오각수

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1. 개요

오각수는 음이 아닌 정수 n에 대해 Pn = n(3n-1)/2 로 정의되는 수이며, 처음 몇 개의 오각수는 0, 1, 5, 12, 22, 35, ... 이다. n번째 오각수는 3n-1번째 삼각수의 1/3과 같으며, 오일러의 오각수 정리에도 등장한다. 모든 자연수는 최대 5개의 오각수의 합으로 표현할 수 있다. 오각수는 홀수-홀수-짝수-짝수 순서로 이어지며, 1과 5를 제외하고 모두 합성수이다. 오각수이면서 제곱수인 수는 0, 1, 9801, 94109401, ... 이며, 삼각수인 오각수는 1, 210, 40755, 7906276, ... 이다. 하샤드 수인 오각수는 1, 5, 12, 70, 117, 210, 247, 330, 715, ... 등이다.

오각수

개요

종류	다각형의 꼭짓점 개수를 나타내는 자연수
성질	정수론과 조합론에서 연구됨

정의

수식	Pn = n(3n − 1) / 2
설명	'n번째 오각수는 n번째 삼각수의 3배에서 n을 뺀 값과 같음. 점화식: Pn = Pn−1 + 3n − 2, P1 = 1'

특징

일반항	'n(3n-1)/2 (n은 자연수)'
성질	오각수는 무한히 많음 1부터 차례대로 나열하면 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, … (OEIS A000326) 5로 나눈 나머지가 0, 1, 2인 경우가 각각 무한히 많음
활용	'오일러의 오각수 정리'

관련 수	삼각수, 사각수, 육각수
일반화	다각수

2. 정의

음이 아닌 정수 $n$ 에 대하여, $n$ 번째 오각수 $\operatorname{Pen}(n)$ 는 다음과 같이 정의된다.
: $\operatorname{Pen}(n)=\frac{n(3n-1)}2=\sum_{k=1}^n(3k-2)$
처음 몇 오각수는 다음과 같다.
:0, 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, ...

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좌우로 밀어서 보기

1		5		12		22
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n

번째 오각수를

P_n

라고 하면, 위 그림에서 확인할 수 있듯이

P_1 = 1

P_{n+1} = P_n + 3n + 1

이 성립한다. 따라서 오각수는 다음과 같이 주어진다.
:

P_n = P_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k + 1) = \frac{n(3n-1)}{2} = n^2+T_{n-1}

(단,

T_n

은

n

번째 삼각수)

오각수를 작은 것부터 나열하면 다음과 같다.
:1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, …

3. 성질

n번째 오각수는 3n-1번째 삼각수의 ⅓과 같다. 오각수는 홀수-홀수-짝수-짝수 순서로 이어지며, 1과 5를 제외하고는 모두 합성수이다. 오일러의 오각수 정리에 등장하며, 모든 자연수는 최대 5개의 오각수의 합으로 표현할 수 있다. (다각수 정리)

* n번째 오각수는 n부터 시작하는 n개의 연속된 정수의 합으로 나타낼 수 있다. (예: P₂ = 2 + 3, P₃ = 3 + 4 + 5)
* 1부터 n번째 오각수까지의 산술 평균은 n번째 삼각수와 같다.
* 오각수의 역수의 무한 합은
: $\frac{1}{1} + \frac{1}{5} + \frac{1}{12} + ... = 3 \log {3} - \frac{\sqrt {3} \pi}{3} = 1.4820375...$
이다.
* 오각수가 삼각수인 것은 1, 210, 40755, 7906276... 이다.
* 오각수가 하샤드 수인 것은 1, 5, 12, 70, 117, 210, 247, 330, 715, ... 이다.
* 오각수가 제곱수인 것은 0, 1, 9801, 94109401,... 이다.

$n>0$ 에 대한 $p_n$ 은 다음과 같은 성질을 가진다.

