홈플리 다항식

1. 개요

홈플리 다항식은 모든 유향 연환에 대해 정의되는 두 변수 다항식으로, 자명한 매듭에 대해서는 1의 값을 갖는다. 연환 그림의 국소적 수정을 통해 정의되는 세 연환의 홈플리 다항식 사이에는 특정 관계가 성립하며, 타래 관계를 통해 표현될 수 있다. 홈플리 다항식은 존스 다항식과 알렉산더 다항식을 포함하며, 정수 계수 로랑 다항식의 성질을 갖는다. 매듭의 연결합에 대한 곱셈적 성질, 거울 대칭 매듭 구별 능력, 그리고 방향 불변성을 특징으로 한다. 또한, 천-사이먼스 이론에서 윌슨 고리의 기댓값으로 나타난다. 홈플리 다항식은 스케인 다항식 중 가장 일반화된 형태이며, 존스 다항식과 알렉산더 다항식의 정보를 모두 포함한다. 역사적으로는 알렉산더 다항식, 존스 다항식을 거쳐 여러 수학자에 의해 발견되었으며, HOMFLY라는 이름은 발견자들의 이름에서 유래되었다.

2. 정의

홈플리 다항식은 모든 유향 연환 $K$에 대하여 정의되는, 두 변수 $\backslash alpha$와 $z$에 대한 정수 계수를 가지는 로랑 다항식 $P\_K(\backslash alpha,z)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}[\backslash alpha,\; \backslash alpha^\{-1\},\; z,\; z^\{-1\}]$이다. 이 다항식은 다음 두 가지 조건으로 유일하게 결정된다.

* (임의의 방향이 주어진) 자명한 매듭 $\backslash bigcirc$에 대하여, 홈플리 다항식의 값은 1이다.
:$P\_\backslash bigcirc(\backslash alpha,z)\; =\; 1$
* 다음과 같은 타래 관계(skein relation^영어)를 만족한다. 임의의 연환 그림에서 한 교차점 주변을 국소적으로 변경하여 얻은 세 연환 $L\_+$, $L\_-$, $L\_0$에 대해, 이들의 홈플리 다항식은 다음 관계식을 만족한다.
:$\backslash alpha\; P\_\{L\_+\}(\backslash alpha,z)-\backslash alpha^\{-1\}P\_\{L\_-\}(\backslash alpha,z)\; =\; zP\_\{L\_0\}(\backslash alpha,z)$

이 두 규칙을 통해 모든 유향 연환의 홈플리 다항식을 귀납적으로 계산할 수 있다.

2.1. 타래 관계

홈플리 다항식을 정의하는 중요한 조건 중 하나는 타래 관계(skein relation^영어)이다. 이는 임의의 연환 그림에서 한 부분을 국소적으로 수정하여 얻어지는 세 종류의 연환, L₊, L_-, L₀ 사이의 관계를 나타낸다.

위 그림과 같이 국소적으로 다른 세 연환 L₊, L_-, L₀의 홈플리 다항식 P는 다음과 같은 선형 관계식을 만족한다.

:$\backslash alpha\; P\_\{L\_+\}(\backslash alpha,z)-\backslash alpha^\{-1\}P\_\{L\_-\}(\backslash alpha,z)\; =\; zP\_\{L\_0\}(\backslash alpha,z)$

이 관계식은 변수 $\backslash alpha$와 $z$를 사용하여 표현된 형태이다.

다른 변수 $m$과 $l$을 사용하여 타래 관계를 다음과 같이 표현하기도 한다.

:$l\; P\_\{L\_\{+\}\}(m,l)\; +\; l^\{-1\}\; P\_\{L\_\{-\}\}(m,l)\; +\; m\; P\_\{L\_\{0\}\}(m,l)\; =\; 0\; \backslash ,$

이 두 가지 형태의 타래 관계식은 서로 변환 가능하며, 자명한 매듭에 대한 값($P\_\{\backslash bigcirc\}=1$)과 함께 홈플리 다항식을 유일하게 결정한다. 이 관계들을 이용하면 어떤 유향 연환에 대해서도 홈플리 다항식을 계산할 수 있다.

