켈러 다양체

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 켈러-아인슈타인 다양체
6. 역사
7. 응용
참조

1. 개요

켈러 다양체는 에르미트 계량과 닫힌 에르미트 형식을 갖는 에르미트 다양체로 정의된다. 이는 리만, 복소, 심플렉틱 구조를 동시에 가지며, 심플렉틱 기하학, 복소 기하학, 리만 기하학적 관점에서 정의될 수 있다. 켈러 다양체는 켈러 형식과 켈러 퍼텐셜을 사용하여 표현되며, 켈러 항등식을 만족한다. 또한, 켈러 다양체는 위상수학적 성질을 가지며, 호지-리만 쌍선형 관계가 존재한다. 켈러-아인슈타인 다양체는 리치 곡률이 상수인 켈러 다양체이며, 켈러 다양체의 개념은 에리히 켈러에 의해 도입되었고, 호지에 의해 호지 이론이 발전되었다. 켈러 다양체는 복소 사영 공간, 유한 차원 복소 벡터 공간 등 다양한 예시를 가지며, 켈러-아인슈타인 계량과 칼라비 추측 증명 등 다양한 분야에 응용된다.

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켈러 다양체
개요
유형	켈러 다양체
분야	미분기하학, 대수기하학
성질
구조	리만 다양체, 복소다양체, 심플렉틱 다양체
기본 형태	닫힌 형태
관련 개념	호지 다양체, 칼라-아인슈타인 다양체

2. 정의

켈러 다양체 $(M,h)$ 는 에르미트 다양체이면서, 에르미트 계량 $h$ 에 대응하는 에르미트 형식 $\omega=\tfrac12i(h-\bar h)$ 가 닫힌 형식인 ( $d\omega=0$ ) 다양체이다.^[25] 이에 따라 켈러 다양체는 $\omega$ 를 통해 심플렉틱 다양체를 이룬다.

켈러 다양체의 에르미트 계량은 '''켈러 계량'''(Kähler metric^영어)이라고 하고, 켈러 다양체의 에르미트 형식은 '''켈러 형식'''(Kähler form^영어)이라고 한다.

켈러 다양체는 리만 다양체, 복소다양체, 심플렉틱 다양체의 구조를 동시에 가지는데, 이는 행렬군의 경우

: $U(n)=\operatorname O(2n;\mathbb R)\cap\operatorname{GL}(n;\mathbb C)=\operatorname{GL}(n;\mathbb C)\cap\operatorname{Sp}(2n;\mathbb R)=\operatorname O(2n;\mathbb R)\cap\operatorname{Sp}(2n;\mathbb R)$

가 성립하므로, 서로 호환되는 리만 구조, 복소구조, 심플렉틱 구조 가운데 두 개가 존재하면 나머지 하나 역시 존재하기 때문이다. 켈러 다양체는 여러 개의 호환 가능한 구조를 갖추고 있기 때문에, 다양한 관점에서 설명할 수 있다.

2. 1. 심플렉틱 기하학적 정의

심플렉틱 다양체 $(M, \omega)$에 적분 가능한 거의 복소 구조 $J$가 주어져 있고, 이들이 호환될 때 켈러 다양체라고 한다. 호환된다는 것은, 각 점에서의 접선 공간에 대한 쌍선형 형식 $g(u,v)=\omega(u,Jv)$가 대칭이고 양의 정부호임을 의미한다.^[1]

다시 말해, 켈러 다양체는 심플렉틱 다양체 $ (K,\omega) $와 그 심플렉틱 형식 $ \omega $ 및 다음 의미에서 일치하는 적분 가능한 개복소 구조 $J$의 묶음이다.^[25]

:$ g(u, v) = \omega (u, Jv) $

로 정의되는 접 공간상의 2차 형식이 각 점에서 양의 정부호 대칭이다 (즉, 위에서 정의된 g가 리만 계량이 된다).^[25]

에르미트 다양체 $ K $는 자연적인 에르미트 형식 $ h $와 적분 가능한 개복소구조 $ J $를 함께 갖춘 복소다양체이다. $ h $가 닫혀 있다고 가정하면, 표준적인 심플렉틱 형식을 $ \omega = \frac i2 (h - \bar h ) $로 정의할 수 있고, $ J $와 일치하므로, 켈러 다양체의 정의를 만족한다.^[25]

