 점 만들기 (교차하는 경우).

이러한 기본 요소가 평면에 내장된 자와 임의의 원(중심 포함)만으로 달성될 수 있다면, 이 문서의 정리에 대한 주장이 증명된 것이다.

'''#1 – 두 점을 지나는 선'''

이것은 자만으로 할 수 있다.

'''#3 – 두 선의 교차점'''

이 작도 또한 자로 직접 할 수 있다.

'''#4, #5 – 원을 포함하는 교차점'''

따라서 이 정리를 증명하기 위해서는 자와 주어진 원 및 그 중심만을 사용하여 작도 #4와 #5가 가능함을 증명해야 한다.

7. 구성적 증명

선과 원의 교점을 자와 컴퍼스만으로 작도하는 방법


이 작도는 제공된 원 O(r)영어의 사용을 필요로 한다. 어떤 선이든 컴퍼스로 그려진 원과 자연스럽게 교차할 수 있다.

주어진 것은 선 (검정색)과 컴퍼스로 작도되지 않은 원 P(Q)영어이다. 원 P(Q)영어와 선의 교점, 즉 점 A영어와 B영어는 다음과 같이 작도할 수 있다.

1. 원을 정의하는 점들을 지나는 선 PQ영어 (빨간색)을 그린다.

  • 점 O영어가 선 PQ영어와 공선점이면, 선분 PQ영어는 원의 중심점 P영어를 중심으로 회전해야 하며, 이 작성을 처음부터 다시 시작해야 한다.

2. 제공된 원의 중심 O영어를 지나고 선 PQ영어에 평행한 선 (주황색)을 작도한다.

  • 이 평행선은 제공된 원과 두 점에서 교차하며, 그 중 하나를 임의로 선택한다: R영어.

3. 두 원의 중심(즉, 컴퍼스로 제공된 원과 교차할 원)을 지나는 선 PO영어 (연두색)을 그린다.

4. 두 원의 둘레 위의 두 점을 연결하는 선 QR영어 (하늘색)을 그린다.

5. 선 PO영어와 선 QR영어의 교점을 점 X영어에서 구한다.

  • 선 PO영어와 선 QR영어가 평행하여 점 X영어가 존재하지 않는 경우, 이는 원 P(Q)영어와 O(r)영어의 반지름이 같기 때문에 발생하며, 2단계로 돌아가 교차점 R영어을 다른 점으로 선택한다.

6. 선 위에 임의의 점 M영어을 선택하되, 선 PO영어 위에 있지 않도록 하고, 선 PM영어 (자홍색)을 그린다.

  • 작성을 단순화하기 위해, 선 PQ영어가 선과 평행하지 않은 경우에만 선 PM영어과 선 PQ영어가 일치할 수 있다.

7. 선 MX영어 (갈색)을 그린다.

8. 제공된 원의 중심 O영어를 지나고 선 PM영어에 평행한 선 (진한 보라색)을 작도한다.

  • 이 평행선은 선 MX영어와 점 N영어에서 교차한다.

9. 점 N영어을 지나고 선에 평행한 선 (노란색)을 작도한다.

  • 이 평행선은 제공된 원과 점 C영어와 D영어에서 교차한다.
  • 이 평행선이 제공된 원과 교차하지 않으면, 선도 원 P(Q)영어와 교차하지 않는다.

10. 선 CX영어와 선 DX영어 (둘 다 진한 파란색)을 그린다.

  • 이 선들은 모두 선과 각각 점 A영어와 B영어에서 교차한다.

11. 점 A영어와 B영어는 선과 원 P(Q)영어의 원하는 교점이다.

7. 1. 예비 작도

이등분된 선분을 포함하는 주어진 임의의 선에 대한 임의의 점을 통과하는 평행선의 작도


임의의 선(검은색) 위에 두 점 와 가 있고, 그 사이에 중점 이 있으며, 평면의 임의의 점 (선 위에 있지 않다고 가정)를 지나 선 의 평행선을 작도하는 방법은 다음과 같다.

