소멸자

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1. 개요

소멸자는 환 R의 가군 M의 부분 집합 S에 대해, S의 모든 원소를 0으로 보내는 R의 원소들의 집합이다. 소멸자는 왼쪽 아이디얼 또는 오른쪽 아이디얼을 형성하며, 가환환의 경우 환 준동형의 핵으로 나타낼 수 있다. 소멸자는 가환환의 경우 가군 지지 집합과 관련되며, 짧은 완전열 및 몫가군과의 관계를 통해 분석할 수 있다. 정수환 및 다항식환을 포함한 다양한 환에서 소멸자의 예시를 찾을 수 있으며, 소멸자 아이디얼의 쇄 조건 및 범주론적 기술을 통해 다른 환의 성질과 연관성을 파악할 수 있다.

소멸자

정의

설명	환론에서, 환 R의 가군 M의 부분 집합 S의 소멸자는 S의 모든 원소를 0으로 만드는 R의 모든 원소의 집합이다.

성질

설명	소멸자는 항상 아이디얼을 형성한다.

표기법

영어	Annihilator
표기	Annr(S), Ann(S)

설명	소멸자는 가군의 구조를 이해하는 데 중요한 도구이다. 예를 들어, 가군 M의 소멸자는 M이 R/Ann(M) 가군으로 간주될 수 있도록 한다.

2. 정의

환 $R$ 의 왼쪽 가군 $_RM$ 의 부분 집합 $S\subseteq M$ 의 소멸자 $\operatorname{Ann}_RS$ 는 다음 집합이다.
: $\operatorname{Ann}_RS=\{r\in R\colon rS=\{0\}\}$
마찬가지로, 환 $R$ 의 오른쪽 가군 $M_R$ 의 부분 집합 $S\subseteq M$ 의 소멸자 $\operatorname{Ann}_RS$ 는 다음 집합이다.
: $\operatorname{Ann}_RS=\{r\in R\colon Sr=\{0\}\}$

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 또는 오른쪽 가군 $M$ 에 대하여, $\operatorname{Ann}_RM=\{0\}$ 이면, $M$ 을 충실한 가군(faithful module^영어)이라고 한다.

3. 성질

왼쪽 가군의 부분 집합의 소멸자는 왼쪽 아이디얼을 이룬다. 마찬가지로, 오른쪽 가군의 부분 집합의 소멸자는 오른쪽 아이디얼을 이룬다. 왼쪽 또는 오른쪽 가군 $M$ 의 부분 가군 $N\subseteq M$ 이 주어졌을 때, $\operatorname{Ann}_RN$ 은 양쪽 아이디얼을 이룬다.

가환환 $R$ 의 가군 $M$ 의 소멸자 $\operatorname{Ann}_RM$ 은 환 준동형
: $R\to\operatorname{End}_RM$
: $r\mapsto(m\mapsto rm)$
의 핵이다.

$R$ 을 환으로 하고, $M$ 을 좌 $R$ -가군으로 하자. $M$ 의 공집합이 아닌 부분 집합 $S$ 의 소멸자는 Ann_R(S)로 표기하며, 모든 $s \in S$ 에 대해 $rs = 0$ 을 만족하는 $R$ 의 모든 원소 $r$ 의 집합이다. 집합 표기법으로 나타내면 다음과 같다.
: $\mathrm{Ann}_R(S)=\{r\in R\mid rs = 0$ for all $s\in S \}$
이는 $S$ 를 소멸시키는 $R$ 의 모든 원소의 집합이다.

만약 $S$ 가 왼쪽 $R$ -가군 $M$ 의 부분 집합이라면, Ann(S)는 $R$ 의 왼쪽 아이디얼이다. 만약 $S$ 가 $M$ 의 부분 가군이라면, Ann_R(S)는 양쪽 아이디얼이다.

만약 $S$ 가 $M$ 의 부분 집합이고 $N$ 이 $S$ 에 의해 생성된 $M$ 의 부분 가군이라면, 일반적으로 Ann_R(N)은 Ann_R(S)의 부분 집합이지만, 반드시 같지는 않다. 만약 $R$ 이 가환환이라면, 등식이 성립한다.

