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진화적으로 안정한 전략

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목차

1. 개요

진화적으로 안정한 전략(ESS)은 1973년 존 메이너드 스미스와 조지 R. 프라이스가 네이처 논문에서 정의한 개념으로, 어떤 전략이 경쟁 환경에서 안정적으로 유지될 수 있는지를 설명한다. ESS는 게임 이론을 행동 진화에 적용한 것으로, 리처드 도킨스의 '이기적 유전자'와 로버트 액설로드의 '협력의 진화' 등 다양한 분야에서 활용되었다. ESS는 내시 균형과 밀접한 관련이 있으며, 복제자 동역학을 통해 분석될 수 있다. ESS는 생물학적 진화뿐 아니라 사회 과학 분야에서도 인간 행동과 사회 현상을 이해하는 데 사용된다.

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진화적으로 안정한 전략
진화적으로 안정한 전략 (ESS)
정의진화 게임 이론에서, 큰 개체군 내에서 다른 전략이 침입할 수 없는 전략이다.
발견자존 메이너드 스미스와 조지 R. 프라이스
관련 분야생물학적 모델링, 진화 게임 이론
상위 개념내시 균형
하위 개념확률적으로 안정한 균형, 안정적인 강한 내시 균형
교집합부분 게임 완전 균형, 미세 떨림 완전 균형, 완전 베이즈 균형
예시
예시 전략매-비둘기 게임
적용 분야생물학
주요 개념
핵심 아이디어어떤 전략이 개체군 내에서 널리 퍼져 있을 때, 그 전략보다 나은 다른 전략이 나타나더라도 자연 선택에 의해 제거된다면, 그 전략은 진화적으로 안정적이라고 할 수 있다.
참고 문헌
참고 문헌메이너드 스미스, J., 《On Evolution》, Edinburgh University Press, 1972
메이너드 스미스, J. & 프라이스, G.R., 《Nature》, 246(5427), 15–8, 1973

2. 역사

진화적으로 안정한 전략(ESS)은 1973년 존 메이너드 스미스와 조지 R. 프라이스가 ''네이처'' 논문에서 처음 소개했다.[2] 이 개념은 R. H. 맥아더[5]와 W. D. 해밀턴[6]의 성비 연구, 특히 해밀턴의 무적 전략 개념에서 유래했다. 메이너드 스미스는 이 개념을 발전시킨 공로로 1999년 크라포드상을 공동 수상했다.[7]

ESS는 리처드 도킨스의 ''이기적 유전자''(1976), 로버트 액설로드의 ''협력의 진화''(1984) 등에서 활용되며 인류학, 경제학, 철학, 정치학 등 다양한 분야로 확장되었다.[8]

2. 1. 개념의 등장

진화적으로 안정한 전략은 1973년 존 메이너드 스미스와 조지 R. 프라이스가 ''네이처'' 논문에서 정의하고 소개했다.[2] 메이너드 스미스는 이보다 앞선 1972년 에세이 모음집 ''On Evolution''에 에세이를 게재했으며,[1] 1974년에는 ''Journal of Theoretical Biology''에 더 긴 논문을 발표했다.[3] 1982년 저서 ''Evolution and the Theory of Games''에서 더 자세히 설명한다.[4]

메이너드 스미스는 프라이스의 논문을 동료 심사하면서 읽었던 프라이스의 구두 주장을 수학적으로 형식화했다. 프라이스가 논문을 수정하여 출판할 준비가 되지 않았다는 것을 깨달은 메이너드 스미스는 프라이스를 공동 저자로 추가할 것을 제안했다.

이 개념은 R. H. 맥아더[5]와 W. D. 해밀턴[6]이 피셔의 원리에서 도출한 성비에 대한 연구, 특히 해밀턴(1967)의 무적 전략 개념에서 유래했다. 메이너드 스미스는 진화적으로 안정한 전략의 개념을 개발하고 행동 진화에 게임 이론을 적용한 공로로 1999년 크라포드상을 공동 수상했다.[7]

2. 2. 사회 과학으로의 확장

사회생물학과 진화심리학 분야는 동물과 인간의 행동 및 사회 구조를 주로 진화적으로 안정한 전략의 관점에서 설명하려 한다. 소시오패시(만성적인 반사회적이거나 범죄적인 행동)는 두 가지 전략의 조합의 결과일 수 있다.[15]

진화적으로 안정한 전략은 원래 생물학적 진화를 위해 고려되었지만 다른 맥락에도 적용될 수 있다. 실제로 광범위한 적응 동역학에 안정한 상태가 존재한다. 결과적으로, 이는 유전적 영향이 없는 인간 행동을 설명하는 데 사용될 수 있다.

3. 이론적 배경

게임 이론에서 전통적인 해결 개념인 내시 균형은 플레이어의 인지 능력에 기반한다. 플레이어는 게임의 구조를 알고, 의식적으로 상대방의 수를 예측하여 자신의 보수를 최대화한다고 가정한다. 또한 모든 플레이어가 이를 알고 있다고 가정한다(공통 지식). 이러한 가정은 플레이어가 왜 내시 균형 전략을 선택하는지 설명하는 데 사용된다.

진화적으로 안정한 전략(ESS)은 완전히 다른 동기를 갖는다. 플레이어의 전략은 생물학적으로 인코딩되고 유전 가능하다고 가정한다. 개인은 자신의 전략을 제어할 수 없으며 게임을 알 필요도 없다. 그들은 번식하고 자연 선택의 힘에 종속되며, 게임의 보수는 생식 성공(생물학적 적합도)을 나타낸다. 돌연변이와 같은 과정을 통해 게임의 대체 전략이 가끔 발생한다고 할 때, ESS가 되려면 전략이 이러한 대안에 저항해야 한다.

근본적으로 다른 동기 부여 가정을 고려할 때, ESS와 내시 균형이 종종 일치한다는 것은 놀라운 일이다. 실제로 모든 ESS는 내시 균형이지만, 일부 내시 균형은 ESS가 아니다.

3. 1. 게임 이론과의 관계

게임 이론에서 전통적인 해결 개념인 내시 균형은 플레이어가 게임의 구조를 알고, 상대방의 수를 예측하여 자신의 보수를 최대화하려 한다고 가정한다. 모든 플레이어가 이를 알고 있다는 공통 지식도 가정된다.

반면, 진화적으로 안정한 전략(ESS)은 플레이어의 전략이 생물학적으로 인코딩되고 유전 가능하다고 가정한다. 개인은 자신의 전략을 제어할 수 없고 게임을 알 필요도 없다. 그들은 번식하고 자연 선택의 힘에 종속되며, 게임의 보수는 생식 성공(생물학적 적합도)을 나타낸다. 돌연변이 등으로 대체 전략이 발생할 때, ESS는 이러한 대안에 저항해야 한다.

근본적으로 다른 가정에도 불구하고, ESS와 내시 균형은 종종 일치한다. 모든 ESS는 내시 균형이지만, 일부 내시 균형은 ESS가 아니다. ESS는 정교화된 형태의 내쉬 균형이다.

메이너드 스미스와 프라이스[2]는 전략 ''S''가 ESS가 되기 위한 두 가지 조건을 제시했다. 모든 ''T''≠''S''에 대해, 다음 중 하나가 성립해야 한다.

# E(''S'',''S'') > E(''T'',''S''), '''또는'''

# E(''S'',''S'') = E(''T'',''S'') and E(''S'',''T'') > E(''T'',''T'')

첫 번째 조건은 ''엄격한'' 내쉬 균형,[9] 두 번째 조건은 "메이너드 스미스의 두 번째 조건"이라고 불린다. 두 번째 조건은 전략 ''T''가 전략 ''S''에 대해 중립적이지만, 전략 ''S''를 계속 사용하는 집단이 ''T''에 대해 유리하다는 것을 의미한다.

