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정규핵

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목차

1. 개요

정규핵은 군 G의 부분군 H에 포함된 G의 최대 정규 부분군으로, H의 켤레들의 교집합으로 정의된다. 정규핵은 군 작용에서 등방 부분군의 정규핵이 궤도 전체에서 항등원으로 작용한다는 점에서 중요하며, 핵이 없는 부분군은 정규핵이 자명군인 부분군을 의미한다. p-핵은 유한군의 p-부분군 중 가장 큰 정규 부분군을, p'-핵은 p와 서로소인 차수를 갖는 가장 큰 정규 부분군을 의미하며, 모듈러 표현론에서 군의 작용을 연구하는 데 활용된다. 가해 근기는 가장 큰 가해 가능 정규 부분군으로 정의된다.

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정규핵
정의
정의군론에서, 군의 부분군 K의 핵은 K를 포함하는 가장 큰 정규 부분군이다.
형식적 정의
형식적 정의군 G의 부분군 H의 핵은 G에서 H의 왼쪽 잉여류에 대한 G의 작용에서 얻어지는 준동형의 핵이다.
성질
성질H가 G의 부분군일 때, H의 핵은 G의 정규 부분군이다.

2. 정의

군 G의 부분군 H\le G의 '''정규핵''' \operatorname{Core}_G(H)는 다음과 같다.

:\operatorname{Core}_G(H)=\bigcap_{g\in G}gHg^{-1}

즉, 이는 왼쪽 잉여류의 집합 G/H 위의 왼쪽 곱셈 작용

:G\to\operatorname{Sym}(G/H)

:g\mapsto(g'H\mapsto gg'H)\qquad(g,g'\in G)

의 핵이다.

그룹 ''G''에 대해, 부분군 ''H''의 '''정규핵''' 또는 '''정규 내부'''[1]는 ''H''에 포함된 가장 큰 정규 부분군 ''G'' (또는 동등하게, ''H''의 켤레의 교집합)이다. 더 일반적으로, 부분 집합 ''S'' ⊆ ''G''에 대한 ''H''의 핵은 ''S'' 아래에서 ''H''의 켤레의 교집합, 즉

:\mathrm{Core}_S(H) := \bigcap_{s \in S}{s^{-1}Hs}.

이러한 더 일반적인 정의에서, 정규 핵은 ''S'' = ''G''에 대한 핵이다. 정규 부분군의 정규 핵은 부분군 자체이다.

군 ''G''에 대하여, ''G''의 부분군 ''H''의 '''정규핵'''(normal core) 또는 '''심'''(core)[2]이란, ''H''에 포함되는 ''G''의 최대 정규 부분군(또는 같은 의미로, ''H''의 켤레군의 모든 교집합)이다. 보다 일반적으로, ''G''의 부분 집합 ''S''에 관한 ''H''의 핵은 ''S''의 원소에 의한 ''H''의 켤레군의 모든 교집합, 즉

: \mathrm{Core}_S(H) := \bigcap_{s \in S}{s^{-1}Hs}

을 말한다. 이 광의의 정의에서 ''S'' = ''G''에 관한 핵이 정규핵이다. 정규 폐포 ''H''''G'' = ⟨ ''g''−1''Hg'' | ''g'' ∈ ''G'' ⟩ 와의 대비에서 정규핵을 ''H''''G''로 나타내기도 한다[3]。 임의의 정규 부분군에 대하여 그 정규핵은 자기 자신과 일치한다.

2. 1. 일반적인 정의

군 G의 부분군 H\le G의 '''정규핵''' \operatorname{Core}_G(H)는 다음과 같다.

:\operatorname{Core}_G(H)=\bigcap_{g\in G}gHg^{-1}

이는 왼쪽 잉여류의 집합 G/H 위의 왼쪽 곱셈 작용

:G\to\operatorname{Sym}(G/H)

:g\mapsto(g'H\mapsto gg'H)\qquad(g,g'\in G)

의 핵이다.

부분군 ''H''의 정규핵은 ''H''에 포함된 가장 큰 정규 부분군 ''G''이다.[1] ''S'' ⊆ ''G''에 대한 ''H''의 핵은 ''S'' 아래에서 ''H''의 켤레의 교집합이다.

:\mathrm{Core}_S(H) := \bigcap_{s \in S}{s^{-1}Hs}.

