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아인슈타인 다양체

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목차

1. 개요

아인슈타인 다양체는 리치 곡률이 계량 텐서에 비례하는 리만 다양체이다. 켈러 다양체와 사사키 다양체는 각각 켈러-아인슈타인 다양체, 사사키-아인슈타인 다양체라고 불린다. 일반 상대성 이론에서 우주 상수를 포함하는 아인슈타인 방정식의 진공 해는 아인슈타인 다양체에 해당하며, 시공간의 차원이 3 이상일 때, 에너지-운동량 텐서가 0인 경우 아인슈타인 방정식은 아인슈타인 다양체를 이룬다. 1, 2차원 준 리만 다양체, 단면 곡률이 일정한 다양체, 복소수 사영 공간, 칼라비-야우 다양체 등이 아인슈타인 다양체의 예시이며, \mathbb S^1 \times \mathbb S^2, \mathbb S^1 \times \mathbb S^3 등은 아인슈타인 다양체로 만들 수 없다. 아인슈타인 다양체는 양자 중력의 중력 인스턴턴, 끈 이론, M-이론, 슈퍼중력, 초대칭을 가진 비선형 σ-모델 등 다양한 분야에 응용된다.

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아인슈타인 다양체
정의
정의아인슈타인 방정식의 해가 되는 리만 다양체. 진공 아인슈타인 다양체는 진공 아인슈타인 방정식을 만족하는 리만 다양체이다.
상세 내용
설명아인슈타인 다양체는 아인슈타인 방정식을 만족하는 리만 다양체이다.
이는 일반 상대성 이론에서 중요한 역할을 한다.
조건리치 곡률 텐서가 계량 텐서에 상수배인 리만 다양체.
즉, 리치 곡률이 계량과 비례하는 다양체.
수식r c d = k g c d rc = kgcd (여기서 k는 상수)
예시
예시칼라비-야우 다양체
케플러 다양체
구면 (일정한 곡률을 갖는 공간 형태)
쌍곡 공간 (일정한 음의 곡률을 갖는 공간 형태)
토릭 다양체 (특정 조건을 만족하는 복소수 다양체)
쿼터니언-케흘러 다양체
사사키 다양체
진공 아인슈타인 다양체 예시슈바르츠실트 해
커 해
프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량
성질
성질아인슈타인 다양체의 바일 텐서는 자기 쌍대 또는 반 자기 쌍대이다.
아인슈타인 4-다양체는 복소 구조를 가진다.
응용
응용끈 이론
초중력 이론
일반 상대성 이론
참고 문헌
참고 문헌Arthur L. Besse, Einstein Manifolds, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Springer, 1987, ISBN 978-3-540-74120-6, ISSN 1431-0821
T. Anderson, A survey of Einstein metrics on 4-manifolds (영어)
Andrea Sambusetti, Einstein manifolds and obstructions to the existence of Einstein metrics (영어)

2. 정의

준 리만 다양체 (M,g)가 주어졌을 때, 그 리치 곡률 \operatorname{Ric}을 정의할 수 있다. 이는 (0,2)차 텐서장이다. 만약 다음 조건을 만족시키는 상수 k\in\mathbb R가 존재한다면, (M,g)를 '''아인슈타인 다양체'''라고 한다.

:\operatorname{Ric}_{\mu\nu}=kg_{\mu\nu}

여기서 물론 k = (g^{\mu\nu}\operatorname{Ric}_{\mu\nu})/(\dim M) = (\operatorname{tr}\operatorname{Ric}) / (\dim M)이다.

즉, 만약 리치 곡률 텐서에서 대각합 성분을 제거한 텐서

:\operatorname{\widetilde{Ric}} = \operatorname{Ric} - \frac1{\dim M}(\operatorname{tr}\operatorname{Ric})g

를 정의한다면, 다양체가 아인슈타인 다양체일 필요 충분 조건은 무대각합 리치 곡률 텐서가 0인 것이다.

:\operatorname{\widetilde{Ric}} = 0

켈러 다양체나 사사키 다양체가 위 조건을 만족시키는 경우, '''켈러-아인슈타인 다양체''' 또는 '''사사키-아인슈타인 다양체'''라고 부른다.

국소 좌표에서 (M,g)가 아인슈타인 다양체가 되기 위한 조건은 다음과 같다.

:R_{ab} = kg_{ab}

양변의 대각합을 구하면 아인슈타인 다양체의 비례 상수 k는 스칼라 곡률 R과 다음의 관계를 가진다.

:R = nk

여기서 n은 M의 차원이다.