# 선 (빨간색)을 작도한다.

# 선 (주황색)을 작도한다.

# 선 위에 임의의 점 을 정의한다.

# 선 (녹색)을 작도한다.

# 선 (밝은 파란색)을 작도한다.

# 선 과 선 는 점 에서 교차한다.

# 선 (자홍색)을 작도한다.

# 선 과 선 는 점 에서 교차한다.

# 선 (진한 파란색)을 작도하는데, 이것이 원하는 평행선이다.[1]

일부 문헌에서는 이등분된 선분을 선 위에 존재하는 1차원 "원"으로 간주하기도 한다.[1]

이 작도는 사영 조화 공액 작도의 특수한 경우이다.[1]

7. 2. 선과 원의 교점 작도 (기본 작도 #4)



이 작도는 제공된 원 O(r)영어의 사용을 필요로 한다. 어떤 선이든 컴퍼스로 그려진 원과 자연스럽게 교차할 수 있다.

주어진 것은 선 (검정색)과 컴퍼스로 작도되지 않은 원 P(Q)영어이다. 원 P(Q)영어와 선 의 교점, 즉 점 A영어와 B영어는 다음과 같이 작도할 수 있다:

# 원을 정의하는 점들을 지나는 선 PQ영어 (빨간색)을 그린다.

#* 점 O영어가 선 PQ영어와 공선점이면, 선분 PQ영어는 원의 중심점 P영어를 중심으로 회전해야 하며, 이 작성을 처음부터 다시 시작해야 한다.

# 제공된 원의 중심 O영어를 지나고 선 PQ영어에 평행한 선 (주황색)을 작도한다.

#* 이 평행선은 제공된 원과 두 점에서 교차하며, 그 중 하나를 임의로 선택한다: R영어.

# 두 원의 중심(즉, 컴퍼스로 제공된 원과 교차할 원)을 지나는 선 PO영어 (연두색)을 그린다.

# 두 원의 둘레 위의 두 점을 연결하는 선 QR영어 (하늘색)을 그린다.

# 선 PO영어와 선 QR영어의 교점을 점 X영어에서 구한다.

#* 선 PO영어와 선 QR영어가 평행하여 점 X영어가 존재하지 않는 경우, 이는 원 P(Q)영어와 O(r)영어의 반지름이 같기 때문에 발생하며, 2단계로 돌아가 교차점 R영어을 다른 점으로 선택한다.

# 선 위에 임의의 점 M영어을 선택하되, 선 PO영어 위에 있지 않도록 하고, 선 PM영어 (자홍색)을 그린다.

#* 작성을 단순화하기 위해, 선 PQ영어가 선 과 평행하지 않은 경우에만 선 PM영어과 선 PQ영어가 일치할 수 있다.

# 선 MX영어 (갈색)을 그린다.

# 제공된 원의 중심 O영어를 지나고 선 PM영어에 평행한 선 (진한 보라색)을 작도한다.

#* 이 평행선은 선 MX영어와 점 N영어에서 교차한다.

# 점 N영어을 지나고 선 에 평행한 선 (노란색)을 작도한다.

#* 이 평행선은 제공된 원과 점 C영어와 D영어에서 교차한다.

#* 이 평행선이 제공된 원과 교차하지 않으면, 선 도 원 P(Q)영어와 교차하지 않는다.

# 선 CX영어와 선 DX영어 (둘 다 진한 파란색)을 그린다.

#* 이 선들은 모두 선 과 각각 점 A영어와 B영어에서 교차한다.

# 점 A영어와 B영어는 선 과 원 P(Q)영어의 원하는 교점이다.

7. 3. 두 원의 교점 작도 (기본 작도 #5)

두 원의 교차는 이전 두 작도의 조합으로 가능하다.

# 두 원 사이의 근축을 작도한다.

# 임의로 선택된 두 원 중 하나와 근축 사이의 교점을 작도한다.

#* 근축은 직선이므로, 이 작도는 원과 직선의 교차 작도(기본 작도 #4)에 따라 가능하다.

# 이 점들이 원의 교점이다.

#* 두 원과 근축은 모두 같은 점의 궤적에서 교차한다. (두 점, 접할 경우 한 점, 교차하지 않을 경우 없음)

#* 근축이 한 원과 교차하지 않으면 다른 원과도 교차하지 않으며, 두 원도 교차하지 않는다.