한편, 개복소구조와 일치하는 임의의 심플렉틱 형식은 $ (1,1) $ 타입의 복소 미분 형식이어야 하며, 좌표 $ (U, z_i) $를 사용하여 표기하면, $ h_{jk} \in C^\infty(U,\mathbb C) $에 대해,

:$ \omega = \frac i2 \sum_{j,k} h_{jk} dz_j \wedge d\bar{z_k} $

가 된다. $ \omega $가 실수 값을 갖는 닫힌 비퇴화임이 추가되면, $ h_{jk} $가 $ K $의 각 점에서 에르미트 형식을 정의함을 보장한다.^[25]

2. 2. 복소 기하학적 정의

복소다양체 $M$에 에르미트 계량 $h$가 주어져 있고, 이에 대응하는 에르미트 형식 $\omega = \frac{1}{2}i(h-\bar{h})$가 닫힌 형식, 즉 $d\omega = 0$일 때 켈러 다양체라고 한다.^[25] 이때, $\omega$를 켈러 형식이라 부른다.

$h$는 $M$의 각 점에서 접선 공간 $TX$에 양의 정부호 에르미트 형식을 부여하며, 2-형식 $\omega$는 다음과 같이 정의된다.

:

\omega(u,v)=\operatorname{Re} h(iu,v) = \operatorname{Im} h(u, v)

여기서 $u$와 $v$는 접선 벡터이고($i$는 복소수 $\sqrt{-1}$이다). 켈러 형식 $\omega$는 실수 닫힌 (1,1)-형식이다.

개복소구조와 일치하는 임의의 심플렉틱 형식은 $(1,1)$ 타입의 복소 미분 형식이어야 하며, 좌표 $(U, z_i)$를 사용하여 표기하면, $h_{jk} \in C^\infty(U,\mathbb C)$에 대해,

:

\omega = \frac i2 \sum_{j,k} h_{jk} dz_j \wedge d\bar{z_k}

가 된다. $\omega$가 실수 값을 갖는 닫힌 비퇴화임이 추가되면, $h_{jk}$가 $M$의 각 점에서 에르미트 형식을 정의함을 보장한다.^[25]

2. 3. 리만 기하학적 정의

켈러 다양체는 짝수 차원

2n

의 리만 다양체

X

로서, 그 홀로노미 군이 유니타리 군

\operatorname{U}(n)

에 포함되는 다양체이다.^[3] 즉, 각 점에서의

X

의 접공간에 복소 구조

J

가 존재하고 (즉,

J^2=-1

을 만족하는

TX

에서 자기 자신으로의 실수 선형 사상),

J

가 거리

g

를 보존하며 (즉,

g(Ju,Jv)=g(u,v)

),

J

는 평행 이동에 의해 보존된다.

3. 성질

2n^영어 실수 차원의 켈러 다양체의 홀로노미군은 (주어진 복소구조에 대한) 유니터리 군( U(n)^영어)의 부분군이다. 만약 홀로노미가 추가로 SU(n)^영어의 부분군인 경우는 '''칼라비-야우 다양체'''라고 한다.

3. 1. 켈러 퍼텐셜

켈러 다양체에서는 켈러 형식

:

\omega=\frac12ih_{i\bar\jmath}dz^i\wedge d\bar z^{\bar\jmath}

가 닫혀 있기 때문에 국소적으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\omega=i(\partial_i\partial_{\bar\jmath}\rho)dz^id\wedge\bar z^{\bar\jmath}

이때

\rho

를 '''켈러 퍼텐셜'''(Kähler potential^영어)이라고 한다. 켈러 퍼텐셜은 일반적으로 국소적으로만 정의된다. 특히, 콤팩트 켈러 다양체의 경우

\omega^n

이 부피 형식이 되므로 켈러 형식이 완전 형식일 수 없다. 따라서 콤팩트 켈러 다양체의 켈러 퍼텐셜은 국소적으로만 존재한다.^[4]

복소다양체 위에 정의된 매끄러운 실수 값을 갖는 함수

\rho

가 다음 조건을 만족하면 엄밀하게 다중 준조화적이라고 한다.