타래 관계식은 다음과 같은 형태로 표현되기도 한다.
:$x\; P\_\{L\_\{+\}\}(x,t)\; -\; t\; P\_\{L\_\{-\}\}(x,t)\; =\; P\_\{L\_\{0\}\}(x,t)\; \backslash ,$

이러한 타래 관계는 홈플리 다항식이 존스 다항식과 알렉산더 다항식을 일반화하는 다항식 불변량임을 보여주는 핵심적인 요소이다.

2.2. 존스 다항식과 알렉산더 다항식

홈플리 다항식 $P\_L(\backslash ell,\; m)$으로부터 다음과 같이 존스 다항식과 알렉산더 다항식을 정의할 수 있다.

* 존스 다항식(Jones polynomial^영어) $V\_L(q)$:
$V\_L(q)\; =\; P\_L(q^\{-1\},\; q^\{1/2\}-q^\{-1/2\})$

* 알렉산더 다항식(Alexander polynomial^영어) $\backslash Delta\_L(q)$:
$\backslash Delta\_L(q)\; =\; P\_L(1,\; q^\{1/2\}-q^\{-1/2\})$

다른 변수 표현($\backslash alpha,\; z$)을 사용하는 경우, 존스 다항식 $V(t)$와 알렉산더 다항식 $\backslash Delta(t)$는 다음과 같이 홈플리 다항식으로 계산할 수 있다.
* 존스 다항식: $V(t)=P(\backslash alpha=t^\{-1\},z=t^\{1/2\}-t^\{-1/2\})$
* 알렉산더 다항식: $\backslash Delta(t)=P(\backslash alpha=1,z=t^\{1/2\}-t^\{-1/2\})$

홈플리 다항식은 스케인 관계식을 사용하여 정의되는 스케인 다항식 중에서 가장 일반적인 형태이며, 존스 다항식과 알렉산더 다항식의 정보를 모두 포함하고 있다. 실제로, 홈플리 다항식에서 변수 $l$과 $m$에 특정 값을 대입하면 두 다항식을 얻을 수 있다.
* 존스 다항식: $l=\; i\; t^\{-1\}\; ,\; m\; =\; i(t^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\}-t^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\})$을 대입 (여기서 i는 허수 단위이다).
* 알렉산더 다항식: $l=\; i\; ,\; m\; =\; i(t^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}-t^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\})$을 대입 (여기서 i는 허수 단위이다).

3. 성질

홈플리 다항식 $P\_L(\backslash alpha,z)$는 변수 $\backslash alpha$와 $z$에 대한 정수 계수 로랑 다항식이다. 즉, $P\_L(\backslash alpha,z)\backslash in\backslash mathbb\; Z[\backslash alpha,\backslash alpha^\{-1\},z,z^\{-1\}]$이다.

이 다항식은 스케인 관계식을 사용하여 정의되는 스케인 다항식 중에서 가장 일반적인 형태이며, 존스 다항식과 알렉산더 다항식을 특수한 경우로 포함한다. 홈플리 다항식의 변수에 특정 값을 대입하여 이 두 다항식을 얻을 수 있다.
:$V\_L(q)\; =\; P\_L(q^\{-1\},\; q^\{1/2\}-q^\{-1/2\})$ (존스 다항식)
:$\backslash Delta\_L(q)\; =\; P\_L(1,\; q^\{1/2\}-q^\{-1/2\})$ (알렉산더 다항식)
여기서 얻어지는 존스 다항식과 알렉산더 다항식은 $q^\{1/2\}$에 대한 정수 계수 로랑 다항식이다.