7. 4. 한 점을 중심으로 하고 다른 점을 지나는 원 (기본 작도 #2, 재고)

두 번째 기본 작도는 원의 중심과 원주 위의 한 점으로 완전한 원을 정의하는 것이다. 이는 원을 작도에 활용하기 위해 컴퍼스로 원호를 그릴 필요가 없음을 의미한다. 즉, 원과 원의 교점, 그리고 원과 직선의 교점은 원과 관련된 모든 작도의 본질이며, 원호 없이도 가능하다. 다시 말해, 중심점과 원주 위의 점으로 정의된 임의의 원은 임의의 직선이나 다른 원과 교차할 수 있으며, 원호를 생략해도 정보의 손실은 없다. 따라서 중심과 원주 위의 임의의 점으로 원을 정의하는 것은 전체 원을 완전히 설명하고 작도에 활용하기에 충분하다. 원호는 단지 미적인 목적만을 수행하며, 기본 작도 #2는 충족된다.

8. 결론

다섯 가지 기본 작도가 자와 중심이 있는 원 하나만으로 가능하다는 것이 증명되었으므로, 퐁슬레-슈타이너 정리가 증명된다.

9. 실제 응용

퐁슬레-슈타이너 정리는 사영 기하학의 기본 결과로, 기하학자와 수학자들에게 상당한 실용적 응용을 제공한다. 이는 순수 학문적, 오락적인 것에 그치지 않고 더 큰 목적을 수행하며, 기하학 실무자에게 이 정리를 이해하는 것은 매우 중요하다.[5] 이는 사영 기법의 강력함을 보여주고, 고전적인 작도 문제를 해결하는 대체 방법을 제공하며, 더 넓은 통찰력을 제공하기 때문이다.[5]

퐁슬레-슈타이너 정리의 실용적 응용은 순수 수학을 넘어선다. 컴퓨터 그래픽스 및 계산 기하학과 같은 분야에서, 더 직접적이고 긴 접근 방식 없이도 기하학적 작도를 위한 효율적인 알고리즘을 제공하여, 더 간소화되고 견고한 소프트웨어 구현으로 이어질 수 있다.[5] 또한, 이 정리는 건축 설계 및 공학에도 영향을 미치며, 특정 제도 및 모델링 프로세스를 단순화하고, 개선된 설계 및 모델링 기법에 기여한다.[5] 종종 좌표는 원과 관련된 제곱근 대신 일련의 선형 방정식을 사용하여 계산될 수 있으며, 더 빠르고 정확하며 수치적으로 안정적인 계산을 가능하게 한다.[5] 실제로 폴 디랙은 양자역학 발전에 기여하면서 사영 기하학을 적용했다.[5]

10. 제한된 작도의 다른 유형

퐁슬레-슈타이너 정리는 평면에 중심이 주어진 원이 하나 필요했지만, 이후 다른 조건으로 대체되거나 강화되었다. 원의 중심이 없어도, 주어진 정보를 이용해 중심을 작도하여 퐁슬레-슈타이너 정리로 환원할 수 있다.


  • 하나의 원 시나리오: 평면에 두 쌍의 평행선(두 쌍은 서로 평행하지 않음)이 존재하거나, 평행사변형이 존재하거나, 세 개의 평행선 중 하나가 중간선(다른 두 선 사이의 등거리에 있는 선)이면 충분하다.
  • 두 개의 원 시나리오: 두 원이 동심원이거나 교차하는 경우 충분하다. 교차하는 원은 두 교차점을 갖거나 하나의 교차점(접선 원)을 갖는 두 가지 경우가 있다. 또는, 두 원의 중심선 또는 근축 위에 적어도 한 점이 주어지거나, 평면에 두 쌍의 평행선이 있으면 충분하다.
  • 세 개의 원 시나리오: 세 개의 비교차 원이 주어지고, 세 원이 모두 같은 공축(또는 동축) 원 시스템에 속하지 않으면 충분하다.[6] 즉, 각 원 쌍은 서로 다른 근축을 가져야 한다.
  • 세베리의 원호: 1904년 프란체스코 세베리는 중심과 함께 (원의) 작은 호만으로도 충분하다는 것을 증명했다.[7] 이는 원호의 완전성에 대한 조건을 약화시킨 것이지만, 슈타이너 정리와 달리 중심은 여전히 필요하다. 세베리의 증명은 원의 모든 호가 원주를 완전히 특징짓고 교차점을 찾을 수 있게 해준다는 것을 보여준다.
  • 원의 중심 생략과 관련된 호: 원의 중심이 생략된 이전 시나리오에서 세베리의 정리에 따라 원호의 완전성은 필요하지 않다. 단, 두 교차하는 원의 경우, 호의 원이 교차점이 있는 곳에 존재하지 않으면 교차점을 명시해야 한다.