3. 성질

아인슈타인 다양체는 타원형 편미분 방정식의 해이므로, 매끄러운 함수이다.[4] 또한, 콤팩트 아인슈타인 리만 다양체는 오일러 지표가 음수가 아니며, 특이 호몰로지의 교차 형식 부호수와 관련된 부등식을 만족한다(히친-소프 부등식).[6]

3. 1. 매끄러움

임의의 리만 다양체 (M,g)에서 국소적으로 조화 좌표계를 사용할 수 있다. 즉, 좌표 함수 x^1,\dotsc,x^n에 대하여 \Delta x^i = 0이다. (여기서 \Delta는 라플라스-벨트라미 연산자이다.) 이 좌표계에서 진공 아인슈타인 방정식은 -\frac12\Delta g_{ij} + Q(g,\partial g) = kg_{ij}의 꼴이며, Q는 g와 \partial g에 대한 2차 형식이다. 리만 계량이 양의 정부호라면, 이는 타원형 편미분 방정식이므로, 그 해는 매끄러운 함수이다.[4]

3. 2. 호몰로지

콤팩트 아인슈타인 리만 다양체는 오일러 지표가 음수가 아니다. 구체적으로, 2차 특이 호몰로지의 교차 형식의 부호수가 \tau이며, 오일러 지표가 \chi라면, 다음과 같은 부등식이 성립한다.[6]

:|\tau| \le \frac 23 \chi

4. 일반 상대성 이론과의 관계

일반 상대성 이론에서, 시공간의 차원이 3 이상일 때, 우주 상수 \Lambda를 가진 진공 해는 아인슈타인 다양체에 해당한다. 물질의 에너지-운동량 텐서가 0인 경우, 아인슈타인 방정식은 다음과 같다.[1]

:R_{\mu\nu}-\frac12g_{\mu\nu}g^{\rho\sigma}R_{\rho\sigma}+g_{\mu\nu}\Lambda=0

따라서

:R_{\mu\nu}=\frac{2\Lambda}{n-2}g_{\mu\nu}

임을 알 수 있다. 여기서 n=\dim M (시공간의 차원)이다. 즉, n>2인 경우, 일반 상대성 이론에서의 진공은 k=2\Lambda/(n-2)인 준 리만 아인슈타인 다양체를 이룬다.

일반 상대성 이론에서, 우주 상수 \Lambda를 포함하는 아인슈타인 방정식은 다음과 같다.

:R_{ab} - \frac{1}{2}g_{ab}R + g_{ab}\Lambda = \kappa T_{ab},

여기서 \kappa는 아인슈타인 중력 상수이다. 스트레스-에너지 텐서 T_{ab}는 기본 시공간의 물질과 에너지의 내용을 제공한다. 진공 (물질이 없는 시공간 영역)에서 T_{ab}=0이고, 아인슈타인 방정식은 다음과 같은 형태로 다시 쓸 수 있다 (n>2라고 가정).

:R_{ab} = \frac{2\Lambda}{n-2}\,g_{ab} .

따라서 아인슈타인 방정식의 진공 해는 우주 상수에 비례하는 k를 가진 (로렌츠) 아인슈타인 다양체이다.

5. 예시

모든 1, 2차원 준 리만 다양체는 아인슈타인 다양체이다. 단면 곡률이 일정한 다양체는 아인슈타인 다양체이다. 예를 들어 다음과 같다.



푸비니-슈투디 계량을 갖춘 복소수 사영 공간은 아인슈타인 다양체이다. 칼라비-야우 다양체, 초켈러 다양체, 사원수 켈러 다양체 또한 아인슈타인 다양체이다.

5. 1. 반례

다음과 같은 다양체 위에는 임의의 양의 정부호 리만 계량을 주더라도 아인슈타인 다양체로 만들 수 없다.[5]

  • \mathbb S^1 \times \mathbb S^2
  • \mathbb S^1 \times \mathbb S^3[6]
  • \mathbb T^4 \# \mathbb T^4 (두 4차원 원환면의 연결합)[6]
  • \underbrace{\mathbb C\mathrm P^2\#\dotsb\#\mathbb C\mathrm P^2}_n, n\ge4[6]

6. 응용

4차원 리만 다양체인 아인슈타인 다양체는 양자 중력의 중력 인스턴턴으로서 수리 물리학에서도 중요하다.[2] "중력 인스턴턴"이라는 용어는 때때로 바일 텐서가 자기 쌍대인 아인슈타인 4-다양체로 제한되며, 메트릭이 유한 몫 유클리드 4-공간의 표준 메트릭에 점근한다는 가정이 매우 흔하다. 미분 기하학에서, 단일 연결 자기 쌍대 아인슈타인 4-다양체는 리치 평탄한 경우 4차원, 역지향 초켈러 다양체와 일치하지만, 그렇지 않은 경우 때때로 사원수 켈러 다양체라고 불린다.

고차원 로렌츠 아인슈타인 다양체는 끈 이론, M-이론, 슈퍼중력과 같은 현대 중력 이론에서 사용된다. 초켈러 및 사원수 켈러 다양체(아인슈타인 다양체의 특별한 종류)는 초대칭을 가진 비선형 σ-모델의 대상 공간으로 물리학에도 적용된다.

참조

[1] 문서 κ should not be confused with k.
[2] 문서 Besse
[3] 서적 Einstein Manifolds Springer
[4] 저널 A survey of Einstein metrics on 4-manifolds
[5] 저널 Einstein manifolds and obstructions to the existence of Einstein metrics http://www1.mat.unir[...] 2019-11-17
[6] 저널 Compact four-dimensional Einstein manifolds https://projecteucli[...] 1974


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