정규핵은 ''S'' = ''G''에 대한 핵이다. 정규 부분군의 정규 핵은 부분군 자체이다.[2] 정규핵을 ''H''''G''로 나타내기도 한다[3]。

2. 2. p-핵 (p-core)

유한군에서 소수 ''p''에 대해, '''p''-핵'''은 가장 큰 정규 p-부분군으로 정의된다.[4] 이는 군의 모든 실로우 p-부분군의 정규 핵과 같다.[4] ''G''의 ''p''-핵은 종종 O_p(G)로 표기되며, 특히 피팅 부분군의 한 정의에 나타난다.[4]

''p''′-핵은 ''p''와 서로소인 차수를 갖는 ''G''의 가장 큰 정규 부분군이며, O_{p'}(G)로 표시된다.[4] 유한 단순군 분류를 포함하는 유한 비가해군 분야에서, 2′-핵은 종종 단순히 '''핵'''이라고 불리며 O(G)로 표시된다.[4]

O_{p',p}(G)/O_{p'}(G) = O_p(G/O_{p'}(G))로 정의되는 '''p''′,''p''-핵'''은 O_{p',p}(G)로 표시된다. 유한군에 대해, ''p''′,''p''-핵은 유일하게 가장 큰 정규 ''p''-멱영 부분군이다.

''p''-핵은 유일하게 가장 큰 준정규 ''p''-부분군으로 정의될 수도 있으며, ''p''′-핵은 유일하게 가장 큰 준정규 ''p''′-부분군으로 정의될 수도 있으며, ''p''′,''p''-핵은 유일하게 가장 큰 준정규 ''p''-멱영 부분군으로 정의될 수도 있다.

''p''′ 핵과 ''p''′,''p''-핵은 상부 ''p''-계열을 시작한다. 소수 집합 ''π''1, ''π''2, ..., ''π''''n''+1에 대해, O''π''1, ''π''2, ..., ''π''''n''+1(''G'') 부분군은 다음과 같이 정의된다.

:O_{\pi_1,\pi_2,\dots,\pi_{n+1}}(G)/O_{\pi_1,\pi_2,\dots,\pi_{n}}(G) = O_{\pi_{n+1}}( G/O_{\pi_1,\pi_2,\dots,\pi_{n}}(G) )

상부 ''p''-계열은 ''π''2''i''−1 = ''p''′ 및 ''π''2''i'' = ''p''를 취함으로써 형성된다; 하부 ''p''-계열도 있다. 유한군은 자신의 ''p''′,''p''-핵과 동일한 경우에만 ''p''-멱영이라고 한다. 유한군은 상부 ''p''-계열의 일부 항과 동일한 경우에만 ''p''-가해라고 하며, 그 ''p''-길이는 상부 ''p''-계열의 길이이다. 유한군 ''G''는 소수 ''p''에 대해 C_G(O_{p',p}(G)/O_{p'}(G)) \subseteq O_{p',p}(G)인 경우 p-제약적이라고 한다.

모든 멱영군은 ''p''-멱영이며, 모든 ''p''-멱영군은 ''p''-가해이다. 모든 가해군은 ''p''-가해이며, 모든 ''p''-가해군은 ''p''-제약적이다. 그룹이 정규 ''p''-여집합을 갖는 경우에만 ''p''-멱영이며, 이는 단순히 그 ''p''′-핵이다.

3. 성질

군 G의 부분군 H\le G의 정규핵 \operatorname{Core}_G(H)은 H의 부분군이며, G의 정규 부분군이다. 또한 \operatorname{Core}_G(H)는 G의 정규 부분군인 H의 부분군 가운데 가장 크다.

:\operatorname{Core}_G(H)\le H

:\operatorname{Core}_G(H)\vartriangleleft G

특히, 군 G의 부분군 H\le G에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.


  • 정규 부분군이다.
  • 스스로의 정규핵이다. H=\operatorname{Core}_G(H)

그룹 ''G''에 대해, 부분군 ''H''의 '''정규핵''' 또는 '''정규 내부'''[1]는 ''H''에 포함된 가장 큰 정규 부분군 ''G'' (또는 동등하게, ''H''의 켤레의 교집합)이다. 더 일반적으로, 부분 집합 ''S'' ⊆ ''G''에 대한 ''H''의 핵은 ''S'' 아래에서 ''H''의 켤레의 교집합, 즉

:\mathrm{Core}_S(H) := \bigcap_{s \in S}{s^{-1}Hs}.

이러한 더 일반적인 정의에서, 정규 핵은 ''S'' = ''G''에 대한 핵이다. 정규 부분군의 정규 핵은 부분군 자체이다.