홈플리 다항식은 유향 매듭 또는 연환의 위상 불변량으로, 동일한 매듭이나 연환의 서로 다른 그림(매듭 도표)에 대해 계산해도 같은 다항식을 얻는다. 하지만 홈플리 다항식이 같다고 해서 항상 동일한 매듭이나 연환인 것은 아니다. 즉, 홈플리 다항식은 완전한 불변량은 아니며, 실제로 동일한 홈플리 다항식을 갖는 서로 다른 유향 매듭이 무한히 많이 존재한다는 사실이 알려져 있다.

또한, 홈플리 다항식은 매듭이나 연환에 대한 여러 연산(연결합, 분리합, 거울상 연산 등)과 특정 관계를 가지며, 연환의 모든 성분의 방향을 동시에 바꾸는 것에 대해 불변이다. 이 성질 때문에 키랄성 구별에 사용되기도 하지만, 동일한 홈플리 다항식을 갖는 키랄 매듭 쌍도 존재한다. (자세한 내용은 하위 섹션 연산과의 호환성 참조)

3.1. 연산과의 호환성

홈플리 다항식은 매듭이나 연환에 대한 여러 연산과 다음과 같은 관계를 가진다.

* [[연결합]]: 두 유향 매듭 $K$와 $K\text{'}$의 연결합 $K\backslash \#\; K\text{'}$에 대한 홈플리 다항식은 각 매듭의 홈플리 다항식의 곱과 같다.
:$P\_\{K\backslash \#\; K\text{'}\}(\backslash alpha,z)\; =\; P\_K(\backslash alpha,\; z)P\_\{K\text{'}\}(\backslash alpha,z)$
이 성질은 연환의 연결합 $L\_1\; \backslash \#\; L\_2$에 대해서도 동일하게 성립한다. 연결합을 만드는 방식(어떤 성분을 연결하는지)에 따라 결과 연환은 달라질 수 있지만, 홈플리 다항식 값은 항상 각 연환의 다항식 곱이 된다. 이는 서로 다른 연환이 동일한 홈플리 다항식을 가질 수 있음을 보여준다.

* 분리합 (서로 얽히지 않은 연환): 서로 얽히지 않은 두 성분으로 이루어진 연환 $L=L\_1\backslash sqcup\; L\_2$ (분리합)의 홈플리 다항식은 다음과 같다.
:$P\_\{L\_1\backslash sqcup\; L\_2\}(\backslash alpha,z)\; =\; \backslash frac\{\backslash alpha\; -\; \backslash alpha^\{-1\}\}z\; P\_\{L\_1\}(\backslash alpha,z)\; P\_\{L\_2\}(\backslash alpha,z)$
(다른 변수 표기 $l,\; m$을 사용하면 $P(L\_\{1\}\; \backslash cup\; L\_\{2\})\; =\; -(l\; +\; l^\{-1\})\; m^\{-1\}\; P(L\_\{1\})\; P(L\_\{2\})$로 표현되기도 한다.)

* [[거울상]]: 유향 연환 $L$의 거울상을 $\backslash bar\; L$이라고 할 때, 홈플리 다항식은 다음과 같이 변환된다.
:$P\_\{\backslash bar\; L\}(\backslash alpha,z)\; =\; P\_L(-\backslash alpha^\{-1\},z)$
(다른 변수 표기 $l,\; m$을 사용하면 $P\_\{\backslash text\{거울상\}(K)\}(\backslash ell,m)=P\_K(\backslash ell^\{-1\},m)$이다.)
이 성질 덕분에 홈플리 다항식은 종종 서로 다른 키랄성을 가진 두 매듭을 구별하는 데 사용될 수 있다. 하지만 동일한 홈플리 다항식을 갖는 키랄 매듭 쌍도 존재한다. 예를 들어, 매듭 이론에서 매듭 9₄₂와 10₇₁은 각각 자신의 거울상과 동일한 홈플리 다항식을 가진다.

* 방향성: 매듭의 홈플리 다항식은 매듭의 방향 설정에 의존하지 않는다. 더 일반적으로, 유향 연환의 경우 모든 연결 성분의 방향을 동시에 반대로 바꾸어도 홈플리 다항식은 변하지 않는다. 따라서 홈플리 다항식은 방향이 없는 매듭의 불변량으로도 간주될 수 있다.