토마스(Thomas)는 ESS의 다른 정의를 제시했다.[10] 모든 ''T''≠''S''에 대해 다음을 요구한다.

# E(''S'',''S'') ≥ E(''T'',''S''), '''and'''

# E(''S'',''T'') > E(''T'',''T'')

첫 번째 조건은 전략이 내쉬 균형임을, 두 번째 조건은 메이너드 스미스의 두 번째 조건을 충족함을 명시한다. 두 정의가 완전히 동일하지는 않다.

진화적 안정성은 여러 전략이 섞인 상태에서의 안정성 개념이다. 이를 정의하기 위해 개별 개체의 이득을 게임 이론적으로 정의해야 한다. 이득은 다른 개체와 게임을 했을 때 얻을 수 있는 실수값으로, 자신이 취한 전략과 상대방이 취한 전략의 결과로 결정된다.

순수 전략 ''i''를 취하는 개체 ''P''가 순수 전략 ''j''를 취하는 다른 개체 ''Q''와 게임을 할 때, 개체 ''P''는 이득

:E(i,j)

을 획득한다. ''i'', ''j''에 E(i,j)를 대응시키는 함수 ''E''를 개체 ''P''의 이득 함수라고 한다.

진화적 안정성을 정의할 때는 모든 개체에 동일한 이득 함수가 적용되는 것을 전제로 한다. 따라서 순수 전략 ''i''를 취하는 개체 ''P''가 순수 전략 ''j''를 취하는 다른 개체 ''Q''와 싸울 때, 개체 ''Q''가 얻는 이득을

:E'(i,j)

라고 하면,

:E'(i,j)=E(j,i)

가 임의의 ''i''，''j''에 대해 성립해야 한다. 이러한 성질을 만족하는 게임을 대칭 게임이라고 한다.

혼합 전략을 취하는 개체의 이득은 순수 전략에 대한 이득의 기대값으로 정의된다. 즉, 각 개체가 취할 수 있는 순수 전략에 1부터 n까지 번호를 매기고, 순수 전략 i를 취할 확률이 p_i인 혼합 전략을 (p_i)_{i=1,\ldots,n}으로 표기하면, 개체 ''P''와 ''Q''가 각각 혼합 전략 \sigma=(p_i)_{i=1,\ldots,n}, \xi=(q_i)_{i=1,\ldots,n}를 취할 때 ''P''의 이득은,

:E(\sigma,\tau)=\sum_{i,j}p_iq_jE(i,j)

에 의해 정의된다.

3. 2. 수학적 정의

ESS는 내쉬 균형을 정교화한 개념이다. 내쉬 균형에서는 모든 플레이어가 각자의 역할을 수행할 때, 어떤 플레이어도 다른 전략으로 전환하여 이득을 얻을 수 없다. 2인 게임에서 이는 전략 쌍으로 나타난다. E(''S'',''T'')는 전략 ''T''에 대해 전략 ''S''를 사용할 때의 보상을 나타낸다. 전략 쌍 (''S'', ''S'')는 2인 게임에서 다음 조건을 만족할 때만 내쉬 균형이 된다. 즉, 두 플레이어 모두, 모든 전략 ''T''에 대해 다음이 성립한다.

:E(''S'',''S'') ≥ E(''T'',''S'')

이 정의에서 전략 ''T''≠''S''는 ''S''에 대한 중립적인 대안이 될 수 있다(동일한 점수를 얻지만 더 좋지는 않음).

내쉬 균형은 ''T''가 동등한 점수를 얻더라도, 플레이어가 ''S'' 대신 ''T''를 채택할 장기적인 인센티브가 없다는 가정 하에 안정적인 것으로 추정된다.

메이너드 스미스와 프라이스[2]는 전략 ''S''가 ESS가 되기 위한 두 가지 조건을 명시했다. 모든 ''T''≠''S''에 대해, 다음 중 하나가 성립한다.

1. E(''S'',''S'') > E(''T'',''S''), '''또는'''

2. E(''S'',''S'') = E(''T'',''S'') and E(''S'',''T'') > E(''T'',''T'')

첫 번째 조건은 때때로 ''엄격한'' 내쉬 균형이라고 불린다.[9] 두 번째 조건은 때때로 "메이너드 스미스의 두 번째 조건"이라고 불린다. 두 번째 조건은 전략 ''T''가 전략 ''S''에 대한 보상에 대해 중립적이지만, 전략 ''S''를 계속 사용하는 플레이어 집단이 ''T''에 대해 플레이할 때 유리하다는 것을 의미한다.

토마스(Thomas)는 ESS의 다른 강력한 정의를 제시했다.[10] 이 정의는 모든 ''T''≠''S''에 대해 다음을 요구한다.

1. E(''S'',''S'') ≥ E(''T'',''S''), '''and'''

2. E(''S'',''T'') > E(''T'',''T'')

첫 번째 조건은 전략이 내쉬 균형임을 명시하고, 두 번째 조건은 메이너드 스미스의 두 번째 조건을 충족함을 명시한다. 두 정의가 정확히 동일하지는 않다.

말로 표현하면, 이 정의는 다음과 같다. 두 플레이어 모두 전략 S를 플레이할 때 첫 번째 플레이어의 보상이 다른 전략 T로 변경하고 두 번째 플레이어가 자신의 전략 S를 유지할 때 첫 번째 플레이어의 보상보다 높고(또는 같고) ''그리고'' 상대방만 전략을 T로 변경할 때 첫 번째 플레이어의 보상이 두 플레이어 모두 전략을 T로 변경할 때의 보상보다 높다.

이 공식은 ESS에서 내쉬 균형 조건의 역할을 더 명확하게 강조한다. 또한 약한 ESS 또는 진화적으로 안정한 집합과 같은 관련 개념의 자연스러운 정의를 허용한다.[10]

3. 3. 내시 균형과의 비교

게임 이론에서 전통적인 해결 개념인 내시 균형은 플레이어들이 게임의 구조를 알고, 상대방의 수를 예측하여 자신의 보수를 최대화하려 한다는 가정에 기반한다. 반면, 진화적으로 안정한 전략(ESS)은 플레이어의 전략이 생물학적으로 결정되고 유전 가능하며, 플레이어는 자신의 전략을 제어하거나 게임을 알 필요가 없다는, 완전히 다른 동기에서 출발한다.

이러한 근본적인 차이에도 불구하고, ESS와 내시 균형이 일치하는 경우가 많다는 점은 주목할 만하다. 실제로 모든 ESS는 내시 균형이지만, 일부 내시 균형은 ESS가 아니다. ESS는 정교화된 또는 수정된 형태의 내쉬 균형이다.

메이너드 스미스와 프라이스[2]는 전략 ''S''가 ESS가 되기 위한 두 가지 조건을 제시했다. 모든 ''T''≠''S''에 대해, 다음 중 하나가 성립해야 한다.

# E(''S'',''S'') > E(''T'',''S'') ('''엄격한''' 내쉬 균형[9])

# E(''S'',''S'') = E(''T'',''S'') and E(''S'',''T'') > E(''T'',''T'') (메이너드 스미스의 두 번째 조건)

두 번째 조건은 전략 ''T''가 전략 ''S''에 대한 보상에 대해 중립적이지만, 전략 ''S''를 계속 사용하는 플레이어 집단이 ''T''에 대해 플레이할 때 유리하다는 것을 의미한다.

