기본 표현

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1. 개요

기본 표현은 리 대수의 표현 이론에서 사용되는 개념으로, 모든 표현을 구성하는 데 기초가 된다. 기본 표현은 기본 무게를 우세 무게로 가지며, 단순 리 군의 경우, 기본 표현의 개수는 리 군의 계수와 같다. 일반 선형군, 특수 유니터리 군, 스핀 군, 심플렉틱 군과 같은 다양한 군에서 기본 표현의 구체적인 형태가 정의되며, 예외 리 군의 경우 특정 차원의 표현으로 나타난다. 리 대수 밖에서는 가장 작은 차원의 충실한 표현을 가리키는 데 사용되기도 한다.

기본 표현

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1. 개요
2. 기본 표현의 성질
3. 단순 리 군의 기본 표현 (예시)
4. 기본 표현의 다른 용도

2. 기본 표현의 성질

모든 표현은 일련의 무게들로 나타낼 수 있다. 계수(rank^영어, 카르탕 부분 대수의 차원)가 $k$ 인 반단순 리 대수의 표현은 $k$ 개의 무게를 가진다. 즉, 무게들은 $k$ 차원 실수 벡터 공간의 원소다. 여기에 임의로 정분면(orthant^영어)을 골라, 순서를 매길 수 있다. 그 가운데, 선택한 양근에 의하여 결정되는 단순 쌍대근의 쌍대 기저를 기본 무게(基本-, fundamental weight^영어)라고 한다. 기본 무게를 우세 무게로 가지는 표현을 기본 표현이라고 한다. 이에 따라 임의의 표현은 기본 표현들의 텐서곱의 최고 무게 성분으로 나타낼 수 있다. 기본 표현은 무게 공간의 기저를 이루므로, 기본 표현의 개수는 리 군의 계수와 같다.

단순 연결된 콤팩트 군 리 군의 기약 표현은 최고 무게로 색인된다. 이러한 무게는 우세한 정수 무게로 구성된 리 군의 무게 격자에서 정역 Q₊의 격자점이다. 딘킨 도표의 꼭짓점으로 색인된 일련의 "기본 무게"가 존재하여 모든 우세한 정수 무게가 기본 무게의 음이 아닌 정수 선형 결합임을 증명할 수 있다. 해당 기약 표현은 리 군의 기본 표현이다. 기본 무게 측면에서 우세한 무게의 확장에서 해당 기본 표현의 텐서 곱을 가져와서 해당 우세한 무게에 해당하는 기약 표현의 복사본 하나를 추출할 수 있다.

3. 단순 리 군의 기본 표현 (예시)

단순 리 군(simple Lie group)은 더 작은 리 군으로 쪼갤 수 없는 리 군이다.

하위 섹션에서 일반 선형군, 특수 유니터리 군, 스핀 군, 심플렉틱 군 및 예외 리 군의 기본 표현에 대한 내용이 자세하게 다루어지고 있으므로, 이 섹션에서는 해당 내용의 중복을 피하기 위해 단순 리 군의 기본 표현에 대한 간략한 정의만을 제시한다.

3.1. 일반 선형군 (General Linear Group)

일반 선형군의 경우, 모든 기본 표현은 정의 모듈의 외대수이다.

3.2. 특수 유니터리 군 (Special Unitary Group, SU(n))

특수 유니터리 군 SU(n)의 경우, n − 1 개의 기본 표현은 k = 1, 2, ..., n − 1에 대해 교대 텐서로 구성된 외적 $\operatorname{Alt}^k\ {\mathbb C}^n$ 이다. SU(n+1) (A_n) (또는 그 복소화인 $SL(n+1,\mathbb C)$ )의 경우, 기본 표현은 $k$ 차 완전 반대칭 텐서 $\bigwedge^k\mathbb C^{n+1}$ ( $k=1,\dots,n$ )이다. 이 경우, 기본 무게는 $(1,0,0,\dots,0)$ , $(1,1,0,\dots,0)$ …, $(1,1,1,\dots,1)$ 의 꼴이다.

3.3. 스핀 군 (Spin Group)

B_n = Spin(2n+1)의 경우, 기본 표현은 $2^n$ 차원 디랙 스피너와 $\bigwedge^k\mathbb C^{2n+1}$ ( $k=1,\dots,n-1$ )이다. 이 경우, 기본 무게는 $(1/2,1/2,\dots,1/2)$ (스피너)와 $(1,0,\dots,0,0)$ , …, $(1,1,\dots,1,0)$ 이다.

D_n = Spin(2n)의 경우, 기본 표현은 $2^{n-1}$ 차원 바일 스피너 두 개와 $\bigwedge^k\mathbb C^{2n}$ ( $k=1,\dots,n-2$ )이다. 이 경우, 기본 무게는 $(1/2,1/2,\dots,1/2,\pm1/2)$ 와 $(1,0,\dots,0,0.0)$ , …, $(1,1,\dots,1,0,0)$ 이다.

스핀 표현은 홀수 직교군의 두 배 덮개(double cover), 홀수 스핀 군의 스핀 표현과 짝수 직교군의 두 배 덮개인 짝수 스피너 군의 두 개의 반스핀(half-spin) 표현은 텐서 공간에서 실현될 수 없는 기본 표현이다.

3.4. 심플렉틱 군 (Symplectic Group)

USp(2n)의 경우, 기본 표현은 $\bigwedge^k\mathbb C^{2n}$ ( $k=1,\dots,n$ )의 최고 무게 기약 성분이다. 이는 $\binom{2n}k-\binom{2n}{k-2}$ ( $k\ge2$ )차원이다. $k=1$ 인 경우는 $2n$ 차원이다.

3.5. 예외 리 군 (Exceptional Lie Group)

F₄의 기본 표현은 26, 52, 273, 1274차원 표현이다. 여기서 52차원 표현은 딸림표현이다.

G₂의 기본 표현은 7차원 표현과 14차원 표현이다. 여기서 14차원 표현은 딸림표현이다.

E₆의 기본 표현은 27, 27′, 78, 351, 351′, 2925차원 표현이다. 여기서 78차원 표현은 딸림표현이다.

E₇의 기본 표현은 56, 133, 912, 1539, 8645, 27664, 365750차원 표현이다. 여기서 133차원 표현은 딸림표현이다.

E₈의 기본 표현은 각각 248, 3875, 30380, 147250, 2450240, 6696000, 146325270, 6899079264차원 표현이다. 여기서 248차원 표현은 E₈ (수학) 형식의 단순 리 군의 딸림표현이며, 기본 표현이다.

4. 기본 표현의 다른 용도

리 대수 밖에서 "기본 표현"이라는 용어는 때때로 가장 작은 차원의 충실한 표현(faithful representation)을 가리키는 데 사용되기도 한다. 이는 종종 "표준" 또는 "정의" 표현이라고도 불리지만, 이는 잘 정의된 수학적 의미보다는 역사와 더 관련이 있다.