천-사이먼스 이론

1. 개요

천-사이먼스 이론은 천싱선과 제임스 시몬스가 정의한 천-사이먼스 형식을 기반으로 하는 이론으로, 3차원 다양체에서 정의되는 위상 양자장론의 일종이다. 이 이론은 굽힘의 성질을 드람 코호몰로지로 나타내는 천-베유 이론에서 유래되었으며, 한국에서는 응집물질물리학 분야에서 분수 양자 홀 효과 및 위상 절연체 연구에 활용된다. 수학적으로는 유향 콤팩트 3차원 매끄러운 다양체와 리 군을 사용하여 정의되며, 천-사이먼스 범함수를 통해 정수 레벨을 갖는 양자 이론을 얻는다. 고전적 천-사이먼스 이론은 평탄한 주접속을 가지며, 해밀턴 역학, 양자화, 초대칭 이론으로 확장될 수 있다. 응용 분야로는 3차원 양자 중력, 분수 양자 홀 효과, 끈 이론 등이 있으며, 맥스웰 이론이나 양자 홀 효과 등에도 적용된다.

2. 역사적 배경

"천-사이먼스"라는 이름은 이 이론의 작용이 수학적으로 3차 천-사이먼스 형식이기 때문에 붙여졌다. 이는 천싱선과 제임스 해리스 사이먼스가 정의하였다.

1940년대 S. S. 천과 A. 베유는 매끄러운 다양체의 전역적인 곡률 성질을 드람 코호몰로지(천-베유 이론)로 연구했는데, 이는 미분 기하학에서 특성류 이론의 중요한 단계였다.

1974년 S. S. 천과 J. H. 사이먼스는 (2k - 1)-형식 df(ω)를 구체적으로 구성했다. 이 형식을 천-사이먼스 형식이라고 한다.

천-사이먼스 불변량 CS(M)은 순수한 조합론적 공식으로는 결정할 수 없는 경계 항이다. 또한, 천-사이먼스 항은 아티야, 패토디, 싱어가 정의한 에타 불변량으로 설명된다.

게이지 불변성과 메트릭 불변성은 천-베유 이론에서 수반 리 군 작용 하에서의 불변성으로 볼 수 있다. 물리학의 양자장론의 작용 적분(경로 적분 공식)은 천-사이먼스 형식과, M 위의 벡터 다발의 홀로노미인 윌슨 루프의 라그랑지안 적분으로 간주된다.

3. 수학적 기초

천-사이먼스 이론은 3차원 유향 콤팩트 매끄러운 다양체 위에서 정의되는 주접속들의 공간을 수학적 기반으로 한다.

3.1. 천-사이먼스 범함수

Chern–Simons functional^영어 (천-사이먼스 범함수)는 3차원 유향 콤팩트 매끄러운 다양체 $M$ 위의 주접속들의 공간을 게이지 변환군으로 나눈 몫공간 $\backslash mathcal\; A(M,G)\; =\; \backslash frac\{\backslash Omega^1(M;\backslash mathfrak\; g)\}\{\backslash mathcal\; C^\backslash infty(M,G)\}$에서 U(1)으로 가는 함수이다. 여기서 $G$는 연결 단일 연결 콤팩트 단순 리 군이며, $\backslash mathfrak\; g$는 그 실수 리 대수이다.

:$\backslash exp(2\backslash pi\backslash mathrm\; iS)\; \backslash colon\; \backslash mathcal\; A(M,G)\; \backslash to\; \backslash operatorname\; U(1)$

이 함수는 다음과 같이 정의된다. 우선, $G$-주다발 $P$의 주접속 $A\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Conn\}(P)$가 주어졌을 때, 다음을 선택한다.

