대각화 가능 행렬

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 대각화
- 4.1. 행렬 함수에 대한 응용
5. 예
6. 응용
- 6.1. 선형 재귀 수열
- 6.2. 양자 역학
참조

1. 개요

대각화 가능 행렬은 정사각 행렬 M에 대해, 가역 행렬 G가 존재하여 G^-1MG가 대각 행렬이 되도록 하는 행렬을 의미한다. 행렬이 대각화 가능할 필요충분 조건은 고유 공간의 차원의 합이 행렬의 차원과 같다는 것이며, 고유 벡터로 구성된 기저가 존재할 때 성립한다. 대각화 가능 행렬은 연산에 닫혀있고, 고유값과 고유 벡터를 사용하여 행렬의 거듭제곱이나 행렬 지수와 같은 행렬 함수를 계산하는 데 활용된다. 또한, 양자역학의 슈뢰딩거 방정식, 선형 재귀 수열, 섭동 이론 등 다양한 분야에 응용된다.

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대각화 가능 행렬
개요
유형	선형 변환
속성	대각 행렬과 유사
정의
조건	어떤 정사각행렬 A에 대해, 가역행렬 P가 존재하여 P⁻¹AP가 대각행렬이 되는 경우
필요충분 조건	A의 고유벡터들로 이루어진 기저가 존재한다.
동치 조건	A의 모든 고유값에 대해, (A - λI)의 nullity(차원)가 λ의 multiplicity와 같다.
일반적인 조건	n × n 행렬 A가 서로 다른 n개의 고유값을 가지면 A는 대각화 가능하다.
대각화 방법
절차	A의 고유값을 구한다. 각 고유값에 대한 고유공간의 기저를 찾는다. 고유벡터들을 열벡터로 하는 행렬 P를 구성한다. P⁻¹AP를 계산한다.
결과	P⁻¹AP는 A의 고유값을 대각선 성분으로 가지는 대각행렬이다.
활용
행렬 연산	행렬의 거듭제곱 계산, 지수 함수 계산 등에 활용된다.
선형 시스템	선형 미분 방정식 시스템의 해를 구하는 데 사용된다.
고유값 문제	고유값과 고유벡터를 쉽게 구할 수 있다.
예시
2x2 행렬	A = 1, 1], [0, 2는 대각화 가능하다.
대각화	P = 1, 1], [0, 1를 사용하면 P⁻¹AP = 1, 0], [0, 2가 된다.
주의 사항
모든 행렬	모든 행렬이 대각화 가능한 것은 아니다.
대각화 불가능 조건	고유벡터가 충분히 많지 않은 경우 대각화가 불가능하다.

2. 정의

환 $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M\in\operatorname{Mat}(n;K)$ 이 다음 조건을 만족시킨다면, '''대각화 가능 행렬'''이라고 한다.

$G^{-1}MG$ 이 대각 행렬이 되는 가역 행렬 $G \in\operatorname{Unit}(\operatorname{Mat}(n;K))$ 이 존재한다.

F

의 체에 있는 성분을 가진 정사각

n \times n

행렬

A

는

P^{-1}AP

가 대각 행렬이 되도록 하는 가역 행렬(즉, 일반 선형군 GL_''n''(''F'')의 원소)인

n \times n

행렬

P

가 존재하면 '''대각화 가능''' 또는 '''비결함'''이라고 한다.

3. 성질

대각화 가능 행렬은 다음과 같은 성질을 갖는다.

체 $F$ 위의 $n \times n$ 행렬 $A$ 가 대각화 가능할 필요충분조건은 고유 공간의 차원의 합이 $n$ 과 같다는 것이다. 이는 $A$ 의 고유 벡터로 구성된 $F^n$ 의 기저가 존재할 때 성립한다.
선형 사상 $T : V \to V$ 가 대각화 가능할 필요충분조건은 고유 공간의 차원의 합이 $\dim(V)$ 와 같다는 것이며, 이는 $T$ 의 고유 벡터로 구성된 $V$ 의 기저가 존재할 때 성립한다.

