직교행렬

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 구성
6. 수치 선형 대수에서의 활용
7. 추가 개념
참조

1. 개요

직교 행렬은 실수 성분을 가지는 정사각 행렬로, 전치 행렬이 역행렬과 같은 행렬을 의미한다. 직교 행렬의 열(또는 행) 벡터들은 정규 직교 기저를 이루며, 내적을 보존하는 선형 변환으로도 정의할 수 있다. 직교 행렬은 정칙 행렬이며, 곱과 역에 대해 닫혀 있다. 직교 행렬 전체의 집합은 직교군 O(n)을, 행렬식이 1인 직교 행렬은 특수 직교군 SO(n)을 이룬다. 직교 행렬은 가역 행렬이며, 역행렬은 자신의 전치 행렬과 같다. 직교 행렬의 행렬식은 +1 또는 -1이며, 고유값은 절댓값이 1인 복소수이다. 직교 행렬은 회전, 반사, 순열 행렬 등으로 구성될 수 있으며, 수치적 안정성이 뛰어나 다양한 행렬 분해와 선형 최소 제곱 문제 해결에 활용된다.

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직교행렬
개요
직교 행렬의 열은 정규 직교 벡터입니다.
정의	열과 행이 정규 직교 벡터인 실수 정사각 행렬
기호	O(n)
다른 이름	직교 변환 행렬
성질
전치 행렬	Qᵀ
역행렬	Q⁻¹
관계	Q⁻¹ = Qᵀ
조건	QᵀQ = QQᵀ = I (여기서 I는 단위 행렬)
활용
변환	벡터의 길이와 각도를 보존하는 선형 변환
예시
2x2 직교 행렬	회전 행렬, 반사 행렬

2. 정의

실수 n × n 행렬 Q에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 Q를 '''직교 행렬'''이라고 정의한다.

$QQ^\operatorname T=Q^\operatorname TQ=1_{n\times n}$ . 즉, $Q$ 의 전치 행렬은 $Q$ 의 역행렬이다.
$Q$ 의 열벡터들은 $\mathbb R^n$ 의 정규 직교 기저를 이룬다.
$Q$ 의 행벡터들은 $\mathbb R^n$ 의 정규 직교 기저를 이룬다.
$\mathbb R^n$ 의 모든 정규 직교 기저 $\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}$ 에 대하여, $\{Q\mathbf e_1,\dots,Q\mathbf e_n\}$ 은 $\mathbb R^n$ 의 정규 직교 기저다.
$\mathbb R^n$ 의 어떤 정규 직교 기저 $\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}$ 에 대하여, $\{Q\mathbf e_1,\dots,Q\mathbf e_n\}$ 은 $\mathbb R^n$ 의 정규 직교 기저다.
임의의 벡터 $\mathbf x,\mathbf y\in\mathbb R^n$ 에 대하여, $(Q\mathbf x)\cdot(Q\mathbf y)=\mathbf x\cdot\mathbf y$
임의의 벡터 $\mathbf x\in\mathbb R^n$ 에 대하여, $(Q\mathbf x)\cdot(Q\mathbf x)=\mathbf x\cdot\mathbf x$

행렬의 전치 행렬과의 곱셈에 대한 시각적 이해. A가 직교 행렬이고 B가 A의 전치 행렬인 경우, 곱 AA^T의 ij-번째 요소는 i≠j인 경우 사라진다. 왜냐하면 A의 i-번째 행이 A의 j-번째 행에 직교하기 때문이다.

3. 성질

모든 직교 행렬은 가역 행렬이며, 그 역행렬은 자신의 전치 행렬과 같다. 직교 행렬의 곱은 항상 직교 행렬이다. n x n 직교 행렬의 집합은 직교군 O(n)을 이룬다. 행렬식이 1인 직교 행렬의 집합은 특수직교군 SO(n)을 이룬다.^[1] 직교 행렬은 유니타리 행렬이며, 따라서 대각화 가능하다. 직교 행렬은 노름을 보존한다.

모든 직교 행렬의 행렬식은 +1 또는 −1이다. 이는 행렬식에 대한 기본적인 사실에서 다음과 같이 유도할 수 있다.

