영인자

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1. 개요

영인자는 환의 특정 원소로, 곱셈 연산에 대한 특수한 성질을 갖는다. 환 R의 왼쪽 가군 _RM의 영인자는 rm=0을 만족하는 0이 아닌 m이 존재하는 원소 r이고, 오른쪽 가군 MR의 영인자는 mr=0을 만족하는 0이 아닌 m이 존재하는 원소 r이다. 환 R의 왼쪽, 오른쪽 영인자는 각각 스스로의 왼쪽, 오른쪽 가군으로서의 영인자를 의미하며, 왼쪽 영인자이면서 오른쪽 영인자인 원소를 양쪽 영인자라고 한다. 반면, 왼쪽 영인자도 오른쪽 영인자도 아닌 원소는 정칙원이라고 한다. 가환환에서는 왼쪽, 오른쪽, 양쪽 영인자의 개념이 일치한다. 모노이드가 집합 M에 작용할 때, M의 영인자는 M에 대한 곱셈 사상이 단사가 아닌 원소를, 정칙원은 단사인 원소를, 가역원은 전사인 원소를 의미하며, 정칙원들의 집합은 부분 모노이드를 이룬다. 0이 아닌 영인자가 없는 환을 영역이라고 하며, 가환 영역은 정역이라고 한다.

영인자

개요

정의	환 R의 원소 a가 존재하여, 0이 아닌 원소 x를 곱했을 때 결과가 0이 되면 a를 영인자라고 한다.
조건	ax = 0
구분	왼쪽 영인자, 오른쪽 영인자

상세 내용

왼쪽 영인자	환 R에서, 어떤 0이 아닌 원소 x가 존재하여 ax = 0을 만족하는 원소 a를 왼쪽 영인자라고 한다.
오른쪽 영인자	환 R에서, 어떤 0이 아닌 원소 y가 존재하여 ya = 0을 만족하는 원소 a를 오른쪽 영인자라고 한다.
양쪽 영인자	왼쪽 영인자이면서 오른쪽 영인자인 원소를 양쪽 영인자라고 한다.
가환환	가환환에서는 왼쪽 영인자와 오른쪽 영인자의 구분이 없다.
정역	영인자가 없는 가환환을 정역이라고 한다.
예시	정수환 Z는 영인자가 없다. 행렬환에서 영행렬이 아닌 영인자가 존재할 수 있다. 잉여류환에서 영인자가 존재할 수 있다.

참고 사항

영인자와 나눗셈	영인자가 존재하면 나눗셈이 불가능할 수 있다.

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 모노이드의 경우
- 2.2. 환의 경우
3. 성질
4. 예
5. 0의 영인자 여부
6. 가군 상의 영인자

2. 정의

영인자는 모노이드와 환에서 각각 정의될 수 있다.

환의 원소 $a$ 에 대해, $ax = 0$ 을 만족하는 $x \neq 0$ 이 존재하면, 즉

: $\exists x \in R\smallsetminus \{0\} : ax = 0$

이면 $a$ 를 왼쪽 영인자라고 한다. 자명환에서 0은 영인자가 아니지만, 자명환이 아닌 경우 0은 항상 영인자이다.

이 정의는 x를 ax로 보내는 R에서 R로의 사상이 단사가 아닌 것과 동치이다. 마찬가지로, 환의 원소 a가 오른쪽 영인자라는 것은 $ya = 0$ 을 만족하는 y ≠ 0 이 존재한다는 것을 의미한다.

왼쪽 또는 오른쪽 영인자인 원소는 단순히 영인자라고 불린다. 왼쪽 영인자이면서 동시에 오른쪽 영인자인 원소 a는 양쪽 영인자라고 한다. (ax = 0이 되는 0이 아닌 x와 ya = 0이 되는 0이 아닌 y는 다를 수 있다.) 가환환에서는 왼쪽 영인자와 오른쪽 영인자가 같다.