:

\omega = \frac i2 \partial \bar\partial \rho

이 조건은

\omega

가 양의 값을 가지는, 즉 켈러 형식이 되는 경우를 의미한다. 여기서

\partial, \bar\partial

는 돌보 연산자이다. 이때 함수

\rho

는

\omega

에 대한 '''켈러 포텐셜'''이라고 불린다.

푸앵카레 보조정리의 복소수 형태인 국소

\partial \bar \partial

-보조정리에 따르면, 모든 켈러 메트릭은 국소적으로 위와 같은 방식으로 표현 가능하다. 즉,

(X,\omega)

가 켈러 다양체라면,

X

의 모든 점

p

에 대해

p

의 근방

U

와

{\omega\vert}_U=(i/2)\partial\bar\partial \rho

를 만족하는

U

위의 매끄러운 실수 값 함수

\rho

가 존재한다. 이

\rho

는

\omega

에 대한 '''국소 켈러 포텐셜'''이라고 불린다.^[4]

3. 2. 켈러 항등식

켈러 다양체 위에는 여러 미분 연산자들이 존재하며, 이들 사이에는 켈러 항등식이라고 불리는 항등식들이 성립한다.^[6] 이러한 항등식들은 돌보 코호몰로지와 드람 코호몰로지 사이의 관계를 규명하는 데 중요한 역할을 한다.

켈러 다양체

M

위에 존재하는 연산자들은 다음과 같다.^[6]

돌보 미분 연산자 $\partial\colon\Omega^{p,q}(M)\to \Omega^{p+1,q}(M)$ 및 그 에르미트 수반 $\partial^\dagger\colon\Omega^{p,q}(M)\to\Omega^{p-1,q}(M)$
돌보 미분 연산자 $\bar\partial\colon\Omega^{p,q}(M)\to \Omega^{p,q+1}(M)$ 및 그 에르미트 수반 $\bar\partial^\dagger\colon\Omega^{p,q}(M)\to\Omega^{p,q-1,q}(M)$
드 람 외미분 $d=\partial+\bar\partial\colon\Omega^n(M)\to\Omega^{n+1}(M)$ 및 그 에르미트 수반 $d^\dagger\colon\Omega^n(M)\to\Omega^{n-1}(M)$
돌보 미분 연산자의 라플라스 연산자 $\Delta_\partial=\partial\partial^\dagger+\partial^\dagger\partial\colon\Omega^{p,q}(M)\to\Omega^{p,q}(M)$
돌보 미분 연산자의 라플라스 연산자 $\Delta_{\bar\partial}=\bar\partial\bar\partial^\dagger+\bar\partial^\dagger\bar\partial\colon\Omega^{p,q}(M)\to\Omega^{p,q}(M)$
드 람 외미분 연산자의 라플라스 연산자 $\Delta=dd^\dagger+d^\dagger d\colon\Omega^n(M)\to\Omega^n(M)$

이들 사이에는 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

:

0=\{\partial,\bar\partial\}=\{\partial,\bar\partial^\dagger\}=\{\bar\partial,\partial^\dagger\}=\{\partial^\dagger,\bar\partial^\dagger\}

:

2\Delta_\partial=2\Delta_{\bar\partial}=\Delta

이에 따라, 켈러 다양체 위에서는 돌보 코호몰로지와 드람 코호몰로지가 서로 일치하게 된다. 이 항등식들은 일반적인 에르미트 다양체에서는 성립하지 않는다.

이 항등식들은 외미분

d

, 돌보 연산자

\partial, \bar \partial

및 이들의 수반 연산자, 라플라시안

\Delta_d, \Delta_{\partial}, \Delta_{\bar \partial}

, 그리고 레프셰츠 연산자

L := \omega \wedge -

와 그 수반 연산자 축약 연산자

\Lambda = L^*

를 관련시킨다.^[6]

\star

를 호지 작용소라고 하면, 미분 가능한 다양체 X 위에서 라플라스 작용소는 다음과 같이 정의된다.

:

\Delta_d=dd^*+d^*d

여기서

d

는 외미분 형식이고,

d^*=-(-1)^{nk}\star d\star

이다. 게다가 ''X''가 켈러이면

d

와

d^*

는 다음과 같이 분해된다.

