긴 직선

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. p-진 긴 직선
5. 고차원 공간
참조

1. 개요

긴 직선은 최소 비가산 순서수와 반열린 구간의 곱으로 정의되는 위상 공간이다. 닫힌 긴 반직선은 최소 비가산 순서수와 반개구간 [0, 1)의 데카르트 곱에 사전식 순서를 부여하여 정의하며, 열린 긴 반직선은 닫힌 긴 반직선에서 최소 원소를 제거하여 얻는다. 긴 직선은 두 개의 긴 반직선을 서로 접착하여 만들거나, 열린 긴 반직선의 두 사본을 특정 방식으로 식별하여 정의할 수 있으며, 실수선보다 훨씬 더 길게 뻗어 나가는 공간이다. 긴 직선은 국소 유클리드 공간이지만 파라콤팩트하지 않아 다양체가 아니며, T4 공간(정규 하우스도르프 공간)이지만 거리화 가능 공간은 아니다. 또한, 긴 직선은 미분 가능 다양체 및 해석적 다양체 구조를 가질 수 있지만, 그 구조는 유일하지 않다.

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위상 공간 - 위상 공간 (수학)
위상 공간은 집합과 그 위에 정의된 위상 구조로 이루어진 수학적 공간으로, 열린집합, 닫힌집합, 근방 등의 개념을 통해 점들의 상대적인 위치 관계를 형식화하며, 해석학, 기하학, 대수학 등 다양한 분야에서 사용된다.
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긴 직선
정의
유형	위상 공간
속성
분리공간	하우스도르프
연결 공간	연결됨
경로 연결 공간	경로 연결됨
국소 연결 공간	국소 연결됨
제1 가산 공간	제1 가산
제2 가산 공간	제2 가산 아님
린델뢰프 공간	린델뢰프 아님
분리 가능 공간	분리 가능 아님
완비 거리화 가능 공간	완비 거리화 불가능
국소 콤팩트 공간	국소 콤팩트 아님
파라콤팩트 공간	파라콤팩트 아님
수축 가능 공간	수축 가능
일반 정보
참고	수스린 직선

2. 정의

위상수학에서 다루는 '''긴 직선'''은 특수한 위상 공간 중 하나로, 실수선 $\mathbb{R}$ 과 국소적으로는 동일하지만 전체적으로는 훨씬 "긴" 구조를 가진다.

긴 직선의 정의는 최소 비가산 순서수 $\omega_1$ 와 실수의 반열린구간 $[0, 1)$ 을 이용하여 구성된다. 구체적으로, 데카르트 곱 $\omega_1 \times [0, 1)$ 에 사전식 순서를 부여하고, 이 순서로부터 유도되는 순서 위상을 갖춘 공간을 생각할 수 있다. 이 기본적인 구성 단위를 '긴 반직선'이라고 하며, 긴 직선은 이 긴 반직선 두 개를 마치 실수선이 두 개의 반직선으로 이루어진 것처럼, 특정 방식으로 이어 붙여 만들어진다.^[1]^[2] 수학적으로는 특정 위상 공간족 $L_\alpha$ 에서 $\alpha$ 가 $\omega_1$ 일 때, 즉 $L_{\omega_1}$ 로 표현되기도 한다.

직관적으로 긴 직선은 보통의 실수선과 비슷하지만 양쪽 방향으로 셀 수 없이 많이 반복되어 훨씬 길게 늘어난 형태로 이해할 수 있다.^[3]

2. 1. 긴 반직선

'''닫힌 긴 반직선'''(

L

)은 최소 비가산 순서수

\omega_1

와 반열린구간

[0, 1)

의 데카르트 곱

\omega_1 \times [0, 1)

에 사전식 순서를 부여하고, 이 순서로부터 유도되는 순서 위상을 갖춘 위상 공간이다.^[1]^[2] '''열린 긴 반직선'''은 닫힌 긴 반직선

L

에서 가장 작은 원소인

(0, 0)

을 제거하여 얻는 공간이다.^[1]^[2]