$M$ 은 또한 작용 $\overline{r}m:=rm\,$ 을 사용하여 $R/\operatorname{Ann}_R(M)$ -가군으로 볼 수 있다. $R/\operatorname{Ann}_R(M)$ -가군으로 간주될 때, $M$ 은 자동으로 충실 가군이 된다.

3.1. 가환환의 경우

이 절에서는 $R$ 을 가환환으로, $M$ 을 유한 생성 $R$ -가군으로 둔다.

가군 지지는 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname{Supp}M = \{ \mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}R \mid M_\mathfrak{p} \neq 0 \}.$

가군이 유한 생성될 때 다음 관계가 성립한다.

: $V(\operatorname{Ann}_R(M)) = \operatorname{Supp}M$

여기서 $V(\cdot)$ 은 부분 집합을 포함하는 소 아이디얼들의 집합이다.

3.1.1. 짧은 완전열과의 관계

가군의 짧은 완전열
: $0 \to M' \to M \to M$ \to 0,
이 주어졌을 때, 다음 관계가 성립한다.
: $\operatorname{Ann}_R(M') \cap \operatorname{Ann}_R(M$ ) \supseteq \operatorname{Ann}_R(M) \supseteq \operatorname{Ann}_R(M') \operatorname{Ann}_R(M'').
만약 그 열이 분해된다면, 좌변의 부등식은 항상 등식이 된다. 이것은 가군의 임의의 직합에 대해 성립하며, 다음이 성립한다.
: $\operatorname{Ann}_R\left( \bigoplus_{i\in I} M_i \right) = \bigcap_{i\in I} \operatorname{Ann}_R(M_i).$

3.1.2. 몫가군과의 관계

아이디얼 $I \subseteq R$ 과 유한 생성 가군 $M$ 에 대해, 다음 관계가 성립한다.

: $V(\text{Ann}_R(M/IM)) = V(\text{Ann}_R(M)) \cap V(I).$

4. 예시

R을 환이라 하고, M을 좌 R-가군이라고 하자. M의 부분 집합 S에 대해, S의 모든 원소 s에 대해 rs = 0인 R의 모든 원소 r로 구성된 집합을 S의 영인자(annihilator^영어)라고 하며, Ann_R(S)로 표기한다. 즉, 집합 표기법으로는 다음과 같다.

: $\mathrm{Ann}_R(S)=\{\, r\in R\mid \forall s\in S, rs=0 \,\}\,$

이는 S를 "소멸시키는"(annihilate) R의 원소의 집합이다. 우 가군의 부분 집합에 대해서도 비슷하게 정의되지만, "sr = 0"으로 수정해야 한다.

원소 하나 x의 영인자는 Ann_R({x}) 대신 Ann_R(x)로 나타낸다. 환 R이 문맥에서 명확하면 아래첨자 R은 생략할 수 있다.

R은 자기 자신 위의 가군이므로, S를 R 자체의 부분 집합으로 생각할 수 있다. 하지만 R은 좌우 양쪽 R 가군이므로, 좌측인지 우측인지 구별하기 위해 표기를 약간 수정해야 한다. 필요하다면 $\ell_R(S)$ 과 $r_R(S)$ 또는 $\ell.\mathrm{Ann}_R(S)\,$ 과 $r.\mathrm{Ann}_R(S)\,$ 와 같은 아래첨자를 사용하여 좌우 영인자를 구별한다.

R-가군 M이 Ann_R(M) = 0을 만족하면, M을 충실 가군이라고 한다.

S가 왼쪽 R-가군 M의 부분 집합이면, Ann(S)는 R의 왼쪽 아이디얼이다. a와 b가 모두 S를 소멸시키면, 각 s ∈ S에 대해 (a + b)s = as + bs = 0이고, 임의의 r ∈ R에 대해 (ra)s = r(as) = r0 = 0이기 때문이다. (비슷한 증명으로 오른쪽 가군의 부분 집합의 영인자는 오른쪽 아이디얼임을 보일 수 있다.)

S가 M의 부분 가군이면, Ann_R(S)는 양쪽 아이디얼이 된다. rs는 S의 원소이므로, (ar)s = a(rs) = 0이다.

