제2 가산 공간

1. 개요

제2 가산 공간은 위상 공간의 일종으로, 가산 기저를 가지는 공간을 의미한다. 제2 가산 공간은 제1 가산 공간보다 강한 개념이며, 분리 가능 공간, 린델뢰프 공간이다. 거리 공간의 경우 제2 가산성, 분리 가능성, 린델뢰프성은 모두 동일하다. 제2 가산 공간의 부분 공간, 열린 몫공간, 가산 개의 곱공간 및 분리합집합은 제2 가산 공간이다. 제2 가산 공간의 열린 집합 수는 연속체 농도 이하이며, 제2 가산 공간은 제1 가산성을 가지며 가분 공간이자 린델뢰프 공간이다. 유클리드 공간, 힐베르트 공간, 다양체 등이 제2 가산 공간의 예시이며, 긴 직선은 제2 가산 공간이 아니다.

2. 정의

위상 공간 $X$의 무게(weight^영어) $\backslash operatorname\{wt\}(X)$는 $X$의 기저들의 집합의 크기 가운데 최소인 기수이다.

위상 공간 $X$가 다음 조건 가운데 하나를 만족시키면 제2 가산 공간이라고 한다. 이 조건들은 서로 동치이다.

* $\backslash operatorname\{wt\}(X)\backslash le\backslash aleph\_0$
* $X$는 가산 기저를 갖는다.
* $X$ 위의 임의의 기저 $\backslash mathcal\; B\backslash subseteq\backslash mathcal\; P(X)$에 대하여, $\backslash mathcal\; B\text{'}\backslash subset\backslash mathcal\; B$이며 기저를 이루는 가산 집합 $\backslash mathcal\; B\text{'}$이 존재한다.

3. 성질

모든 제2 가산 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

* 제1 가산 공간이다. 모든 제2 가산 공간은 각 점이 가산 국소 기저를 가지므로 제1 가산 공간이다.
* 분해 가능 공간이다. 가산 조밀 부분 집합을 가진다.
* 린델뢰프 공간이다. 모든 열린 덮개가 가산 부분 덮개를 가진다.

거리화 가능 공간에서 제2 가산 공간, 분해 가능 공간, 린델뢰프 공간은 모두 동치이다. 예를 들어 실수선 위의 하한 위상은 제1 가산, 분해 가능, 린델뢰프이지만 제2 가산은 아니며, 거리화 가능하지 않다.

우리손 거리화 정리에 따르면, 제2 가산 정칙 공간은 유사 거리화 가능 공간이며, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간은 거리화 가능 공간이다. 따라서 이러한 공간은 완전 정규 공간이며 파라콤팩트 공간이다.

제2 가산 공간에서는 콤팩트성, 순차적 콤팩트성 및 가산 콤팩트성은 모두 동일한 속성이다.

3.1. 연산에 대한 닫힘

임의의 위상 공간 $X$ 위의 기저 $\backslash mathcal\; B$ 및 부분 집합 $Y\backslash subseteq\; X$에 대하여, $\backslash \{B\backslash cap\; Y\backslash colon\; B\backslash in\backslash mathcal\; B\backslash \}$는 $Y$ 위의 기저를 이룬다. 따라서
:$\backslash operatorname\{wt\}(Y)\backslash le\backslash operatorname\{wt\}(X)$
이다. 특히, 제2 가산 공간의 모든 부분 공간은 제2 가산 공간이다.

제2 가산 공간의 몫공간은 제2 가산 공간이 아닐 수 있다. 다만, 임의의 제2 가산 공간 $X$ 및 열린집합 $U$에 대하여, 동치 관계
:$x\backslash sim\; y\backslash iff\; x=y\backslash lor\; x\backslash in\; U\backslash ni\; y$
를 주었을 때, 몫공간 $X/\backslash sim=X/U$은 역시 제2 가산 공간이다.

임의의 곱공간
:$X=\backslash prod\_\{i\backslash in\; I\}X\_i$
및 각 $X\_i$ 위의 기저 $\backslash mathcal\; B\_i\backslash subseteq\backslash mathcal\; P(X\_i)$에 대하여,
:$\backslash left\backslash \{\backslash prod\_\{i\backslash in\; I\}B\_i$
\colon B_i\in\mathcal B_i,\;\{i\in I\colon B_i\ne X_i\}<\aleph_0\right\}
는 $X$ 위의 기저를 이룬다. 따라서
:
\prod_{i\in J}\operatorname{wt}(X_i)\le
\max\left(\{\operatorname{wt}(X_i)\colon i\in I\}\cup\{|I|,\aleph_0\}\right)

이다. 특히, 가산 개의 제2 가산 공간들의 곱공간은 제2 가산 공간이며, 임의의 무한 기수 $\backslash kappa$에 대하여 $\backslash kappa$개 이하의, 무게가 $\backslash kappa$ 이하인 위상 공간들의 곱공간의 무게는 $\backslash kappa$ 이하이다.