: $1=\det(I)=\det\left(Q^\mathrm{T}Q\right)=\det\left(Q^\mathrm{T}\right)\det(Q)=\bigl(\det(Q)\bigr)^2 .$

n차 행렬 M을 n개의 열 벡터(행 벡터) $v_1, v_2, ... , v_n$ 을 나열한 것으로 간주할 때, 직교 행렬의 정의 M^TM = E는 $v_1, v_2, ... , v_n$ 이 정규 직교 기저가 되는 조건과 동치이다.

n차 직교 행렬 A, n차 열 벡터 '''x'''가 주어질 때, 노름을 ‖•‖로 나타내면, ‖A'''x'''‖ = ‖'''x'''‖이다. 따라서 A에 해당하는 작용소 노름은 ‖ A ‖ = 1이다.

4. 예시

실수 1 × 1 직교 행렬은 [±1] 형태이다. [1]은 항등 행렬, [-1]은 원점에 대한 대칭 이동으로 해석할 수 있다.

2 × 2 직교 행렬은 다음 형태로 나타낼 수 있다.

: $\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\epsilon\sin\theta&\epsilon\cos\theta\end{pmatrix}\qquad\theta\in\mathbb R,\;\epsilon=\pm1$

몇 가지 예시는 다음과 같다.

행렬	설명

2 × 2 행렬의 경우,

\begin{bmatrix}p & t \\ q & u\end{bmatrix}

가 직교성을 가지려면 다음을 만족해야 한다.

$1 = p^2 + t^2$
$1 = q^2 + u^2$
$0 = pq + tu$

이를 통해,

p = \cos\theta

,

q = \sin\theta

로 놓으면,

t = -q

,

u = p

(회전) 또는

t = q

,

u = -p

(반사)가 된다.

:

\begin{bmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\\sin \theta & \cos \theta \\\end{bmatrix}

(회전),

\begin{bmatrix}\cos \theta & \sin \theta \\\sin \theta & -\cos \theta \\\end{bmatrix}

(반사)

\theta = 90°

인 반사 행렬은 x와 y를 교환하는 순열 행렬

\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}

이다. 항등 행렬도 순열 행렬이다.

반사 행렬은 자신의 역행렬이며, 대칭 행렬이다. 두 회전 행렬의 곱은 회전 행렬이며, 두 반사 행렬의 곱도 회전 행렬이다.

2차원 유클리드 공간에서 원점을 중심으로 각도

\theta

회전을 나타내는 2차 직교 행렬은

\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}

이다.

2차 정사각 행렬에서 1행과 2행을 치환하는 치환 행렬은

\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}

이다.

단위 벡터

u

에 직교하는 초평면에 대한 반사를 나타내는 하우스홀더 행렬

H

는

H = I - 2uu^\top

(

I

는 단위 행렬)이며, 직교 행렬이다.

5. 구성

가장 간단한 직교 행렬은 1 × 1 행렬 [1]과 [−1]이며, 이는 실수선이 원점을 기준으로 대칭 이동된 것과 항등 행렬로 해석할 수 있다.

2 × 2 행렬은 다음과 같은 형태를 갖는다.

: $\begin{bmatrix}p & t\\q & u\end{bmatrix}$

직교성은 다음 세 가지 방정식을 만족해야 한다.

: $\begin{align}1 & = p^2+t^2, \\1 & = q^2+u^2, \\0 & = pq+tu.\end{align}$

첫 번째 방정식을 고려하여, 일반성을 잃지 않고 $p = \cos \theta$ , $q = \sin \theta$ 로 놓으면, $t = -q$ , $u = p$ 또는 $t = q$ , $u = -p$ 가 된다. 첫 번째 경우는 $\theta$ 만큼 회전한 것으로 해석할 수 있고(여기서 $\theta = 0$ 는 항등 행렬), 두 번째는 $\frac{\theta}{2}$ 각도로 기울어진 선에 대한 반사로 해석할 수 있다.

