중심 닮음 변환

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 확대 변환
3. 성질
4. 예
5. 응용
- 5.1. 그래프적 구성
- 5.2. 판토그래프
6. 동차 좌표계
참조

1. 개요

중심 닮음 변환은 체 K 위의 아핀 공간 A에서 점 a₀를 중심으로 하고 상수 λ를 비로 하여 정의되는 변환이다. 이는 특히 λ=1일 때 항등 함수, λ=-1일 때 중심점에 대한 반사와 같다. 확대 변환은 아핀 변환이며, 그 선형 변환 성분은 일반 선형군의 중심에 속하며, 중심 닮음 변환이거나 평행 이동이다. 중심 닮음 변환은 모든 직선을 평행한 직선으로 사상하며, 각의 크기를 보존하고 두 선분 길이의 비를 보존한다. 이러한 성질에 의해 삼각형은 닮음인 삼각형으로, 원은 원으로, 타원은 유사한 타원으로 사상된다. 중심 닮음 변환은 아핀 군의 정규 부분군을 이루며 전단사 아핀 변환이다. 중심 닮음 변환은 그래프적 구성, 판토그래프, 동차 좌표계 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 정의

체 $K$ 위의 아핀 공간 $A$ 에서, 점 $a_0\in A$ 와 0이 아닌 상수 $\lambda\in K\setminus\{0\}$ 에 대하여, $a_0$ 을 중심으로 하고 $\lambda$ 를 비로 하는 $A$ 의 '''중심 닮음 변환'''은 다음과 같이 정의된다.

: $H_{a_0,\lambda}\colon A\to A$

: $H_{a_0,\lambda}\colon a\mapsto a_0+\lambda(a-a_0)\qquad(a\in A)$

이는 $\lambda=1$ 일 경우 항등 함수가 되며, $\lambda=-1$ 일 경우에는 중심점에 대한 반사와 같게 된다.

2. 1. 확대 변환

체

K

위의 아핀 공간

A

위 함수

D\colon A\to A

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는

D

를 '''확대 변환'''(dilatation^영어)이라고 한다.

다음 두 조건을 만족시킨다.
* $D$ 는 아핀 변환이다.
* $D$ 의 선형 변환 성분은 일반 선형군 $\operatorname{GL}(V(A))$ 의 중심 $K\setminus\{0\}\subseteq\operatorname{GL}(V(A))$ 의 원소이다. (여기서 $V(A)$ 는 $A$ 의 평행 이동들로 구성된 벡터 공간이다.)
$D$ 는 중심 닮음 변환이거나 평행 이동이다. (사실, 평행 이동은 무한원점을 중심으로 하는 중심 닮음 변환으로 생각할 수 있다.)

3. 성질

중심 닮음 변환은 어떤 차원에서도 다음 성질을 유지한다.

'''선'''은 평행선으로 대응된다. 따라서 '''각'''은 변하지 않는다.
'''두 선분 길이의 비'''는 보존된다.

이러한 성질들은 중심 닮음 변환이 '''닮음 변환'''임을 보여준다.

계산의 편의를 위해 중심

S

를 원점이라고 가정하면, 중심 닮음 변환은

\mathbf x \to k\mathbf x

로 표현된다. 매개변수 방정식

\mathbf x=\mathbf p +t\mathbf v

를 갖는 선

g

는

\mathbf x=k(\mathbf p+t\mathbf v)= k\mathbf p+tk\mathbf v

를 갖는 점 집합

g'

으로 대응되는데, 이는

g

에 평행한 선이다.

두 점

P:\mathbf p,\;Q:\mathbf q

사이의 거리는

|\mathbf p -\mathbf q|

이고, 그들의 상 사이의 거리는

|k\mathbf p -k\mathbf q|=|k||\mathbf p-\mathbf q|

이다. 따라서 두 선분의 '''비'''는 변하지 않는다.

S\ne O

인 경우에도 계산은 유사하지만 조금 더 길어진다.

결과적으로, 삼각형은 닮음인 삼각형으로 대응된다. 중심 닮음 변환에 의한 원의 상은 원이며, 타원의 상은 타원과 닮음이다.