:

d=\partial+\bar{\partial},\ \ \ \ d^*=\partial^*+\bar{\partial}^*

그리고 다른 라플라스 작용소를 정의할 수 있다.

:

\Delta_{\bar{\partial}}=\bar{\partial}\bar{\partial}^*+\bar{\partial}^*\bar{\partial},\ \ \ \ \Delta_\partial=\partial\partial^*+\partial^*\partial

는 다음을 만족한다.

:

\Delta_d=2\Delta_{\bar{\partial}}=2\Delta_\partial

이러한 사실로부터, 호지 분해를 얻는다. (\[\[호지 이론]] 참조)

:

\mathbf{H^r}=\bigoplus_{p+q=r}\mathbf{H}^{p,q}

여기서

\mathbf{H^r}

는 r-차 조화 형식이고,

\mathbf{H}^{p,q}

는 X 위의 {p,q}-차 조화 형식이다. 즉, 미분 형식

\alpha

가 조화 형식이라는 것과, 각

\alpha^{i,j}

가 {i,j}-차 조화 형식에 속한다는 것은 동치이다.

게다가, X가 콤팩트이면,

:

H^p(X,\Omega^q)\simeq H^{p,q}_{\bar{\partial}}(X)\simeq\mathbf{H}^{p,q}

를 얻는다. 여기서

H^{p,q}_{\bar{\partial}}(X)

는

\bar{\partial}

-조화 코호몰로지 군이다. 이것은

\alpha

가 {p,q}-차 미분 형식이라면, 돌보의 정리에 의해, 단 하나의 {p,q}-차 조화 형식이 결정된다.

h^{p,q}=\text{dim} H^{p,q}

를 호지 수라고 하면,

:

b_r=\sum_{p+q=r}h^{p,q},\ \ \ \ h^{p,q}=h^{q,p},\ \ \ \ h^{p,q}=h^{n-p,n-q}.

를 얻는다. 첫 번째 좌변 b_r는 r-번째 베치 수이고, 두 번째 등호는 라플라스 작용소

\Delta_d

가 실수 작용소

H^{p,q}=\overline{H^{q,p}}

이기 때문에 오고, 마지막 등호는 세르 쌍대성으로부터 결과를 얻는다.

3. 3. 위상수학적 성질

매끄러운 다양체

M

이 켈러 다양체의 구조를 가질 수 있다면,

M

은 (복소구조를 가질 수 있으므로) 짝수 차원의 가향 다양체이다.

2n

차원 콤팩트 매끄러운 다양체

M

이 켈러 다양체의 구조를 가질 수 있다면, 다음이 성립한다.

$M$ 은 강한 렙셰츠 다양체이다. 이에 따라, 다음이 성립한다.
* $M$ 의 홀수 차수 베티 수 $b_{2k+1}(M)$ 는 항상 짝수이다. 이는 베티 수를 호지 수 $b_n=\sum_{p+q=n}h_{p,q}(M)$ 로 분해하였을 때, $h_{p,q}=h_{q,p}$ 이기 때문이다.
* $M$ 의 홀수 차수 베티 수 $b_1,b_3,\dots,b_{2k+1}\;(2k+1 및 짝수 차수 베티 수 b_0,b_2,\dots,b_{2k}\;(2k 는 증가수열이다.$ ^[26]
$M$ 의 기본군은 '''켈러 군'''(Kähler group^영어)이라는 특수한 형태이다.^[27]^[28]
$M$ 은 형식적 다양체이다.^[29]

또한,

2n

차원 콤팩트 켈러 다양체

M

의 코호몰로지에는 다음과 같은 '''호지-리만 쌍선형 관계'''(Hodge-Riemann雙線型性關係, Hodge–Riemann bilinear relation^영어)가 존재한다. 다음과 같은 반쌍선형 형식을 정의하자.