다음은 대각화 가능성을 판별하는 데 유용한 충분 조건이다 (필요 조건은 아님).

$n \times n$ 행렬 $A$ 가 체 $F$ 위에서 대각화 가능하려면, $F$ 에서 $n$ 개의 서로 다른 고유값을 가지면 된다. 즉, 특성 다항식이 $F$ 에서 $n$ 개의 서로 다른 근을 가지면 된다.
$n = \dim(V)$ 인 선형 사상 $T : V \to V$ 가 대각화 가능하려면, $n$ 개의 서로 다른 고유값을 가지면 된다.

A

가

F

위의 행렬일 때,

A

가 대각화 가능하면 그 거듭제곱도 대각화 가능하다.

조르당-슈발레 분해에 따르면, 행렬이 대각화 가능하려면 멱영 부분이 0이어야 한다.

복소수

\Complex

위에서 거의 모든 행렬은 대각화 가능하다. 더 정확하게는, 대각화되지 않는 복소수

n \times n

행렬의 집합은

\Complex^{n \times n}

의 부분 집합으로 간주될 때 르베그 측도가 0이다.

3. 1. 연산에 대한 닫힘

환 ''K'' 위의 정사각 행렬 ''M'' ∈ Mat(''n'';''K'')이 대각화 가능 행렬이라면, 임의의 자연수 ''k''∈ℕ에 대하여 ''M''^''k''∈Mat(''n'';''K'') 역시 대각화 가능 행렬이다. 또한, ''K''가 대수적으로 닫힌 체이고 ''M''이 가역 행렬이라면, 임의의 정수 ''k''∈ℤ에 대하여 ''M''^''k''∈Mat(''n'';''K'') 역시 대각화 가능 행렬이다.

그러나 대각화 가능 행렬의 합이나 곱은 (심지어 복소수체 위에서도) 일반적으로 대각화 가능 행렬이 아니다.

3. 2. 필요 조건과 충분 조건

체 ''K'' 위의 ''n''×''n'' 정사각 행렬 ''M''에 대해, 다음 조건들은 서로 동치이다.

''M''의 고유 공간들의 차원들의 합이 ''n''이다.
''p''(''M'') = 0이 되는 최소차 일계수 다항식 ''p'' ∈ ''K''[''x'']의 차수가 ''k''라고 할 때, ''p''는 ''k''개의 서로 다른 (중복되지 않는) 근들을 갖는다.

체

K

위의

n\times n

정사각 행렬

M\in\operatorname{Mat}(n;K)

에 대하여 다음 조건을 만족시키는 행렬은 대각화 가능 행렬이다.

고유 다항식 $\chi_M(x) = \det(x-M) \in K[x]$ 은 $n$ 개의 서로 다른 (중복되지 않는) 근을 갖는다.

이는 충분 조건이지만, 필요 조건이 아니다.

다음은 대각화 가능 행렬과 관련된 기본 사실이다.

체 $F$ 위의 $n \times n$ 행렬 $A$ 가 대각화 가능할 필요충분 조건은 고유 공간의 차원의 합이 $n$ 과 같다는 것이며, 이는 $A$ 의 고유 벡터로 구성된 $F^n$ 의 기저가 존재할 때 성립한다.
선형 사상 $T : V \to V$ 가 대각화 가능할 필요충분 조건은 고유 공간의 차원의 합이 $\dim(V)$ 와 같다는 것이며, 이는 $T$ 의 고유 벡터로 구성된 $V$ 의 기저가 존재할 때 성립한다.

다음의 충분 조건(필요 조건은 아님)은 종종 유용하다.

$n \times n$ 행렬 $A$ 가 체 $F$ 위에서 대각화 가능할 충분 조건은 $F$ 에서 $n$ 개의 서로 다른 고유값을 갖는 경우, 즉 특성 다항식이 $F$ 에서 $n$ 개의 서로 다른 근을 갖는 경우이다.
$n = \dim(V)$ 인 선형 사상 $T : V \to V$ 가 대각화 가능할 충분 조건은 $n$ 개의 서로 다른 고유값을 갖는 경우이다.