직관적으로 볼 때, 닫힌 긴 반직선은 우리가 아는 닫힌 반직선과 유사하지만, 한쪽 방향으로 "훨씬 더 길게" 뻗어 나가는 형태이다. 즉, 한쪽 끝은 닫혀 있고 다른 쪽 끝은 무한히 길다고 할 수 있다. 반면, 열린 긴 반직선은 실수 직선이나 열린 반직선과 비슷하게 양쪽 끝이 열려 있지만, 역시 한쪽 방향으로 훨씬 더 길게 뻗어 나간다. 즉, 한쪽 끝은 짧고 열려 있으며 다른 쪽 끝은 무한히 길다고 할 수 있다.^[3]

긴 직선은 이 긴 반직선 두 개를 이용하여 구성된다. 구체적으로는, 순서가 반대인 열린 긴 반직선(음의 방향)과 일반적인 닫힌 긴 반직선(양의 방향)을 합집합으로 만들고, 음의 방향 반직선의 모든 원소가 양의 방향 반직선의 모든 원소보다 작다고 정의하여 전체 순서를 부여한다.^[1]^[2]

다만, 문헌에 따라서는 닫힌 긴 반직선이나 열린 긴 반직선을 명확히 구분하지 않고 단순히 "긴 직선"이라고 통칭하는 경우도 있다. 많은 수학적 예시나 반례에서 중요한 것은 공간의 "긴" 끝 부분의 성질이며, 다른 쪽 끝이 닫혀 있는지, 열려 있는지, 또는 짧은지 여부는 본질적인 문제에 영향을 주지 않는 경우가 많기 때문이다.^[3]

관련된 공간으로 '''확장된 긴 반직선'''(

L^*

)이 있다. 이는 닫힌 긴 반직선

L

에 최대 원소(오른쪽 끝)를 하나 추가하여 일점 콤팩트화한 공간이다.^[1]^[3]

2. 2. 긴 직선

최소 비가산 순서수

\omega_1

과 반개구간

[0, 1)

의 데카르트 곱

\omega_1 \times [0,1)

에 사전식 순서로부터 유도된 순서 위상을 부여한 위상 공간을 '''닫힌 긴 반직선'''

L

이라고 한다. '''열린 긴 반직선'''은 이 닫힌 긴 반직선

L

에서 가장 작은 원소인

(0, 0)

을 제거하여 얻는다.

'''긴 직선'''은 이러한 긴 반직선들을 기반으로 여러 방식으로 정의될 수 있다.

1. 수학적 정의: 임의의 순서수

\alpha

에 대해 특정 방식으로 정의된 위상 공간

L_\alpha

를 고려할 때, 긴 직선은

\alpha

가 최소 비가산 순서수

\omega_1

인 경우, 즉

L_{\omega_1}

로 정의된다.

2. 반직선 접착: 직관적으로는 서로 반대 방향으로 뻗어 나가는 두 개의 긴 반직선을 끝점에서 이어 붙여 만들 수 있다. 더 엄밀하게는, 순서가 반대인('역순서') '''긴 열린 반직선'''(음의 부분)과 일반적인 '''긴 닫힌 반직선'''(양의 부분)의 서로소 합집합으로 구성한다. 이때, 역순서 반직선의 모든 점이 닫힌 반직선의 모든 점보다 작다고 정의하여 전순서를 부여하고, 이로부터 순서 위상을 정의한다.

3. 구간 식별: '''긴 열린 반직선'''의 복사본 두 개를 준비한다. 각 복사본에 있는 열린 구간

\{ 0 \} \times (0, 1)

을 서로 식별하는데, 한쪽 복사본의 점

(0, t)

(여기서

t

는

0 < t < 1

인 실수)를 다른 복사본의 점

(0, 1 - t)

와 동일한 것으로 간주한다. 이렇게 정의된 동치 관계에 대한 몫 위상 공간으로 긴 직선을 정의할 수도 있다.

두 번째 정의 방식(반직선 접착)은 긴 직선 위의 순서 관계를 명확히 하고 그 위상이 순서 위상임을 이해하기 쉽게 해준다. 반면, 세 번째 정의 방식(구간 식별)은 열린 집합을 이용한 접착 방식을 사용하므로 위상적인 관점에서 더 명확하다는 장점이 있다.