:

h\colon H^{p,q}\times H^{p,q}\to\mathbb C

:

h\colon(\alpha,\beta)\mapsto\epsilon_{p+q}(\bar\alpha\smile\beta\smile[\omega]^{n-p-q})([M])\qquad\epsilon_{p+q}=\begin{cases}1&2\mid p+q\\i&2\nmid p+q\end{cases}

이는 항상 에르미트 형식이며, 항상 양의 정부호 또는 음의 정부호이다. 또한,

H^{n,0}

위에는 항상 양의 정부호이며,

H^{p,q}

가 양의 정부호이면

H^{p,q+1}

은 음의 정부호이며, 반대로

H^{p,q}

가 음의 정부호라면

H^{p,q+1}

은 양의 정부호이다.

콤팩트 켈러 다양체의 모든 홀수 베티 수 ''b''_2''a''+1는 호지 대칭에 의해 짝수이다. 이는 일반적으로 콤팩트 복소 다양체에 대해서는 사실이 아닌데, 이는 호프 곡면의 예에서 알 수 있으며, 호프 곡면은 ''S''¹ × ''S''³^영어와 미분동형이므로 1=''b''₁ = 1^영어을 갖는다.

"켈러 패키지"는 호지 이론을 기반으로 콤팩트 켈러 다양체의 코호몰로지에 대한 추가적인 제약 사항들의 모음이다. 이 결과에는 레프셰츠 초평면 정리, 경성 레프셰츠 정리, 그리고 호지-리만 쌍선형 관계가 포함된다.^[9] 관련된 결과는 모든 콤팩트 켈러 다양체가 형식적 공간이라는 것이다.^[10]

어떤 그룹이 콤팩트 켈러 다양체의 기본군이 될 수 있는지에 대한 질문, 즉 '''켈러 군'''이라고 불리는 질문은 아직 풀리지 않은 문제이다. 호지 이론은 가능한 켈러 군에 대한 많은 제약을 제공한다.^[11] 가장 간단한 제약은 켈러 군의 아벨화가 짝수 랭크를 가져야 한다는 것인데, 콤팩트 켈러 다양체의 베티 수 ''b''₁이 짝수이기 때문이다. (예를 들어, 정수 '''Z'''는 콤팩트 켈러 다양체의 기본군이 될 수 없다.) 비가환 호지 이론과 같은 이론의 확장은 어떤 그룹이 켈러 군이 될 수 있는지에 대한 추가적인 제약을 제공한다.

켈러 조건이 없으면 상황은 간단하다. 클리포드 토브스는 모든 유한 제시 군이 3차원 콤팩트 복소 다양체의 기본군으로 나타난다는 것을 보여주었다.^[12] (반대로, 모든 닫힌 다양체의 기본군은 유한하게 제시된다.)

3. 4. 호지-리만 쌍선형 관계

2n

차원 콤팩트 켈러 다양체

M

의 코호몰로지에는 다음과 같은 '''호지-리만 쌍선형 관계'''(Hodge–Riemann bilinear relation^영어)가 존재한다. 다음과 같은 반쌍선형 형식을 정의하자.

:

h\colon H^{p,q}\times H^{p,q}\to\mathbb C

:

h\colon(\alpha,\beta)\mapsto\epsilon_{p+q}(\bar\alpha\smile\beta\smile[\omega]^{n-p-q})([M])\qquad\epsilon_{p+q}=\begin{cases}1&2\mid p+q\\i&2\nmid p+q\end{cases}

이는 항상 에르미트 형식이며, 항상 양의 정부호 또는 음의 정부호이다. 또한,

H^{n,0}

위에는 항상 양의 정부호이며,

H^{p,q}

가 양의 정부호이면

H^{p,q+1}

은 음의 정부호이며, 반대로

H^{p,q}

가 음의 정부호라면

H^{p,q+1}

은 양의 정부호이다.

4. 예시

복소수 사영 공간 위에는 푸비니-슈투디 계량이라는 켈러 구조가 항상 존재한다. 켈러 다양체의 부분 복소다양체 역시 켈러 다양체이므로, 모든 비특이 사영 복소다양체는 켈러 다양체를 이룬다.

유한 차원 복소수 벡터 공간 $\mathbb C^n$ 은 켈러 다양체를 이룬다. 마찬가지로, 복소수 원환면 $\mathbb C^n/\Lambda$ 역시 켈러 다양체이다 ( $\Lambda\subset\mathbb C^n$ 은 격자).