정규핵 개념은 군의 집합에 대한 작용의 문맥에서 중요하다. 각 점에서의 등방 부분군의 정규핵은 해당 궤도 전체에 걸쳐 항등 변환으로 작용한다. 따라서, 작용이 추이적인 경우, 임의의 등방 부분군의 정규핵은 정확히 작용의 핵과 같다.

무핵 부분군(core-free subgroup)은 그 정규핵이 자명군인 군이다. 즉, 추이적이고 충실한 군 작용의 등방 부분군으로 무핵 부분군이 발생한다.

아벨 군에서의 은닉 부분군 문제의 해법을 일반화하여, 임의의 군의 부분군에서의 정규핵을 구할 수 있다.

3. 1. p-핵의 성질

p-핵은 모듈러 표현론에서 군의 작용을 연구하는데 중요하게 사용된다. 유한군의 p-핵은 표수 p의 임의의 체 상의 기약 표현의 핵(kernel) 모두의 교집합에 일치한다. 한편, 유한군의 p'-핵은 주 p-블록에 속하는 통상(복소) 기약 표현의 핵 모두의 교집합에 일치한다. 또한, 유한군의 p',p-핵은 표수 p의 임의의 체 상의 주 p-블록에 있어서의 기약 표현 모두의 교집합이다. 유한군의 p',p-핵은 위수가 p로 나누어 떨어지는 아벨 주 인자의 중심화군 모두의 교집합과도 일치한다. 유한군의 경우, p-결합군이 주 블록에 속하는 표수 p의 체 상의 기약 표현이 되기 위한 필요충분조건은 그 군의 p'-핵이 표현의 핵에 포함되는 것이다.

4. 중요성

정규핵은 집합에 대한 군 작용의 맥락에서 중요한데, 임의의 점의 등방 부분군의 정규핵은 전체 궤도에서 항등원으로 작용한다. 따라서, 작용이 추이적인 경우, 임의의 등방 부분군의 정규핵은 정확히 작용의 핵이다.

'''핵이 없는 부분군'''은 정규핵이 자명 부분군인 부분군이다. 바꿔 말하면, 추이적이고 충실한 군 작용의 등방 부분군으로 나타나는 부분군이다.

가환 경우의 숨겨진 부분군 문제에 대한 해는 임의의 군의 부분군의 경우에 정규핵을 찾는 것으로 일반화된다.

4. 1. 군 작용과의 관련성

정규핵은 집합에 대한 군 작용의 맥락에서 중요한데, 임의의 점의 등방 부분군의 정규핵은 전체 궤도에서 항등원으로 작용한다. 따라서, 작용이 추이적인 경우, 임의의 등방 부분군의 정규핵은 정확히 작용의 핵이다.

'''핵이 없는 부분군'''은 정규핵이 자명 부분군인 부분군이다. 바꿔 말하면, 추이적이고 충실한 군 작용의 등방 부분군으로 나타나는 부분군이다.

가환 경우의 숨겨진 부분군 문제에 대한 해는 임의의 군의 부분군의 경우에 정규핵을 찾는 것으로 일반화된다.

4. 2. 모듈러 표현론에서의 중요성

p-핵과 p'-핵은 벡터 공간에서 군의 작용을 연구하는 모듈러 표현론에서 중요하다. 유한군의 p-핵은 표수가 p인 임의의 체에서 기약 표현들의 핵의 교집합이다. 유한군의 p'-핵은 주 p-블록에 속하는 일반 기약 표현들의 핵의 교집합이다. 유한군의 p',p-핵은 표수가 p인 임의의 체에서 주 p-블록 내의 기약 표현들의 핵의 교집합이다. 유한하고 p-제한된 군의 경우, 표수가 p인 체에서의 기약 모듈은 군의 p'-핵이 표현의 핵에 포함되는 경우에만 주 블록에 속한다.

5. 가해 근기 (Solvable radical)

가해 근기는 가장 큰 가해 가능 정규 부분군으로 정의되며, O_\infty(G)로 표기한다. 일부 문헌에서는 비가해군 ''G''의 ''p''′-핵을 가해 근기의 ''p''′-핵으로 정의하기도 한다. 이는 2′-핵의 성질을 더 잘 모방하기 위한 것이다. 존 G. 톰슨의 N-군 논문이 그 예시 중 하나이지만, 톰슨의 후기 저작에서는 이 정의를 채택하지 않았다.

참조

[1] 서적 1996
[2] 서적 群論 岩波書店 1977
[3] 서적 Subgroup Lattices of Groups Walter de Gruyter 1994
[4] 서적 Finite Simple Groups :An Introduction to Their Classification Springer 1982


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