* 2 또는 3을 포함하지 않는 n개 부분으로 $n+8$ 의 서로 다른 분할의 수이다.
* 1 mod 3에 합동인 처음 n개의 자연수의 합이다.
* $p_{8n}-p_{8n-1}=p_{2n+2}-p_{2n-2}$

3.1. 일반화된 오각수

일반화된 오각수는 중심 육각수와 밀접한 관련이 있다. 중심 육각수에 해당하는 배열을 가운데 행과 인접한 행 사이로 나누면, 더 큰 부분이 정오각형인 두 개의 일반화된 오각수의 합으로 나타난다.

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좌우로 밀어서 보기

1=1+0		7=5+2		19=12+7		37=22+15

일반적으로,

:

3n(n-1)+1 = \tfrac{1}{2}n(3n-1)+\tfrac{1}{2}(1-n)\bigl(3(1-n)-1\bigr)

여기서 오른쪽의 두 항은 모두 일반화된 오각수이며 첫 번째 항은 정오각수(n ≥ 1)이다. 중심 육각 배열의 이러한 분할은 일반화된 오각수를 사다리꼴 배열로 제공하며, 이는 해당 분할에 대한 페레르스 다이어그램으로 해석될 수 있다. 이러한 방식으로 위에서 언급한 오각수 정리를 증명하는 데 사용할 수 있다.

n번째 오각수가 세 개의 삼각수와 숫자 n으로 분해될 수 있다는 말 없는 증명

3.2. 오각수 판별

양의 정수 x가 주어졌을 때, (일반화되지 않은) 오각수인지 확인하기 위해 다음과 같이 계산할 수 있다.

: $n = \frac{\sqrt{24x+1} + 1}{6}.$

x는 n이 자연수일 때에만 오각수이다. 이 경우, x는 n번째 오각수이다.

일반화된 오각수의 경우, 24x + 1이 완전제곱수인지 확인하는 것으로 충분하다.

일반화되지 않은 오각수의 경우, 완전제곱수 검사 외에도 다음을 확인해야 한다.

: $\sqrt{24x+1} \equiv 5 \mod 6$

오각수의 수학적 속성은 이러한 검사가 수의 오각수 여부를 증명하거나 반증하는 데 충분하다는 것을 보장한다.

3.3. 그노몬

오각수의 n번째 오각수의 그노몬은 다음과 같다.

: $p_{n+1}-p_n = 3n+1$

4. 특수한 오각수

n번째 오각수는 3n - 1번째 삼각수의 ⅓에 해당한다. 또한 1부터 n번째 오각수까지의 산술 평균은 n번째 삼각수와 같다. n번째 오각수는 n부터 시작하는 n개의 연속된 정수의 합으로 나타낼 수 있다. 예를 들어 P₂ = 2 + 3, P₃ = 3 + 4 + 5 와 같이 표현할 수 있다.

오각수는 홀수 - 홀수 - 짝수 - 짝수 순으로 반복되며, 1과 5를 제외한 모든 오각수는 합성수이다. 오각수는 오일러의 오각수 정리에 나타나는 수이며, 모든 자연수는 최대 5개의 오각수의 합으로 표현할 수 있다.(→다각수 정리)

오각수의 역수의 무한 합은 다음과 같다.

: $\frac{1}{1} + \frac{1}{5} + \frac{1}{12} + ... = 3\log3 - \frac{\sqrt{3}\pi}{3} = 1.4820375...$

오각수가 삼각수인 것은 1, 210, 40755, 7906276 등 (A014979)이며, 제곱수인 것은 0, 1, 9801, 94109401 등 (A036353)이고, 하샤드 수인 것은 1, 5, 12, 70, 117, 210, 247, 330, 715 등 (A242043)이다.

4.1. 제곱 오각수

제곱 오각수는 완전 제곱수이면서 오각수인 수이다.

처음 몇 개의 제곱 오각수는 다음과 같다.

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, 7681419682192581869134354401, 73756990988431941623299373152801... (OEIS 항목 A036353)

4.2. 삼각 오각수

오각수이자 삼각수인 수는 1, 210, 40755, 7906276... 이다.

4.3. 하샤드 오각수

오각수이자 하샤드 수인 것은 1, 5, 12, 70, 117, 210, 247, 330, 715 등이다.