단순 가군

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

단순 가군은 환 R의 오른쪽 가군 M에 대해 정의되며, M은 정확히 두 개의 부분 가군(영가군과 M 자신)을 갖거나, 가군의 길이가 1이거나, 영가군이 아니고 모든 0이 아닌 원소 m에 대해 순환 가군 (m) = M인 경우이다. 단순 가군은 분해 불가능 가군이며, 슈어의 보조정리에 의해 자기 준동형사상환이 나눗셈환이다. 단순 가군은 극대 아이디얼과 관련이 있으며, 몫 모듈 R/I가 단순할 필요충분조건은 I가 극대 오른쪽 아이디얼인 것이다. 군 표현에서 기약 표현은 단순 가군인 군 표현을 의미하며, 제이콥슨 조밀성 정리는 단순 가군 이론의 중요한 결과이다.

단순 가군

수학적 정의

정의	R-가군 S가 이고, 의 모든 부분가군이 과 뿐일 때, 를 단순 가군이라고 한다.
동치 조건	-가군 가 단순 가군일 필요충분조건은 이고, 에 대해 인 것이다.
다른 이름	기약 가군이라고도 한다.

성질

슈어 보조정리	에서의 단순 가군 과 는 단사 사상이거나 영사상이다.

📚 더 읽어볼만한 페이지

가군론 - 자유 가군
자유 가군은 곱셈 항등원을 갖는 환 위의 가군으로, 기저를 가지며 기저 원소의 선형 결합으로 가군의 모든 원소를 유일하게 나타낼 수 있다.
가군론 - 쌍가군
쌍가군은 두 환 R과 S에 대해 정의되는 대수적 구조로, 아벨 군 M에 R의 왼쪽 가군 구조와 S의 오른쪽 가군 구조가 호환되도록 결합되며, 텐서곱, 준동형 사상 등 다양한 성질을 갖는다.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 슈어의 보조정리 (Schur's Lemma)
4. 예시
- 4.1. 오른쪽 아이디얼과의 관계
5. 기약 표현
6. 합성 열
7. 제이콥슨 조밀성 정리

2. 정의

환 $R$ 의 오른쪽 가군 $M$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 오른쪽 가군 $M$ 을 단순 오른쪽 가군(simple right module^영어)이라고 한다.
* $M$ 은 정확히 두 개의 부분 $R$ -가군을 갖는다. (이들은 영가군 $\{0\}$ 및 $M$ 전체이다.)
* $M$ 의 길이가 1이다.
* $M$ 은 영가군이 아니며, 임의의 $m\in M\setminus\{0\}$ 에 대하여 순환 가군(cyclic module^영어) $(m)=M$ 이다.
* $M\cong R/\mathfrak m$ 인 극대 오른쪽 아이디얼 $\mathfrak m\subset R$ 가 존재한다.
왼쪽 가군에 대해서도 마찬가지 정의를 내릴 수 있다.

3. 성질

단순 가군은 길이가 1인 가군이며, 모든 단순 가군은 분해 불가능 가군이지만 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 모든 단순 가군은 하나의 원소에 의해 생성되는 순환 가군이다.

모든 가군이 단순 부분 가군을 갖는 것은 아니다. 예를 들어 Z-가군 Z는 단순 부분 가군을 갖지 않는다.

* 환 R의 극대 왼쪽 아이디얼 L에 대해, R/L는 단순 왼쪽 가군이다. 역으로, 모든 단순 가군은 이와 같이 얻어진다.
* 단순 가군은 항상 존재한다.
* 단순 가군은 직기약 가군이다.

3.1. 슈어의 보조정리 (Schur's Lemma)

M과 N을 동일한 환 위의 (왼쪽 또는 오른쪽) 가군이라고 하고, f : M → N^영어을 가군 준동형사상이라고 하자. 만약 M이 단순 가군이면, f의 커널이 M의 부분 가군이므로 f는 영 준동형사상이거나 단사이다. 만약 N이 단순 가군이면, f의 상이 N의 부분 가군이므로 f는 영 준동형사상이거나 전사이다. 만약 M = N^영어이면, f는 M의 자기 준동형사상이며, 만약 M이 단순 가군이면 앞선 두 명제에 의해 f는 영 준동형사상이거나 동형사상이다. 결과적으로, 모든 단순 가군의 자기 준동형사상환은 나눗셈환이다. 이 결과는 슈어의 보조정리로 알려져 있다.

슈어의 보조정리의 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, Z-가군 Q는 단순 가군이 아니지만, 그 자기 준동형사상환은 체 Q와 동형이다.

