정사각수

1. 개요

정사각수는 음이 아닌 정수 n에 대해 n² 꼴로 나타낼 수 있는 수이다. 정사각수는 m개의 점을 정사각형으로 배열할 수 있을 때 m이 된다. n번째 정사각수는 n²으로 표현되며, 처음 n개의 홀수의 합과 같다. 모든 정사각수는 홀수 개의 약수를 가지며, 라그랑주의 네 제곱수 정리에 따르면 모든 양의 정수는 4개 이하의 정사각수의 합으로 나타낼 수 있다. 또한 정사각수는 사각뿔수의 개념으로 확장될 수 있으며, 유리수의 제곱으로 표시되는 수를 제곱수라고도 한다.

2. 정의

음이 아닌 정수 $n$에 대하여 $n^2$의 꼴로 나타낼 수 있는 수를 정사각수라고 한다. 정사각수 m은 m개의 점을 정사각형으로 배열할 수 있을 때, 그리고 그 때만 정사각수이다.

$n$번째 정사각수는 $n^2$로 표현된다. 위의 그림에서 볼 수 있듯이, 이는 처음 $n$개의 홀수의 합과 같다. 공식은 다음과 같다.

:$$n^2\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; (2k-1).$$

예를 들어, $5^2\; =\; 25\; =\; 1\; +\; 3\; +\; 5\; +\; 7\; +\; 9$이다.

처음 20개의 정사각수는 다음과 같다.

: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, …

3. 성질

모든 정사각수는 홀수개의 약수를 가지는 반면, 다른 자연수는 짝수개의 약수를 가진다. 정사각수는 완전수가 아니다.

정사각수는 1부터 시작하는 연속된 홀수의 합과 같다. 즉, 음이 아닌 정수 $n$에 대하여 다음이 성립한다.
:$n^2=\backslash sum\_\{k=1\}^n(2k-1)$
이는 다음과 같이 그림으로 나타낼 수 있다.

라그랑주 네 제곱수 정리에 따르면, 모든 자연수는 최대 4개의 정사각수의 합으로 표현할 수 있다. 또한, 31개의 수를 제외한 모든 자연수는 서로 다른 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다.

두 개의 연속하는 삼각수의 합은 정사각수이며, 모든 홀수 제곱수는 중심 팔각수이다.

어떤 소수 p가 정사각수 m을 나누면, p²도 m을 나눈다.

정사각수 m은 m개의 점을 정사각형으로 배열할 수 있을 때 정사각수가 된다.

3.1. 홀수와 짝수 정사각수

짝수의 제곱은 짝수이며, 4로 나누어 떨어진다. 홀수의 제곱은 홀수이며, 모듈러 산술에서 8을 modulo로 1과 합동이다. 즉, 모든 홀수 제곱수는 8로 나눴을 때 나머지가 1이다.

3.2. 특정 경우

* 숫자가 m5 형태로 끝나면, 그 제곱은 n25 형태가 되는데, 여기서 n = m(m+1)이다. 예를 들어, 65의 제곱은 6 × (6 + 1) = 42이므로, 4225가 된다.
* 숫자가 m0 형태로 끝나면, 그 제곱은 n00 형태가 되는데, 여기서 n = m²이다. 예를 들어, 70의 제곱은 4900이다.
* 두 자리 수가 5m 형태이면, 그 제곱은 aabb 형태가 되는데, 여기서 aa = 25 + m이고 bb = m²이다. 예를 들어, 57의 제곱은 25 + 7 = 32이고, 7² = 49이므로, 3249가 된다.
* 숫자가 5로 끝나면 제곱도 5로 끝나고, 6으로 끝나면 제곱도 6으로 끝나는 등 자동형 숫자의 성질을 가진다. 예를 들어, 55376의 제곱은 3066501376인데, 둘 다 '376'으로 끝난다.

3.3. 진법 관련 성질

* 10진법에서 정사각수의 자릿수근은 1, 4, 7, 9 중 하나이다.
* 10진법에서 제곱수의 아래 두 자리는 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89, 96 중 하나이다.
* 십의 자리가 홀수인 제곱수는 일의 자리가 반드시 6이다.
* 아래 두 자리가 25인 제곱수는 백의 자리가 반드시 0, 2, 6 중 하나이다.
* 제곱수를 이진법으로 표시했을 때, 이의 자리는 반드시 0이다. (이진법에서는 아래 두 자리가 00, 01, 10, 11의 네 가지이며, 각각 제곱하면 00, 01, 100, 1001로 이의 자리가 모두 0이기 때문이다.)

3.4. 다른 수와의 관계

* 피보나치 수이면서 제곱수인 수는 0, 1, 144뿐이다.
* 삼각수이면서 제곱수인 수는 제곱 삼각수이다.
* 오각수이면서 제곱수인 수가 존재한다.
* 세제곱수이면서 제곱수인 수는 6제곱수이다.
* 하샤드 수인 제곱수가 존재한다.
* 숫자를 재배열하여 다른 제곱수가 되는 경우가 있다.

4. 사각뿔수

정사각수의 개념을 공간으로 확장하여, 물체를 사각뿔을 이루도록 공간에 배치했을 때의 물체의 총 수를 사각뿔수라고 한다.

제$n$ 사각뿔수는 제1 정사각수에서부터 제$n$ 정사각수까지의 합이고, 그 값 $N$은 $N\; =\; \backslash frac\; \{n(n+1)(2n+1)\}\; 6$으로 쓸 수 있다.

사각뿔수를 1항부터 써보면 다음과 같다.

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, ...

사각뿔수와 사면체수는 서로 밀접한 연관이 있다. 예를 들어, 이웃한 두 사면체수를 더하면 사각뿔수가 된다. 사면체수는 1, 4, 10, 20, 35, 56, .. 등이 있는데, 1+4=5, 4+10=14처럼 이웃한 두 사면체수의 합은 정확히 사각뿔수가 된다. n번째 사면체수를 $T\_n$, n번째 사각뿔수를 $P\_n$라고 하고 이 공식을 일반화하면 $T\_n\; +\; T\_\{n+1\}\; =\; P\_\{n+1\}$가 된다. 이 공식은 사각뿔수와 사면체수의 공식을 가지고 계산하면 쉽게 알 수 있다.

5. 일반화

유리수의 제곱으로 표시되는 유리수를 제곱수라고도 한다. 더 나아가 일반적으로는, 가환체 의 곱셈군 의 부분 집합 } ( 등으로 표기)의 원소를 제곱수 또는 제곱원이라고 부르는 경우가 있다. 주로 일 때 의미를 가진다.

6. 관련 정리

* 니코마코스의 정리

처음 n개의 세제곱의 합은 처음 n개의 양의 정수의 합의 제곱이다.

* 두 제곱수의 합 정리

형태의 소수는 두 개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다.

* 다각수 정리

다각수 정리에 의해 모든 자연수는 많아야 4개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다(사제곱수 정리).

* 와링의 문제

와링의 문제는 라그랑주의 네 제곱수 정리를 일반화한 것이다.