토마스(Thomas)는 ESS의 다른 강력한 정의[10]를 제시했는데, 이는 ESS 개념에서 내쉬 균형 개념의 역할에 대해 다른 강조점을 둔다. 모든 ''T''≠''S''에 대해 다음을 요구한다.

# E(''S'',''S'') ≥ E(''T'',''S'')

# E(''S'',''T'') > E(''T'',''T'')

이 정의는 ESS에서 내쉬 균형 조건의 역할을 더 명확하게 강조한다.

대부분의 간단한 게임에서 ESS와 내쉬 균형은 완벽하게 일치한다. 예를 들어, 죄수의 딜레마에는 하나의 내쉬 균형(''배신'')이 있으며, 이는 ESS이기도 하다.

그러나 어떤 게임은 ESS가 아닌 내쉬 균형을 가질 수 있다. 예를 들어, '이웃에게 해를 끼치는 게임'에서 (''A'', ''A'')와 (''B'', ''B'')는 모두 내쉬 균형이지만, ''B''만이 ESS이다. ''A''는 ESS가 아닌데, ''B''는 ''A'' 전략가의 집단에 중립적으로 침투하여 우위를 점할 수 있기 때문이다.

'모두에게 해를 끼치는' 게임처럼, 동일한 점수를 내는 대안이 있는 내쉬 균형은 ESS가 될 수 있다. ''C''는 메이너드 스미스의 두 번째 조건을 만족하기 때문에 ESS이다.

치킨 게임과 같이 순수 전략 내쉬 균형이 있더라도, 그러한 순수 전략 중 어느 것도 ESS가 아닐 수 있다. 이 게임에는 두 개의 순수 전략 내쉬 균형(''회피'', ''유지'')과 (''유지'', ''회피'')이 있지만, 비상관 비대칭성이 없는 경우 ''회피''나 ''유지''는 ESS가 아니다. 이 게임의 ESS인 세 번째 내쉬 균형, 즉 혼합 전략이 있다.

내쉬 균형은 "전략 집합"(각 플레이어에 대한 전략의 사양)에 대해 정의되는 반면, ESS는 전략 자체에 따라 정의된다. ESS에 의해 정의된 균형은 항상 대칭 균형이어야 하며, 따라서 더 적은 균형점을 갖는다.

4. 예시



진화적으로 안정한 전략(ESS) 개념은 다양한 상황에서 어떤 전략이 안정적으로 유지될 수 있는지 설명하는 데 유용하다. 몇 가지 예를 통해 ESS를 더 자세히 살펴보자.


  • '''원숭이의 이 잡아주기''': 원숭이의 이 잡아주기 예시에서는 "협력"과 "사기" 두 가지 전략이 존재한다. "협력"은 서로 이를 잡아주는 행동이고, "사기"는 이를 잡아주지 않고 도망가는 행동이다. 이 상황에서 협력 전략은 사기 전략의 침입을 막아낼 수 있는 ESS이다.

  • '''매-비둘기 게임''': 매-비둘기 게임에서는 자원을 두고 경쟁할 때 "매 전략"(싸움)과 "비둘기 전략"(도망)이 나타난다. 이 경우, 매 전략과 비둘기 전략이 섞여 있는 상태가 ESS가 된다.

  • '''죄수의 딜레마''': 죄수의 딜레마에서는 "협력"과 "배신" 두 가지 전략이 존재한다. 단 한 번의 게임에서는 "배신"이 항상 유리하지만, 게임이 반복되면 눈에는 눈 전략과 같이 상황에 따라 협력과 배신을 선택하는 전략이 ESS가 될 수 있다.


어떤 게임은 ESS가 아닌 내쉬 균형을 가질 수 있다. 예를 들어, 이웃에게 해를 끼치는 게임에서 (''A'', ''A'')와 (''B'', ''B'')는 모두 내쉬 균형이다. 왜냐하면 플레이어는 어느 쪽에서든 벗어나는 것보다 더 잘할 수 없기 때문이다. 그러나 ''B''만이 ESS이다(그리고 강한 내쉬). ''A''는 ESS가 아니므로 ''B''는 ''A'' 전략가의 집단에 중립적으로 침투하여 우위를 점할 수 있다.

동일한 점수를 내는 대안이 있는 내쉬 균형은 ESS가 될 수 있다. 예를 들어, "모두에게 해를 끼치는" 게임에서 ''C''는 메이너드 스미스의 두 번째 조건을 만족하기 때문에 ESS이다. ''D'' 전략가는 ''C''에 대해 동등하게 좋은 점수를 냄으로써 일시적으로 ''C'' 전략가의 집단에 침투할 수 있지만, 서로 대결하기 시작하면 대가를 치른다. 따라서 E(''C'', ''C'') = E(''D'', ''C'')이지만, E(''C'',''D'') > E(''D'',''D'')인 경우이기도 하다. 결과적으로 ''C''는 ESS이다.

게임에 순수 전략 내쉬 균형이 있더라도 그러한 순수 전략 중 어느 것도 ESS가 아닐 수 있다. 치킨 게임에는 두 개의 순수 전략 내쉬 균형(''회피'', ''유지'')과 (''유지'', ''회피'')이 있지만, 비상관 비대칭성이 없는 경우 ''회피''나 ''유지''는 ESS가 아니다. 이 게임의 ESS인 세 번째 내쉬 균형, 즉 혼합 전략이 있다(설명은 호크-비둘기 게임 및 최적 응답 참조).

내쉬 균형은 "전략 집합"(각 플레이어에 대한 전략)에 대해 정의되는 반면, ESS는 전략 자체에 따라 정의된다. ESS에 의해 정의된 균형은 항상 대칭 균형이어야 하며, 따라서 더 적은 균형점을 갖는다.

4. 1. 원숭이의 이 잡아주기

어떤 원숭이 무리에서 한 원숭이가 다른 원숭이를 만났을 때 보이는 반응은 두 가지이다. 하나는 "협력"으로, 처음 보거나 이전에 자신의 몸의 이를 잡아 준 적이 있는 원숭이의 몸의 이를 잡아 주는 것이다. 다른 하나는 "사기"로, 상대 원숭이가 자신의 몸의 이를 잡아 줄 때까지 기다렸다가 끝나면 자신은 상대 원숭이 몸의 이를 잡아 주지 않고 도망가는 것이다. 협력하는 원숭이는 자신에게 한 번 사기를 친 원숭이를 다시 만나면 기억하고 있다가 이를 잡아 주지 않는다. 몸에 이가 있으면 피를 빼앗기고 병에 걸릴 수 있으므로, 이를 제거하는 것은 매우 유익하다. 그리고 상대의 이를 잡아 주는 것은 자신의 시간과 힘이 들므로 약간 손해이다.[1]

모든 원숭이가 사기를 치는 경우, 모두 이를 제거하지 못해 건강이 악화된다. 이때 유전자 돌연변이로 협력하는 원숭이가 한 마리 태어나면, 이 원숭이는 다른 원숭이에 비해 오히려 약간 손해를 본다. 자신의 몸의 이는 제거하지 못했지만 상대방의 이를 잡아 주기 때문이다. 그러나 이 원숭이가 자식을 여럿 낳아 협력 유전자가 전달되면, 이들은 가까이 모여 살 가능성이 커 서로 자주 만나게 된다. 협력하는 원숭이끼리 만나면 모두 몸의 이를 제거하는 큰 이익을 얻는다. 이들은 이를 제거하지 못한 사기꾼 원숭이들보다 더 건강하게 되고, 더 많은 자손을 낳을 수 있다. 따라서 세대가 지날수록 협력하는 원숭이의 비율이 커진다. 결국 사기 전략은 진화적으로 안정한 전략이 아니고, 협력 전략이 무리에 퍼진다.[1]