: $\begin{bmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\\sin \theta & \cos \theta \\\end{bmatrix}\text{ (회전), }\qquad\begin{bmatrix}\cos \theta & \sin \theta \\\sin \theta & -\cos \theta \\\end{bmatrix}\text{ (반사)}$

$\theta = 90^\circ$ 인 반사 행렬의 특수한 경우는 $y = x$ 로 주어지는 45° 선에 대한 반사를 생성하므로 $x$ 와 $y$ 를 교환한다. 이것은 각 열과 행에 하나의 1이 있고 나머지는 0인 순열 행렬이다.

: $\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{bmatrix}.$

항등 행렬도 순열 행렬이다.

반사는 자신의 역행렬이므로, 반사 행렬은 직교 행렬일 뿐만 아니라 대칭 행렬(전치 행렬과 같음)이기도 하다. 두 회전 행렬의 곱은 회전 행렬이며, 두 반사 행렬의 곱 역시 회전 행렬이다. 차원에 관계없이 직교 행렬은 항상 순수한 회전으로 분류할 수 있다. 그러나 3 × 3 행렬 및 더 큰 행렬의 경우, 회전하지 않는 행렬은 반사보다 더 복잡할 수 있다. 예를 들어,

: $\begin{bmatrix}$

1 & 0 & 0\\

0 & -1 & 0\\0 & 0 & -1\end{bmatrix}\text{ and }\begin{bmatrix}0 & -1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1\end{bmatrix}

는 각각 원점을 지나는 ''반전''과

z

축에 대한 ''회전반전''을 나타냅니다.

고차원에서는 회전이 더 복잡해진다. 더 이상 하나의 각도로 완전히 특징지을 수 없으며, 둘 이상의 평면 부분 공간에 영향을 미칠 수 있다. 3 × 3 회전 행렬을 축과 각도로 설명하는 것이 일반적이지만, 이는 3차원에서만 작동한다. 3차원 이상에서는 두 개 이상의 각도가 필요하며, 각 각도는 회전면과 관련된다.

그러나 우리는 일반적으로 적용되는 순열, 반사 및 회전에 대한 기본적인 구성 요소를 가지고 있다. 가장 기본적인 순열은 두 행을 교환하여 항등 행렬에서 얻는 전치이다. 모든

n \times n

순열 행렬은

n-1

개 이하의 전치의 곱으로 구성될 수 있다.

하우스홀더 변환은 널이 아닌 벡터

\mathbf{v}

로부터 다음과 같이 구성된다.

:

Q = I - 2 \frac{\mathbf{v}\mathbf{v}^\mathrm{T}}{\mathbf{v}^\mathrm{T}\mathbf{v}} .

여기서 분자는 대칭 행렬이고 분모는 숫자, 즉

\mathbf{v}

의 제곱 크기이다. 이것은

\mathbf{v}

에 수직인 초평면에서 반사(

\mathbf{v}

에 평행한 모든 벡터 성분을 반전)이다. 만약

\mathbf{v}

가 단위 벡터이면

Q = I - 2\mathbf{vv}^\mathrm{T}

로 충분하다. 하우스홀더 변환은 일반적으로 열의 하단을 동시에 0으로 만드는 데 사용된다. 크기

n \times n

의 모든 직교 행렬은 최대

n

개의 이러한 반사의 곱으로 구성될 수 있다.

지븐스 회전은 두 개의 좌표축에 의해 span된 2차원(평면) 부분 공간에서 작용하며, 선택된 각도만큼 회전한다. 일반적으로 하나의 부대각선 항목을 0으로 만드는 데 사용된다. 크기

n \times n

의 모든 회전 행렬은 최대

\frac{n(n-1)}{2}

개의 이러한 회전의 곱으로 구성될 수 있다. 3 × 3 행렬의 경우, 이러한 회전 3개로 충분하다. 그리고 순서를 고정함으로써 세 개의 각도를 사용하여 모든 3 × 3 회전 행렬을 (유일하지는 않지만) 설명할 수 있으며, 이는 종종 오일러 각이라고 한다.

야코비 회전은 지븐스 회전과 동일한 형식을 가지지만 2 × 2 대칭 부분 행렬의 비대각선 항목을 모두 0으로 만드는 데 사용된다.

6. 수치 선형 대수에서의 활용

직교 행렬은 수치적 안정성이 뛰어나 조건수가 1이다. 이는 직교 행렬을 곱할 때 오차가 증폭되지 않음을 의미한다.^[1] 이러한 특성 덕분에 직교 행렬은 수치 선형 대수 알고리즘에 활용된다.

