정칙렬

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1. 개요

정칙렬은 가환환 R과 R-가군 M에 대해, R의 원소들로 구성된 유한 수열 r₁, ..., rₙ이 특정 조건을 만족할 때 M-정칙렬이라고 정의된다. 정칙렬은 기하학, 특히 완전 교차 부분 스킴과 관련이 있으며, 코줄 복합체 및 연관된 등급환과 같은 중요한 대수적 구조를 형성한다. 정칙렬의 개념은 뇌터 환, 국소환, 그리고 깊이와 같은 관련 개념과 연결되어 있으며, 호몰로지 대수학 및 가환대수학에서 중요한 역할을 한다.

정칙렬

정의

설명	가환환론에서, 주어진 아이디얼에 대해, 그 잉여환에서 영인자가 아닌 원소를 연쇄적으로 곱하여 얻는 열. 대수기하학에서, 주어진 대수다양체의 부분 다양체를 정의하는 데 쓰임.

관련 개념	정칙 함수, 정칙 국소환, 깊이 (가환대수학)

2. 정의

가환환 R과 R-가군 M이 주어졌을 때, R의 원소 r은 r m = 0이면 m = 0을 만족할 때, 즉 M의 모든 m에 대해 M에서 영인자가 아님이라고 한다.

R의 원소 x가 M-정칙 원소라는 것은 x가 M 위의 영인자가 아님을 의미한다.

가환환/Commutative ring^영어 R과 R-가군 M이 주어졌을 때, R의 원소들로 구성된 유한 수열 r₁, ..., rₙ은 다음 조건을 만족하면 M-정칙렬이라고 한다.
* 임의의 i = 1, 2, ..., n 및 m ∈ M에 대하여, 만약 r_im ∈ (r₁, ..., r_i-1)M이라면, m ∈ (r₁, ..., r_i-1)M이다. 즉, r_i는 M/(r₁, ..., r_i-1)M의 영인자가 아니다.
* M/(r₁, ..., r_d)M이 0이 아니다.

R-정칙 수열은 간단히 정칙렬이라고도 부른다. 즉, r₁, ..., r_d가 정칙 수열이라는 것은 r₁이 환 R에서 영인자가 아니고, r₂가 환 R/(r₁)에서 영인자가 아니며, 이런 식으로 계속된다는 것이다.

일부 문헌에서는 정칙렬의 정의에 (r₁, ..., r_n)M ≠ M이라는 조건을 추가하기도 한다.

정칙 수열이 되는 것은 원소의 순서에 따라 달라질 수 있다. 예를 들어, x, y(1-x), z(1-x)는 다항식 환 C[x, y, z]에서 정칙 수열이지만, y(1-x), z(1-x), x는 정칙 수열이 아니다. 하지만 R이 Noether 환이고 국소환이며, 원소 r_i가 극대 아이디얼에 속하거나, R이 등급 환이고 r_i가 양의 차수를 갖는 동차 원소이면, 정칙 수열의 임의의 순열도 정칙 수열이다.

기하학적으로, 정칙렬의 원소는 가군의 소멸자 $\operatorname{Ann}_RM$ 속의 일련의 부분 스킴들에 대응된다. 특히, 만약 $M = R$ 인 경우 이는 ‘방정식’을 하나씩 추가하여 얻어지는 부분 스킴들의 열에 해당한다.
: $\operatorname{Spec}R \leftarrow \operatorname{Spec}\frac R{(r_1)} \leftarrow \operatorname{Spec}\frac R{(r_1,r_2)} \leftarrow \dotsb$
X가 아핀 스킴이고 r₁, ..., r_d가 X 위의 정칙 함수 환에서 정칙 수열이면, 닫힌 부분 스킴 {r₁=0, ..., r_d=0} ⊂ X를 X의 완전 교차 부분 스킴이라고 한다.

2.1. 정칙 원소

R의 원소 x가 M-정칙 원소라는 것은 x가 M 위의 영인자가 아님을 의미한다. 즉, R의 원소 r은 r m = 0이면 m = 0을 만족할 때, 즉 M의 모든 m에 대해 M에서 영인자가 아님을 뜻한다.

2.2. 정칙렬

가환환/Commutative ring^영어 R과 R-가군 M이 주어졌을 때, R의 원소들로 구성된 유한 수열 r₁, ..., rₙ은 다음 조건을 만족하면 M-정칙렬이라고 한다.
* 임의의 i = 1, 2, ..., n 및 m ∈ M에 대하여, 만약 r_im ∈ (r₁, ..., r_i-1)M이라면, m ∈ (r₁, ..., r_i-1)M이다. 즉, r_i는 M/(r₁, ..., r_i-1)M의 영인자가 아니다.
* M/(r₁, ..., r_d)M이 0이 아니다.