리만 곡면 위의 모든 리만 계량은 켈러 계량을 정의한다. 이는 2차원에서는 켈러 형식이 닫힌 형식이어야 하는 조건이 자명하기 때문이다.

비특이 K3 곡면은 켈러 다양체이자 초켈러 다양체이다. 보다 일반적으로, 1차 베티 수가 짝수인 모든 2차원 콤팩트 곡면은 켈러 구조를 가질 수 있다.^[1]

표준 에르미트 계량을 갖는 복소 좌표 공간 '''C'''^''n''은 켈러 다양체이다.

콤팩트 복소 원환면 '''C'''^''n''/Λ (Λ는 완전한 격자)는 '''C'''^''n''상의 유클리드 계량으로부터 평탄한 계량을 상속받으며, 따라서 콤팩트 켈러 다양체이다.

복소 사영 공간 '''CP'''^''n''에는 푸비니-스터디 계량이라는 켈러 계량의 표준적인 선택이 있다.

켈러 다양체의 복소 부분 다양체에 유도된 계량은 켈러이다. 특히, '''C'''^''n''에 매립된 모든 슈타인 다양체 또는 '''CP'''^''n''에 매립된 매끄러운 사영 대수적 다양체는 켈러이다.

'''C'''^''n''의 열린 단위 구 '''B'''는 베르그만 계량이라고 불리는 완전한 켈러 계량을 가지며, 정칙 단면 곡률은 −1과 같다.

모든 K3 곡면은 켈러이다(Siu에 의해).^[1]

5. 켈러-아인슈타인 다양체

Kähler 다양체는 상수 리치 곡률을 가질 경우 '''Kähler–Einstein'''이라고 한다. 즉, 리치 곡률 텐서는 상수 λ 곱하기 계량 텐서와 같으며, Ric = ''λg''이다.^[20] 이는 일반 상대성 이론에서 질량이 없는 경우 시공간이 0인 리치 곡률을 갖는 4차원 로렌츠 다양체라고 주장하는 것에서 유래되었다.^[20]

켈러 다양체 ''X''의 리치 곡률은 접선 다발의 첫 번째 천 특성류 ''c''₁(''X'')을 나타내는 실수 닫힌 (1,1)-형식으로 볼 수 있다.^[20] 따라서 콤팩트 Kähler–Einstein 다양체 ''X''는 아인슈타인 상수 λ가 양수, 0, 또는 음수인지에 따라 표준 다발 ''K''_''X''가 반-ample, homology trivial, 또는 ample을 가져야 한다.^[20] 이러한 세 가지 유형의 Kähler 다양체는 각각 파노 다양체, Calabi–Yau 다양체, 또는 ample 표준 다발을 갖는 다양체(이는 일반형을 의미함)라고 한다.^[20]

싱퉁 야우는 Calabi 추측을 증명했다.^[20] ample 표준 다발을 갖는 모든 매끄러운 사영 대수 다양체는 Kähler–Einstein 계량(상수 음수 리치 곡률)을 가지며, 모든 Calabi-Yau 다양체는 Kähler–Einstein 계량(0 리치 곡률)을 갖는다.^[20]

반대로, 모든 매끄러운 파노 다양체가 Kähler–Einstein 계량(상수 양의 리치 곡률)을 갖는 것은 아니다.^[20] 그러나 첸 시우슝, 사이먼 던스턴, 그리고 송 쑨은 야우–톈–던스턴 추측을 증명했다.^[20] 매끄러운 파노 다양체는 순수하게 대수 기하학적 조건인 K-안정성을 가질 경우에만 Kähler–Einstein 계량을 갖는다.^[20]

Kähler–Einstein 계량이 존재할 수 없는 상황에서 상수 스칼라 곡률 Kähler 계량 및 극단 Kähler 계량을 포함하는 약간의 일반화를 연구할 수 있다.^[20] Kähler–Einstein 계량이 존재할 수 있는 경우 이러한 광범위한 일반화는 자동으로 Kähler–Einstein이다.^[20]

켈러 다양체 K 위에서, 리치 텐서는 표준 다발의 곡률 형식을 결정한다. 표준 다발은 정칙 여접다발의 외적이다.