A

를

F

위의 행렬이라고 하자.

A

가 대각화 가능하면, 그 거듭제곱도 대각화 가능하다.

조르당-슈발레 분해는 연산자를 반 단순(즉, 대각화 가능) 부분과 멱영 부분의 합으로 표현한다. 따라서, 행렬이 대각화 가능하려면 멱영 부분이 0이어야 한다.

3. 3. 대각화 가능 행렬의 밀도

복소수체 위에서, 대각화 가능 행렬은 n² 차원 아핀 공간의 부분 공간을 이루며, 그 여집합은 르베그 측도가 0이다. 즉, 거의 모든 복소수 정사각 행렬은 대각화 가능하다.

반면, 실수체 위에서는 n≥2일 경우 이는 더 이상 성립하지 않는다.

3. 4. 동시 대각화

환

K

위의

n\times n

정사각 행렬들의 족

\mathcal M\subseteq\operatorname{Mat}(n;K)

이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬

G \in\operatorname{Unit}(\operatorname{Mat}(n;K))

이 존재한다면,

\mathcal M

을 '''동시 대각화 가능 행렬족'''(同時對角化可能行列族, simultaneously diagonalizable family of matrices^영어)이라고 한다.

임의의 $M\in\mathcal M$ 에 대하여, $G^{-1}MG$ 는 대각 행렬이다.

체

K

위의

n\times n

정사각 행렬들의 족

\mathcal M\subseteq\operatorname{Mat}(n;K)

에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.^[3]

$\mathcal M$ 은 동시 대각화 가능 행렬족이다.
$M$ 의 모든 원소는 대각화 가능 행렬이며, $\mathcal M$ 은 가환 행렬족이다 (즉, 임의의 $M,N\in\mathcal M$ 에 대하여 $MN=NM$ ).

행렬의 집합은 단일 가역 행렬

P

가 존재하여 집합의 모든

A

에 대해

P^{-1}AP

가 대각 행렬이면 ''동시 대각화 가능''하다고 한다. 대각화 가능한 행렬의 집합은 집합이 동시 대각화 가능할 때만 교환한다.^[1]

n > 1

인 모든

n \times n

대각화 가능 행렬의 집합은 동시 대각화 가능하지 않다. 예를 들어 행렬

:

\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \quad\text{and}\quad \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

는 대각화 가능하지만 교환하지 않으므로 동시 대각화 가능하지 않다.

정규 행렬로 구성된 집합은 유니타리 행렬에 의해 동시 대각화 가능할 때만, 즉 집합의 모든

A

에 대해

U^{*} AU

가 대각선이 되는 유니타리 행렬

U

가 존재할 때만 해당된다.

리 이론의 언어로 표현하면, 동시 대각화 가능한 행렬의 집합은 토리 리 대수를 생성한다.

4. 대각화

행렬

A

를 대각화할 수 있다는 것은, 다음 식을 만족하는 가역 행렬

P

와 대각 행렬

D

가 존재한다는 것을 의미한다.

:

P^{-1}AP = D = \begin{bmatrix}\lambda_1 &         0 &  \cdots &         0 \\0 & \lambda_2 &  \cdots &         0 \\\vdots &    \vdots & \ddots &    \vdots \\0 &         0 &  \cdots & \lambda_n\end{bmatrix}

이 식은 다음과 같이 변형할 수 있다.

:

AP = P\begin{bmatrix}\lambda_1 &         0 &  \cdots &         0 \\0 & \lambda_2 &  \cdots &         0 \\\vdots &    \vdots & \ddots &    \vdots \\0 &         0 &  \cdots & \lambda_n\end{bmatrix}

여기서

P

는

A

의 오른쪽 고유 벡터를 열 벡터로 갖는 블록 행렬이며,

E

기저에 기록된다. 즉,

:

P = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\alpha}_{E,1} & \boldsymbol{\alpha}_{E,2} & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_{E,n} \end{bmatrix}

위 식을 다시 정리하면 다음과 같다.