무리 전체가 협력할 때, 돌연변이로 사기 치는 원숭이가 태어나면 처음에는 모든 원숭이에게서 이를 제거받아 이익을 얻는다. 그러나 주변 원숭이 수는 무한하지 않으므로, 결국 만났던 원숭이를 다시 만나게 되고, 더는 이를 제거받을 수 없게 된다. 이는 장기적으로 처음에 얻었던 이익보다 훨씬 큰 손해이다. 이 원숭이는 건강이 악화되고 자식을 적게 남길 확률이 크다. 자식에게 사기 유전자가 전달되면 상황은 더 악화된다. 부모 때는 처음 만나는 모든 원숭이가 협력했지만, 자식 때는 형제들이 사기꾼이기 때문이다. 사기꾼끼리 만나면 아무도 이를 제거하지 못해 건강상 큰 손해를 보고, 적은 자손을 남긴다. 따라서 협력 전략은 사기 전략의 침범을 받지 않는 진화적으로 안정한 전략이다.[1]

4. 2. 매-비둘기 게임

어떤 동물 종에서 짝짓기 상대나 먹이와 같은 자원을 두고 같은 종의 개체끼리 경쟁할 때, 서로 죽이는 싸움 대신 위협과 같은 의례적인 싸움으로 결판을 짓는 경우가 있다.[17]

이러한 의례적 싸움이 발달한 이유에 대해, 진화적 안정성 개념이 등장하기 전에는 "싸움에서 서로 죽이는 종은 멸종하므로, 의례적 싸움을 하는 종만이 살아남았다"와 같은 집단 선택적 설명[18]이 제시되곤 했다.

하지만 자연 선택의 대상이 개별 개체라는 점을 고려하면, 집단 선택적 설명으로는 의례적 싸움이 많은 종에서 발달한 것을 설명하기 어렵다. 또한, 실제 동물의 싸움을 관찰하면 싸움이 격해져 서로 상처를 입거나 죽는 경우도 드물지 않다는 점[17]도 앞서 언급한 설명과 맞지 않는다.

따라서 의례적 싸움과 같은 현상을 집단 선택이 아닌, "자연 선택설에 의해 번식 성공률이 높은 적응 전략이 종에 퍼져나간다"는 생물 진화의 기본 원칙으로 설명하기 위한 틀이 바로 진화적 안정성이다.

이야기를 간단히 하기 위해, 동물의 전략이 "매 전략"과 "비둘기 전략" 두 가지로만 구성된 경우를 생각해 보자. 매 전략은 싸움이 격화될 경우 싸우는 전략이고, 비둘기 전략은 싸움이 격화될 경우 도망치는 전략이다.

만약 같은 동물 종에 속하는 모든 개체가 항상 비둘기 전략을 취한다면, 의례적이든 실제적이든 싸움은 일어나지 않을 것이다. 그러나 이 종에 돌연변이 등으로 매 전략을 취하는 개체가 조금이라도 침입하면, 주변의 비둘기 전략 개체는 모두 도망치므로 매 전략을 가진 개체가 압도적으로 유리해져 자손을 남기고 종에 매 전략이 퍼지게 된다. 따라서 비둘기 전략만 가진 종은 안정되지 않는다.

반대로 모든 개체가 항상 매 전략을 취한다면, 싸움은 항상 격화될 것이다. 여기에 비둘기 전략 개체가 침입하면, 다른 개체가 싸움으로 쇠약해진 가운데 싸움에서 도망치는 비둘기 전략 개체만 유리해져 비둘기 전략이 종에 퍼지게 된다. 따라서 매 전략만 가진 종도 안정되지 않는다.

이처럼 비둘기 전략과 매 전략 개체가 섞여 있는 상태에서 종은 안정된다. 이 상태에서는 싸움 상대가 비둘기 전략인지 매 전략인지 가려내는 것이 중요해지므로, 의례적 싸움이 발달하게 된다.

진화적 안정성은 여러 전략이 섞인 상태에서의 안정성 개념이다.

아래는 위에서 언급한 매 전략과 비둘기 전략으로 구성된 진화 게임(매-비둘기 게임)의 보수표이다.[19]

매비둘기
매(V-C)/2, (V-C)/2V, 0
비둘기0, VV/2, V/2



여기서 V는 두 개체가 다투는 자원(예: 먹이)을 얻었을 때의 이득이고, C는 투쟁으로 인해 부상을 입는 손실이다.

보수표에서 세로축은 개체 A의 전략, 가로축은 개체 B의 전략이며, 표 안의 (○, △)는 A, B의 보수가 각각 ○, △임을 의미한다. 예를 들어 표의 왼쪽 아래 칸에 있는 (0, V)는 개체 A가 비둘기 전략, 개체 B가 매 전략일 때 A, B의 보수가 각각 0, V임을 뜻한다. 표의 왼쪽 위와 오른쪽 아래 값이 2로 나누어진 것은 두 개체가 자원을 나누어 가졌기 때문이다.

4. 3. 죄수의 딜레마

죄수의 딜레마는 이타주의와 사회적 협력의 일반적인 모델이다. 이 모델에서 플레이어 집단은 '협력'을 선택하면 모두에게 더 나은 결과가 돌아오지만, 각 개인은 '배신'을 선택하는 것이 더 유리하기 때문에 '배신'할 유인이 있다.

이 문제에 대한 한 가지 해결책은 개인이 같은 플레이어를 상대로 게임을 반복하는 것이다. 이를 통해 보복의 가능성이 생긴다. 소위 ''반복된'' 죄수의 딜레마에서, 동일한 두 명의 개인이 죄수의 딜레마를 반복해서 플레이한다. 죄수의 딜레마는 단 두 가지 전략('협력'과 '배신')만 있지만, 반복된 죄수의 딜레마는 매우 많은 가능한 전략을 가진다. 개인이 각 상황에 대해 다른 계획을 세울 수 있고 게임이 무한히 반복될 수 있기 때문에, 실제로 무한대의 이러한 계획이 존재할 수 있다.

주목할 만한 세 가지 간단한 계획은 ''항상 배반'', ''항상 협력'', 그리고 ''눈에는 눈''이다. 처음 두 전략은 상대방의 행동과 관계없이 같은 행동을 하는 반면, ''눈에는 눈'' 전략은 이전 라운드에서 상대방이 한 행동에 따라 다음 라운드에서 반응한다. 즉, ''협력''에는 ''협력''으로, ''배반''에는 ''배반''으로 대응한다.

만약 전체 인구가 ''눈에는 눈''을 플레이하고 ''항상 배반''을 하는 돌연변이가 나타나면, ''눈에는 눈''은 ''항상 배반''보다 더 나은 결과를 얻는다. 돌연변이의 인구가 너무 커지면 돌연변이의 비율은 작게 유지된다. 따라서 ''눈에는 눈''은 '''''이 두 전략에 대해서만''''' 진화적으로 안정한 전략(ESS)이다. 반면에 ''항상 배반'' 플레이어의 섬은 소수의 ''눈에는 눈'' 플레이어의 침입에는 안정적이지만, 다수의 침입에는 안정적이지 않다.[14] 만약 ''항상 협력''을 도입한다면, ''눈에는 눈''의 인구는 더 이상 ESS가 아니다. ''눈에는 눈'' 플레이어의 인구는 항상 협력하므로, ''항상 협력'' 전략은 이 인구에서 동일하게 행동한다. 결과적으로, ''항상 협력''을 플레이하는 돌연변이는 제거되지 않는다. 그러나 ''항상 협력''과 ''눈에는 눈''의 인구가 공존할 수 있더라도, ''항상 배반''의 작은 비율의 인구가 있다면 선택적 압력은 ''항상 협력''에 불리하고 ''눈에는 눈''에 유리하게 작용한다. 이것은 상대방이 배반할 경우 협력하는 것보다 배반하는 것이 더 낮은 보상을 받기 때문이다.