3.2. 천-사이먼스 이론과의 관계

홈플리 다항식은 천-사이먼스 이론의 윌슨 고리의 기댓값으로 주어진다.

구체적으로, 3차원 초구 위의, 준위 $k\backslash in\backslash mathbb\; N$의 $\backslash operatorname\{SU\}(N)$ 천-사이먼스 이론을 생각하자. 이제, 초구 속의 유향 연환 $L$에 대한, $N$차원 defining representation^영어에서 취한 윌슨 고리 연산자의 (정규화) 상관 함수는 다음과 같이, 홈플리 다항식으로 주어진다.
:$\backslash left\backslash langle\; \backslash operatorname\{tr\}\backslash oint\_LA\backslash right\backslash rangle=$
\frac{\alpha-\alpha^{-1}}{z}P_L(\alpha,z)

:$q=\backslash exp\backslash frac\{2\backslash pi\backslash mathrm\; i\}\{N+k\}$
:$z=q^\{1/2\}-q^\{-1/2\}$
:$\backslash alpha\; =\; q^\{N/2\}$

4. 예시

몇 가지 간단한 매듭과 연환에 대한 홈플리 다항식은 다음과 같다.

4.1. 타래 관계의 예

홈플리 다항식은 정의에 사용된 타래 관계(skein relation)를 반복적으로 적용하여 계산할 수 있다. 이 방법을 통해 다양한 매듭과 연환의 다항식 불변량을 구할 수 있다.

대표적인 계산 예시는 다음과 같으며, 구체적인 계산 과정은 아래 하위 섹션에서 자세히 설명한다.
* 자명한 연환
* 호프 연환
* 세잎매듭

4.1.1. 자명한 연환

홈플리 다항식은 매듭 이론에서 사용되는 다항식 불변량으로, 타래 관계(skein relation)를 통해 정의된다. 두 성분으로 이루어진 자명한 연환의 홈플리 다항식은 다음과 같은 타래 관계를 이용하여 구할 수 있다.

다음 그림은 타래 관계를 나타내는 세 연환 $L\_+$, $L\_-$, $L\_0$를 보여준다. 이들은 국소적인 영역에서 교차 변경(crossing change) 또는 매끄럽게 하기(smoothing)를 통해 서로 연관된다.

위 그림에서 $L\_+$와 $L\_-$가 모두 자명한 매듭 $0\_1$이고, $L\_0$가 두 개의 성분으로 이루어진 자명한 연환 $0\_1\; \backslash sqcup\; 0\_1$인 특별한 경우를 생각해보자.



홈플리 다항식의 타래 관계는 일반적으로 $\backslash alpha\; P(L\_+)\; -\; \backslash alpha^\{-1\}\; P(L\_-)\; =\; z\; P(L\_0)$ 형태로 주어진다. 주어진 원본 자료에서는 이 관계를 이용하여, $L\_+$와 $L\_-$가 자명한 매듭일 때의 홈플리 다항식 값을 각각 $\backslash alpha$와 $\backslash alpha^\{-1\}$로 직접 사용하여 다음과 같은 관계식을 제시한다.
:$\backslash alpha\; -\; \backslash alpha^\{-1\}\; =\; z\; P\_\{0\_1\backslash sqcup\; 0\_1\}(\backslash alpha,z)$

따라서 두 성분으로 이루어진 자명한 연환의 홈플리 다항식은 다음과 같이 계산된다.
:$P\_\{0\_1\backslash sqcup\; 0\_1\}(\backslash alpha,z)\; =\; \backslash frac\{\backslash alpha-\backslash alpha^\{-1\}\}z$