:

A \begin{bmatrix} \boldsymbol{\alpha}_{E,1} & \boldsymbol{\alpha}_{E,2} & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_{E,n} \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} \boldsymbol{\alpha}_{E,1} & \boldsymbol{\alpha}_{E,2} & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_{E,n} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda_1 &         0 &  \cdots &         0 \\0 & \lambda_2 &  \cdots &         0 \\\vdots &    \vdots & \ddots &    \vdots \\0 &         0 &  \cdots & \lambda_n\end{bmatrix}

위 식의 행렬 곱셈을 수행하면,

:

A \begin{bmatrix} \boldsymbol{\alpha}_1 & \boldsymbol{\alpha}_2 & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_n \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} \lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1 & \lambda_2\boldsymbol{\alpha}_2 & \cdots & \lambda_n \boldsymbol{\alpha}_n  \end{bmatrix}

결과적으로 다음 관계를 얻는다.

:

A\boldsymbol{\alpha}_i = \lambda_i \boldsymbol{\alpha}_i \qquad (i=1,2,\dots,n)

따라서

P

의 열 벡터는

A

의 오른쪽 고유 벡터이고,

D

의 대각 성분은 해당 고유값이다.

P

가 가역 행렬이라는 것은 고유 벡터들이 선형 독립이며,

F^{n}

의 기저를 형성한다는 것을 의미한다. 이는 대각화 가능성에 대한 필요충분 조건이다.

P^{-1}

의 행 벡터는

A

의 왼쪽 고유 벡터이다.

A

가 에르미트 행렬이거나 정규 행렬이면,

A

의 고유 벡터는

\mathbb{C}^n

의 정규 직교 기저를 형성하도록 선택할 수 있으며,

P

는 유니타리 행렬로 선택할 수 있다.

A

가 실수 대칭 행렬인 경우, 고유 벡터는

\mathbb{R}^n

의 정규 직교 기저가 되도록 선택 가능하며,

P

는 직교 행렬로 선택할 수 있다.

대부분의 실제 문제에서 행렬의 대각화는 컴퓨터 소프트웨어를 사용하여 수치적으로 수행되며, 이를 위한 여러 알고리즘이 존재한다.^[1]

4. 1. 행렬 함수에 대한 응용

환 위의 정사각 행렬

M

이 대각화 가능 행렬이라면, 임의의 자연수

k

에 대하여

M^k

역시 대각화 가능 행렬이다. 만약

G

에 대하여

G^{-1}MG = \operatorname{diag}(a_1,\dotsc,a_n)

가 대각 행렬이라고 하면, 다음과 같다.

:

\operatorname{diag}(a_1^k,\dotsc,a_n^k) = \operatorname{diag}(a_1,\dotsc,a_n)^k = (G^{-1}MG)^k = G^{-1}M^kG

또한,

K

가 대수적으로 닫힌 체이며

M

이 가역 행렬이라면, 임의의 정수

k

에 대하여

M^k

역시 대각화 가능 행렬이다.

대각화는 행렬의 거듭제곱을 효율적으로 계산하는 데 사용될 수 있다.

A = PDP^{-1}

이면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

A^k = \left(PDP^{-1}\right)^k  = PD\left(P^{-1}P\right) D \left(P^{-1}P\right) \cdots \left(P^{-1}P\right) D P^{-1} = PD^kP^{-1}

D

는 대각 행렬이므로,

D^k

는 대각 행렬의 거듭제곱만 포함하므로 계산하기 쉽다. 예를 들어, 고유값

\lambda = 1,1,2

를 갖는 행렬

A

에 대해 다음을 계산한다.

:

A^k = PD^kP^{-1} = \left[\begin{array}{rrr}1 & \,0 &          1 \\1 &   2 &          0 \\0 &   1 & \!\!\!\!-1\end{array}\right]\begin{bmatrix} 1^k & 0 & 0 \\ 0 & 1^k & 0 \\ 0 & 0 & 2^k \end{bmatrix}\left[\begin{array}{rrr}1 & \,0 &          1 \\1 &   2 &          0 \\0 &   1 & \!\!\!\!-1\end{array}\right]^{-1} = \begin{bmatrix}2 - 2^k & -1 + 2^k &  2 - 2^{k + 1} \\0 &        1 &              0 \\

1 + 2^k & 1 - 2^k & -1 + 2^{k + 1}

\end{bmatrix}

이러한 방법은 행렬 지수 및 거듭제곱 급수로 정의할 수 있는 다른 행렬 함수로 일반화할 수 있다. 예를 들어,

\exp(A) = I + A + \frac{1}{2!}A^2 + \frac{1}{3!}A^3 + \cdots

을 정의하면 다음과 같다.

