사각뿔

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1. 개요
2. 종류
3. 성질
- 3.1. 일반적인 사각뿔
- 3.2. 존슨의 다면체 (J₁)
4. 관련 다면체
5. 응용
참조

1. 개요

사각뿔은 5개의 꼭짓점, 8개의 모서리, 5개의 면을 가진 다면체이다. 밑면은 정사각형이고 나머지 네 면은 삼각형이며, 정사각뿔, 직사각뿔, 사각뿔 등의 종류가 있다. 정사각뿔은 존슨의 다면체 중 하나이며, 부피, 표면적 등의 성질을 갖는다. 건축에서는 이집트 피라미드와 같은 형태를 가지며, 분자 구조에도 적용된다. 사각뿔은 다른 다면체와 결합하여 새로운 형태를 만들 수 있으며, 증강, 신장 등의 기하학적 변환에 활용된다.

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사각뿔
개요
사각뿔
종류	각뿔, 존슨 입체
Johnson 넘버	J1
구성 면	삼각형 4개, 정사각형 1개
변의 개수	8개
꼭짓점의 개수	5개
꼭짓점 배치	4(3².4), (3⁴)
대칭군	C4v
쌍대	자기 자신
특징	볼록

2. 종류

사각뿔은 밑면의 모양과 꼭짓점의 위치에 따라 여러 종류로 나눌 수 있다.

정사각뿔: 밑면이 정사각형이고 옆면이 모두 합동인 이등변삼각형으로 이루어진 사각뿔이다. 꼭짓점에서 밑면에 내린 수선이 밑면의 중심(무게중심)을 지나는 경우, 흔히 "피라미드형"이라고 불린다.
직사각뿔: 밑면이 직사각형인 사각뿔이다.
빗각뿔/사각뿔: 밑면이 정사각형이지만 꼭짓점에서 밑면에 내린 수선이 밑면의 중심을 지나지 않는 사각뿔이다.

옆면이 정삼각형인 정사각뿔은 존슨의 다면체의 1번이다. 존슨의 다면체가 되는 각뿔은 사각뿔과 오각뿔뿐이다. (삼각뿔은 정사면체, 육각뿔은 정삼각형과 겹쳐진다.)

3. 성질

사각뿔은 5개의 꼭짓점, 8개의 모서리, 5개의 면을 가지고 있다. 밑면은 정사각형이고, 나머지 네 면은 삼각형이다.

직사각뿔의 밑면 가로 길이를 ''a'', 세로 길이를 ''b'', 높이를 ''h''라고 할 때, 밑면적 ''A''는 ''A'' = ''ab''이고, 부피 ''V''는 ''V'' = ''abh'' / 3으로 주어진다. 직사각뿔의 측면적 ''S''는 다음과 같다.

: $S = \frac{a\sqrt{b^{2}+4h^{2}}+b\sqrt{a^{2}+4h^{2}}}{2}$

임의의 정사각뿔은 적절한 직교 변환을 통해 다음 방정식으로 변환할 수 있다.

: $\frac$

{k} + \frac

{k} - |Z| = 0

여기서

k

는 이 정사각뿔을 평면 ''Z'' = 1로 절단했을 때, 단면의 경계(정사각형)의 한 변의 길이가 된다.

3. 1. 일반적인 사각뿔

사각뿔은 5개의 꼭짓점, 8개의 모서리, 5개의 면을 가지고 있다. 밑면은 정사각형이고, 나머지 네 면은 삼각형이다. 네 개의 모서리는 네 개의 꼭짓점을 연결하여 사각형을 이룬다. 다른 네 개의 모서리는 피라미드의 옆면 모서리로, 꼭짓점이라고 불리는 다섯 번째 꼭짓점에서 만난다.

밑면의 한 변의 길이를 *l*, 높이를 *h*라고 할 때, 표면적과 부피는 다음과 같다.