주어진 원본 소스에서는 자명한 매듭의 홈플리 다항식 값을 1이 아닌 다른 값(α, α⁻¹)으로 가정하여 관계식을 유도하고 있다. 표준적인 정의에서는 자명한 매듭의 홈플리 다항식은 1이며, 타래 관계식은 $\backslash alpha\; P(L\_+)\; -\; \backslash alpha^\{-1\}\; P(L\_-)\; =\; z\; P(L\_0)$ 이다. 이 표준 정의를 사용해도 동일한 결과를 얻을 수 있다: $\backslash alpha(1)\; -\; \backslash alpha^\{-1\}(1)\; =\; z\; P\_\{0\_1\backslash sqcup\; 0\_1\}(\backslash alpha,z)$ 이므로, $P\_\{0\_1\backslash sqcup\; 0\_1\}(\backslash alpha,z)\; =\; (\backslash alpha-\backslash alpha^\{-1\})/z$ 이다.

4.1.2. 호프 연환

다음과 같은 타래 관계를 이용하여 호프 연환의 홈플리 다항식을 계산할 수 있다.

위 연환들에 대한 타래 관계식은 다음과 같다.
:$\backslash alpha\; P\_\{L\_+\}(\backslash alpha,z)\; +\; \backslash alpha^\{-1\}\; P\_\{L\_-\}(\backslash alpha,z)\; +\; z\; P\_\{L\_0\}(\backslash alpha,z)\; =\; 0$
여기서 $P\_\{L\_+\}$는 연환수 +1인 호프 연환 $2^1\_1$의 홈플리 다항식이고, $P\_\{L\_-\}$는 두 성분 자명한 연환의 홈플리 다항식 $\backslash left(\backslash frac\{\backslash alpha-\backslash alpha^\{-1\}\}\{z\}\backslash right)^2$이며, $P\_\{L\_0\}$는 자명한 매듭의 홈플리 다항식 $1$이다. (단, 홈플리 다항식의 일반적인 정의 $\backslash ell\; P(L\_+)\; +\; \backslash ell^\{-1\}P(L\_-)\; +\; mP(L\_0)=0$ 에서 변수를 $\backslash ell\; =\; \backslash alpha,\; m\; =\; z$ 로 치환하고, 자명한 매듭의 다항식을 1로, 두 성분 자명한 연환의 다항식을 $\backslash delta^2\; =\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash alpha-\backslash alpha^\{-1\}\}\{z\}\backslash right)^2$ 로 정규화한 표현을 사용하였다.)

위 관계식을 $P\_\{2^1\_1\}(\backslash alpha,z)$에 대해 풀면, 연환수가 +1인 호프 연환의 홈플리 다항식은 다음과 같다.
:$P\_\{2^1\_1\}(\backslash alpha,z)\; =\; \backslash alpha^\{-1\}z\; +\; \backslash alpha^\{-1\}z^\{-1\}-\backslash alpha^\{-3\}z^\{-1\}$

만약 호프 연환의 두 성분 중 하나의 방향을 바꾸면 연환수는 -1이 되며, 이는 원래 호프 연환의 거울 대칭에 해당한다. 이 경우 홈플리 다항식은 다음과 같다.
:$P(\backslash text\{연환수\; -1\; 호프\; 연환\})\; =\; -\backslash alpha\; z\; -\; \backslash alpha\; z^\{-1\}\; +\backslash alpha^3z^\{-1\}$

다음은 두 가지 방향을 가진 호프 연환과 각각의 홈플리 다항식을 정리한 표이다.

4.1.3. 세잎매듭

홈플리 다항식의 타래 관계(skein relation)를 이용하여 세잎매듭의 홈플리 다항식을 계산할 수 있다. 다음과 같이 세 종류의 매듭 또는 연환을 고려하자.

