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꼭짓점

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목차

1. 개요

꼭짓점은 기하학, 그래프 이론, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야에서 사용되는 용어이다. 기하학에서 꼭짓점은 각, 다각형, 다면체 등에서 두 변 또는 면이 만나는 점을 의미한다. 그래프 이론에서는 그래프를 구성하는 기본 단위인 노드를, 컴퓨터 그래픽스에서는 객체를 표현하는 데 사용되는 삼각화된 다면체의 점을 가리킨다. 또한, 오일러 지표와 관련하여 다면체의 꼭짓점 수와 변, 면의 수 사이의 관계를 나타내는 데 사용되기도 한다.

2. 기하학에서의 꼭짓점

기하학에서 꼭짓점은 도형의 형태와 성질을 결정하는 핵심적인 요소이다.


  • 각뿔과 원뿔에서 꼭짓점은 보통 밑면에 대한 꼭짓점을 말한다. 즉, 각뿔 측면에 있는 각 삼각형의 공통인 꼭짓점을 각뿔의 꼭짓점, 원뿔의 밑면 위에 없는 축의 끝점을 원뿔의 꼭짓점이라 한다.
  • 포물선에서 꼭짓점은 포물선과 그 축과의 교점이다.
  • 쌍곡선에서 꼭짓점은 2개의 초점을 지나는 직선과 곡선과의 교점이며, 2개를 가진다.
  • 타원에서 꼭짓점은 장축과 단축이 곡선과 만나는 4점이다.
  • 다각형 · 다면체와 같은 폴리토프에서 '''꼭짓점'''은 n차원 폴리토프의 n개 이상의 (n-1)차원 (초)면들이 교차하는 점이다. 다각형의 경우, 꼭짓점의 수로 분류한다. 예를 들어, n다각형은 n개의 꼭짓점을 갖는다.

2. 1. 각의 꼭짓점

평면 위의 한 점 O를 끝점으로 하는 두 개의 반직선 OA, OB를 그 평면 위에 그었을 때, ∠AOB의 점 O를 각의 '''꼭짓점'''이라 한다. 또, 두 개의 반직선 OA, OB를 각의 변이라 한다. 다각형에서는 둘레의 두 변이 만나는 점이 꼭짓점이며, 한 개의 꼭짓점에서 만나는 두 개의 변이 이루는 내부의 각을 내각이라 한다. 내각을 때로는 꼭지각이라고도 한다.

이등변삼각형에서 꼭짓점이라고 할 때는 두 개의 등변이 만나는 점을 말하며, 이 꼭짓점에 대한 내각을 특히 꼭지각이라 한다.

각의 꼭짓점은 두 개의 반직선이 시작하거나 만나는 점, 두 선분이 만나거나 겹치는 점, 두 선이 교차하는 점, 또는 한 곳에서 만나는 두 개의 직선 "변"을 만들어내는 반직선, 선분 및 선의 적절한 조합이다.[3][4]

2. 2. 다각형의 꼭짓점

다각형에서 꼭짓점은 둘레의 두 변이 만나는 점이다.[1] 1개의 꼭짓점에서 만나는 2개의 변이 이루는 내부의 각을 내각(內角)이라 하며, 내각을 꼭지각이라고도 한다. 이등변삼각형에서 두 등변이 만나는 점을 꼭짓점이라고 하며, 이 꼭짓점에 대한 내각을 특히 꼭지각이라 한다.

다각형의 꼭짓점은 내각이 π 라디안 (180°, 두 직각) 이하일 경우 "볼록"이라고 하고, 그렇지 않으면 "오목" 또는 "반사"라고 한다.[5]

단순 다각형의 부분


단순 다각형의 주요 꼭짓점은 '귀'와 '입'의 두 가지 유형으로 나뉜다.[9]

  • '''귀''': 단순 다각형의 주요 꼭짓점 $x_i$를 연결하는 대각선 $[x_{(i-1)}, x_{(i+1)}]$이 $P$ 안에 완전히 포함되어 있으면 귀라고 한다. (볼록 다각형 참조) 두 개의 귀 정리에 따르면 모든 단순 다각형은 적어도 두 개의 귀를 갖는다.[10]
  • '''입''': 단순 다각형의 주요 꼭짓점 $x_i$에 대해, 대각선 $[x_{(i-1)}, x_{(i+1)}]$가 $P$의 경계 바깥에 위치하면 입이라고 한다.