'''표면적'''(A): $A=l^2+l\sqrt{l^2+(2h)^2}$
'''부피'''(V): $V=\frac{1}{3}l^2h.$

많은 수학자들이 고대에 사각뿔의 부피를 계산하는 공식을 발견했다. 모스크바 수학 파피루스에서 이집트 수학자들은 잘린 사각뿔의 부피를 계산하는 공식을 알고 있었고, 이는 그들이 사각뿔의 부피에도 익숙했음을 시사한다. 그러나 공식이 어떻게 도출되었는지는 알려져 있지 않다. 린드 수학 파피루스에서는 사각뿔의 기울기와 높이를 찾는 문제를 찾을 수 있다. 바빌로니아 수학자들도 잘린뿔의 부피를 고려했지만, 잘못된 공식을 제시했다.^[1] 중국 수학자 유휘는 직육면체를 조각으로 나누는 방법을 통해 부피를 발견했다.^[2]

3. 2. 존슨의 다면체 (J₁)

옆면이 모두 정삼각형인 각뿔은 존슨의 다면체 중 하나이다(J₁).^[3] 존슨 사각뿔은 변의 길이를 ''a''라고 할 때, 높이 ''H'', 표면적 ''A'', 부피 ''V''는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

성질	공식
높이(H)	$H=\frac{1}{\sqrt{2}}a$
표면적(A)	$A=(1+\sqrt{3})a^2$
부피(V)	$V=\frac{\sqrt{2}}{6}a^3$

4. 관련 다면체

(밑면에 정육면체 추가)]]

5. 응용

건축에서 고대 이집트에서 건설된 피라미드는 사각뿔 형태의 건물이다. 피라미드 연구자들은 케플러 삼각형과 황금비를 기반으로 하는 이론을 포함하여 기자의 대피라미드 설계에 대한 다양한 제안을 제시했다. 그러나 현대 학자들은 이집트 수학과 비례에 대한 지식과 더 일치하는 정수 비율을 사용하는 설명을 선호한다.^[1] 메소아메리카 피라미드 역시 이집트와 유사한 고대 피라미드 건축물이다. 이들은 꼭대기가 평평하고 측면에 계단이 있다는 점에서 차이가 있다. 현대 건물 중 이집트 피라미드를 모방한 디자인으로는 루브르 박물관 피라미드와 카지노 호텔 럭소 라스베이거스 등이 있다.

입체화학에서 원자 클러스터는 사각뿔 구조를 가질 수 있다. 사각뿔 분자는 하나의 활성 비공유 전자쌍을 가진 주족 원소를 가지며, 이는 VSEPR 이론으로 알려진 분자 구조를 예측하는 모델로 설명할 수 있다. 이러한 구조를 가진 분자의 예로는 오플루오린화 염소, 오플루오린화 브로민, 오플루오린화 요오드 등이 있다.

사각뿔은 정사면체, 깎은 정육면체 또는 육팔면체와 함께 공간을 채울 수 있다.^[4]

참조

_[1] 서적 surveys many alternative theories for this pyramid's shape. See Chapter 11, "Kepler triangle theory", pp. 80–91, for material specific to the Kepler triangle, and p. 166 for the conclusion that the Kepler triangle theory can be eliminated by the principle that "A theory must correspond to a level of mathematics consistent with what was known to the ancient Egyptians." See note 3, p. 229, for the history of Kepler's work with this triangle. See {{harvtxt|Rossi|2004}}, pp. [https://archive.org/details/architechture-and-mathematics-in-ancient-egypt-corianna-rossi-2003/page/67/ 67–68], quoting that "there is no direct evidence in any ancient Egyptian written mathematical source of any arithmetic calculation or geometrical construction which could be classified as the Golden Section ... convergence to $\varphi$ , and $\varphi$ itself as a number, do not fit with the extant Middle Kingdom mathematical sources"; see also extensive discussion of multiple alternative theories for the shape of the pyramid and other Egyptian architecture, pp. 7–56. See also {{harvtxt|Rossi|Tout|2002}} and {{harvtxt|Markowsky|1992}}.
_[2] 서적 See Table 12.3, where $P_n$ denotes the {{nowrap| $n$ -sided}} prism and $A_n$ denotes the {{nowrap| $n$ -sided}} antiprism. https://books.google[...]
_[3] 간행물 Convex polyhedra with regular faces
_[4] 웹사이트 http://woodenpolyhed[...]

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