대부분의 간단한 게임에서 ESS와 내쉬 균형은 완벽하게 일치한다. 예를 들어, 죄수의 딜레마에는 하나의 내쉬 균형만 있으며, 그 전략(''배신'')은 ESS이기도 하다.

5. 비대칭 게임

비대칭 게임은 게임 참여자들이 서로 다른 역할, 전략, 또는 정보를 가지고 있는 상황을 말한다. 이러한 비대칭성은 게임의 결과와 진화적으로 안정한 전략(ESS)에 큰 영향을 미칠 수 있다.

5. 1. 비대칭 게임의 정의

거리를 사용해 진화적 안정성을 다음과 같이 정의할 수 있다.[26][28][29]

두 혼합 전략 \sigma_*=(p_i)_{i=1,\ldots,n}, \sigma=(q_i)_{i=1,\ldots,n}의 거리는 다음과 같이 정의된다.[28]

:\mathrm{d}(\sigma_*,\sigma):=\sqrt{\sum_{i=1}^n|p_i-q_i|^2}

ℓ1 거리를 사용하여 다음과 같이 정의해도 된다.

:\mathrm{d}(\sigma_*,\sigma):=\sum_{i=1}^n|p_i-q_i|

이 정의는 광범위한 진화 게임에 대해 진화적 안정성의 개념을 일반화하는 경우에 유용하며[31], 일반화하는 방법에 따라 neighborhood invader strategy, neighborhood superior 등으로도 불린다.[31]

5. 2. 대칭화

혼합 전략 \sigma_*=(p_i)_{i=1,\ldots,n}, \sigma=(q_i)_{i=1,\ldots,n}의 '''거리'''를

:\mathrm{d}(\sigma_*,\sigma):=\sqrt{\sum_{i=1}^n|p_i-q_i|^2}

로 정의할 때[28], 진화적 안정성을 다른 각도에서 특징지을 수 있다[26][28][29]. 위에서 거리를 위 식으로 정의했지만, ESS의 다른 정의에서 본질적인 것은 거리 자체가 아니라 거리에서 정해지는 위상 구조이므로[30], 위 식 대신 다음과 같은 ℓ1 거리

:\mathrm{d}(\sigma_*,\sigma):=\sum_{i=1}^n|p_i-q_i|

를 사용하여 정의해도 동치가 된다.

ESS의 다른 정의는 보다 광범위한 진화 게임에 대해 진화적 안정성의 개념을 일반화하는 경우에 유용하며[31], 일반화하는 방법에 따라 neighborhood invader strategy, neighborhood superior 등으로도 불린다[31].

6. 복제자 동역학

복제자 동역학은 진화 게임 이론에서 개체군 내 특정 전략의 비율이 어떻게 변화하는지를 설명하는 데 사용되는 개념이다.

동물이 짝짓기 상대나 먹이와 같은 자원을 두고 같은 종의 개체와 경쟁할 때, 서로 죽이는 싸움을 피하고 위협과 같은 의례적인 싸움으로 결착을 짓는 경우가 있다.[17] 이러한 의례적 싸움은 집단 선택적인 이유[18]가 아닌, 자연 선택설에 의해 번식 성공률이 높은 적응 전략이 종에 퍼져나간다는 생물 진화의 기본 원칙으로 설명하기 위한 진화적 안정성 개념으로 설명할 수 있다. 실제 동물의 싸움에서는 싸움이 격화되어 서로 상처를 입거나 죽이는 경우도 드물지 않게 관찰된다.[17]

진화적 안정성은 여러 전략이 뒤섞인 상태에서의 안정성 개념이다. 개별 개체의 이득은 게임 이론적으로 정의되며, 다른 개체와의 게임에서 얻는 실수값으로 표현된다. 이 값은 자신이 취한 전략과 상대방의 전략에 따라 결정된다. 순수 전략 ''i''를 취하는 개체 ''P''가 순수 전략 ''j''를 취하는 다른 개체 ''Q''와 게임을 할 때, 개체 ''P''는 이득 E(i,j)를 얻는다. ''i'', ''j''에 E(i,j)를 대응시키는 함수 ''E''는 개체 ''P''의 이득 함수이다.

이득 함수는 게임 시작 전 외부 상황에 의해 결정되며, 개별 개체는 주어진 이득 함수에서 이득을 최대화하도록 전략을 선택한다. 진화적 안정성을 정의할 때는 모든 개체에 동일한 이득 함수가 적용된다고 가정한다. 따라서 순수 전략 ''i''를 취하는 개체 ''P''가 순수 전략 ''j''를 취하는 다른 개체 ''Q''와 싸울 때, 개체 ''Q''가 얻는 이득은 E'(i,j) = E(j,i)이다. 이러한 이득 함수를 가진 게임을 대칭 게임이라고 한다.

혼합 전략을 취하는 개체의 이득은 순수 전략에 대한 이득의 기대값으로 정의된다. 개체가 취할 수 있는 순수 전략에 번호를 매기고, 순수 전략 i를 취할 확률이 p_i인 혼합 전략을 (p_i)_{i=1,\ldots,n}으로 표기한다. 개체 ''P''와 ''Q''가 각각 혼합 전략 \sigma=(p_i)_{i=1,\ldots,n}, \xi=(q_i)_{i=1,\ldots,n}를 취할 때 ''P''의 이득은 E(\sigma,\tau)=\sum_{i,j}p_iq_jE(i,j)로 정의된다.

내쉬 균형은 게임 이론에서 중요한 균형 개념이며, 진화적 안정성은 (\sigma_*,\sigma_*)의 내쉬 균형과 관련 있다. 2인 대칭 전략형 게임에서 혼합 전략 쌍 (\sigma_*,\sigma_*)가 내쉬 균형이라는 것은 임의의 혼합 전략 \sigma에 대해 E(\sigma_*,\sigma_*)\ge E(\sigma,\sigma_*)가 성립하는 것을 의미한다. 부등호가 등호 없이 성립하는 경우는 엄격한 내쉬 균형이라고 한다.

다음과 같은 사실이 성립한다[33]:


  • 임의의 2인 대칭 전략형 게임에서 (\sigma_*,\sigma_*)가 엄격한 내쉬 균형이면 \sigma_*는 진화적으로 안정하고, \sigma_*가 진화적으로 안정하면 (\sigma_*,\sigma_*)는 내쉬 균형이다.


그러나 역은 일반적으로 성립하지 않는다[33]。

매-비둘기 게임에 적용하면 다음이 성립한다[34]:

  • V이면, "확률 V/C로 매 전략, 확률 1-(V/C)로 비둘기 전략"이라는 혼합 전략은 진화적으로 안정적이다.
  • V\geqq C이면, "확률 1로 매 전략"이라는 순수 전략이 진화적으로 안정적이다. 이는 이득 V가 매우 높은 자원을 두고 다툴 경우에는 의례적인 싸움이 아니라 직접적인 싸움이 벌어진다는 것을 의미한다.