4. 예시

영가군은 정의에 따라 단순 가군이 아니다.

단순 $\mathbb Z$ -가군은 소수 크기의 순환군 $\mathbb Z/(p)$ 이다. Z-모듈은 아벨 군과 동일하므로, 단순 Z-모듈은 0이 아닌 부분군을 갖지 않는 아벨 군이며, 소수 차수의 순환군이다.

k가 체이고 G가 군인 경우, G의 군 표현은 군환 k[G] 위의 왼쪽 모듈이다. (이 관계에 대한 주요 페이지 참조) 단순 k[G]-모듈은 기약 표현이라고도 한다. 표현론의 주요 목표는 군의 기약 표현을 이해하는 것이다.

단순 가군은 정확히 길이가 1인 가군이며, 이는 정의를 재구성한 것이다. 모든 단순 가군은 분해 불가능 가군이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 또한 모든 단순 가군은 순환 가군인데, 즉 하나의 원소에 의해 생성된다. 모든 가군이 단순 부분 가군을 갖는 것은 아니다. 예를 들어 Z-가군 Z을 생각해 보자.

M과 N을 동일한 환 위의 (왼쪽 또는 오른쪽) 가군이라고 하고, f : M → N을 가군 준동형사상이라고 하자. 만약 M이 단순 가군이면, f는 영 준동형사상이거나 단사이다. 만약 N이 단순 가군이면, f는 영 준동형사상이거나 전사이다. 만약 M = N이면, f는 M의 자기 준동형사상이며, f는 영 준동형사상이거나 동형사상이다. 결과적으로, 모든 단순 가군의 자기 준동형사상환은 나눗셈환이다. 이 결과는 슈어의 보조정리로 알려져 있다.

슈어의 보조정리의 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, Z-가군 Q는 단순 가군이 아니지만, 그 자기 준동형사상환은 체 Q와 동형이다.

* 유한 Z-가군은 아벨 군과 같으므로, 단순 Z-가군은 0이 아닌 진부분군을 갖지 않는 아벨 군, 즉 위수가 소수인 순환군이다.
* 계수환이 체 k 일 때, k-가군은 선형 공간이므로, 단순 k-가군은 1차원 선형 공간 k이다.
* 계수환이 체 k 위의 전행렬환 Mat_n(k)일 때, 단순 Mat_n(k)-가군은 kⁿ이다. 단, 환의 작용은 행렬의 곱셈으로 정한다.
* 복소수체 C 위의 대칭군 S_n에 관한 군환 CS_n의 단순 CS_n-가군의 동형류는 Specht module로 주어진다.

4.1. 오른쪽 아이디얼과의 관계

환 R의 오른쪽 아이디얼 I에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

👆

좌우로 밀어서 보기

조건
I가 오른쪽 가군으로서 단순하다.
I가 최소 비영 오른쪽 아이디얼이다.

설명:

* I가 오른쪽 가군으로서 단순하다는 것은 I가 영 아이디얼이 아니고, I의 부분 가군이 영 아이디얼과 I 자신뿐임을 의미한다.
* I가 최소 비영 오른쪽 아이디얼이라는 것은 I가 영 아이디얼이 아니고, I에 진부분 포함되는 비영 오른쪽 아이디얼이 존재하지 않음을 의미한다.

증명:

* (I가 단순 오른쪽 가군 ⇒ I가 최소 비영 오른쪽 아이디얼): M이 I의 비영 고유 부분 가군이라고 가정하자. M은 I의 부분 가군이므로 오른쪽 아이디얼이다. 따라서 I는 최소 비영 오른쪽 아이디얼이 아니다.
* (I가 최소 비영 오른쪽 아이디얼 ⇒ I가 단순 오른쪽 가군): I가 최소 비영 오른쪽 아이디얼이 아니라고 가정하자. 그러면 I에 진부분 포함되는 비영 오른쪽 아이디얼 J가 존재한다. J는 I의 오른쪽 부분 가군이므로, I는 단순 오른쪽 가군이 아니다.

환 R의 오른쪽 아이디얼 I에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

👆

좌우로 밀어서 보기

조건
몫 모듈 R/I가 단순 오른쪽 가군이다.
I가 극대 오른쪽 아이디얼이다.

설명:

* R/I가 단순 오른쪽 가군이라는 것은 R/I가 영 가군이 아니고, R/I의 부분 가군이 영 가군과 R/I 자신뿐임을 의미한다.
* I가 극대 오른쪽 아이디얼이라는 것은 I가 R과 같지 않고, I를 진부분 포함하는 오른쪽 아이디얼이 R뿐임을 의미한다.