* $M$에서 공집합으로 가는 보충 경계 $\backslash tilde\; M$. 즉, $\backslash tilde\; M$은 유향 4차원 경계다양체이며, $\backslash partial\backslash tilde\; M\; =\; M$이다. (이러한 $\backslash tilde\; M$은 항상 존재한다.)
* $\backslash partial\backslash tilde\; M$의 근방 $U$ 및 미분 동형 $U\; \backslash cong\; M\; \backslash times\; [0,1)$.
* 매끄러운 단면 $s\backslash in\backslash Gamma(P)$. 이는 표준적으로 동형 사상 $\backslash operatorname\{Conn\}(P)\; \backslash cong\; \backslash Omega^1(M;\backslash mathfrak\; g)$를 정의한다. 즉, 아핀 공간의 원점을 정의하여 벡터 공간으로 만든다. 따라서 $A\; \backslash in\; \backslash Omega^1(M;\backslash mathfrak\; g)$로 간주할 수 있다.
* 표준적 사영 함수 $\backslash pi\backslash colon\; U\; \backslash cong\; M\backslash times[0,1)\; \backslash to\; M$에 대하여, $\backslash tilde\; A\; \backslash restriction\; U\; =\; \backslash pi^*A\; \backslash in\; \backslash Omega^1(U;\backslash mathfrak\; g)$가 되는 $\backslash tilde\; A\; \backslash in\; \backslash Omega^1(\backslash tilde\; M;\backslash mathfrak\; g)$.

그러면, 다음을 정의한다.
:$S(A)\; =\; \backslash frac12\backslash int\_\{\backslash tilde\; M\}\; \backslash operatorname\{tr\}\backslash left(\backslash frac\; F\{2\backslash pi\}\backslash wedge\; \backslash frac\; F\{2\backslash pi\}\backslash right)$
이 값은 $(\backslash tilde\; M,U,\backslash tilde\; A)$의 선택에 대하여 불변이다.

사실, 구체적으로
:$F^2\; =\; \backslash mathrm\; d\backslash operatorname\{CS\}[\backslash tilde\; A]$
가 되는 3차 미분 형식 $\backslash operatorname\{CS\}[\backslash tilde\; A]\backslash in\backslash Omega^1(\backslash tilde\; M;\backslash mathfrak\; g)$가 존재하며, 이를 천-사이먼스 형식이라고 한다. $\backslash mathfrak\; g$의 임의의 충실한 행렬 표현에서 이는 다음과 같다.
:$\backslash operatorname\{CS\}[A]\; =\; \backslash operatorname\{tr\}\backslash left(F\backslash wedge\; A\; -\; \backslash frac13\; A\backslash wedge\; A\backslash wedge\; A\backslash right)$
스토크스 정리에 따라서
:$S\; =\; \backslash frac1\{2(2\backslash pi)^2\}\backslash int\_M\; \backslash operatorname\{CS\}[A]$
이다.

$S$는 일반적으로 주다발 매끄러운 단면 $s\; \backslash in\; \backslash Gamma(P)$의 선택에 의존한다. 주다발의 정의에 의하여, $\backslash Gamma(P)$는 게이지 변환군 $\backslash mathcal\; C^\backslash infty(M,G)$의 주동차 공간(principal homogeneous space, torsor^영어)이다. 즉, 임의의
:$s,s\text{'}\backslash in\; \backslash Gamma(P)$
에 대하여 항상
:$s\text{'}\; =\; sg$
인 게이지 변환 $g\; \backslash in\; \backslash mathcal\; C^\backslash infty(M,G)$가 존재한다. $s$에 게이지 변환을 가하는 것은 $A\; \backslash in\; \backslash Omega^1(M;\backslash mathfrak\; g)$에 게이지 변환을 가하는 것과 동치이다.

이 경우, $S$는 다음과 같이 변환한다.
:$S[A\backslash cdot\; g]\; =\; S[A]\; +\; \backslash deg\; g$
여기서 $\backslash deg\; g\; \backslash in\backslash mathbb\; Z$는 정수이다.