10. 1. 컴퍼스 관련 제한 작도

퐁슬레-슈타이너 정리는 임의의 컴퍼스와 자를 사용하여 작도할 수 있는 모든 작도가 컴퍼스만으로 가능하다는 모어-마세로니 정리와 대조될 수 있다. 자는 미적인 목적 외에는 필요하지 않다.

녹슨 컴퍼스 제한은 컴퍼스와 자를 사용할 수 있게 해주며, 단 컴퍼스는 고정된 반지름의 원을 생성해야 한다. 녹슨 컴퍼스 작도는 10세기부터 연구되었으며, 17세기에는 유클리드의 모든 작도가 녹슨 컴퍼스로 작도 가능하다는 것이 증명되었지만, 퐁슬레-슈타이너 정리는 녹슨 컴퍼스와 자를 함께 사용하면 모든 유클리드 작도에 충분하다는 것을 증명한다. 실제로 녹슨 컴퍼스는 자와 단일 원만 사용하는 것보다 작도를 단순화하는 도구가 된다. 다른 관점에서 보면, 퐁슬레-슈타이너 정리는 녹슨 컴퍼스의 너비를 고정할 뿐만 아니라 첫 번째 사용 후에 컴퍼스가 고장난다는 것을 보장한다.

컴퍼스 등가 정리는 평면에서 들어올려도 간격을 유지하는 강성 컴퍼스(현대 컴퍼스)가 간격을 유지하지 않아 평면에서 들어올릴 때마다 "0으로 재설정"되는 전통적인 붕괴 컴퍼스(분할기)와 동등하다는 것을 증명한다. 유클리드는 강성 컴퍼스의 고정된 구경으로 간단하게 수행되는 거리 전송(합동 원 작도, 평면에서 원 이동) 능력이 붕괴 컴퍼스로도 가능하다는 것을 증명하였다. 결과적으로 강성 컴퍼스와 붕괴 컴퍼스는 동등하며, 하나로 작도할 수 있는 것은 다른 것으로도 작도할 수 있다.

게다가 원 이동은 자 도구 없이 ''오직'' 붕괴 컴퍼스만 사용하여 수행할 수 있다. 이것은 오직 컴퍼스만을 사용한 작도 패러다임에서도 참이므로, 이 등가는 붕괴 컴퍼스를 보완하기 위한 자에 의존하지 않는다. 이 등가는 컴퍼스 자체의 기본이다. 또한, 오직 컴퍼스만을 사용한 패러다임에서 원 이동 작업은 강성 컴퍼스보다 세 개의 추가 원(컴퍼스 적용) 이상을 필요로 하지 않는다.

붕괴 컴퍼스로 원을 이동할 수 있는 능력은 어떤 의미에서는 더 순수한 결과라고 지적할 수 있다. 이는 이 작업이 평면에 통합되지 않은, 목적에 맞게 설계된 물리적 도구의 특징이 아닌, 원 자체의 기하학에 보존된 추상적인 방식으로 달성될 수 있음을 증명한다.

10. 2. 제한된 슈타이너 작도

퐁슬레-슈타이너 정리는 평면에 중심이 주어진 원이 하나 필요했지만, 이후 다른 조건으로 대체되거나 강화되었다.

원의 중심이 없어도, 주어진 정보를 이용해 중심을 작도하여 퐁슬레-슈타이너 정리로 환원할 수 있다.

;하나의 원 시나리오

: 평면에 두 쌍의 평행선(두 쌍은 서로 평행하지 않음)이 존재하거나, 평행사변형이 존재하거나, 세 개의 평행선 중 하나가 중간선(다른 두 선 사이의 등거리에 있는 선)이면 충분하다.

;두 개의 원 시나리오

: 두 원이 동심원이거나 교차하는 경우 충분하다. 교차하는 원은 두 교차점을 갖거나 하나의 교차점(접선 원)을 갖는 두 가지 경우가 있다.

: 또는, 두 원의 중심선 또는 근축 위에 적어도 한 점이 주어지거나, 평면에 두 쌍의 평행선이 있으면 충분하다.

;세 개의 원 시나리오

: 세 개의 비교차 원이 주어지고, 세 원이 모두 같은 공축(또는 동축) 원 시스템에 속하지 않으면 충분하다.[6] 즉, 각 원 쌍은 서로 다른 근축을 가져야 한다.