중심 $S$ 가 ''같은'' 두 닮음 변환의 합성은 다시 중심이 $S$ 인 닮음 변환이다. 중심이 $S$ 인 닮음 변환은 군을 이룬다.
중심이 ''다른'' $S_1, S_2$ 이고 비율이 $k_1, k_2$ 인 두 닮음 변환의 합성은 다음과 같다.
$k_1k_2 \ne 1$ 인 경우, 비율이 $k_1k_2$ 이고 선 $\overline{S_1S_2}$ 위에 중심을 갖는 ''닮음 변환''이다.
$k_1k_2 = 1$ 인 경우, 방향이 $\overrightarrow{S_1S_2}$ 인 ''평행이동''이다. 특히, $k_1 = k_2 = -1$ 인 경우(점대칭)이다.

중심이

S_1, S_2

이고

:

\sigma_1: \mathbf{x} \to \mathbf{s}_1 + k_1(\mathbf{x} - \mathbf{s}_1),

:

\sigma_2: \mathbf{x} \to \mathbf{s}_2 + k_2(\mathbf{x} - \mathbf{s}_2)

인 두 닮음 변환

\sigma_1, \sigma_2

의 합성

\sigma_2\sigma_1

에 대해 점

X : \mathbf{x}

의 상에 대한 계산은 다음과 같다.

:

(\sigma_2\sigma_1)(\mathbf{x}) = \mathbf{s}_2 + k_2(\mathbf{s}_1 + k_1(\mathbf{x} - \mathbf{s}_1) - \mathbf{s}_2)

:

\qquad \qquad \ = (1 - k_1)k_2\mathbf{s}_1 + (1 - k_2)\mathbf{s}_2 + k_1k_2\mathbf{x}

.

따라서, 합성은 다음과 같다.

$k_1k_2 = 1$ 인 경우, 벡터 $(1 - k_2)(\mathbf{s}_2 - \mathbf{s}_1)$ 에 의해 방향이 $\overrightarrow{S_1S_2}$ 인 평행이동이다.
$k_1k_2 \ne 1$ 인 경우, 점

:

S_3: \mathbf{s}_3 = \frac{(1 - k_1)k_2\mathbf{s}_1 + (1 - k_2)\mathbf{s}_2}{1 - k_1k_2} = \mathbf{s}_1 + \frac{1 - k_2}{1 - k_1k_2}(\mathbf{s}_2 - \mathbf{s}_1)

은 ''고정점''(움직이지 않음)이며 합성은

:

\sigma_2\sigma_1: \ \mathbf{x} \to \mathbf{s}_3 + k_1k_2(\mathbf{x} - \mathbf{s}_3)

.

는 중심이

S_3

이고 비율이

k_1k_2

인 ''닮음 변환''이다.

S_3

는 선

\overline{S_1S_2}

위에 있다.

닮음 변환과 평행이동의 합성은 닮음 변환이다.

닮음 변환

:

\sigma: \mathbf{x} \to \mathbf{s} + k(\mathbf{x} - \mathbf{s}), \; k \ne 1, \;

과 평행이동

:

\tau: \mathbf{x} \to \mathbf{x} + \mathbf{v}

의 합성은

:

\tau\sigma: \mathbf{x} \to \mathbf{s} + \mathbf{v} + k(\mathbf{x} - \mathbf{s})

:

= \mathbf{s} + \frac{\mathbf{v}}{1 - k} + k\left(\mathbf{x} - (\mathbf{s} + \frac{\mathbf{v}}{1 - k})\right)

으로, 중심이

\mathbf{s}' = \mathbf{s} + \frac{\mathbf{v}}{1 - k}

이고 비율이

k

인 닮음 변환이다.

3. 1. 대수적 성질

아핀 공간

A

위의 확대 변환들은 아핀 군의 정규 부분군을 이룬다. 특히, 모든 중심 닮음 변환은 전단사 아핀 변환이다.

3. 2. 기하학적 성질

중심 닮음 변환은 다음과 같은 성질을 갖는다.

'''선'''은 평행선으로 사상된다. 따라서 '''각'''은 변하지 않는다.
'''두 선분 길이의 비'''는 보존된다.

두 속성은 다음을 보여준다.

중심 닮음 변환은 '''닮음 변환'''이다.

''속성의 유도:''

계산을 쉽게 하기 위해 중심

S

는 원점이라고 가정한다.

\mathbf x \to k\mathbf x

. 매개변수 방정식

\mathbf x=\mathbf p +t\mathbf v

를 갖는 선

g

는 방정식

\mathbf x=k(\mathbf p+t\mathbf v)= k\mathbf p+tk\mathbf v

를 갖는 점 집합

g'

로 사상되는데, 이는

g

에 평행한 선이다.