따라서, $S$는 $\backslash mathcal\; A=\backslash Omega^1(M;\backslash mathfrak\; g)\; /\; \backslash mathcal\; C^\backslash infty(M,G)$ 위에 잘 정의되지 않는다. 그러나
:$\backslash exp(2\backslash pi\backslash mathrm\; iS)\; \backslash colon\; \backslash mathcal\; A\; \backslash to\; \backslash operatorname\; U(1)$
은 잘 정의된다.

4. 고전적 천-사이먼스 이론

고전적 천-사이먼스 이론은 천-사이먼스 범함수를 작용으로 하는 고전 장론이다. 이 경우, 오일러-라그랑주 방정식의 해는 천-사이먼스 범함수의 변분이 0이 되게 하는 주접속, 즉 평탄 주접속이다.

천-사이먼스 이론은 경계가 있든 없든 모든 위상 3-다양체 M에서 정의될 수 있다. 이 이론은 슈바르츠 형 위상장론이므로 M에 계량을 도입할 필요가 없다.

천-사이먼스 이론은 게이지 이론으로, 게이지 군 G를 갖는 M 위의 천-사이먼스 이론에서 고전적 구성은 M 위의 주 G-다발에 의해 설명된다. 이 다발의 접속은 접속 1-형식 A로 특징지어지며, 이는 리 대수 g의 리 군 G에 값을 갖는다.

일반적으로 접속 A는 개별 좌표 패치에서만 정의되며, 서로 다른 패치에서의 A 값은 게이지 변환이라고 하는 맵에 의해 관련된다. 이는 공변 미분, 즉 외 미분 연산자 d와 접속 A의 합이 게이지 군 G의 수반 표현으로 변환된다는 주장으로 특징지어진다. 자기 자신과의 공변 미분의 제곱은 곡률 형식 또는 장 세기라고 하는 g-값을 갖는 2-형식 F로 해석될 수 있다. 또한 수반 표현으로 변환된다.

천-사이먼스 이론의 작용 S는 천-사이먼스 3-형식의 적분에 비례한다.

:$S=\backslash frac\{k\}\{4\backslash pi\}\backslash int\_M\; \backslash text\{tr\}\backslash ,(A\backslash wedge\; dA+\backslash tfrac\{2\}\{3\}A\backslash wedge\; A\backslash wedge\; A).$

상수 k는 이론의 레벨이라고 불린다. 천-사이먼스 이론의 고전 물리학은 레벨 k의 선택에 의존하지 않는다.

고전적으로 이 시스템은 장 A의 변화에 대한 작용의 극값인 운동 방정식으로 특징지어진다. 장 방정식은 다음과 같이 명시적으로 표현된다.

:$0=\backslash frac\{\backslash delta\; S\}\{\backslash delta\; A\}=\backslash frac\{k\}\{2\backslash pi\}\; F.$

그러므로 고전적인 운동 방정식은 곡률이 모든 곳에서 사라질 때에만 만족되며, 이 경우 연결은 평탄하다고 말한다. 따라서 G 천-사이먼스 이론에 대한 고전적 해는 M 위의 주 G-다발의 평탄한 연결이다. 평탄한 연결은 기본 M 위의 비축약 사이클 주변의 홀로노미에 의해 완전히 결정된다. 더 정확하게는, 이는 M의 기본군에서 게이지 군 G로의 준동형 사상의 동치류와 일대일 대응을 이룬다.

만약 M이 경계 N을 가지면, N 위의 주 G-다발의 자명화 선택을 설명하는 추가적인 데이터가 있다. 이러한 선택은 N에서 G로의 사상을 특징짓는다. 이 사상의 역학은 레벨 k에서 N에 대한 베스-주미노-위튼 모형(WZW) 모형에 의해 설명된다.

4.1. 해밀턴 역학

천-사이먼스 이론은 해밀턴 역학으로 묘사할 수 있으며, 이는 기하학적 양자화에 유용하다. 이를 위해 시공간 $M$이 시간과 공간의 곱공간, 즉 $M\; =\; \backslash Sigma\; \backslash times\; \backslash mathbb\; R$의 꼴이라고 가정한다. 여기서 $\backslash Sigma$는 유향 콤팩트 곡면이다.