:

\exp(A) = P \exp(D) P^{-1} = \left[\begin{array}{rrr}1 & \,0 &          1 \\1 &   2 &          0 \\0 &   1 & \!\!\!\!-1\end{array}\right]\begin{bmatrix} e^1 & 0 & 0 \\ 0 & e^1 & 0 \\ 0 & 0 & e^2 \end{bmatrix}\left[\begin{array}{rrr}1 & \,0 & 1\\1 & 2 & 0\\0 & 1 & \!\!\!\!-1\end{array}\right]^{-1} = \begin{bmatrix}2 e - e^2 & -e + e^2 & 2 e - 2 e^2 \\0 &        e &           0 \\

e + e^2 & e - e^2 & -e + 2 e^2

\end{bmatrix}

이것은 피보나치 수와 같은 선형 재귀 수열의 항에 대한 폐쇄 형식 표현식을 찾는 데 특히 유용하다.

5. 예

모든 대각 행렬은 대각화 가능 행렬이다. 특히, 모든 1×1 행렬은 자명하게 대각화 가능하다.^[1]

5. 1. 대각화 가능 행렬

모든 대각 행렬은 대각화 가능 행렬이다. 특히, 모든 1×1 행렬은 자명하게 대각화 가능 행렬이다.

체

F

위의

n \times n

행렬

A

가 대각화 가능할 필요충분 조건은 고유 공간의 차원의 합이

n

과 같다는 것이며, 이는

A

의 고유 벡터로 구성된

F^n

의 기저가 존재할 때 성립한다. 이러한 기저가 발견되면, 이러한 기저 벡터를 열로 하는 행렬

P

를 구성할 수 있으며,

P^{-1}AP

는 대각 성분이

A

의 고유값인 대각 행렬이 된다. 행렬

P

는

A

에 대한 모달 행렬로 알려져 있다.

선형 사상

T : V \to V

가 대각화 가능할 필요충분 조건은 고유 공간의 차원의 합이

\dim(V)

와 같다는 것이며, 이는

T

의 고유 벡터로 구성된

V

의 기저가 존재할 때 성립한다. 이러한 기저에 따르면,

T

는 대각 행렬로 표현된다. 이 행렬의 대각 성분은

T

의 고유값이다.

n \times n

행렬

A

가 체

F

위에서 대각화 가능할 충분 조건은

F

에서

n

개의 서로 다른 고유값을 갖는 경우, 즉 특성 다항식이

F

에서

n

개의 서로 다른 근을 갖는 경우이지만, 역은 성립하지 않을 수 있다. 예를 들어,

\begin{bmatrix}

1 & 3 & -1 \\
3 & 5 & -1 \\
3 & 3 & 1

\end{bmatrix},은 고유값 1, 2, 2 (모두 다름)를 가지며, 대각 형태

\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 2 & 0 \\0 & 0 & 2\end{bmatrix}

및 기저 변환 행렬

P

:

\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 \\1 & 1 & 0 \\1 & 0 & 3\end{bmatrix}.

를 갖는 대각화 가능한 행렬이다. 역은

A

가 차원이 1보다 큰 고유 공간을 가질 때 성립하지 않는다. 이 예에서 고유값 2와 관련된

A

의 고유 공간은 차원이 2이다.

n = \dim(V)

인 선형 사상

T : V \to V

가 대각화 가능할 충분 조건은

n

개의 서로 다른 고유값을 갖는 경우, 즉 특성 다항식이

F

에서

n

개의 서로 다른 근을 갖는 경우이다.