증명:

* (R/I가 단순 오른쪽 가군 ⇒ I가 극대 오른쪽 아이디얼): M이 R/I의 비영 고유 부분 가군이라고 가정하자. 그러면 원상의 몫 사상에 따른 M은 R과 같지 않고 I를 진부분 포함하는 오른쪽 아이디얼이다. 따라서 I는 극대 오른쪽 아이디얼이 아니다.
* (I가 극대 오른쪽 아이디얼 ⇒ R/I가 단순 오른쪽 가군): I가 극대 오른쪽 아이디얼이 아니라고 가정하자. 그러면 I를 진부분 포함하는 오른쪽 아이디얼 J가 존재한다. 몫 사상 R/I → R/J는 R/I와 같지 않은 비영 핵을 가지며, 따라서 R/I는 단순 오른쪽 가군이 아니다.

모든 단순 R-가군은 R의 극대 오른쪽 아이디얼 m에 대한 몫 R/m과 동형이다.

5. 기약 표현

군 표현은 체를 계수로 하는 군환에 대한 가군이다. $G$ 가 군이고, $V$ 가 체 $k$ 에 대한 벡터 공간이라면, 표현 $G\to\operatorname{GL}(V)$ 는 군환 $k[G]$ 에 대한 가군과 같다. 이 경우, 가군으로서 단순 가군인 군 표현을 기약 표현(irreducible representation^영어)이라고 한다. 즉, 기약표현은 (자신 또는 0차원 표현을 제외한) 부분표현을 가지지 않는 표현이다.

k가 체이고 G가 군인 경우, G의 군 표현은 군환 k[G] 위의 왼쪽 모듈이다. 단순 k[G]-모듈은 기약 표현이라고도 한다.

6. 합성 열

만약 M이 0이 아닌 진부분 가군 N을 갖는 가군이라면, 다음의 짧은 완전열이 존재한다.

: $0 \to N \to M \to M/N \to 0.$

M에 대한 사실을 증명하는 일반적인 방법은 왼쪽과 오른쪽 항에 대해 참일 때 짧은 완전열의 중앙 항에 대해서도 사실이 참임을 보인 다음, N과 M/N에 대해 그 사실을 증명하는 것이다. 만약 N이 0이 아닌 진부분 가군을 가진다면, 이 과정을 반복할 수 있다. 이 과정을 통해 부분 가군의 사슬이 생성된다.

: $\cdots \subset M_2 \subset M_1 \subset M.$

이러한 방식으로 사실을 증명하기 위해서는 이 수열과 가군 M_i/M_i+1에 대한 조건이 필요하다. 특히 유용한 조건은 수열의 길이가 유한하고 각 몫 가군 M_i/M_i+1가 단순하다는 것이다. 이 경우, 이 수열을 M에 대한 합성 열이라고 부른다. 합성 열을 사용하여 명제를 귀납적으로 증명하기 위해, 먼저 귀납법의 기본 사례를 형성하는 단순 가군에 대해 명제를 증명한 다음, 단순 가군에 의한 가군의 확장에서 그 명제가 여전히 참임을 증명한다. 예를 들어, 피팅 보조정리는 유한 길이 기약 가군의 자기 준동형 사상환이 국소환임을 보여주므로, 강한 크룰-슈미트 정리가 성립하고 유한 길이 가군의 범주는 크룰-슈미트 범주가 된다.

7. 제이콥슨 조밀성 정리

제이콥슨 조밀성 정리는 단순 가군 이론에서 중요한 발전된 내용이다. 제이콥슨 조밀성 정리는 다음과 같다.

: U를 단순 오른쪽 R-가군이라고 하고, D = End_R(U)라고 하자. A를 U 위의 임의의 D-선형 연산자라고 하고, X를 U의 유한한 D-선형 독립 부분집합이라고 하자. 그러면 X의 모든 x에 대해 x⋅A = x⋅r이 되도록 하는 R의 원소 r이 존재한다.

특히, 모든 원시환은 어떤 D-공간 위의 D-선형 연산자의 환(즉, 동형)으로 볼 수 있다.

제이콥슨 조밀성 정리의 결과는 베더번 정리인데, 이는 모든 오른쪽 아르틴 단순환이 어떤 n에 대해 나눗셈환 위의 n-by-n 행렬의 완전한 행렬환과 동형이라는 것이다. 이는 또한 아르틴-베더번 정리의 따름정리로도 확립될 수 있다.