$M$의 꼴 때문에, $A=(A\_0,A\_1,A\_2)$에 대해 바일 게이지 (Weyl gauge^영어)라는 게이지 고정 조건을 가할 수 있다.
:$A\_0=0$

천-사이먼스 형식의 두 항
:$\backslash operatorname\{tr\}(A\backslash wedge\backslash mathrm\; dA)$
:$\backslash operatorname\{tr\}(A\; \backslash wedge\; A\; \backslash wedge\; A)\; \backslash propto\; f\_\{abc\}\; A\_0^a\; A\_1^b\; A\_2^c$
가운데, 둘째 항은 항상 $A\_0$을 포함하므로 0이 되며, 첫째 항의 경우 오직
:$A\_1\; \backslash partial\_0\; A\_2\; -\; A\_2\; \backslash partial\_0\; A\_1$
만이 살아남는다. 즉, 이 게이지에서 작용은 다음과 같다.
:$S=\backslash frac\; k\{8\backslash pi\}\backslash int\_0^1\backslash mathrm\; dt\backslash int\_\backslash Sigma\backslash mathrm\; d^2x\backslash ,\backslash epsilon^\{ij\}\backslash operatorname\{Tr\}A\_i\backslash dot\; A\_j$
여기서 $i,j=1,2$이며, $\backslash Sigma$ 위의 부피 형식 $\backslash epsilon^\{ij\}$을 임의로 골랐다. $\backslash Sigma$가 2차원이므로, 이는 심플렉틱 다양체의 구조와 같다.

이 게이지에서 운동 방정식은 자명하다.
:$\backslash dot\; A\_i=0$
또한, 게이지 고정 조건에 의한 다음과 같은 제약 조건이 존재한다.
:$F\_\{ij\}=0$
따라서, 고전적으로 위상 공간은 $\backslash Sigma$ 위의 $G$-평탄 주접속(의 게이지 변환에 대한 동치류)의 모듈라이 공간 $\backslash mathcal\; M(\backslash Sigma,G)$이다.

평탄 주접속은 홀로노미
:$\backslash pi\_1(\backslash Sigma)\; \backslash to\; G$
에 의하여 완전히 분류된다. 여기서 $\backslash pi\_1(-)$은 (임의의 밑점에 대한) 곡면의 기본군이다. 이 위에는 $G$가 게이지 변환으로 작용하므로, 모듈라이 공간은
:$\backslash mathcal\; M\; =\; \backslash frac\{\backslash hom\_\{\backslash operatorname\{Grp\}\}(\backslash pi\_1(\backslash Sigma),G)\}G$
이다. 이는 일반적으로 오비폴드를 이룬다. $\backslash Sigma$의 심플렉틱 다양체 구조(부피 형식)로부터, $\backslash mathcal\; M$은 (오비폴드 특이점을 무시하면) 심플렉틱 다양체 구조를 갖는다.

특히, 만약 $\backslash Sigma\; =\backslash mathbb\; S^2$가 2차원 구일 경우, $\backslash pi\_1(\backslash mathbb\; S^2)\; =\; 1$(자명군)이므로 $\backslash mathcal\; M$ 역시 한원소 공간이다. 반면, 만약 $M\; =\; \backslash mathbb\; T^2$(원환면)인 경우,
:$\backslash pi\_1(\backslash mathbb\; T^2)\; =\; \backslash mathbb\; Z\; \backslash times\; \backslash mathbb\; Z$
이므로
:$\backslash mathcal\; M(\backslash mathbb\; T^2,G)\; =\; \backslash frac\{T\; \backslash times\; T\}\{\backslash operatorname\{Weyl\}(G)\}$
이다. 여기서 $T$는 $G$의 임의의 극대 원환면이며, $\backslash operatorname\{Weyl\}(G)$는 그 위에 작용하는 바일 군이다.