R-정칙 수열은 간단히 정칙렬이라고도 부른다. 즉, r₁, ..., r_d가 정칙 수열이라는 것은 r₁이 환 R에서 영인자가 아니고, r₂가 환 R/(r₁)에서 영인자가 아니며, 이런 식으로 계속된다는 것이다.

일부 문헌에서는 정칙렬의 정의에 (r₁, ..., r_n)M ≠ M이라는 조건을 추가하기도 한다.

정칙 수열이 되는 것은 원소의 순서에 따라 달라질 수 있다. 예를 들어, x, y(1-x), z(1-x)는 다항식 환 C[x, y, z]에서 정칙 수열이지만, y(1-x), z(1-x), x는 정칙 수열이 아니다. 하지만 R이 Noether 환이고 국소환이며, 원소 r_i가 극대 아이디얼에 속하거나, R이 등급 환이고 r_i가 양의 차수를 갖는 동차 원소이면, 정칙 수열의 임의의 순열도 정칙 수열이다.

기하학적으로, 정칙렬의 원소는 가군의 소멸자 $\operatorname{Ann}_RM$ 속의 일련의 부분 스킴들에 대응된다. 특히, 만약 $M = R$ 인 경우 이는 ‘방정식’을 하나씩 추가하여 얻어지는 부분 스킴들의 열에 해당한다.
: $\operatorname{Spec}R \leftarrow \operatorname{Spec}\frac R{(r_1)} \leftarrow \operatorname{Spec}\frac R{(r_1,r_2)} \leftarrow \dotsb$
X가 아핀 스킴이고 r₁, ..., r_d가 X 위의 정칙 함수 환에서 정칙 수열이면, 닫힌 부분 스킴 {r₁=0, ..., r_d=0} ⊂ X를 X의 완전 교차 부분 스킴이라고 한다.

3. 성질

$R$ -가군 $M$ 속의 정칙렬 $r_1,r_2,\dotsc,r_d$ 이 주어졌을 때, 임의의 가역원 $u_1,u_2,\dots,u_d \in R^\times$ 에 대하여 $u_1r_1,\dotsc,u_dr_d$ 역시 정칙렬이다.

==== 국소화 ====
환 준동형 $\phi \colon R \to S^{-1}R$ 에 대하여, $\phi(r_1),\dotsc,\phi(r_d)$ 는 $S^{-1}M$ 의 정칙렬이다. 가군의 국소화는 완전 함자이므로, 단사 가군 준동형은 단사 가군 준동형으로 대응된다. $\phi(r_1),\dotsc,\phi(r_d)$ 가 정칙렬이라는 것은 다음 조건이 성립함을 의미한다.
: $(\phi(r_i)\cdot)\colon \frac {S^{-1}M}{(\phi(r_1),\dotsc,\phi(r_{i-1}))S^{-1}M} \to \frac {S^{-1}M}{(\phi(r_1),\dotsc,\phi(r_{i-1}))S^{-1}M}$
이는 단사 함수이다.
만약 정칙렬의 정의에 $(r_1,\dotsc,r_d)M \ne M$ 이라는 조건을 추가한다면, 이 조건은 국소화에 의하여 일반적으로 보존되지 못한다.

==== 순열 ====
정칙렬의 순열은 일반적으로 정칙렬이 아니다.

다만, 뇌터 가환환의 유한 생성 가군에서는 특정 조건 하에서 정칙렬의 순열이 정칙렬이 된다. 이 조건은 아이디얼이 가군의 근기의 부분 집합이어야 한다는 것이다.

==== 깊이 ====
뇌터 가환환 $R$ 의 아이디얼 $\mathfrak a\subsetneq R$ 및 유한 생성 가군 $M$ 이 주어졌을 때, $\mathfrak a$ 속에 포함된 $M$ -정칙렬의 최대 길이를 $(\mathfrak a,M)$ 의 깊이라고 한다. 이 개념은 호몰로지 대수학에서 중요한 역할을 한다.

국소 가환환에서, 극대 아이디얼에 포함된 정칙렬의 길이는 그 크룰 차원 이하이다. 이 상한을 포화시키는 (즉, 깊이와 차원이 일치하는) 국소 가환환을 코언-매콜리 국소환이라고 한다.