직관적으로 '''긴 직선'''은 실수선

\mathbb{R}

과 유사하지만 양쪽 방향으로 "훨씬 더 길다"고 생각할 수 있다. 이는 마치 '''긴 닫힌 반직선'''이 닫힌 반직선

[0, \infty)

보다 한쪽 방향으로 훨씬 길고, '''긴 열린 반직선'''이 열린 반직선

(0, \infty)

이나 실수선

\mathbb{R}

보다 한쪽 방향으로 훨씬 긴 것과 같다.

다만, '긴 직선'이라는 용어가 때로는 긴 반직선(닫힌 또는 열린)을 포함하여 더 넓은 의미로 사용되기도 한다. 위상수학에서 특정 성질을 설명하기 위한 예시나 반례로 긴 공간들을 사용할 때, 중요한 것은 "긴" 쪽 끝의 성질인 경우가 많아 다른 쪽 끝의 상태(닫힘, 열림, 짧음 등)가 본질적인 차이를 만들지 않는 경우가 많기 때문에 이러한 구분이 엄격하지 않을 때도 있다.

2. 3. 확장된 긴 반직선과 긴 직선

관련된 공간으로 '''확장된 긴 반직선'''

L^*

는 긴 닫힌 반직선

L

에 최대 원소를 추가하여 얻어지는

L

의 일점 컴팩트화이다. 마찬가지로 '''확장된 긴 직선'''은 긴 직선에 최대 원소와 최소 원소를 하나씩 추가하여 얻어지는 공간으로 정의할 수 있다.

3. 성질

긴 직선의 성질은 사용하는 서수 $\alpha$ 의 값에 따라 달라진다.

$L_0$ 는 공집합이다.
만약 $0<\alpha<\omega_1$ 이라면, $L_\alpha$ 는 실수선 $\mathbb R$ 과 위상동형이다. 즉, 일반적인 실수선과 같다.
$L_{\omega_1}$ 은 긴 직선이라고 불리며, 실수선 $\mathbb R$ 과는 위상동형이 아니지만, 각 점 주변을 보면 실수선의 일부와 같은 모양을 가지는 국소 유클리드 공간이다.
만약 $\alpha>\omega_1$ 이라면, $L_\alpha$ 는 국소 유클리드 공간이 아니다. 구체적으로, $(\omega_1,0,+)\in L_\alpha$ 와 같은 점은 실수선의 일부와 위상동형인 근방을 갖지 않는다.

긴 직선

L_{\omega_1}

과 유사한 개념으로 긴 반직선

L = \omega_1 \times [0, 1)

이 있다. 이는 구간

[0, 1)

을 최소 비가산 서수

\omega_1

개만큼 순서대로 이어 붙인 것으로 생각할 수 있다. 만약 가산 개의

[0, 1)

을 이어 붙이면 여전히

[0, 1)

과 위상동형인 공간이 되지만, 비가산 개인

\omega_1

개를 이어 붙이면 실수선과는 다른 성질을 가지게 된다. 만약

\omega_1

보다 더 많은 구간을 붙이면 국소적으로도 실수선과 다른 공간이 된다.

긴 직선과 긴 반직선은 여러 면에서 실수선과 유사하지만 중요한 차이점을 가진다. 예를 들어, 이들은 실수선과 동일한 크기(

2^{\aleph_0}

)를 가지지만 위상적으로는 훨씬 "긴" 구조를 가진다.^[2]^[3] 또한 국소 콤팩트이며 정규 하우스도르프 공간이지만, 실수선과 달리 파라콤팩트 공간이 아니고 거리화 가능 공간도 아니다. 이러한 위상적 성질 때문에 일부 정의에서는 긴 직선을 다양체로 간주하지 않기도 한다.^[2]

긴 직선과 긴 반직선에는 미분 가능 다양체나 해석적 다양체 구조를 부여할 수 있지만, 실수선과 달리 이러한 구조는 유일하지 않으며 무수히 많이 존재한다.^[4]^[5]^[11]^[12] 그러나 리만 계량을 통해 그 위상을 유도할 수는 없는데, 이는 리만 다양체는 거리화 가능해야 하지만 긴 직선과 긴 반직선은 그렇지 않기 때문이다.^[6]^[13]

비어 있지 않고 연결된 1차원 위상 다양체(반드시 분해 가능할 필요는 없음)는 원, 닫힌 구간, 열린 구간(실수선), 반열린 구간, 닫힌 긴 반직선, 열린 긴 반직선, 또는 긴 직선 중 하나와 반드시 위상동형이다.^[3]

3. 1. 위상적 성질

긴 직선

L_{\omega_1}

은 다음과 같은 위상적 성질들을 만족시킨다.