A

를

F

위의 행렬이라고 하자.

A

가 대각화 가능하면, 그 거듭제곱도 대각화 가능하다. 반대로,

A

가 가역이고,

F

가 대수적으로 닫혀 있으며, 어떤

n

에 대해

A^n

이 대각화 가능하고,

n

이

F

의 표수의 정수 배수가 아니면,

A

는 대각화 가능하다.

복소수

\Complex

위에서 거의 모든 행렬은 대각화 가능하다.

조르당-슈발레 분해는 연산자를 반 단순(즉, 대각화 가능) 부분과 멱영 부분의 합으로 표현한다. 따라서, 행렬이 대각화 가능하려면 멱영 부분이 0이어야 한다.

대합은 실수 위에서 (그리고 실제로 표수가 2가 아닌 모든 체 위에서) 대각화 가능하며, 대각선에 ±1을 갖는다.
유한 차수 자기준동형 사상은 $\mathbb{C}$ (또는 자기준동형 사상의 차수를 체의 표수가 나누지 않는 모든 대수적으로 닫힌 체) 위에서 대각화 가능하며, 대각선에 단위근을 갖는다.
사영은 대각화 가능하며, 대각선에 0과 1을 갖는다.
실수 대칭 행렬은 직교 행렬에 의해 대각화 가능하다. 즉, 실수 대칭 행렬 $A$ 가 주어지면, $Q^{\mathrm T}AQ$ 는 어떤 직교 행렬 $Q$ 에 대해 대각 행렬이다. 더 일반적으로, 행렬은 유니타리 행렬에 의해 대각화 가능하며, 이는 행렬이 정규 행렬일 때와 동치이다.

5. 2. 대각화 불가능 행렬

임의의 체 $K$에서, 다음 행렬은 대각화될 수 없다.

:

\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}(2;K)

이 행렬의 고윳값은 0 밖에 없으며, 그 고유 공간은 1차원이다.

다음 행렬을 생각해보자.

:

\begin{pmatrix}0&1\\

1&0

\end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}(2;K)

$K$가 체일 때, 이 행렬이 대각화 가능 행렬이 될 필요충분조건은 다음과 같다.

$K$에서 $-1$이 두 개의 제곱근을 갖는다.

즉, $K$의 표수가 2가 아니며, $-1$의 제곱근 $\mathrm i \in K$가 존재할 경우 이 행렬은 두 고윳값 $\pm\mathrm i$을 가지며, 따라서 대각화 가능하다. 만약 $K$에서 $-1$이 제곱수가 아닐 경우, 이 행렬은 고윳값을 갖지 않으며, 따라서 대각화 가능 행렬이 아니다. 만약 $K$의 표수가 2일 경우, $-1=1$은 하나의 제곱근만을 가지며, 이 행렬은 하나의 고윳값 (1)을 가지며, 그 고유 공간은 1차원이므로, 따라서 이 행렬은 대각화 가능 행렬이 아니다.

일반적으로, 회전 행렬은 실수 집합에서 대각화 가능하지 않지만, 모든 회전 행렬은 복소수 체에서 대각화 가능하다. 행렬이 대각화 가능하지 않더라도, 항상 "할 수 있는 최선을 다해" 주대각선에 고유값을, 상위 대각선에 1 또는 0을 갖는 동일한 속성을 가진 행렬을 찾을 수 있다. 이것을 조르당 정규형이라고 한다.

일부 행렬은 어떤 체에서도 대각화 가능하지 않으며, 특히 0이 아닌 멱영 행렬이 그렇다.^[1] 이는 일반적으로 고유값의 대수적 중복도와 기하학적 중복도가 일치하지 않을 때 발생한다. 예를 들어, 다음 행렬을 고려해 보자.

:

C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.

이 행렬은 대각화 가능하지 않다. 즉, $U^{-1}CU$가 대각 행렬이 되는 행렬 $U$가 없다. 실제로, $C$는 하나의 고유값(즉, 0)을 가지며 이 고유값은 대수적 중복도 2와 기하학적 중복도 1을 갖는다.