3.1. 국소화

환 준동형 $\phi \colon R \to S^{-1}R$ 에 대하여, $\phi(r_1),\dotsc,\phi(r_d)$ 는 $S^{-1}M$ 의 정칙렬이다. 가군의 국소화는 완전 함자이므로, 단사 가군 준동형은 단사 가군 준동형으로 대응된다. $\phi(r_1),\dotsc,\phi(r_d)$ 가 정칙렬이라는 것은 다음 조건이 성립함을 의미한다.
: $(\phi(r_i)\cdot)\colon \frac {S^{-1}M}{(\phi(r_1),\dotsc,\phi(r_{i-1}))S^{-1}M} \to \frac {S^{-1}M}{(\phi(r_1),\dotsc,\phi(r_{i-1}))S^{-1}M}$
이는 단사 함수이다.
만약 정칙렬의 정의에 $(r_1,\dotsc,r_d)M \ne M$ 이라는 조건을 추가한다면, 이 조건은 국소화에 의하여 일반적으로 보존되지 못한다.

3.2. 순열

정칙렬의 순열은 일반적으로 정칙렬이 아니다.

다만, 뇌터 가환환의 유한 생성 가군에서는 특정 조건 하에서 정칙렬의 순열이 정칙렬이 된다. 이 조건은 아이디얼이 가군의 근기의 부분 집합이어야 한다는 것이다.

3.3. 깊이

뇌터 가환환 $R$ 의 아이디얼 $\mathfrak a\subsetneq R$ 및 유한 생성 가군 $M$ 이 주어졌을 때, $\mathfrak a$ 속에 포함된 $M$ -정칙렬의 최대 길이를 $(\mathfrak a,M)$ 의 깊이라고 한다. 이 개념은 호몰로지 대수학에서 중요한 역할을 한다.

국소 가환환에서, 극대 아이디얼에 포함된 정칙렬의 길이는 그 크룰 차원 이하이다. 이 상한을 포화시키는 (즉, 깊이와 차원이 일치하는) 국소 가환환을 코언-매콜리 국소환이라고 한다.

4. 예

길이 1의 정칙렬은 단순히 가군의 영인자가 아닌 임의의 원소이다.
* 정역 $R$ 이 주어지면, 0이 아닌 모든 $f \in R$ 은 정칙열을 이룬다.
* 소수 p에 대해, 국소환 Z_(p)는 분모가 p의 배수가 아닌 분수로 구성된 유리수의 부분환이다. 원소 p는 Z_(p)에서 영인자가 아니고, p에 의해 생성된 아이디얼에 대한 Z_(p)의 몫환은 체 Z/(p)이다. 따라서 p는 최대 아이디얼 (p)에서 더 긴 정칙열로 확장될 수 없으며, 실제로 국소환 Z_(p)는 깊이 1을 가진다.
* 임의의 체 k에 대해, 다항식환 A = k[x₁, ..., x_n]의 원소 x₁, ..., x_n은 정칙열을 이룬다. 이는 최대 아이디얼 m = (x₁, ..., x_n)에서 A의 국소화 R이 깊이 n 이상을 가짐을 의미한다. 사실, R은 깊이 n을 가지며, 즉, n보다 긴 최대 아이디얼의 정칙열은 존재하지 않는다.
* 더 일반적으로, R을 최대 아이디얼 m을 갖는 정규 국소환이라고 하자. 그러면 R/m-벡터 공간으로서의 m/m²의 기저에 대응되는 m의 원소 r₁, ..., r_d는 정칙열을 이룬다.

가환환에서의 다항식환에서, X₁, ..., X_n는 정칙열이다.

4.1. 정칙렬의 예

길이 1의 정칙렬은 가군의 영인자가 아닌 임의의 원소이다. 정역 $R$ 에서 0이 아닌 모든 원소 $f \in R$ 는 정칙렬을 이룬다. 소수 p에 대해, 국소환 Z_(p)에서 원소 p는 정칙렬을 이룬다. 체 k에 대해, 다항식환 A = k[x₁, ..., x_n]의 원소 x₁, ..., x_n은 정칙렬을 이룬다. 정규 국소환에서 m/m²의 기저에 대응되는 m의 원소들은 정칙렬을 이룬다.

4.2. 정칙렬이 아닌 정칙렬 순열

$\mathbb C[x,y,z]$ 를 스스로 위의 가군으로 간주하면, $x, y(1-x), z(1-x)$ 는 정칙렬이다. 그러나 이 순열의 순서를 바꾼 $y(1-x),z(1-x),x$ 는 정칙렬이 아니다. 구체적으로, $y(1-x)$ 는 $\mathbb C[x,y,z]$ 의 영인자가 아니지만, $z(1-x)$ 는 $\mathbb C[x,y,z]/(y(1-x))$ 의 영인자이다. 예를 들어
: $z(1-x)\cdot y \in y(1-x)\mathbb C[x,y,z]$
: $y \not \in y(1-x)\mathbb C[x,y,z]$
이다.