환에서 영인자가 아닌 원소는 정칙원 또는 비영인자라고 한다. 0이 아닌 영인자는 0이 아닌 영인자 또는 비자명 영인자라고 부른다.

2.1. 모노이드의 경우

모노이드 $R$ 가 집합 $M$ 위에 작용할 때, 다음을 정의한다.

* 임의의 원소 $r\in R$ 에 대하여 $r\cdot\colon M\to M$ 이 단사 함수가 아니라면 $r$ 를 $M$ 의 영인자라고 한다.
* 임의의 원소 $r\in R$ 에 대하여 $r\cdot\colon M\to M$ 이 단사 함수라면 $r$ 를 $M$ 의 정칙원(regular element^영어)라고 한다.
* 임의의 원소 $r\in R$ 에 대하여 $r\cdot\colon M\to M$ 이 전사 함수라면 $r$ 를 $M$ 의 가역원(invertible element^영어)이라고 한다.

정칙원들의 집합 $\operatorname{Reg}_R(M)$ 은 $R$ 의 부분 모노이드를 이룬다.

모노이드는 스스로 위에 왼쪽·오른쪽에서 작용한다. 모노이드 $R$ 의 왼쪽 영인자는 스스로 위에 왼쪽에서 작용할 때의 영인자이다. 즉, $z,r,s\in R$ 에 대하여

: $r\ne s$
: $zr=zs$

라면 $z$ 를 왼쪽 영인자라고 한다.

마찬가지로, 모노이드 $R$ 의 오른쪽 영인자는 스스로 위에 오른쪽에서 작용할 때의 영인자이다. 즉, $z,r,s\in R$ 에 대하여

: $r\ne s$
: $rz=sz$

라면 $z$ 를 오른쪽 영인자라고 한다.

마찬가지로 왼쪽 가역원과 오른쪽 가역원을 정의할 수 있다. 양쪽 가역원은 항상 양쪽 정칙원이다. 그러나 왼쪽 가역원이 왼쪽 정칙원일 필요는 없다.

가환 모노이드에서는 왼쪽 영인자·오른쪽 영인자·양쪽 영인자의 개념이 일치한다.

2.2. 환의 경우

환은 곱셈에 대하여 모노이드를 이루므로, 모노이드에서의 영인자 정의를 환에도 적용할 수 있다.

환 $R$ 의 왼쪽 가군 $_RM$ 의 영인자는 $rm=0$ 이 되는 $m\ne0$ 이 존재하는 원소 $r\in R$ 이다. 마찬가지로, $R$ 의 오른쪽 가군 $M_R$ 의 영인자는 $mr=0$ 이 되는 $m\ne0$ 이 존재하는 원소 $r\in R$ 이다.

환 $R$ 의 왼쪽 영인자(-零因子, left zero divisor^영어)는 $rs=0$ 인 $s\ne0$ 가 존재하는 $r\in R$ 이다. 오른쪽 영인자(right zero divisor)는 $sr=0$ 인 $s\ne0$ 가 존재하는 $r\in R$ 이다. 왼쪽 영인자이자 오른쪽 영인자인 원소를 양쪽 영인자(兩-零因子, two-sided zero divisor^영어)라고 한다. 왼쪽 영인자가 아니며 오른쪽 영인자도 아닌 원소를 정칙원(正則元, regular element^영어)이라고 한다. 환 $R$ 의 정칙원들의 집합 $\operatorname{Reg}(R)$ 은 곱셈에 대하여 모노이드를 이룬다.

가환환에서는 왼쪽 영인자, 오른쪽 영인자, 양쪽 영인자의 개념이 일치한다.

3. 성질

자명환은 영인자를 갖지 않는다. 자명환이 아닌 환에서 0은 항상 양쪽 영인자이다.