S가 M의 부분 집합이고 N이 S로 생성되는 M의 부분 가군이면, Ann_R(N)은 Ann_R(S)의 부분 집합이지만, 반드시 같지는 않다. R이 가환이면 등호가 성립한다.

M은 작용 $\overline{r}m:=rm\,$ 을 사용하여 R/Ann_R(M)-가군으로 생각할 수도 있다. 하지만, 아이디얼 I가 M의 영인자의 부분 집합일 때만, 이 작용이 잘 정의(well-defined)된다. R/Ann_R(M)-가군으로, M은 자동적으로 충실 가군이 된다.

4.1. 정수환

아벨 군의 기본 정리에 따르면, 정수환 $\mathbb{Z}$ 위의 유한 생성 가군은 자유 부분과 꼬임 부분의 직합으로 완전히 분류된다. 유한 생성 가군의 소멸자는 꼬임 부분만 존재할 때 자명하지 않다. 왜냐하면 다음이 성립하기 때문이다.

: $\text{Ann}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}^{{\oplus}k}) = \{ 0 \} = (0)$

이는 각 $\mathbb{Z}$ 를 소멸시키는 유일한 원소가 $0$ 이기 때문이다. 예를 들어, $\mathbb{Z}/2 {\oplus} \mathbb{Z}/3$ 의 소멸자는 다음과 같다.

: $\text{Ann}_\mathbb{Z}(\mathbb{Z}/2 {\oplus} \mathbb{Z}/3) = (6) = (\text{lcm}(2,3)),$

이는 $(6)$ 에 의해 생성된 아이디얼이다. 꼬임 가군

: $M \cong \bigoplus_{i=1}^n (\mathbb{Z}/a_i)^{{\oplus}k_i}$

의 소멸자는 최소공배수 $(\operatorname{lcm}(a_1, \ldots, a_n))$ 에 의해 생성된 아이디얼과 동형이다. 따라서 정수환 위에서 소멸자는 쉽게 분류할 수 있다.

4.2. 다항식환

체 $k$ 위에서, 다항식환 $k[x, y]$ 의 가군 $M = \frac{k[x,y]}{(x^2 - y)} \oplus \frac{k[x,y]}{(y - 3)}$ 의 소멸자는 $((x^2 - y)(y - 3))$ 이다.

5. 소멸자 아이디얼의 쇄 조건

$\ell.\mathrm{Ann}_R(S)$ 형태의 격자는 S가 R의 부분 집합일 때, 포함 관계에 의해 완비 격자를 이룬다. R의 왼쪽 소멸 아이디얼의 격자를 $\mathcal{LA}\,$ 로, R의 오른쪽 소멸 아이디얼의 격자를 $\mathcal{RA}\,$ 로 나타낸다. $\mathcal{LA}\,$ 가 상승 연쇄 조건을 만족하는 것은 $\mathcal{RA}\,$ 가 하강 연쇄 조건을 만족하는 것과 필요충분조건이며, 대칭적으로 $\mathcal{RA}\,$ 가 상승 연쇄 조건을 만족하는 것은 $\mathcal{LA}\,$ 가 하강 연쇄 조건을 만족하는 것과 같다. 이 격자 중 하나가 이러한 연쇄 조건을 가지면, R은 무한한 쌍별 직교 집합의 멱등원을 갖지 않는다.

6. 범주론적 기술 (가환환의 경우)

R이 가환환이고 M이 R-가군일 때, Ann_R(M)은 항등 사상 M → M의 Hom-텐서 수반에 대한 수반 사상에 의해 결정되는 작용 사상 R → End_R(M)의 핵으로 설명할 수 있다.

7. 다른 환 성질과의 관계

소멸자는 좌 리커트 환 및 베어 환을 정의하는 데 사용된다. S의 (좌) 영인자 집합 D_S는 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $D_S = \bigcup_{x \in S \setminus \{0\}}{\mathrm{Ann}_R(x)}.$

(여기서 0은 영인자로 간주한다.) 특히, D_R은 S = R로 놓고, R이 자신을 좌 R-가군으로 작용할 때, R의 (좌) 영인자의 집합이다.

뇌터 가환환 R에서, 집합 $D_R$ 은 R-가군 R의 연관 소수의 합집합과 정확히 같다.