국소적 성질:
국소 유클리드 공간이다. 즉, 각 점마다 실수선 $\mathbb R$ 의 열린 부분집합과 위상동형인 근방을 가지지만, 긴 직선 전체는 실수선과 위상동형이 아니다.
국소 콤팩트이다.

분리공리 및 피복 성질:
T₄ 공간이다. 이는 모든 정규 하우스도르프 공간임을 의미한다.
파라콤팩트 공간이 아니다. 이 때문에 일부 다양체 정의(파라콤팩트성을 요구하는 경우)에서는 긴 직선을 다양체로 간주하지 않는다.
린델뢰프 공간이 아니다.

거리화 가능성:
거리화 가능 공간이 아니다. 이는 긴 직선(또는 긴 반직선)이 수열 콤팩트 공간이지만 콤팩트하지 않다는 점, 또는 파라콤팩트 공간이 아니라는 점 등 여러 이유로 설명될 수 있다. 또한, 리만 다양체는 거리화 가능해야 하므로, 긴 직선은 그 위상을 유도하는 리만 계량을 가질 수 없다.^[6]^[13]

연결성:
경로 연결 공간이며, 국소 경로 연결 공간이며, 단일 연결 공간이다. 공간 내의 임의의 두 점을 경로로 이을 수 있고, 각 점의 근방 안에 경로 연결된 더 작은 근방이 있으며, 모든 폐곡선은 연속적으로 한 점으로 축소될 수 있다.
축약 가능 공간은 아니다. 공간 전체를 연속적으로 한 점으로 줄일 수는 없다.

가산성 및 분해 가능성:
제1 가산 공간이다. 각 점이 가산개의 근방 기저를 가진다.
제2 가산 공간이 아니며, 분해 가능 공간도 아니다. 이 때문에 제2 가산성이나 분해 가능성을 요구하는 다양체 정의에 따르면 긴 직선은 다양체가 아니다.^[2]

크기:
긴 직선 $L_{\omega_1}$ 의 크기는 실수선 $\mathbb R$ 와 같은 $2^{\aleph_0}$ 이다.

수열 및 함수:
긴 직선(또는 긴 반직선 $L$ )의 모든 증가하는 수열은 그 안에서 극한으로 수렴한다. 이는 최소 비가산 서수 $\omega_1$ 의 모든 원소가 가산 서수이고, 가산 서수들의 가산 집합의 상한 역시 가산 서수라는 성질과 실수의 완비성으로부터 유도된다.
결과적으로, 엄격하게 증가하는 함수 $L_{\omega_1} \to \mathbb R$ 는 존재할 수 없다. 더 나아가, 모든 연속 함수 $L_{\omega_1} \to \mathbb R$ 는 결국 상수 함수(eventually constant)가 된다. 즉, 정의역의 특정 지점 이후로는 함숫값이 일정해진다.^[7]

다양체 구조:
긴 직선과 긴 반직선은 (비분리 가능) 미분 가능 다양체 및 해석적 다양체 구조를 가질 수 있다(긴 반직선의 경우 경계 포함). 그러나 실수선과 달리 이러한 구조는 유일하지 않으며, 무수히 많은( $2^{\aleph_1}$ 개) 서로 미분동형이 아닌 매끄러운 구조가 존재한다.^[4]^[5]^[11]^[12]