기하학적으로, $\mathbb C[x,y,z]$ 는 3차원 아핀 공간이며, $\mathbb C[x,y,z]/(x)$ 는 $x = 0$ 으로 정의되는 $yz$ 평면이다. 그 속에서 $\mathbb C[x,y,z]/(x,y(1-x)) \cong \mathbb C[x,y,z]/(x,y)$ 는 $z$ 축이며, $\mathbb C[x,y,z]/(x,y(1-x),z(1-x)) \cong \mathbb C[x,y,z]/(x,y,z)$ 는 그 속의 원점이다.

반면, $\mathbb C[x,y,z]/(y(1-x))$ 는 $y=0$ 평면과 $x = 1$ 평면의 합집합이다. 그 속에서 $\mathbb C[x,y,z]/(y(1-x),z(1-x))$ 는 $y=z=0$ 축과 $x=1$ 평면의 합집합이므로, 이는 양의 여차원을 갖지 못한다.

정칙열의 간단한 반례는 $\mathbb{C}[x,y]$ 의 원소로 구성된 수열 $(xy,x^2)$ 로 주어지는데,
: $\cdot x^2 : \frac{\mathbb{C}[x,y]}{(xy)} \to \frac{\mathbb{C}[x,y]}{(xy)}$ 는 아이디얼 $(y) \subset \mathbb{C}[x,y]/(xy)$ 로 주어지는 자명하지 않은 커널을 가지기 때문이다.

5. 응용

만약 r₁, ..., r_d가 링 R에서의 정칙열이라면, 코줄 복합체는 R/(r₁, ..., r_d)를 R-가군으로 나타내는 명시적인 자유 분해이며, 다음과 같은 형태를 가진다.

: $0\rightarrow R^{\binom{d}{d}} \rightarrow\cdots \rightarrowR^{\binom{d}{1}} \rightarrow R \rightarrow R/(r_1,\ldots,r_d)\rightarrow 0$

특히 R이 다항식 링 k[r₁, ..., r_d]인 경우, 이는 k를 R-가군으로 나타내는 분해를 제공한다.

만약 I가 링 R에서 정칙열에 의해 생성되는 아이디얼이라면, 연관된 등급 링

: $\oplus_{j\geq 0} I^j/I^{j+1}$

은 다항식 링 (R/I)[x₁, ..., x_d]와 동형이다. 기하학적으로, 이것은 임의의 스킴 X의 국소 완전 교차 부분 스킴 Y가 비록 Y가 특이점을 가질 수 있더라도, 노말 번들을 가지며 이는 벡터 번들임을 따른다.

5.1. 코줄 복합체

코줄 복합체는 r₁, ..., r_d가 링 R에서의 정칙렬일 때, R/(r₁, ..., r_d)를 R-가군으로 나타내는 명시적인 자유 분해이다.

: $0\rightarrow R^{\binom{d}{d}} \rightarrow\cdots \rightarrowR^{\binom{d}{1}} \rightarrow R \rightarrow R/(r_1,\ldots,r_d)\rightarrow 0$

특히 R이 다항식 링 k[r₁, ..., r_d]인 경우, 이는 k를 R-가군으로 나타내는 분해를 제공한다.

만약 I가 링 R에서 정칙열에 의해 생성되는 아이디얼이라면, 연관된 등급 링

: $\oplus_{j\geq 0} I^j/I^{j+1}$

은 다항식 링 (R/I)[x₁, ..., x_d]와 동형이다. 기하학적으로, 이것은 임의의 스킴 X의 국소 완전 교차 부분 스킴 Y가 비록 Y가 특이점을 가질 수 있더라도, 노말 번들을 가지며 이는 벡터 번들임을 따른다.

5.2. 연관된 등급환

r₁, ..., r_d가 링 R에서의 정칙열이라면, 코줄 복합체는 R/(r₁, ..., r_d)를 R-가군으로 나타내는 자유 분해이며, 다음과 같은 형태를 가진다.

: $0\rightarrow R^{\binom{d}{d}} \rightarrow\cdots \rightarrowR^{\binom{d}{1}} \rightarrow R \rightarrow R/(r_1,\ldots,r_d)\rightarrow 0$

만약 I가 링 R에서 정칙열에 의해 생성되는 아이디얼이라면, 연관된 등급 링

: $\oplus_{j\geq 0} I^j/I^{j+1}$

은 다항식 링 (R/I)[x₁, ..., x_d]와 동형이다. 기하학적으로, 이는 임의의 스킴 X의 국소 완전 교차 부분 스킴 Y가 특이점을 가질 수 있더라도, 노말 번들을 가지며 이는 벡터 번들임을 따른다.

정칙렬