;세베리의 원호

: 1904년 프란체스코 세베리는 중심과 함께 (원의) 작은 호만으로도 충분하다는 것을 증명했다.[7] 이는 원호의 완전성에 대한 조건을 약화시킨 것이지만, 슈타이너 정리와 달리 중심은 여전히 필요하다. 세베리의 증명은 원의 모든 호가 원주를 완전히 특징짓고 교차점을 찾을 수 있게 해준다는 것을 보여준다.

;원의 중심 생략과 관련된 호

: 원의 중심이 생략된 이전 시나리오에서 세베리의 정리에 따라 원호의 완전성은 필요하지 않다. 단, 두 교차하는 원의 경우, 호의 원이 교차점이 있는 곳에 존재하지 않으면 교차점을 명시해야 한다.

11. 확장, 해방 또는 네우시스 작도

전통적인 작도 규칙(자와 컴퍼스)의 제한을 완화하여, 이전에는 불가능했던 작도를 가능하게 하는 방법들을 연구한다. 이러한 방법들은 '확장된 구성'이라고도 불리며, 허용되는 도구 세트를 확장하여 작도 가능한 범위를 넓힌다. 또한, 컴퍼스와 자 이외의 도구를 사용하기 때문에 'neusis 구성'이라고도 불리며, 전통적인 패러다임의 제한을 완화하기 때문에 '해방된 구성'이라고도 불린다.

기하학자들은 전통적인 구성 규칙에 추가적인 제한을 가했을 때 무엇을 구성할 수 있는지 연구해왔듯이, 제한이 완화되었을 때 어떤 새로운 구성이 가능해지는지도 연구해왔다. "무엇을 구성할 수 있게 되는가", "어떻게 구성할 수 있는가" 등의 질문이 제기된다.[1]

예를 들어, 임의의 각은 전통적인 자와 컴퍼스 규칙으로는 삼등분할 수 없지만, 평면에 타원을 추가적인 도구로 허용하면 삼등분할 수 있게 된다. 각의 삼등분, 정육면체 배가, 원적 문제 등은 자와 컴퍼스만으로는 불가능하지만, 확장된 도구 세트를 사용하면 해결 가능하다. 일반적으로 구성 가능한 범위 확대를 위해 연구된 객체는 다음과 같다.[2]


  • 평면에서 구성할 수 없는 "보조" 곡선 - 원뿔 곡선, 사이클로이드, 삼등분선 등.[2]
  • 컴퍼스와 자 이외의 물리적 도구 - 토마호크, 표시 가능한 자 등.[2]
  • 종이 접기 기술.[2]


고대 기하학자들은 자와 컴퍼스 구성을 이상적으로 여겼고, 그 다음으로는 원뿔 곡선을 포함하는 구성을 선호했다. 셋째로 아르키메데스 나선과 같은 임의의 곡선을 사용했고, 마지막으로 대체 물리적 도구(neuseis)를 사용하는 것을 가장 덜 선호했다. 고대 기하학자들이 종이 접기를 고려했는지는 의문이다.[3]

'neusis'라는 용어는 고대 기하학자들이 사용하는 특정 도구나 방법을 지칭하기도 한다.[4]

눈금 있는 자는 거리 공간과 노름 (수학)을 정의하고, 대수 기하학과 데카르트 좌표계를 낳았으며, 선분의 비례에 대한 표준 단위를 가져왔다는 점에서 독특하다. 기하학에 대한 대수적 접근 방식은 퐁슬레-슈타이너 정리의 명확한 증명을 제공한다.[5]

12. 근사

모든 작도는 사용 가능한 도구(일반적으로 컴퍼스와 눈금 없는 자)를 유한 번 적용하여 종료되어야 하며, 의도한 정확한 결과를 생성해야 한다는 암묵적인 규칙이 있다. 고대 그리스 기하학자들은 작도에서 유한성과 정확성을 강조했다.[8] 이러한 조건 중 하나라도 완화하여 논의를 확장할 수 있다.

작도가 불가능한 임의의 도형에 대해 다음과 같은 방법이 있다.


  • 반복적인 접근 방식을 사용하여 컴퍼스와 눈금 없는 자만으로 미리 정해진 수준의 정확도로 작도를 근사할 수 있다.
  • 수렴 급수의 무한한 극한에서 정확한 작도가 가능할 수 있지만, 무한한 작도가 필요하다.