6. 1. 복제자 방정식

진화적 안정성을 설명하기 위해 동물이 짝짓기 상대나 먹이와 같은 자원을 두고 같은 종의 개체와 경쟁하는 상황을 예로 들어볼 수 있다. 이때 서로 죽이는 싸움을 피하고 위협과 같은 의례적인 싸움으로 결착을 짓는 경우가 있다.[17]

이러한 의례적 싸움이 발달한 원인으로, 진화적 안정성 개념이 등장하기 전에는 "싸움에서 서로 죽이는 종은 멸종해 버리므로, 의례적 싸움을 하는 종만이 살아남았다"와 같은 집단 선택적인 이유[18]가 종종 제시되었다.

그러나 자연 선택의 대상이 개별 개체라는 점을 고려하면, 집단 선택적인 이유로는 의례적 싸움이 수많은 종에서 발달한 것을 제대로 설명할 수 없다. 또한, 실제 동물의 싸움을 관찰하면, 싸움이 격화되어 서로 상처를 입히거나 죽이는 경우도 드물지 않다[17]는 점도 앞서 언급한 이유와 일치하지 않는다.

그래서 의례적 싸움과 같은 현상을 집단 선택에 의존하지 않고, "자연 선택설에 의해 번식 성공률이 높은 적응 전략이 종에 퍼져나간다"는 생물 진화의 기본적인 원칙으로 설명하기 위한 틀이 진화적 안정성이다.

간단한 예시로, 동물의 전략이 "매 전략"과 "비둘기 전략" 두 가지로만 구성된 경우를 생각해보자. 매 전략은 싸움이 격화될 경우 싸우는 전략이고, 비둘기 전략은 싸움이 격화될 경우 도망치는 전략이다.

만약 같은 동물 종에 속하는 모든 개체가 항상 비둘기 전략을 취한다면, 의례적인 것이든 실제적인 것이든, 싸움은 일어나지 않을 것이다. 그러나 매 전략을 취하는 개체가 침입하면, 비둘기 전략의 개체는 모두 도망치기 때문에 매 전략을 가진 개체가 유리해져 종에 매 전략이 퍼지게 된다. 따라서 비둘기 전략만으로는 종이 안정되지 않는다.

반대로 모든 개체가 항상 매 전략을 취한다면, 싸움은 항상 격화될 것이다. 이때 비둘기 전략의 개체가 침입하면, 싸움에서 도망치는 비둘기 전략의 개체가 유리해져 비둘기 전략이 종에 퍼지게 된다. 따라서 매 전략만으로도 종은 안정되지 않는다.

이처럼 비둘기 전략과 매 전략의 개체가 섞여 있는 상태에서 종은 안정되며, 이때 싸움 상대가 어떤 전략을 취하는지 가려내는 것이 중요해지므로 의례적 싸움이 발달하게 된다.

진화적 안정성은 여러 전략이 뒤섞인 상태에서의 안정성 개념이다. 이를 정의하려면 개별 개체의 이득을 게임 이론적으로 정의해야 한다. 게임 이론에서 이득은 다른 개체와 게임을 했을 때 얻을 수 있는 실수값으로, 자신이 취한 전략과 상대방이 취한 전략의 결과로 결정된다.

순수 전략 ''i''를 취하는 개체 ''P''가 순수 전략 ''j''를 취하는 다른 개체 ''Q''와 게임을 할 때, 개체 ''P''는 '''이득''' E(i,j) 을 획득한다. ''i'', ''j''에 E(i,j)를 대응시키는 함수 ''E''를 개체 ''P''에 관한 '''이득 함수'''라고 한다.

이득 함수는 게임 시작 전에 외부 상황 등에 의해 정해지며, 개별 개체가 바꿀 수 없다. 개별 개체는 주어진 이득 함수에서 이득을 최대화하도록 자신의 전략을 선택할 뿐이다.

진화적 안정성을 정의할 때는 모든 개체에 동일한 이득 함수가 적용된다고 가정한다. 따라서 순수 전략 ''i''를 취하는 개체 ''P''가 순수 전략 ''j''를 취하는 다른 개체 ''Q''와 싸울 때, 개체 ''Q''가 얻는 이득을 E'(i,j) 라고 하면, 임의의 ''i'', ''j''에 대해 E'(i,j)=E(j,i) 가 성립한다. 이러한 이득 함수를 가진 게임을 '''대칭 게임'''이라고 한다.

혼합 전략을 취하는 개체의 이득은 순수 전략에 대한 이득의 기대값으로 정의된다. 각 개체가 취할 수 있는 순수 전략에 번호를 매기고, 순수 전략 i 를 취할 확률이 p_i 인 혼합 전략을 (p_i)_{i=1,\ldots,n}으로 표기하면, 개체 ''P''와 ''Q''가 각각 혼합 전략 \sigma=(p_i)_{i=1,\ldots,n}, \xi=(q_i)_{i=1,\ldots,n}를 취할 때 ''P''의 이득은 E(\sigma,\tau)=\sum_{i,j}p_iq_jE(i,j) 로 정의된다.

게임 이론에서 중요한 균형 개념으로 내쉬 균형이 있으며, 진화적 안정성은 (\sigma_*,\sigma_*)의 내쉬 균형과 관련 있다. 2인 대칭 전략형 게임에서 혼합 전략의 짝 (\sigma_*,\sigma_*)가 '''내쉬 균형'''이라는 것은 임의의 혼합 전략 \sigma 에 대해 E(\sigma_*,\sigma_*)\ge E(\sigma,\sigma_*) 이 성립하는 것을 의미한다. 특히 부등호가 등호 없이 성립하는 경우, (\sigma_*,\sigma_*)는 '''엄격한 내쉬 균형'''이라고 한다.

다음과 같은 사실이 성립한다[33]:

  • 임의의 2인 대칭 전략형 게임에 대해 다음이 성립한다: (\sigma_*,\sigma_*)는 엄격한 내쉬 균형 ⇒ \sigma_*는 진화적으로 안정 ⇒ (\sigma_*,\sigma_*)는 내쉬 균형


그러나 역은 일반적으로 성립하지 않는다[33]。

매 대 비둘기 게임에 적용하면 다음이 성립한다[34]:

  • V이면, "확률 V/C로 매 전략, 확률 1-(V/C)로 비둘기 전략"이라는 혼합 전략은 진화적으로 안정적이다.
  • V\geqq C이면, "확률 1로 매 전략"이라는 순수 전략이 진화적으로 안정적이다. 이는 이득 V가 매우 높은 자원을 두고 다툴 경우에는, 의례적인 싸움이 아니라 직접적인 싸움이 벌어진다는 것을 의미한다.

6. 1. 1. 이산 복제자 방정식

Evolutionary stable strategy영어에서 이산 복제자 방정식을 설명하기 위해, 동물이 짝짓기 상대나 먹이와 같은 자원을 두고 같은 종의 개체와 경쟁하는 상황을 예로 들어보자. 이때 서로 죽이는 싸움을 피하고 위협과 같은 의례적인 싸움으로 결착을 짓는 경우가 있다.

이러한 의례적 싸움이 발달한 원인에 대해, 진화적 안정성 개념이 등장하기 전에는 "싸움에서 서로 죽이는 종은 멸종해 버리므로, 의례적 싸움을 하는 종만이 살아남았다"와 같은 집단 선택적인 이유[18]가 제시되기도 했다.