5. 양자 천-사이먼스 이론

천-사이먼스 이론은 기하학적 양자화를 통해 양자화할 수 있다. 양자장론은 일반적으로 경로 적분으로 정의되는데, 이 경우 경로 적분이 잘 정의되기 위해서는 특정 값($k$)이 정수여야 한다. 이 정수 값을 (양자) 천-사이먼스 이론의 준위(level^영어)라고 한다.

$k\; =\; 0$인 경우는 자명한 이론을 얻으며, $k$의 부호를 바꾸는 것은 매끄러운 다양체 $M$의 방향을 뒤집는 것과 같다. 따라서 일반성을 잃지 않고 $k$를 양의 정수로 놓을 수 있다.

위상 양자장론의 공리계에 따라, 3차원 다양체 $\backslash Sigma\backslash times[0,1]$에서 $\backslash Sigma$에 대응하는 복소수 힐베르트 공간 $\backslash mathcal\; H(\backslash Sigma)$이 존재해야 한다. 평탄 주접속의 모듈라이 공간 $\backslash mathcal\; M$은 자연스럽게 심플렉틱 구조를 가지며, $\backslash Sigma$에 임의의 복소구조 $J$를 부여하면 $\backslash mathcal\; M$은 켈러 구조를 가지게 된다. 따라서 켈러 구조의 기하학적 양자화를 사용할 수 있다.

5.1. 힐베르트 공간

천-사이먼스 이론의 힐베르트 공간은 같은 리 군의 베스-추미노-위튼 모형의 등각 블록 공간과 표준적으로 동형이다. 예를 들어, 리만 구의 경우 힐베르트 공간은 1차원이다. 원환면의 경우 힐베르트 공간은 아핀 리 대수의 무게 $k$(준위)의 적분 가능 표현들의 공간이다. 윌슨 고리를 삽입한 경우의 힐베르트 공간은 베스-추미노-위튼 모형에서 중간에 진공이 아닌 자명하지 않은 상태를 삽입한 등각 블록에 대응한다.

힐베르트 공간 $\backslash mathcal\; H\_J$는 곡면 $\backslash Sigma$의 복소구조 $J$에 의존하며, 복소구조의 모듈라이 공간(타이히뮐러 공간 $T\_\backslash Sigma$) 위의 벡터 다발을 이룬다. 그러나 이 벡터 다발은 사영적으로 평탄한 주접속(projectively flat connection)을 지녀서, 사영 힐베르트 공간 $P(\backslash mathcal\; H)$는 복소구조에 의존하지 않는다.

정준 양자화를 통해, M 내의 각 2차원 곡면 Σ에 대한 상태를 정의할 수 있다. 상태는 힐베르트 공간 내의 광선에 해당하며, Σ를 따라 M을 절단하면 경계를 가진 다양체가 되고, 이 경우 고전적으로 Σ의 역학은 WZW 모델에 의해 설명된다. 이 대응 관계는 양자역학적으로도 성립하며, 상태의 힐베르트 공간은 유한 차원이고, 레벨 k에서 G WZW 모델의 컨포멀 블록 공간과 정준적으로 동일하게 식별될 수 있다.

5.2. 준위의 재규격화

양자화를 가하면, 천-사이먼스 이론의 준위 $k$가 바뀌게 된다. 즉, 게이지 군이 $G$이고, 고전적으로 준위가 $k$인 천-사이먼스 이론을 양자화하면, 측도의 게이지 변환 성질에 의하여 유효 천-사이먼스 준위가
:$k\text{'}=k+h^\backslash vee(G)$
가 된다. 여기서 $h^\backslash vee(G)$는 $G$의 이중 콕서터 수이다.