두 점

P:\mathbf p,\;Q:\mathbf q

사이의 거리는

|\mathbf p -\mathbf q|

이고, 그들의 상 사이의 거리는

|k\mathbf p -k\mathbf q|=|k||\mathbf p-\mathbf q|

이다. 따라서, 두 선분의 '''비''' (몫)는 변하지 않는다.

S\ne O

의 경우, 계산은 유사하지만 약간 더 길다.

결과: 삼각형은 닮음인 삼각형으로 사상된다. 중심 닮음 변환에 의한 원의 상은 원이다. 타원의 상은 유사한 타원이다. 즉, 두 축의 비는 변하지 않는다.

3. 3. 합성

중심 $S$ 가 ''같은'' 두 닮음 변환의 합성은 다시 중심이 $S$ 인 닮음 변환이다. 중심이 $S$ 인 닮음 변환은 군을 이룬다.
중심이 ''다른'' $S_1, S_2$ 이고 비율이 $k_1, k_2$ 인 두 닮음 변환의 합성은 다음과 같다.
$k_1k_2 \ne 1$ 의 경우, 비율이 $k_1k_2$ 이고 선 $\overline{S_1S_2}$ 위에 중심을 갖는 ''닮음 변환''이다.
$k_1k_2 = 1$ 의 경우, 방향이 $\overrightarrow{S_1S_2}$ 인 ''평행이동''이다. 특히, $k_1 = k_2 = -1$ 인 경우(점대칭)이다.

''유도:''

중심이

S_1, S_2

이고

:

\sigma_1: \mathbf{x} \to \mathbf{s}_1 + k_1(\mathbf{x} - \mathbf{s}_1),

:

\sigma_2: \mathbf{x} \to \mathbf{s}_2 + k_2(\mathbf{x} - \mathbf{s}_2)

인 두 닮음 변환

\sigma_1, \sigma_2

의 합성

\sigma_2\sigma_1

에 대해 점

X : \mathbf{x}

의 상에 대한 계산은 다음과 같다.

:

(\sigma_2\sigma_1)(\mathbf{x}) = \mathbf{s}_2 + k_2(\mathbf{s}_1 + k_1(\mathbf{x} - \mathbf{s}_1) - \mathbf{s}_2)

:

\qquad \qquad \ = (1 - k_1)k_2\mathbf{s}_1 + (1 - k_2)\mathbf{s}_2 + k_1k_2\mathbf{x}

.

따라서, 합성은 다음과 같다.

$k_1k_2 = 1$ 인 경우, 벡터 $(1 - k_2)(\mathbf{s}_2 - \mathbf{s}_1)$ 에 의해 방향이 $\overrightarrow{S_1S_2}$ 인 평행이동이다.
$k_1k_2 \ne 1$ 인 경우, 점

:

S_3: \mathbf{s}_3 = \frac{(1 - k_1)k_2\mathbf{s}_1 + (1 - k_2)\mathbf{s}_2}{1 - k_1k_2} = \mathbf{s}_1 + \frac{1 - k_2}{1 - k_1k_2}(\mathbf{s}_2 - \mathbf{s}_1)

은 ''고정점''(움직이지 않음)이며 합성은

:

\sigma_2\sigma_1: \ \mathbf{x} \to \mathbf{s}_3 + k_1k_2(\mathbf{x} - \mathbf{s}_3)

.

는 중심이

S_3

이고 비율이

k_1k_2

인 ''닮음 변환''이다.

S_3

는 선

\overline{S_1S_2}

위에 있다.

닮음 변환과 평행이동의 합성은 닮음 변환이다.

''유도:''

닮음 변환

:

\sigma: \mathbf{x} \to \mathbf{s} + k(\mathbf{x} - \mathbf{s}), \; k \ne 1, \;

과 평행이동

:

\tau: \mathbf{x} \to \mathbf{x} + \mathbf{v}

의 합성은

:

\tau\sigma: \mathbf{x} \to \mathbf{s} + \mathbf{v} + k(\mathbf{x} - \mathbf{s})

:

= \mathbf{s} + \frac{\mathbf{v}}{1 - k} + k\left(\mathbf{x} - (\mathbf{s} + \frac{\mathbf{v}}{1 - k})\right)

으로, 중심이

\mathbf{s}' = \mathbf{s} + \frac{\mathbf{v}}{1 - k}

이고 비율이

k

인 닮음 변환이다.