일부 실수 행렬은 실수 집합에서 대각화 가능하지 않다. 예를 들어, 다음 행렬을 고려해 보자.

:

B = \left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ \!-1 & 0 \end{array}\right].

행렬 $B$는 실수 고유값을 갖지 않으므로, $Q^{-1}BQ$가 대각 행렬이 되는 '''실수''' 행렬 $Q$가 없다. 그러나 복소수를 허용하면 $B$를 대각화할 수 있다. 실제로, 만약

:

Q = \begin{bmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{bmatrix},

라고 하면 $Q^{-1}BQ$는 대각 행렬이다. $B$가 반시계 방향으로 $\theta = -\frac{\pi}{2}$ 각도로 회전하는 회전 행렬임을 쉽게 알 수 있다.

5. 3. 대각화의 예

임의의 환 ''K''에서, 다음과 같은 3×3 행렬을 생각해보자.

:

M=\begin{pmatrix}1 & 2  & 0 \\0 & 3  & 0 \\2 & -4 & 2 \end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}(3;K)

이 행렬은 다음과 같은 세 개의 고윳값을 갖는다.

:

\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 2, \quad \lambda_3= 1

따라서 이 행렬은 대각화 가능하다.

각 고윳값에 해당하는 고유 벡터는 다음과 같다.

:

v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}

이제 다음과 같이 행렬 P를 정의한다.

:

P=\begin{pmatrix}v_1&v_2&v_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 \\
1 & 0 & 0 \\

2 & 1 & 2 \end{pmatrix}

P의 역행렬은 다음과 같다.

:

P^{-1}=\begin{pmatrix}0&-1&0\\2&0&1\\-1&1&0\end{pmatrix}

그러면 다음이 성립한다.

:

P^{-1}MP = \operatorname{diag}(3,2,1)

이처럼 행렬 M은 대각행렬로 변환된다.

행렬 대각화는 고유 벡터가 기저를 형성하는 경우에 해당 행렬의 고유값과 고유벡터를 찾는 것과 동일한 과정이다. 예를 들어, 다음 행렬을 고려해 보자.

:

A=\left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & \!\!\!-2\\0 & 1 & 0\\1 & \!\!\!-1 & 3\end{array}\right].

특성 다항식

p(\lambda)=\det(\lambda I-A)

의 근은 고유값

\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = 2

이다. 선형 시스템

\left(\lambda I-A\right) \mathbf{v} = \mathbf{0}

을 풀면 고유 벡터

\mathbf{v}_1 = (1,1,0)

및

\mathbf{v}_2 = (0,2,1)

가 얻어지고,

\left(2I-A\right)\mathbf{v} = \mathbf{0}

을 풀면

\mathbf{v}_3 = (1,0,-1)

이 얻어진다. 즉,

i = 1,2,3

에 대해

A \mathbf{v}_i = \lambda_i \mathbf{v}_i

이다. 이 벡터들은

V = \mathbb{R}^3

의 기저를 형성하므로, 이를 기저 변환 행렬

P

의 열 벡터로 조립하여 다음을 얻을 수 있다.

:

P^{-1}AP =\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\1 & 2 & 0\\0 & 1 & \!\!\!\!-1\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & \!\!\!-2\\0 & 1 & 0\\1 & \!\!\!-1 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}1 & \,0 & 1\\1 & 2 & 0\\0 & 1 & \!\!\!\!-1\end{array}\right]=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} = D .

P

에서 고유 벡터의 순서를 변경하는 것은 단지

A

의 대각화된 형태에서 고유값의 순서를 변경하는 것일 뿐이다.^[2]

6. 응용

대각화는 피보나치 수와 같은 선형 재귀 수열의 항에 대한 닫힌 형식 표현식을 찾는 데 유용하게 사용될 수 있다.