여러 중요한 행렬 분해에는 직교 행렬이 포함된다.^[1]

분해 종류	설명
QR 분해	, 는 직교 행렬, 은 상삼각 행렬
특이값 분해	, 와 는 직교 행렬, 는 대각 행렬
대칭 행렬의 고유값 분해	, 는 대칭 행렬, 는 직교 행렬, 는 대각 행렬
극 분해	, 는 직교 행렬, 는 대칭 양의 반정부호 행렬

QR 분해는 과다 결정된 선형 방정식 시스템 에서 를 최소화하는 를 찾는 선형 최소 제곱 문제에 사용된다. 의 열이 독립적이라고 가정하면, 투영 해는 에서 찾을 수 있다. 이때 는 과 같고, 직교성은 이를 로 줄이는 데 중요할 뿐만 아니라 수치적 문제를 확대하지 않고도 해를 구할 수 있도록 한다.

부정 결정 또는 비가역 행렬의 선형 시스템의 경우, 특이값 분해를 통해 무어-펜로즈 유사역행렬을 이용하여 해를 구할 수 있다.

그람-슈미트 과정 대신 극 분해를 사용하면 주어진 행렬에 가장 가까운 직교 행렬을 찾을 수 있다. 뉴턴의 방법을 통해 빠른 수렴을 달성할 수 있으며, Dubrulle은 가속된 방법을 제시했다.

몬테카를로 방법 등에서는 균등 분포된 랜덤 직교 행렬을 생성해야 한다. QR 분해를 활용하여 독립적인 정규 분포된 랜덤 항목으로 구성된 행렬에서 균등 분포된 직교 행렬을 생성할 수 있다.

주어진 행렬 에 가장 가까운 직교 행렬 를 찾는 문제는 직교 프로크루스테스 문제와 관련이 있다. 특이값 분해를 이용하거나, 행렬 제곱근^[2]을 이용하여 해결할 수 있다.

7. 추가 개념

스핀 군은 특수 직교군 SO(''n'')의 덮개군으로, SO(''n'')이 단순 연결되어 있지 않아 유리하거나 필요한 경우가 있다.^[1] O(''n'')은 덮개군인 핀 군 Pin(''n'')을 갖는다.^[1] ''n'' > 2인 경우, Spin(''n'')은 단순 연결되어 SO(''n'')의 보편 덮개군이다.^[1] 스핀 군의 가장 유명한 예는 Spin(3)인데, 이는 SU(2) 또는 단위 사원수의 군과 동일하다.^[1]

핀 군과 스핀 군은 클리포드 대수 내에서 발견되며, 클리포드 대수는 직교 행렬로부터 구성될 수 있다.^[1]

만약 Q가 정사각 행렬이 아니라면, ''Q''^T''Q'' = ''I''와 ''QQ''^T = ''I'' 조건은 서로 동등하지 않다.^[1] ''Q''^T''Q'' = ''I'' 조건은 ''Q''의 열들이 정규 직교임을 나타낸다.^[1] 이는 Q가 ''m'' × ''n'' 행렬이며 ''n'' ≤ ''m''일 경우에만 가능하다.^[1] 유사하게, ''QQ''^T = ''I''는 Q의 행들이 정규 직교임을 나타내며, 이는 ''n'' ≥ ''m''을 필요로 한다.^[1]

이러한 행렬들은 "반직교 행렬", "정규 직교 행렬", "직교 행렬" 등으로 다양하게 불리며, 때로는 단순히 "정규 직교 행/열을 가진 행렬"이라고도 불린다.^[1]

''n'' ≤ ''m''인 경우, 정규 직교 열을 가진 행렬은 직교 k-프레임이라고 할 수 있으며, 이는 슈티펠 다양체의 원소이다.^[1]

참조

_[1] 웹사이트 Paul's online math notes http://tutorial.math[...] Lamar University 2008
_[2] 웹사이트 Finding the Nearest Orthonormal Matrix http://people.csail.[...] MIT
_[3] 간행물 Newton's Method for the Matrix Square Root http://www.maths.man[...] 1986

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