위상 공간들의 집합 $\backslash \{X\_i\backslash \}\_\{i\backslash in\; I\}$의 분리합집합
:$X=\backslash bigsqcup\_\{i\backslash in\; I\}X\_i$
의 무게는 각 성분들의 무게들의 합이다.
:$\backslash operatorname\{wt\}(X)=\backslash sum\_\{i\backslash in\; I\}\backslash operatorname\{wt\}(X\_i)$
따라서, 가산 개의 제2 가산 공간들의 분리합집합은 제2 가산 공간이다. 그러나 비가산 개의 위상 공간들의 분리합집합은 (위상 공간들이 공집합이 아니라면) 제2 가산 공간이 아니다.

3.2. 크기 관련 성질

제2 가산 공간의 열린집합의 수는 $2^\{\backslash aleph\_0\}$ (연속체 농도) 이하이다. 제2 가산 공간 위의 임의의 기저는 가산 부분 기저를 갖는다. 제2 가산 공간에서 서로소인 열린 집합들의 모임은 가산개이다.

제2 가산성은 제1 가산성보다 더 강한 개념이다. 제1 가산 공간은 각 점이 가산 국소 기저를 갖는다는 의미이다. 위상의 기저와 점 x가 주어지면, x를 포함하는 모든 기저 집합의 집합은 x에서 국소 기저를 형성한다. 따라서 위상의 가산 기저가 있으면 모든 점에서 가산 국소 기저를 갖게 되므로, 모든 제2 가산 공간은 제1 가산 공간이다. 그러나 모든 비가산 이산 공간은 제1 가산 공간이지만 제2 가산 공간은 아니다.

제2 가산성은 다른 특정 위상적 성질을 가진다. 특히, 모든 제2 가산 공간은 분리 가능 (가산 조밀 부분 집합을 가짐)이고 린델뢰프 (모든 열린 덮개는 가산 부분 덮개를 가짐)이다. 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 실수선 위의 하한 위상은 제1 가산, 분리 가능, 린델뢰프이지만 제2 가산은 아니다. 그러나 거리 공간의 경우, 제2 가산성, 분리 가능성 및 린델뢰프의 속성은 모두 동일하다. 따라서 실수선 위의 하한 위상은 거리화 가능하지 않다.

제2 가산 공간에서는 - 거리 공간에서와 마찬가지로 - 콤팩트성, 순차적 콤팩트성 및 가산 콤팩트성은 모두 동일한 속성이다.

유리손의 거리화 정리에 따르면 모든 제2 가산, 하우스도르프 정칙 공간은 거리화 가능하다. 결과적으로 그러한 모든 공간은 완전 정규일 뿐만 아니라 파라콤팩트이기도 하다. 따라서 제2 가산성은 위상 공간에 대한 다소 제한적인 속성이며, 거리화 가능성을 암시하기 위해 분리 공리만을 필요로 한다.

4. 예시

흔히 볼 수 있는 대부분의 공간들이 제2 가산 공간이다.

* 유클리드 공간
* 힐베르트 차원이 $\backslash aleph\_0$ 이하인 힐베르트 공간
* 가산 개의 연결 성분을 갖는 다양체 (다양체 = 파라콤팩트 하우스도르프 국소 유클리드 공간)
* 이산 공간이 제2 가산 공간인 것은 가산 집합인 것과 동치이다.
* 비이산 공간은 항상 제2 가산 공간이다.
* 서로소 가산 합집합 $X\; =\; [0,1]\; \backslash cup\; [2,3]\; \backslash cup\; [4,5]\; \backslash cup\; \backslash dots\; \backslash cup\; [2k,\; 2k+1]\; \backslash cup\; \backslash dotsb$를 생각해 보자. 구간의 왼쪽 끝을 식별하여 몫 위상을 정의한다. 즉, 0 ~ 2 ~ 4 ~ … ~ 2k 등을 식별한다. X는 제2 가산 공간들의 가산 합집합이므로 제2 가산 공간이다.
* 위의 공간은 동일한 집합의 동치류에 위상을 부여한 것과 위상 동형이 아니다. 분리 가능한 거리 공간(유리수 점 집합을 고려)이므로 제2 가산 공간이다.

4.1. 제2 가산 공간이 아닌 예시

긴 직선은 T₄ 제1 가산 공간이지만, 제2 가산 공간이 아니다.

위상 공간 $X=[0,1]\backslash cup[2,3]\backslash cup[4,5]\backslash cup\backslash cdots$의 몫공간 $X\text{'}=\backslash frac\{X\}\{\backslash \{0,2,4,\backslash dots\backslash \}\}$을 생각하자. $X$는 제2 가산 공간의 가산 개의 분리합집합이므로 제2 가산 공간이다. 그러나 $X\text{'}$은 $\backslash \{0,2,4,\backslash dots\backslash \}$에서 국소 지표 $\backslash chi(X\text{'},\backslash \{0,2,4,\backslash dots\backslash \})=2^\{\backslash aleph\_0\}$를 가지며, 따라서 제1 가산 공간도, 제2 가산 공간도 아니다.