비이산 공간

1. 개요

비이산 공간은 위상 공간의 한 종류로, 열린 집합이 공집합과 전체 공간뿐인 공간을 의미한다. 비이산 공간은 공집합이거나, 콜모고로프 몫공간이 한원소 공간이며, 모든 함수가 연속 함수인 특징을 가진다. 두 비이산 공간이 동형이 되기 위한 필요충분 조건은 그들의 농도가 같은 것이다. 비이산 공간은 R0 공간이며 경로 연결 공간, 콤팩트 공간, 정규 공간, 린델뢰프 공간, 분해 가능 공간, 제1 가산 공간, 베르 공간이다. 그러나 두 개 이상의 점을 가진 비이산 공간은 콜모고로프 공간, T1 공간, 하우스도르프 공간, 거리화 가능 공간, 호 연결 공간은 아니다. 이산 위상은 비이산 위상의 반대 개념이며, 비이산 공간은 범주론적으로 망각 함자의 오른쪽 수반 함자에 해당한다.

2. 정의

위상 공간 $X$에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 비이산 공간이라고 한다.

* $X$의 열린집합은 공집합 및 $X$ 전체 밖에 없다.
* $X$는 공집합이거나, 또는 그 콜모고로프 몫공간이 한원소 공간이다.
* $X$를 공역으로 하는 모든 함수는 연속 함수이다. 즉, 임의의 위상 공간 $Y$ 및 임의의 함수 $f\backslash colon\; Y\backslash to\; X$에 대하여, $f$는 연속 함수이다.
* $X$를 정의역으로 하고, 공역이 T₁ 공간인 연속 함수는 상수 함수 밖에 없다.
* 공집합이 아닌 $X$의 모든 부분 집합은 조밀 집합이다.
* $X$ 속의 모든 점렬은 모든 점으로 수렴한다.
* $X$ 전체가 아닌 $X$의 모든 부분 집합의 내부는 공집합이다.
* 공집합이 아닌 $X$의 모든 부분 집합의 폐포는 $X$이다.

3. 성질

두 개 이상의 점을 갖는 비이산 공간은 다음과 같은 성질을 갖는다.

* 콜모고로프 공간이 아니며, T₁ 공간이나 하우스도르프 공간도 아니다.
* 거리화 가능 공간이 아니다.
* 호 연결 공간이 아니다.

밀착 공간 X의 닫힌 집합은 공집합(∅)과 X뿐이며, 열린 근기는 {X}뿐이다.

밀착 공간 X가 두 점 이상을 갖는다면, 분리 공리에서 T₀가 아니므로, 더 높은 분리 공리를 만족시키지 않는다. 특히 하우스도르프 공간이 아니며, 순서 위상이나 거리화 가능 위상을 갖지 않는다.

위상 공간을 시역으로 하고, 밀착 공간 X를 종역으로 하는 임의의 사상은 연속이다.

밀착 공간 X는 호상 연결(길 연결)이며, 연결이다.

밀착 공간 X의 부분 공간과 상 공간은 밀착 공간이다. 밀착 공간의 임의 농도의 직적은 (곱 위상, 상자 위상 모두) 밀착 공간이다.

밀착 공간 X의 임의의 점열은 X의 임의의 점에 수렴한다. X의 점열은 수렴 부분열을 가지므로, 점열 콤팩트 공간이다.

밀착 공간 X에서 X를 제외한 부분 집합의 내부는 공집합이다.

밀착 공간 X의 공집합이 아닌 부분 집합의 폐포는 전체 공간 X이다. 즉, X의 공집합이 아닌 부분 집합은 X에서 조밀하며, 이는 밀착 공간을 특징짓는다.

밀착 공간 X의 부분 집합 S가 두 점 이상을 포함하면, X의 모든 점은 S의 극한점이다. S가 일원 집합이면 X ∖ S의 각 점은 S의 극한점이다.

두 밀착 공간이 동상이 될 필요 충분 조건은 농도가 같은 것이다.

3.1. 집합론적 성질

모든 비이산 공간 $X$는 다음 성질들을 만족시킨다.

* R0 공간이다.
* 경로 연결 공간이다.
* 콤팩트 공간이다.
* 완비 정규 공간이다. (따라서 정칙 공간이며, 완비 정칙 공간이며, 정규 공간이다.)
* 제2 가산 공간이다. (따라서 린델뢰프 공간이며, 분해 가능 공간이며, 제1 가산 공간이다.)
* 베르 공간이다.

4. 관련 개념

밀착 위상의 반대 개념은 이산 위상이다. 이산 위상은 모든 부분 집합이 열린 집합이 되는 위상이다. 밀착 공간은 곱 공간 X × X 전체를 유일한 근연으로 하는 균등 공간이 될 수 있다.

5. 범주론적 성질

범주론적으로, 위상 공간의 구체적 범주의 망각 함자 $F\backslash colon\; \backslash operatorname\{Top\}\backslash to\backslash operatorname\{Set\}$는 오른쪽 수반 함자
:$I\backslash colon\backslash operatorname\{Set\}\backslash to\backslash operatorname\{Top\}$
:$F\backslash dashv\; I$
를 가지며, 이 함자를 비이산 함자라고 한다. 집합 $S$의 $I$에 대한 상 $I(S)$는 $S$ 위의 비이산 공간이다. (반대로, 망각 함자의 왼쪽 수반 함자는 이산 공간 함자이다.)

Top을 위상 공간과 연속 사상의 범주, Set을 집합과 사상의 범주로 하고, 함자 F: Top → Set을 위상 공간에 그 밑집합을 대응시키는 것(망각 함자)으로 한다. G: Set → Top을 주어진 집합을 밀착 공간으로 간주하는 함자라고 하면, G는 F의 오른쪽 수반이다. (한편, F의 왼쪽 수반 H는, 주어진 집합을 이산 공간으로 간주하는 함자 H: Set → Top으로 주어진다.)