4. 예

3차원 유클리드 공간에서 원점을 중심으로 하고 닮음비가 2인 중심 닮음 변환은 (x, y, z)를 (2x, 2y, 2z)로 변환한다.

5. 응용

판토그래프는 컴퓨터가 보편화되기 전까지 도면의 축척 변환을 위해 널리 사용된 제도 기구이다. 컴퍼스와 유사하게 생겼다.^[1]
구조 및 작동 원리:판토그래프는 4개의 막대로 구성된 움직이는 평행사변형 ( $P_0, Q_0, H, P$ )을 기본으로 한다. $Q_0$ 에서 만나는 두 막대는 연장되어 있으며, 이 연장된 막대에 중심 닮음 변환의 중심( $S$ )과 비율( $k$ )을 결정하는 두 점 $S$ , $Q$ 가 위치한다.

비율 설정: $|SQ_0|=k|SP_0|$ 및 $|QQ_0|=k|HQ_0|$ ( $|SQ_0|=\tfrac{k}{k-1}|P_0Q_0|$ 과 동치)이 되도록 점 $S$ , $Q$ 를 잡는다. 중심 $S$ 의 위치를 직접 지정할 수도 있으며, 이 경우 비율은 $k=|SQ_0|/|SP_0|$ 이다.
작동 방식: 점 $S$ 는 고정하고 점 $P$ 를 움직이면, 절편 정리에 의해 점 $Q$ 는 $S$ 를 중심으로 $P$ 를 $k$ 배 확대 또는 축소한 위치로 이동한다. 즉, $S$ , $P$ , $Q$ 는 항상 공선점을 유지하며, $|SQ|=k|SP|$ 관계가 성립한다.

따라서 판토그래프는 중심이

S

이고 비율이

k

인 중심 닮음 변환을 구현하는 기구이다.^[1]

5. 1. 그래프적 구성

중심 $S$를 갖는 중심 닮음 변환에서 점 $P_1$의 상 $Q_1$이 주어지면(그림 참조), 선분 $SP_1$ 위에 있지 않은 두 번째 점 $P_2$의 상 $Q_2$는 절편 정리를 사용하여 그래프로 구성할 수 있다. $Q_2$는 두 선 $\overline{P_1P_2}$와 $\overline{SP_2}$의 공통점이다. $P_1$, $Q_1$과 공선상의 점의 상은 $P_2$, $Q_2$를 사용하여 결정할 수 있다.

5. 2. 판토그래프

컴퓨터가 보편화되기 전에는 도면의 축척 변환을 판토그래프를 사용하여 수행했다. 판토그래프는 컴퍼스와 유사한 제도 기구였다.^[1]
구조 및 기하학적 배경:판토그래프는 다음과 같은 방법으로 만들 수 있다.

1. 4개의 막대를 가져와 정점

P_0, Q_0, H, P

를 갖는 움직이는 평행사변형을 조립한다. 이때,

Q_0

에서 만나는 두 막대는 그림과 같이 다른 쪽 끝으로 연장되도록 한다.

2. 비율

k

를 선택한다.

3. 연장된 막대에 두 점

S, Q

를 표시하여

|SQ_0|=k|SP_0|

및

|QQ_0|=k|HQ_0|

이 되도록 한다. 이는

|SQ_0|=\tfrac{k}{k-1}|P_0Q_0|

일 경우에 해당한다. (

k

대신 중심

S

의 위치를 지정할 수 있다. 이 경우 비율은

k=|SQ_0|/|SP_0|

이다.)

4. 점

S

에서 회전 가능한 움직이는 막대를 부착한다.

5. 점

P

의 위치를 변경하고 매번 점

Q

를 표시한다.

|SQ_0|/|SP_0|=|Q_0Q|/|PP_0|

이므로 (그림 참조) 절편 정리로부터 점

S, P, Q

가 공선점(한 선 위에 놓임)이고 방정식

|SQ|=k|SP|

가 성립한다는 것을 알 수 있다. 이는 매핑

P\to Q

가 중심이

S

이고 비율이

k

인 중심 닮음 변환임을 보여준다.^[1]

6. 동차 좌표계

중심 닮음 변환 $\sigma: \mathbf x \to \mathbf s+k(\mathbf x -\mathbf s)$ 는 동차 좌표계에서 다음과 같은 행렬로 표현될 수 있다.

: $\begin{pmatrix}k & 0 & (1-k)u\\0 & k & (1-k)v\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

참조

_[1] 서적
_[2] 서적

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