2. 3. 다면체의 꼭짓점

다면체에서 '''꼭짓점'''은 세 개 이상의 면이 만나는 점이다. 각뿔과 원뿔에서는 밑면에 대한 꼭짓점을 말한다. 즉, 각뿔의 측면에 있는 각 삼각형의 공통인 꼭짓점을 각뿔의 꼭짓점, 원뿔의 밑면 위에 없는 축의 끝점을 원뿔의 꼭짓점이라 한다. 포물선의 꼭짓점은 포물선과 그 축과의 교점이다. 쌍곡선에서는 2개의 초점을 지나는 직선과 곡선과의 교점이 꼭짓점이며, 2개를 가진다. 타원에서는 장축과 단축이 곡선과 만나는 4점이 꼭짓점이다.

2. 4. 평면 타일링의 꼭짓점

평면 타일링 또는 테셀레이션의 꼭짓점은 셋 이상의 타일이 만나는 점이다.[8] 일반적으로 테셀레이션의 타일은 다각형이고 테셀레이션의 꼭짓점은 타일의 꼭짓점이기도 하지만, 항상 그렇지는 않다. 더 일반적으로, 테셀레이션은 다포체나 다면체의 면과 마찬가지로 일종의 위상적 세포 복합체로 볼 수 있다. 단순 복합체와 같은 다른 종류의 복합체의 꼭짓점은 0차원 면이다.

3. 그래프 이론에서의 꼭짓점

그래프는 꼭짓점과 변으로 구성되어 있는 수학적 대상이다. 다면체의 변과 꼭짓점은 그래프로 볼 수 있으므로, 이는 폴리토프의 꼭짓점 개념의 일반화이다.[1] 그래프 이론에서 꼭짓점은 두 개 미만의 인접 모서리를 가질 수 있다. 또한 기하학적 꼭짓점과 곡선의 꼭짓점(극단적인 곡률의 점) 사이에도 관련이 있는데, 어떤 의미에서 다각형의 꼭짓점은 무한 곡률의 점이며, 다각형이 매끄러운 곡선으로 근사되면 각 다각형 꼭짓점 근처에 극단적인 곡률의 점이 있게 된다.[7]

4. 컴퓨터 그래픽스에서의 꼭짓점

컴퓨터 그래픽스에서 객체는 종종 삼각화된 다면체로 표현되며, 여기서 객체의 꼭짓점은 세 개의 공간 좌표뿐만 아니라 색상, 반사율 속성, 텍스처, 표면 법선과 같이 객체를 올바르게 렌더링하는 데 필요한 다른 그래픽 정보와 연결된다.[11] 이러한 속성은 정점 셰이더에 의해 렌더링에 사용되며, 이는 정점 파이프라인의 일부이다.

5. 오일러 지표와 꼭짓점

볼록 다면체의 표면은 오일러 지표

: V - E + F = 2

를 갖는다. 여기서 V는 꼭짓점의 수, E는 변의 수, F는 면의 수이다. 이 식은 오일러의 다면체 공식으로 알려져 있다. 따라서 꼭짓점의 수는 변의 수에서 면의 수를 뺀 값보다 2 더 많다. 예를 들어, 정육면체는 12개의 변과 6개의 면을 가지므로, 이 공식에 따르면 8개의 꼭짓점을 갖는다.

참조

[1] Mathworld Vertex
[2] 웹사이트 Vertices, Edges and Faces https://www.mathsisf[...] 2020-08-16
[3] 웹사이트 What Are Vertices in Math? https://sciencing.co[...] 2020-08-16
[4] 서적 The Thirteen Books of Euclid's Elements https://archive.org/[...] Dover Publications
[5] 서적 Fundamentals of Discrete Element Methods for Rock Engineering: Theory and Applications Elsevier Science
[6] 서적 Abstract Regular Polytopes Cambridge University Press
[7] 서적 Discrete differential geometry Birkhäuser Verlag AG
[8] 서적 Introduction to the Mathematics of Quasicrystals (Aperiodicity and Order, Vol 2) Academic Press
[9] 서적 Discrete and Computational Geometry http://cs.smith.edu/[...] Princeton University Press
[10] 간행물 Polygons have ears
[11] 웹사이트 Clockworkcoders Tutorials: Vertex Attributes http://www.opengl.or[...] Khronos Group 2009-01-26


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