긴 반직선 및 확장된 긴 반직선

긴 반직선 (L = ω₁ × [0,1)): 긴 직선과 유사한 위상적 성질을 공유한다. 특히, 닫힌 긴 반직선은 경계가 있는 1차원 위상 다양체이다. 파라콤팩트가 아니고, 거리화 불가능하며, 경로 연결, 국소 경로 연결, 단일 연결이지만 축약 불가능하다. 제1 가산 공간이지만 제2 가산 공간이나 분해 가능 공간은 아니다.
확장된 긴 반직선 ( $L^*$ ): 긴 닫힌 반직선 $L$ 에 최대 원소(보통 $\omega_1$ 으로 표시)를 추가하여 얻는 공간이다.
콤팩트이다. 이는 $L$ 의 일점 콤팩트화이자 스톤-체흐 콤팩트화이다.^[7]
연결되어 있다.
경로 연결되어 있지 않다. $L^*$ 는 너무 "길어서" 구간의 연속적인 이미지인 경로로 덮을 수 없다.
다양체가 아니다.
제1 가산 공간이 아니다 (추가된 최대 원소 $\omega_1$ 에서 제1 가산 공리가 성립하지 않는다).

1차원 위상 다양체 분류와의 관계연결된 (비어 있지 않은) 1차원 위상 다양체(경계 포함 가능, 반드시 분해 가능일 필요는 없음)는 원, 닫힌 구간, 열린 구간(실수선), 반열린 구간, 닫힌 긴 반직선, 열린 긴 반직선, 또는 긴 직선 중 하나와 반드시 위상동형이다.^[3]

3. 2. 수열의 극한

긴 반직선

L

위의 모든 증가하는 수열은

L

안의 어떤 값으로 수렴한다. 이는 다음 세 가지 사실로부터 나온다.

#

\omega_1

의 모든 원소는 가산 서수이다.

# 가산 개의 가산 서수들의 상한은 다시 가산 서수이다.

# 실수에서 모든 증가하고 위로 유계인 수열은 수렴한다(실수의 완비성).

이러한 성질 때문에, 긴 반직선에서 실수 집합

\R

으로 가는 함수 중 계속해서 증가하기만 하는 함수는 존재할 수 없다. 더 나아가, 긴 반직선에서 실수 집합으로 가는 모든 연속 함수

f: L \to \R

는 결국 상수 함수(eventually constant)가 된다. 즉,

L

안의 특정 지점 이후로는 함숫값이 변하지 않고 일정하게 유지된다.

3. 3. 크기

L_\alpha

의 크기는

\max\

3. 4. 다양체 구조

긴 직선과 긴 반직선은 1차원 위상 다양체이다 (긴 반직선의 경우 경계가 있는 위상 다양체). 이들은 제1 가산 공리는 만족하지만, 제2 가산 공리를 만족하지 않으며 가분이 아니다. 따라서 다양체의 정의에 가분성을 요구하는 경우에는 긴 직선을 다양체로 보지 않는다.^[2] 비어 있지 않고 연결된 1차원 (반드시 가분적이지 않은) 위상 다양체는 원, 닫힌 구간, 열린 구간(실수선), 반열린 구간, 닫힌 긴 반직선, 열린 긴 반직선, 긴 직선 중 하나와 위상 동형이다.^[3]긴 직선과 긴 반직선은 (비가분적인) 미분 가능 다양체의 구조를 가질 수 있다 (반직선의 경우 경계가 있는 미분 가능 다양체). 그러나 위상 구조는 유일하지만 (위상적으로는 실수선의 양쪽 끝을 "길게" 만드는 방법은 하나뿐이다), 미분 가능 구조는 유일하지 않다. 실제로, 서로 미분 동형이 아닌 매끄러운(

C^\infty

) 구조가 무수히 많이 (

2^{\aleph_1}

개) 존재한다.^[4]^[11] 이는 모든 미분 가능 구조가 표준 구조와 미분 동형인 실수선과는 뚜렷한 대조를 이룬다.

또한 긴 직선과 긴 반직선은 실해석 다양체의 구조도 가질 수 있다 (반직선의 경우 경계가 있는 실해석 다양체). 이는 미분 가능 구조를 부여하는 것보다 더 어렵다. 주어진 매끄러운(

C^\infty

) 구조를 확장하여 서로 다른 해석적(

C^\omega

) 구조를 만드는 방법이 무수히 많이 존재한다.^[5]^[12]

긴 직선과 긴 반직선은 그 위상을 유도하는 리만 계량을 가질 수 없다. 그 이유는 리만 다양체는 (파라콤팩트성을 가정하지 않더라도) 거리화 가능해야 하는데, 긴 직선과 긴 반직선은 거리화 가능 공간이 아니기 때문이다.^[6]^[13]

4. p-진 긴 직선

p-진수를 이용한 긴 직선의 유사체 개념이 존재하며, 이는 수학자 조지 버그만이 제시하였다.^[8]

이 공간은 가산 순서수 $\gamma$ 를 이용해 번호가 매겨진 p-진 정수 고리들의 모임 $X_{\gamma}$ 들을 생각하는데, 이 모임들은 특정 순서를 가지며 그 수가 비가산적인 방향 집합들이다. 이 공간은 이러한 $X_{\gamma}$ 들을 순서대로 합쳐나가면서(증가하는 합집합) 구성된다.