0이 아닌 왼쪽 영인자와 오른쪽 영인자가 존재하지 않으며 자명환이 아닌 환을 영역이라고 하며, 만약 추가로 가환환이라면 정역이라고 한다.

모든 가역원은 항상 정칙원이다. 환 $R$ 에서 가역원 $u\in R^\times$ 및 $r\in R$ 에 대하여 $ur=0$ 이라면 $0=u^{-1}0=u^{-1}ur=r$ 이며, $ru=0$ 이라면 $0=0u^{-1}=ruu^{-1}=r$ 이기 때문이다.

0이나 1이 아닌 임의의 멱등원 또는 멱영원은 양쪽 영인자이다. 보다 일반적으로, 임의의 환 $R$ 속의 원소 $r\in R$ 에 대하여 만약 $\{r,r^2,r^3,\dots\}$ 가 유한 집합이며, $1\not\in \{r,r^2,r^3,\dots\}$ 라고 하자. 그렇다면 $r$ 는 양쪽 영인자이다. 특히, 유한환에서 가역원이 아닌 모든 원소는 영인자이다.

증명은 다음과 같다.
:항상
: $r^m=r^n$
: $r^{m-1}\ne r^{n-1}$
:인 양의 정수 $0 를 찾을 수 있다. (여기서 r^0=1 로 놓는다.) 그렇다면,$
: $0\ne s=r^{m-1}-r^{n-1}$
:로 놓으면 $rs=sr=0$ 이다.

4. 예

* 정수환 $\mathbb Z$ 에는 0 이외의 영인자가 없다. 모든 정역에서는 0 이외의 영인자가 없다.
* $\mathbb Z\times\mathbb Z$ 에서는 $(0,1)\cdot(1,0) = (0,0)$ 이므로 (0,1)과 (1,0)은 영인자이다.
* $3 \times 4 \equiv 0 \pmod{6}$ 이므로, 몫환 $\mathbb Z/(6)$ 에서 4의 잉여류 $4+6\mathbb Z$ 은 영인자이다.
* 행렬환 $\operatorname{Mat}(2;\mathbb Z)$ 에서, 행렬 $\begin{pmatrix}1&1\\ 2&2\end{pmatrix}$ 은 영인자이다. 이는 다음의 계산을 통해 알 수 있다.
: $\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$
* 몫환 $\mathbb Z/(n)$ 에 0이 아닌 영인자가 존재할 필요충분조건은 $n$ 이 합성수인 것이다. $n$ 이 소수일 때 이 환은 체가 되는데, 이는 정역보다 강한 조건이다.
* 환 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 에서 잉여류 $\overline{2}$ 는 $\overline{2} \times \overline{2}=\overline{4}=\overline{0}$ 이므로 영인자이다.
* 정수의 환 $\mathbb{Z}$ 의 유일한 영인자는 $0$ 이다.
* 비영 환의 멱영원은 항상 양쪽 영인자이다.
* 환의 아이템포턴트 원소 $e\ne 1$ 는 항상 양쪽 영인자인데, 그 이유는 $e(1-e)=0=(1-e)e$ 이기 때문이다.
* n × n 행렬의 환은 체에 대해 n ≥ 2이면 0이 아닌 영인자를 갖는다. 2 × 2 행렬의 환(모든 비영 환에 대해)에서 영인자의 예는 다음과 같다.
: $\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} ,$
: $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.$
* 둘 이상의 비영 환의 직접 곱은 항상 0이 아닌 영인자를 갖는다. 예를 들어, 각 $R_i$ 가 0이 아닌 $R_1 \times R_2$ 에서 $(1,0)(0,1) = (0,0)$ 이므로 $(1,0)$ 은 영인자이다.
* $K$ 를 체로 하고 $G$ 를 군이라고 하자. $G$ 가 유한 차수 $n > 1$ 의 원소 $g$ 를 갖는다고 가정하자. 그러면 군환 $K[G]$ 에서 $(1-g)(1+g+ \cdots +g^{n-1})=1-g^{n}=0$ 인데, 두 인자 모두 0이 아니므로 $1-g$ 는 $K[G]$ 에서 0이 아닌 영인자이다.
* (형식) 행렬 $\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}$ 을 생각해 보자. 여기서 $x,z\in\mathbb{Z}$ 이고 $y\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 이다. 그러면 $\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xa&xb+yc\\0&zc\end{pmatrix}$ 이고 $\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xa&ya+zb\\0&zc\end{pmatrix}$ 이다. $x\ne0\ne z$ 이면 $\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}$ 는 $x$ 가 짝수일 때에만 충분 필요 조건에 따라 왼쪽 영인자인데, 그 이유는 $\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&x\\0&0\end{pmatrix}$ 이기 때문이며, 유사한 이유로 $z$ 가 짝수일 때에만 오른쪽 영인자이다. 만약 $x,z$ 중 하나가 $0$ 이면 양쪽 영인자이다.
* 다음은 한쪽에서만 영인자인 원소를 가진 환의 또 다른 예이다. $S$ 를 정수 수열 $(a_1,a_2,a_3,...)$ 의 집합이라고 하자. 환에 대해, $S$ 에서 $S$ 로의 모든 가법 사상을 취하고, 점별 덧셈과 함수 합성을 환 연산으로 한다. (즉, 우리의 환은 가법군 $S$ 의 자기 준동형 사환인 $\mathrm{End}(S)$ 이다.) 이 환의 원소의 세 가지 예는 오른쪽 시프트 $R(a_1,a_2,a_3,...)=(0,a_1,a_2,...)$ , 왼쪽 시프트 $L(a_1,a_2,a_3,...)=(a_2,a_3,a_4,...)$ , 그리고 첫 번째 인자에 대한 사영 사상 $P(a_1,a_2,a_3,...)=(a_1,0,0,...)$ 이다. 이 세 가지 가법 사상 모두 0이 아니며, 합성 $LP$ 와 $PR$ 은 모두 0이므로 $L$ 은 가법 사상 환에서 왼쪽 영인자이고 $R$ 은 오른쪽 영인자이다. 하지만, $L$ 은 오른쪽 영인자가 아니고 $R$ 은 왼쪽 영인자가 아니다: 합성 $LR$ 은 항등원이다. $RL$ 은 $RLP=0=PRL$ 인 반면 $LR=1$ 은 어떤 방향에서도 영인자가 아니기 때문에 양쪽 영인자이다.