예를 들어, 각의 삼등분은 각 이등분의 무한 수열을 사용하여 컴퍼스와 눈금 없는 자로 정확하게 수행될 수 있다. 작도가 유한 번의 반복에서 종료되면, 임의의 정확도로 삼등분의 정확한 근사를 얻을 수 있다. 각 점, 선 또는 원은 유효한 작도이지만, 컴퍼스 및/또는 눈금 없는 자의 유한한 적용으로는 근사하려는 것을 진정으로 달성할 수 없다.

또는 작도가 불가능한 도형에 대한 합리적인 근사치인 정확하게 작도 가능한 비반복적으로 작도된 도형이 있다. 예를 들어, 칠각형의 근사에 대한 비교적 간단한 비반복적 작도가 있다.

13. 네우시스를 중심점 대안으로

슈타이너 작도법과 원의 중심이 없는 평면 상의 단일 원을 사용하여 중심점을 보충(및 궁극적으로 작도)할 수 있으며, 자를 임의의 다른 도구(neusis 도구)로 대체하면 유클리드의 모든 작도가 가능하다. 이 도구는 임의의 선과 그 평행선을 그릴 수 있다(예: 표시 가능한 자, 눈금자, 양날 자). 임의의 점을 통과하는 선과 그 수직선을 그리는 데 사용할 수 있는 도구도 충분하다.

14. 사이클로스

잘 연구된 일부 네우시스 도구는 컴퍼스 및/또는 눈금 없는 자보다 다재다능하지 않으며, 작도 가능한 범위를 확장하거나 축소하지도 않는다. 예를 들어, 자체적으로 독특한 도구인 '''사이클로스'''는 원을 그리는 면에서 컴퍼스와 유사하다. 일부 작도를 단순화하지만, 종종 다른 작도를 복잡하게 만든다. 궁극적으로 이 도구는 기하학적으로 컴퍼스와 동일하다는 것이 증명된다.

사이클로스는 학생들의 기하학적 이해를 테스트하기 위해 가정한 허구의 도구를 의미하며, 현대의 문제를 위해 현대 시대에 기원한다. 사이클로스는 종종 유클리드에게 잘못 귀속되는데, 이는 사이클로스가 유클리드의 도구였다는 대체 역사를 제안하는 최초의 올림피아드 문제 표현이었기 때문이다. 역사적으로 유클리드는 그러한 도구를 가진 적이 없었다. 이 도구는 단지 가상적인 것일 뿐이며 존재하지 않지만, 추상적인 기하학적 사고를 연습하는 데 가치가 있다.

네우시스는 원의 지름을 정의하는 두 점을 지나는 원을 그릴 수 있으며(표준 컴퍼스가 그릴 수 있는 원의 반지름과 반대로), 세 개의 공선점이 아닌 점을 지나는 외접원을 그리는 데에도 사용할 수 있다. '사이클로스만'을 사용하는 패러다임은 또한 원(및 일부 해석에서는 평면)에 임의의 점을 배치하는 것을 허용한다. 두 원 또는 호의 교차점을 직접 찾을 수 있으며, 이는 표준 기하학적 관행이다. 사이클로스는 컴퍼스와 동등하다는 것을 보일 수 있다.

참조

[1] 간행물
[2] 웹사이트 https://www.encyclop[...]
[3] 간행물
[4] 서적 Die geometrischen Konstructionen, ausgeführt mittelst der geraden Linie und eines festen Kreises, als Lehrgegenstand auf höheren Unterrichts-Anstalten und zur praktischen Benutzung https://archive.org/[...] Ferdinand Dümmler 2013-04-02
[5] 간행물 Dirac's hidden geometry https://www.nature.c[...] Nature Publishing Group 2005-09-15
[6] 웹사이트 Wolfram's Math World https://mathworld.wo[...]
[7] 간행물
[8] 간행물 Operationalism: An Interpretation of the Philosophy of Ancient Greek Geometry 2022
[9] 서적 Die geometrischen Konstructionen, ausgeführt mittelst der geraden Linie und eines festen Kreises, als Lehrgegenstand auf höheren Unterrichts-Anstalten und zur praktischen Benutzung http://books.google.[...] Ferdinand Dümmler 2013-04-02


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