$\delta$ 가 $\gamma$ 보다 작은 순서수일 때, $X_{\delta}$ 에서 $X_{\gamma}$ 로 가는 함수(사상)는 다음과 같이 정의된다.

만약 $\gamma$ 가 바로 다음 순서수, 즉 $\varepsilon + 1$ 형태(후계자)라면, $X_{\varepsilon}$ 에서 $X_{\gamma}$ 로 가는 사상은 단순히 원소에 $p$ 를 곱하는 것이다. 다른 $\delta$ 에 대해서는, $X_{\delta}$ 에서 $X_{\varepsilon}$ 로 가는 사상과 $X_{\varepsilon}$ 에서 $X_{\gamma}$ 로 가는 사상을 합성하여 정의한다.
만약 $\gamma$ 가 극한 순서수라면, $\gamma$ 보다 작은 모든 $\delta$ 에 대한 집합 $X_{\delta}$ 들의 직접 극한은 p-진수 구(sphere)들의 가산 합집합과 같아진다. 이 극한은 $X_{\gamma}$ 안에 포함될(임베딩될) 수 있는데, 이는 $X_{\gamma}$ 에서 한 점을 제외한 공간 역시 p-진수 구들의 가산 합집합이기 때문이다. 이를 통해 모든 $\delta < \gamma$ 에 대해 $X_{\delta}$ 를 $X_{\gamma}$ 안에 일관성 있게(호환 가능하게) 포함시키는 방법을 정의할 수 있다.

이렇게 만들어진 공간은 콤팩트하지 않다. 하지만, 이 공간 안의 콤팩트한 부분 공간들을 가산 개만큼 모아 합집합을 만들면, 그 합집합의 폐포는 콤팩트하다.

5. 고차원 공간

고차원 공간에서 비 파라콤팩트 다양체의 몇 가지 예로는 프뤼퍼 다양체, 비 파라콤팩트 다양체와 비어있는 다양체의 곱, 긴 반경의 공 등이 있다. 백파이프 정리는 파라콤팩트성의 일반화인 ω-유계를 가정하더라도 비 파라콤팩트 곡면의 동형사상 클래스가 $2^{\aleph_1}$ 개임을 보여준다.

모든 리만 곡면은 파라콤팩트하므로 긴 직선의 복소수 유사체는 없다. 그러나 칼라비와 로젠리히트는 복소수 차원이 2인 비 파라콤팩트 복소수 다양체의 예를 제시했다.^[9]

참조

_[1] 서적 Counterexamples in Topology Springer-Verlag
_[2] 서적 Elements of Differential Topology https://books.google[...] CRC Press
_[3] 서적 Handbook of Set-Theoretic Topology https://books.google[...] Elsevier
_[4] 논문 Various smoothings of the long line and their tangent bundles
_[5] 논문 Reell-analytische Strukturen der Alexandroff-Halbgeraden und der Alexandroff-Geraden
_[6] 서적 Foundations of differential geometry Interscience
_[7] 서적 Introduction to general topology Jon Wiley and Sons
_[8] 서적 Lie Algebras and Lie Groups (1964 Lectures given at Harvard University) Springer-Verlag 1992
_[9] 논문 Complex analytic manifolds without countable base
_[10] 간행물 Counterexamples in Topology Springer-Verlag
_[11] 논문 Differenzierbare Strukturen auf Mannigfaltigkeiten ohne abzaehlbare Basis
_[12] 논문 Reell-analytische Strukturen der Alexandroff-Halbgeraden und der Alexandroff-Geraden
_[13] 서적 Foundations of differential geometry Interscience

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