다음과 같은 이론들을 생각하자.
* 게이지 군이 $G$인 3차원 $\backslash mathcal\; N=0,1,2,3$ 양-밀스 이론에, 준위 $k$의 (초대칭) 천-사이먼스 항을 추가
이는 물론 위상 양자장론이 아니며, 오직 $\backslash mathcal\; N\backslash le3$만이 가능하다. 이 경우, 초대칭의 수 $\backslash mathcal\; N$에 따라 준위의 재규격화가 달라진다. $\backslash mathcal\; N=1$ (두 개의 초전하, 하나의 마요라나 페르미온)인 경우, 준위의 재규격화는 이중 콕서터 수의 절반이다. 이 경우 양자화 조건은 재규격화된 준위가 정수라는 것이다.
:$k\text{'}=k+h^\backslash vee(G)/2\backslash in\backslash mathbb\; Z$
따라서, 이중 콕서터 수가 홀수인 경우에는 고전적 준위 $k$가 반정수가 된다. $\backslash mathcal\; N=2,3$인 경우 재규격화가 없다.

만약 천-사이먼스 게이지 이론에 물질을 추가하면, 일반적으로 더 이상 위상수학적이지 않게 된다. 하지만, 만약 n개의 마요라나 페르미온을 추가하면, 패리티 이상 현상으로 인해 적분했을 때, 순수한 천-사이먼스 이론으로 이어지며 천-사이먼스 레벨이 −n/2만큼 일-루프 재규격화된다. 다시 말해, 페르미온 n개를 가진 레벨 k 이론은 페르미온이 없는 레벨 k − n/2 이론과 동일하다.

6. 초대칭 천-사이먼스 이론

순수 천-사이먼스 이론에 마요라나 페르미온을 추가하여 초대칭 천-사이먼스 이론(supersymmetric Chern–Simons theory^영어)을 만들 수 있다. 이 경우 페르미온은 운동 에너지 항이 없어 국소적 자유도를 갖지 않는다. 이렇게 하여 $\backslash mathcal\; N=1,2,4$ 초대칭 천-사이먼스 이론을 정의할 수 있다.

예를 들어, $\backslash mathcal\; N=1$ 초대칭 천-사이먼스 이론의 경우, 게이지 보손 $A$에 대응하는 마요라나 게이지노 $\backslash lambda$를 추가하면 작용은 다음과 같다.

:$S=\backslash frac\; k\{4\backslash pi\}\backslash int\_M\backslash operatorname\{tr\}\backslash left(A\backslash wedge\backslash mathrm\; dA-\backslash frac23iA\backslash wedge\; A\backslash wedge\; A-\backslash bar\backslash lambda\backslash lambda\backslash ,\backslash operatorname\{vol\}\_M\backslash right)$

여기서
* $\backslash lambda$는 3차원 마요라나 스피너 장이다. 굽은 공간에서, 이는 필바인을 통해 정의된다.
* $\backslash operatorname\{vol\}\_M$은 $M$의 (3차) 부피 형식이다.

게이지노 장 $\backslash lambda$의 작용은 리만 계량에 의존한다. 그러나 이는 운동항이 없어 보조장이므로, 페르미온의 경로 적분을 계산할 수 있고, 이렇게 페르미온을 적분해 없애면 원래 천-사이먼스 이론만이 남는다.

이 작용의 초대칭은 다음과 같다.

:$\backslash delta\; A\_i\; =\; \backslash mathrm\; i\backslash bar\backslash epsilon\; \backslash gamma\_\backslash mu\backslash lambda$
:$\backslash delta\backslash chi\; =\; \backslash frac12\backslash gamma^\{\backslash mu\backslash nu\}F\_\{\backslash mu\backslash nu\}\backslash epsilon$

여기서 $\backslash epsilon$은 초대칭 매개 변수이다.

이는 물론 위상 양자장론으로서 (비초대칭) 천-사이먼스 이론과 같지만, 만약 천-사이먼스 항을 3차원 초대칭 게이지 이론에 추가할 경우 위와 같이 적절히 초대칭화된 천-사이먼스 항을 사용해야 한다.

7. 응용

천-사이먼스 이론은 여러 분야에 응용된다.