하지만 자연 선택의 대상이 개별 개체라는 점을 고려하면, 집단 선택만으로는 의례적 싸움이 발달한 것을 설명하기 어렵다. 또한 실제 동물의 싸움을 관찰하면, 싸움이 격화되어 서로 상처를 입거나 죽는 경우도 드물지 않다[17]는 점도 집단 선택 이론과 맞지 않는다.

따라서 의례적 싸움과 같은 현상을 설명하기 위해, "자연 선택설에 의해 번식 성공률이 높은 적응 전략이 종에 퍼져나간다"는 생물 진화의 기본 원칙을 따르는 진화적 안정성 개념이 등장했다.

간단한 예시로, 동물의 전략이 "매 전략"과 "비둘기 전략" 두 가지로만 구성된 경우를 생각해보자. 매 전략은 싸움이 격화될 경우 싸우는 전략이고, 비둘기 전략은 싸움이 격화될 경우 도망치는 전략이다.

만약 같은 동물 종에 속하는 모든 개체가 항상 비둘기 전략을 취한다면, 싸움은 일어나지 않을 것이다. 그러나 매 전략을 취하는 개체가 침입하면, 비둘기 전략의 개체는 모두 도망치기 때문에 매 전략을 가진 개체가 유리해져 종에 매 전략이 퍼지게 된다. 따라서 비둘기 전략만으로는 종이 안정되지 않는다.

반대로 모든 개체가 항상 매 전략을 취한다면, 싸움은 항상 격화될 것이다. 이때 비둘기 전략의 개체가 침입하면, 싸움에서 도망치는 비둘기 전략의 개체가 유리해져 비둘기 전략이 종에 퍼지게 된다. 따라서 매 전략만으로도 종은 안정되지 않는다.

이처럼 비둘기 전략과 매 전략의 개체가 섞여 있는 상태에서 종은 안정되며, 이때 싸움 상대가 어떤 전략을 취하는지 가려내는 것이 중요해지므로 의례적 싸움이 발달하게 된다.

진화적 안정성은 여러 전략이 뒤섞인 상태에서의 안정성 개념이다. 이를 정의하려면 개별 개체의 이득을 게임 이론적으로 정의해야 한다. 게임 이론에서 이득은 다른 개체와 게임을 했을 때 얻을 수 있는 실수값으로, 자신이 취한 전략과 상대방이 취한 전략의 결과로 결정된다.

순수 전략 ''i''를 취하는 개체 ''P''가 순수 전략 ''j''를 취하는 다른 개체 ''Q''와 게임을 할 때, 개체 ''P''는 '''이득'''

:E(i,j)

을 획득한다. ''i'', ''j''에 E(i,j)를 대응시키는 함수 ''E''를 개체 ''P''에 관한 '''이득 함수'''라고 한다.

이득 함수는 게임 시작 전에 외부 상황 등에 의해 정해지며, 개별 개체가 바꿀 수 없다. 개별 개체는 주어진 이득 함수에서 이득을 최대화하도록 자신의 전략을 선택할 뿐이다.

진화적 안정성을 정의할 때는 모든 개체에 동일한 이득 함수가 적용된다고 가정한다. 따라서 순수 전략 ''i''를 취하는 개체 ''P''가 순수 전략 ''j''를 취하는 다른 개체 ''Q''와 싸울 때, 개체 ''Q''가 얻는 이득을

:E'(i,j)

라고 하면, 임의의 ''i'', ''j''에 대해

:E'(i,j)=E(j,i)

가 성립한다. 이러한 이득 함수를 가진 게임을 '''대칭 게임'''이라고 한다.

혼합 전략을 취하는 개체의 이득은 순수 전략에 대한 이득의 기대값으로 정의된다. 각 개체가 취할 수 있는 순수 전략에 번호를 매기고, 순수 전략 를 취할 확률이 인 혼합 전략을 (p_i)_{i=1,\ldots,n}으로 표기하면, 개체 ''P''와 ''Q''가 각각 혼합 전략 \sigma=(p_i)_{i=1,\ldots,n}, \xi=(q_i)_{i=1,\ldots,n}를 취할 때 ''P''의 이득은

:E(\sigma,\tau)=\sum_{i,j}p_iq_jE(i,j)

로 정의된다.

게임 이론에서 중요한 균형 개념으로 내쉬 균형이 있으며, 진화적 안정성은 (\sigma_*,\sigma_*)의 내쉬 균형과 관련 있다. 2인 대칭 전략형 게임에서 혼합 전략의 짝 (\sigma_*,\sigma_*)가 '''내쉬 균형'''이라는 것은 임의의 혼합 전략 에 대해

: E(\sigma_*,\sigma_*)\ge E(\sigma,\sigma_*)

이 성립하는 것을 의미한다. 특히 부등호가 등호 없이 성립하는 경우, (\sigma_*,\sigma_*)는 '''엄격한 내쉬 균형'''이라고 한다.

다음과 같은 사실이 성립한다[33]:

그러나 역은 일반적으로 성립하지 않는다[33]。

매 대 비둘기 게임에 을 적용하면 다음이 성립한다[34]:

  • 이면, "확률 로 매 전략, 확률 로 비둘기 전략"이라는 혼합 전략은 진화적으로 안정적이다.
  • 이면, "확률 1로 매 전략"이라는 순수 전략이 진화적으로 안정적이다. 이는 이득 가 매우 높은 자원을 두고 다툴 경우에는 의례적인 싸움이 아니라 직접적인 싸움이 벌어진다는 것을 의미한다.

6. 1. 2. 연속 복제자 방정식

에서 알 수 있듯이, 다음 사실이 성립한다.[33]

  • 임의의 2인 대칭 전략형 게임에 대해 다음이 성립한다.
  • (\sigma_*,\sigma_*)는 엄격한 내쉬 균형 ⇒ \sigma_*는 진화적으로 안정 ⇒ (\sigma_*,\sigma_*)는 내쉬 균형


그러나 역방향 포함 관계는 일반적으로 성립하지 않는다.[33]

앞서 언급한 매 대 비둘기 게임에 적용하면 다음이 성립함을 알 수 있다.[34]

  • 이면, "확률 로 매 전략, 확률 로 비둘기 전략"이라는 혼합 전략은 진화적으로 안정적이다.
  • 이면, "확률 1로 매 전략"이라는 순수 전략이 진화적으로 안정적이다. 이는 이득 가 매우 높은 자원을 두고 다툴 경우에는, 의례적인 싸움이 아니라 직접적인 싸움이 벌어진다는 것을 의미한다.


지금까지 이 글에서는 행렬 게임에 대한 진화적 안정성을 논의해 왔지만, 행렬 게임은 다음과 같은 조건을 만족하는 경우에만 현실 세계 생물의 투쟁을 모델링할 수 있다.

# 게임은 한 번만 진행된다.

# 각 개체가 취할 수 있는 순수 전략의 개수는 유한하다.

# 각 개체가 어떤 순수 전략을 취할지는 게임 시작 시점에 무작위로 선택할 수 있다.

# 게임은 항상 두 개체로 진행된다.

# 모든 개체에 대해 동일한 이득 함수가 적용되는 것을 전제로 한다.

그러나 실제 생물학적 응용에서는 위의 조건을 만족하지 않는 경우도 많다.