이 관계를 홈플리 다항식의 타래 관계식
:$\backslash alpha\; P(L\_+)\; -\; \backslash alpha^\{-1\}\; P(L\_-)\; =\; z\; P(L\_0)$
에 적용하면, 오른손 세잎매듭($3\_1$)의 홈플리 다항식 $P\_\{3\_1\}(\backslash alpha,\; z)$는 원본 소스에 따라 다음과 같이 주어진다.
:$\backslash alpha\; P\_\{3\_1\}(\backslash alpha,z)\; -\; \backslash alpha^\{-1\}\; =\; z\; \backslash left($
\alpha^{-1}z + \alpha^{-1}z^{-1} - \alpha^{-3}z^{-1}
\right)
이다. 즉,
:$P\_\{3\_1\}(\backslash alpha,z)$
=
2\alpha^{-2} - \alpha^{-4} + \alpha^{-2}z^2

이다.

왼손 세잎매듭은 오른손 세잎매듭의 거울 대칭이며, 그 홈플리 다항식은 $\backslash alpha$를 $\backslash alpha^\{-1\}$로 치환하여 얻을 수 있다.
:$P\_\{\backslash overline\{3\_1\}\}(\backslash alpha,z)\; =\; 2\backslash alpha^2\; -\; \backslash alpha^4\; +\; \backslash alpha^2\; z^2$

4.2. 홈플리 다항식이 방향을 구별하지 못하는 매듭

홈플리 다항식은 매듭과 그 거울상의 키랄성을 구별하는 데 종종 유용하게 사용된다. 일반적으로 매듭 K와 그 거울상의 홈플리 다항식 사이에는 $P\_K(\backslash ell,m)=P\_\{\backslash text\{거울상\}(K)\}(\backslash ell^\{-1\},m)$ 관계가 성립한다.

하지만, 홈플리 다항식이 동일하다고 해서 항상 같은 매듭이거나 서로 거울상 관계인 것은 아니다. 즉, 홈플리 다항식만으로는 모든 매듭의 키랄성을 완벽하게 구별할 수는 없다. 예를 들어, 매듭 9₄₂와 매듭 10₇₁은 각각 자신의 거울상과 다른 키랄성을 가지는 매듭이지만, 이 매듭들과 각각의 거울상은 서로 동일한 홈플리 다항식을 가진다.

이는 홈플리 다항식이 완전한 매듭 불변량이 아님을 보여주는 사례이다. 실제로, 동일한 홈플리 다항식을 가지면서도 서로 다른 유향 매듭이 무한히 많이 존재한다는 사실이 1986년에 증명되었다.

5. 역사

제임스 워델 알렉산더는 1923년에 알렉산더 다항식을 발견하였다. 이후 1969년, 존 호턴 콘웨이는 알렉산더 다항식이 타래 관계를 통해 정의될 수 있음을 보였다.

1984년에는 본 존스가 존스 다항식을 발견하였다. 이듬해인 1985년, 이 다항식들의 일반화로 여겨지는 홈플리 다항식이 피터 존 프라이드(Peter John Freyd^영어), 데이비드 예터(David N. Yetter^영어), 짐 호스트(Jim Hoste^영어), 윌리엄 버나드 레이먼드 리커리시(William Bernard Raymond Lickorish^영어), 케네스 밀렛(Kenneth Millett^영어), 아드리안 오크네아누(Adrian Ocneanu^{루마니아어}) 6명의 수학자에 의해 공동으로 발견되었다. ‘홈플리’(HOMFLY^영어)라는 이름은 이들 6명의 성 앞 글자(FYHLMO)를 발음하기 쉽게 재배열하여 만들어졌다.

거의 같은 시기에 폴란드의 수학자 유제프 헨리크 프시티츠키(Józef Henryk Przytycki^폴란드어)와 파베우 트라치크(Paweł Traczyk^폴란드어)도 동일한 다항식을 독립적으로 발견하였으나, 논문은 2년 늦은 1987년에 출판되었다. 이러한 이유로 홈플리 다항식은 때때로 ‘홈플리-PT 다항식’(HOMFLY–PT polynomial^영어) 또는 ‘플립모스 다항식’(FLYPMOTH polynomial^영어)이라고 불리기도 한다.

1989년에는 에드워드 위튼이 홈플리 다항식과 천-사이먼스 이론 사이의 중요한 관계를 밝혀냈다.