응집물질물리학에서 분수 양자 홀 효과를 설명하는 데 쓰인다. 1989년에 2+1차원 천-사이먼스 이론이 분수 양자 홀계에 처음 사용되었다. 천-사이먼스 이론은 라플린 파동 함수를 포함하며, 애니온의 존재를 예측한다.

끈 이론에서 초대칭 천-사이먼스 이론은 자주 나타난다. D-막의 세계부피 이론은 천-사이먼스 형태의 항들을 포함하며, 겹친 M2-막 위에 존재하는 이론(ABJM 이론) 또한 천-사이먼스 이론의 한 종류이다.

7.1. 3차원 양자 중력

3차원 양자 중력은 천-사이먼스 이론의 일종으로, 3차원에는 중력자가 국소적 질량껍질 위 자유도를 갖지 않기 때문에 가능하다. 1982년, 스탠리 데저, 로먼 재키우와 S. 템플턴은 3차원에서 중력 이론의 아인슈타인-힐베르트 작용에 천-사이먼스 항을 추가하여 수정하는 천-사이먼스 중력 이론을 제안했다.

7.2. 분수 양자 홀 효과

응집물질물리학에서, 천-사이먼스 이론은 분수 양자 홀 효과를 설명하는 데 쓰인다. 1989년에 2+1차원 천-사이먼스 이론이 분수 양자 홀계에 처음 사용되었다.

천-사이먼스 이론이 분수 양자 홀계를 잘 기술하는 것으로 여겨지는 이유 중 하나는 균일 밀도의 평균장 해로서 라플린 파동 함수를 포함한다는 점이다. 라플린 파동 함수는 홀수 분모의 란다우 준위 분수 양자 홀계의 매우 좋은 근사 기저 중 하나이다. (로버트 B. 라플린은 이 파동 함수의 발견으로 1998년 노벨 물리학상을 받았다.) 그러나 짝수 분모의 분수 양자 홀계를 잘 기술하는지에 대해서는 2013년 현재까지도 해결되지 않았다.

또한, 천-사이먼스 이론의 들뜬 상태로서 천-사이먼스 게이지장의 요동이 소용돌이 모양이 되고 소용돌이도가 양자화되는 상태가 있다. 천-사이먼스 이론으로부터 예측되는 흥미로운 상태로 애니온의 존재가 있다. 애니온은 비가환 통계를 따르는 입자이지만, 천-사이먼스 이론은 애니온의 존재를 예측한다.

물성 물리학에서는 천-사이먼스 이론이 유효 이론이므로, 천-사이먼스 이론이 애니온을 기술한다고 해도 그것은 "애니온처럼 보이는" 것일 뿐이지만, 이러한 상태를 이용하여 양자 계산을 하려는 시도가 있다. 예를 들어, 5/2 분수 양자 홀계가 실현 가능한 애니온의 후보로 여겨지고 있다.

7.3. 끈 이론

초대칭 천-사이먼스 이론은 끈 이론에서 자주 나타난다. D-막의 세계부피 이론은 천-사이먼스 형태의 항들을 포함하며, 겹친 M2-막 위에 존재하는 이론(ABJM 이론) 또한 천-사이먼스 이론의 한 종류이다. 또한, 천-사이먼스 이론은 등각 장론의 하나인 베스-추미노-위튼 모형과도 관련되어 있다.

끈 이론의 관점에서, 6차원 다양체 X의 방향성을 가진 라그랑지안 3-부분 다양체 M에서 정의된 U(N) 천-사이먼스 이론은 X를 감싸는 D-브레인 위에 끝나는 열린 끈의 끈장 이론으로, X 위의 A-모델 위상 끈 이론에서 나타난다. D5-브레인 묶음의 공간을 채우는 세계 부피에 대한 B-모델 위상 열린 끈 장 이론은 홀로모픽 천-사이먼스 이론으로 알려진 천-사이먼스 이론의 6차원 변형이다.