진비엘 대수

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1. 개요

진비엘 대수는 가환환 K 위의 가군 A와 쌍선형 연산 ★: A⊗K A → A로 정의되며, (a ★ b) ★ c = a ★ (b ★ c) + a ★ (c ★ b)의 진비엘 항등식을 만족해야 한다. 진비엘 대수에 곱셈 ab = a★b + b★a를 부여하면 가환 결합 대수가 되며, 이는 리 대수가 라이프니츠 대수의 특수한 경우라는 사실의 코쥘 쌍대이다. 체 위의 벡터 공간 V로 생성되는 자유 진비엘 대수는 셔플 대수의 구조를 갖는다. 진비엘 대수는 1995년 장루이 로데에 의해 고안되었으며, "진비엘 대수"라는 이름은 장미셸 르메트르가 처음 사용하였다.

진비엘 대수

정의	곱셈이 다음 관계를 만족시키는 대수이다. 여기서 x, y, z는 대수의 임의의 원소이다.
관계식	(x * y) * z = x * (y * z + z * y)
쌍대	진비엘 대수의 쌍대는 라이프니츠 대수이다.
어원	이 용어는 장루이 로데에 의해 만들어졌으며, 라이프니츠의 이름을 거꾸로 쓴 것이다.

참고 문헌

참고 문헌 목록	Loday 1995
추가 참고 문헌	Loday 2001, Zinbiel 2012

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 역사

2. 정의

가환환 K 위의 진비엘 대수는 다음과 같은 데이터로 정의된다.
* K-가군 A
* K-쌍선형 이항 연산 (★): A⊗_KA → A

이 데이터는 다음과 같은 진비엘 항등식을 만족시켜야 한다.

(a ★ b) ★ c = a ★ (b ★ c) + a ★ (c ★ b)

3. 성질

진비엘 대수 $(A,\star)$ 에 다음과 같은 곱셈을 부여하면, 이는 가환 결합 대수를 이룬다.

: $ab = a\star b+b\star a$

즉, 진비엘 대수는 추가 구조를 갖춘 가환 결합 대수로 여길 수 있다. (이는 리 대수가 라이프니츠 대수의 특수한 경우라는 사실의 코쥘 쌍대이다.) 특히, 만약 $\tfrac12\in K$ 라면, 반대칭 괄호

: $[a,b] = a\star b-b\star a$

를 정의하여

: $a\star b=\frac12(ab+[a,b])$

를 정의하여, 진비엘 대수를 위와 같은 반대칭 괄호를 갖춘 가환 결합 대수로 생각할 수 있다. 이 경우, 반대칭 괄호는

: $[a,b]c+[ab,c]+[[a,b],c] = 2[a,bc]+abc$

를 따른다. (특히, 괄호를 모두 0으로 놓을 수 없다.)

4. 예

체 위에서, 벡터 공간 $V$ 로 생성되는 자유 진비엘 대수는 등급 벡터 공간으로서 상수항을 생략한 축소 텐서 대수 $V \oplus V\otimes V\oplus V\otimes V\otimes V\oplus\dotsb$ 이다. 이에 대응되는 가환 결합 대수 구조는 셔플 대수의 것이다.

5. 역사

장루이 로데가 1995년에 고안하였다. “진비엘 대수”(algèbre de Zinbiel^프랑스어)라는 이름은 장미셸 르메트르(Jean-Michel Lemaire^프랑스어)가 최초로 사용하였으며, 라이프니츠 대수의 “라이프니츠”(Leibniz^독일어)의 철자를 뒤집은 것이다.