양자역학 및 양자 화학 계산에서 행렬 대각화는 가장 자주 적용되는 수치 처리 과정 중 하나이다. 그 이유는 시간 독립적인 슈뢰딩거 방정식이 고유값 방정식이기 때문이며, 대부분의 물리적 상황에서는 무한 차원 힐베르트 공간에서 발생한다. 힐베르트 공간을 유한 차원으로 자르거나 투영하여, 슈뢰딩거 방정식을 실수 대칭 또는 복소 에르미트 행렬의 고유값 문제로 나타낼 수 있다. 이 근사는 변분 원리에 기반한다. 1차 섭동 이론 역시 축퇴 상태에 대한 행렬 고유값 문제로 이어진다.^[1]

6. 1. 선형 재귀 수열

대각화는 피보나치 수와 같은 선형 재귀 수열의 항에 대한 닫힌 형식 표현식을 찾는 데 유용하게 사용될 수 있다.

예를 들어, 다음 행렬 ''M''을 생각해 보자.

:

M = \begin{bmatrix}a & b - a\\ 0 & b\end{bmatrix}.

''M''의 거듭제곱을 계산하면 다음과 같은 패턴이 나타난다.

:

M^2 = \begin{bmatrix}a^2 & b^2-a^2 \\ 0 &b^2 \end{bmatrix},\quadM^3 = \begin{bmatrix}a^3 & b^3-a^3 \\ 0 &b^3 \end{bmatrix},\quadM^4 = \begin{bmatrix}a^4 & b^4-a^4 \\ 0 &b^4 \end{bmatrix},\quad\ldots

이 현상은 ''M''을 대각화하여 설명할 수 있다. ''M''의 고유벡터로 구성된

\R^2

의 기저는 다음과 같다.

:

\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \mathbf{e}_1,\quad\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2,

여기서 '''e'''_''i''는 '''R'''^''n''의 표준 기저를 나타낸다. 기저 변환의 역은 다음과 같다.

:

\mathbf{e}_1 = \mathbf{u},\qquad \mathbf{e}_2 = \mathbf{v} - \mathbf{u}.

계산을 통해 다음을 얻을 수 있다.

:

M\mathbf{u} = a\mathbf{u},\qquad M\mathbf{v} = b\mathbf{v}.

따라서, ''a''와 ''b''는 각각 '''u'''와 '''v'''에 해당하는 고유값이다. 행렬 곱셈의 선형성에 의해 다음이 성립한다.

:

M^n \mathbf{u} = a^n \mathbf{u},\qquad M^n \mathbf{v} = b^n \mathbf{v}.

표준 기저로 다시 전환하면 다음과 같다.

:

\begin{align}M^n \mathbf{e}_1 &= M^n \mathbf{u} = a^n \mathbf{e}_1, \\M^n \mathbf{e}_2 &= M^n \left(\mathbf{v} - \mathbf{u}\right) = b^n \mathbf{v} - a^n\mathbf{u} = \left(b^n - a^n\right) \mathbf{e}_1 + b^n\mathbf{e}_2.\end{align}

앞의 관계를 행렬 형태로 표현하면 다음과 같다.

:

M^n = \begin{bmatrix} a^n & b^n - a^n \\ 0 & b^n \end{bmatrix},

이로써 위에서 나타난 현상을 설명할 수 있다.

6. 2. 양자 역학

양자역학 및 양자 화학 계산에서 행렬 대각화는 가장 자주 적용되는 수치 처리 과정 중 하나이다. 그 이유는 시간 독립적인 슈뢰딩거 방정식이 고유값 방정식이기 때문이며, 대부분의 물리적 상황에서는 무한 차원 힐베르트 공간에서 발생한다.

힐베르트 공간을 유한 차원으로 자르거나 투영하여, 슈뢰딩거 방정식을 실수 대칭 또는 복소 에르미트 행렬의 고유값 문제로 나타낼 수 있다. 이 근사는 변분 원리에 기반한다.

1차 섭동 이론 역시 축퇴 상태에 대한 행렬 고유값 문제로 이어진다.^[1]

참조

_[1] 서적 Matrix Analysis, second edition Cambridge University Press
_[2] 서적 Elementary Linear Algebra (Applications Version) https://archive.org/[...] John Wiley & Sons 2000-02-22
_[3] 서적 Linear Algebra https://archive.org/[...] Prentice-Hall 1971

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