# 많은 상황에서 각 개체는 그 생애 동안 여러 번 다른 개체와 투쟁을 반복하므로 게임을 반복하는 형태로 모델링하는 것이 더 자연스러운 경우가 많다.

# "식물이 씨앗을 날리는 비거리"나 "동물이 행동을 시작하기까지의 시간"처럼 순수 전략으로 연속량을 취할 수 있는 경우에는 순수 전략의 개수가 무한하다.

# 포유류의 배우자 전략처럼 "수컷인가 암컷인가?"와 같이 태어난 단계에서 결정되는 전략은 게임 시작 시점에 무작위로 선택할 수 없다.

# 풀밭에서 씨앗을 뿌리고 근처에 있는 다른 모든 개체와 씨앗을 뿌리는 위치를 다투는 경우처럼, 여러 개체와 경쟁하는 게임도 많다.

# "수컷과 암컷", "영토를 지키는 개체와 거기에 침입하는 개체"처럼 비대칭적인 투쟁에서는 투쟁하는 개체가 어떤 입장에 있는지에 따라 이득 함수가 달라야 한다.

이 장의 목표는 위에서 언급한 행렬 게임의 범주에 속하지 않는 더 일반적인 게임에 대해 진화적 안정성을 정의하는 것이다.

6. 2. 복제자 방정식과 ESS의 관계

진화적 안정 전략(ESS)은 여러 전략이 혼합된 상태에서의 안정성 개념으로, 개별 개체의 이득을 게임 이론적으로 정의하여 설명한다. 게임 이론에서 이득은 다른 개체와의 상호작용에서 얻는 실숫값으로, 자신이 취하는 전략과 상대방의 전략에 따라 결정된다.[17]

순수 전략 ''i''를 선택한 개체 ''P''가 순수 전략 ''j''를 선택한 다른 개체 ''Q''와 게임을 할 때, 개체 ''P''가 얻는 이득은 E(i,j)로 표현된다. 함수 ''E''는 개체 ''P''의 이득 함수라고 불린다. 이득 함수는 게임 시작 전에 외부 상황에 의해 결정되며, 개체는 주어진 이득 함수에서 자신의 이득을 최대화하는 전략을 선택한다.

진화적 안정성을 정의할 때는 모든 개체가 동일한 이득 함수를 가진다고 가정한다. 따라서 순수 전략 ''i''를 선택한 개체 ''P''가 순수 전략 ''j''를 선택한 다른 개체 ''Q''와 상호작용할 때, 개체 ''Q''가 얻는 이득 E'(i,j)는 E'(i,j)=E(j,i)를 만족한다. 이러한 성질을 가진 게임을 대칭 게임이라고 한다.

혼합 전략을 사용하는 개체의 이득은 순수 전략에 대한 이득의 기대값으로 정의된다. 순수 전략 에 대해, 순수 전략 를 선택할 확률이 인 혼합 전략을 (p_i)_{i=1,\ldots,n}으로 나타낸다. 개체 ''P''와 ''Q''가 각각 혼합 전략 \sigma=(p_i)_{i=1,\ldots,n}, \xi=(q_i)_{i=1,\ldots,n}를 선택할 때, ''P''의 이득은 E(\sigma,\tau)=\sum_{i,j}p_iq_jE(i,j)로 정의된다.

내쉬 균형은 게임 이론에서 중요한 균형 개념으로, 진화적 안정성은 (\sigma_*,\sigma_*)의 내쉬 균형과 관련이 있다. 2인 대칭 전략형 게임에서 혼합 전략 쌍 (\sigma_*,\sigma_*)가 내쉬 균형이라는 것은, 임의의 혼합 전략 에 대해 E(\sigma_*,\sigma_*)\ge E(\sigma,\sigma_*)가 성립하는 것을 의미한다. 특히, 부등호가 등호 없이 성립하는 경우 (\sigma_*,\sigma_*)는 엄격한 내쉬 균형이라고 한다.

다음과 같은 관계가 성립한다:[33]

: (\sigma_*,\sigma_*)는 엄격한 내쉬 균형 ⇒ \sigma_*는 진화적으로 안정 ⇒ (\sigma_*,\sigma_*)는 내쉬 균형

그러나 위 명제의 역은 일반적으로 성립하지 않는다.[33]

매-비둘기 게임에 적용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다:[34]

  • 이면, "확률 로 매 전략, 확률 로 비둘기 전략"을 선택하는 혼합 전략은 진화적으로 안정적이다.
  • 이면, "확률 1로 매 전략"을 선택하는 순수 전략은 진화적으로 안정적이다. 이는 이득 가 매우 높은 자원을 두고 경쟁할 때는 의례적인 싸움 대신 직접적인 싸움이 발생한다는 것을 의미한다.

7. 한국 사회에의 시사점

진화적으로 안정한 전략은 본래 생물학적 진화를 설명하기 위해 고안되었지만, 다른 맥락에도 적용될 수 있다. 특히 유전적 영향이 없는 인간 행동을 설명하는 데에도 사용될 수 있다.

7. 1. 정치, 사회적 함의

사회생물학과 진화심리학 분야는 동물과 인간의 행동 및 사회 구조를 주로 진화적으로 안정한 전략의 관점에서 설명하려 한다. 소시오패시(만성적이거나 범죄적인 행동)는 두 가지 전략의 조합의 결과일 수 있다.[15]

진화적으로 안정한 전략은 원래 생물학적 진화를 위해 고려되었지만 다른 맥락에도 적용될 수 있다. 실제로 광범위한 적응 동역학에 안정한 상태가 존재한다. 결과적으로, 이는 유전적 영향이 없는 인간 행동을 설명하는 데 사용될 수 있다.

참조

[1] 서적 On Evolution https://archive.org/[...] Edinburgh University Press
[2] 논문 The logic of animal conflict
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[13] 논문 The evolution of bet-hedging adaptations to rare scenarios 2007-12-01
[14] 서적 The Evolution of Cooperation Basic Books
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[16] 문서 SP73
[17] 문서 本節は[[#巌佐98|巌佐98]] p211-214を参照した。なお、[[#巌佐98|巌佐98]]がここで出している例は[[ジョン・メイナード＝スミス]]と[[ジョージ・プライス (科学者)|ジョージ・プライス]]の原論文（[[#SP73|SP73]]）から引用したものである。
[18] 문서 SP73 p16
[19] 문서 巌佐98 p212
[20] 웹사이트 ORWiki 行列ゲーム http://www.orsj.or.j[...] 2019-02-07
[21] 문서 BR13 p.93
[22] 문서 CA16 p.5
[23] 문서 HS88（[[#JCL14|JCL14]] p995からの重引）、[[#A10|A10]] p13
[24] 문서 M16 p4
[25] 문서 PS94 p940
[26] 문서 進化的に安定な戦略#M16 p10
[27] 문서 本節は[[#A10|A10]] p13を参考にした
[28] 문서 M07 p7
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[30] 문서 M07 p3
[31] 문서 CA16 p9。
[32] 문서 PS94 p937, 939-940
[33] 문서 進化的に安定な戦略#A10 p18
[34] 문서 巌佐98 p213
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[36] 문서 M07
[37] 문서 BR13
[38] 문서 BR13
[39] 문서 BR13
[40] 문서 BR13
[41] 문서 BR13
[42] 문서 PS94
[43] 문서 BR13
[44] 문서 BR13
[45] 문서 BR13
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[48] 문서 BR13
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[50] 문서 BR13
[51] 문서
[52] 문서 BR13
[53] 문서 S07
[54] 문서 粕谷90
[55] 문서 S82
[56] 문서 BR13
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[63] 문서
[64] 문서 PS94
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[66] 문서 HS03
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[68] 문서 HS03
[69] 문서 HS03
[70] 문서
[71] 문서 HS03 p.486 "#HS03"
[72] 문서 HS03 p.503 "#HS03"
[73] 문서 PS94 pp.938-940 "#PS94"
[74] 문서 S72 "#S72"
[75] 문서 S74 "#S74"
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