: $\kappa = {\bigwedge}^{n} T^{1,0*}K$ ( $n = \dim K$ ).

K 위의 계량에 대한 레비-치비타 접속은 κ 위의 접속을 유발하고, 이 접속의 곡률은 다음으로 정의되는 2-형식이다.

: $\rho(X,Y)\,\stackrel{\text{def}}{=}\,\operatorname{Ric}(JX,Y)$

여기서 J는 K의 복소 구조이다. 리치 형식은 닫힌 2-형식이며, 그 코호몰로지류는 실수 상수 배를 제외하고, 표준 다발의 첫 번째 천 류이다.

리치 텐서가 0이 되면, 표준 번들은 평탄하므로, 특수 선형군 SL(n,'''C''')의 부분군으로 국소적으로 축약될 수 있다. 그러나 켈러 다양체는 이미 U(n) 안에 홀로노미를 가지므로, 리치 평탄한 켈러 다양체의 (제한된) 홀로노미는 SU(n) 안에 포함된다.

켈러 다양체는 리치 텐서가 계량 텐서에 비례하는, 즉 어떤 상수 λ에 대해 $R = \lambda g$ 일 경우, 이 계량을 '''켈러-아인슈타인''' (혹은 아인슈타인-켈러) 계량이라고 부른다. 이 명칭은 알베르트 아인슈타인이 우주 상수에 대해 생각한 것에 기인한다.

티에리 오반과 야우싱퉁은 천 특성류가 c₁ = 0인 콤팩트한 '''켈러 다양체'''는 유일한 리치 평탄한 계량이 각각의 켈러류에 있다는 것을 사용하여 칼라비 추측을 증명했다.

6. 역사

켈러 다양체의 개념은 독일의 수학자인 에리히 켈러가 1932년에 도입하였다.^[30]^[31]

이후 윌리엄 밸런스 더글러스 호지가 켈러 다양체 위의 호지 이론을 정의하였고, 켈러 항등식들을 발견하였다.^[32]^[33]

7. 응용

켈러 다양체에서 리치 텐서가 계량 텐서에 비례하는 경우, 즉 어떤 상수 λ에 대해 $R=\lambda g$ 인 경우, 이 계량을 '''켈러-아인슈타인'''(혹은 아인슈타인-켈러) 계량이라고 부른다.^[1] 이 명칭은 알베르트 아인슈타인이 우주 상수에 대해 생각한 것에서 유래한다.^[1] 더 자세한 내용은 아인슈타인 다양체 문서를 참조하라.

아인슈타인성은 리만 다양체에 대해서도 정의할 수 있다.^[1] ''X''가 켈러이면, 크리스토펠 기호 $\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}$ 가 0이 되어 리치 텐서가 매우 간소화된다.^[1] 따라서 켈러 조건은 리치 텐서와 깊이 관련된다.^[1] 실제로 오반(Thierry Aubin)과 야우싱퉁(Shing-Tung Yau)은 천 특성류가 c₁ = 0인 콤팩트한 '''켈러 다양체'''는 유일하게 리치가 평탄한 계량이 각각의 켈러류에 있다는 것을 사용하여 칼라비 추측을 증명했다.^[1] 그러나 켈러 다양체가 비콤팩트인 경우에는 상황이 더욱 복잡해지며, 몇몇 연구가 있지만 최종적인 결과는 얻어지지 않았다.^[1]

참조

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_[15] 논문 On the $\partial\overline {\partial}$ -Lemma and Bott-Chern cohomology
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_[25] 서적 Lectures on Symplectic Geometry Springer
_[26] 서적 Calabi-Yau Varieties: Arithmetic, Geometry and Physics Springer
_[27] 서적 Fundamental Groups of Compact Kähler Manifolds http://www.ams.org/b[...] American Mathematical Society 1996
_[28] 서적 The fundamental group of Kähler manifolds http://www.pagines.m[...] 바르셀로나 대학교 1997
_[29] 저널 Real homotopy theory of Kähler manifolds 1975
_[30] 저널 Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik 1933-12
_[31] MacTutor Erich Kähler 2006-11
_[32] 저널 Harmonic integrals associated with algebraic varieties 1935
_[33] 서적 Theory and applications of harmonic integrals Cambridge University Press 1941

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