5. 0의 영인자 여부

영환이 아닌 링에서 은 (양쪽) 영인자이다. 모든 0이 아닌 원소 에 대해 이 성립하기 때문이다. 반면, 인 영환에서 은 영인자가 아니다. 을 곱했을 때 이 되는 0이 아닌 원소가 존재하지 않기 때문이다.

일부 참고 자료에서는 모든 링에서 을 영인자로 포함하거나 제외하기도 하지만, 이 경우 다음과 같은 문제가 발생한다.

* 가환환 에서, 0이 아닌 영인자의 집합은 에서 곱셈 집합이다. (이는 전체 몫 링의 정의에 중요하다.) 임의의 링(가환 또는 비가환)에서 비왼쪽 영인자의 집합과 비오른쪽 영인자의 집합도 마찬가지이다.
* 가환 네테르 링 에서 영인자의 집합은 의 연관 소 아이디얼의 합집합이다.

6. 가군 상의 영인자

R^영어을 가환환, M^영어을 R^영어-가군이라고 하고, a^영어를 R^영어의 원소라고 하자. "a^영어로의 곱셈" 사상 $M \,\stackrel{a}\to\, M$ 이 단사일 경우 a^영어는 M^영어-정칙원이라고 하고, 그렇지 않으면 M^영어에서의 영인자라고 한다. M^영어-정칙원들의 집합은 R^영어에서 곱셈적 집합이다.