차원 축소 (물리학)

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
참조

1. 개요

차원 축소는 D+n차원에서 정의된 장론을 콤팩트 리만 다양체 Σn을 통해 축소하여 D차원 장론으로 만드는 과정이다. 차원 축소는 주어진 이론을 M_D × Σ_n 꼴의 공간 위에 정의하고, Σ_n의 부피가 0이 되는 극한을 취함으로써 이루어진다. 차원 축소를 통해 양-밀스 장, 미분 형식, 중력장, 페르미온 등 다양한 장들이 변환되며, 특히 중력장은 스칼라장, 중력장, U(1) 게이지장으로 분해된다. 차원 축소의 한 예시로, 4차원 일반 상대성 이론을 3차원으로 축소하면, 3차원에서는 중력장이 국소 자유도를 갖지 않고 게이지장이 스칼라장과 동치이므로, 2개의 스칼라장만 남게 되어 시그마 모형으로 표현할 수 있다.

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차원 축소 (물리학)

2. 정의

$D+n$ 차원에서 어떤 장론이 주어졌을 때, 이를 축소화하여 $D$ 차원 장론으로 만드는 과정을 '''차원 축소'''라고 한다.

우선, 주어진 이론을 $M_D\times \Sigma_n$ 꼴의 공간 위에 정의한다. 여기서 $\Sigma_n$ 은 콤팩트 리만 다양체이며, 주로 $n$ 차원 원환면을 사용한다.

이후, $\Sigma_n$ 의 부피가 0이 되는 극한을 취한다. 그러면 질량이 $\Sigma_n$ 의 크기 역수에 비례하는 칼루차-클라인 장들은 무한대의 질량을 갖게 되어, 이론에서 적분하여 없앨 수 있게 된다.

결과적으로, $M_D$ 위에 정의되는 $D$ 차원 장론을 얻게 되는데, 이것이 원래 이론의 $D$ 차원 차원 축소이다.

3. 성질

여러 종류의 장들이 차원 축소 하에서 어떻게 변환되는지 자세히 기술한다.

$M,N,\dotsc\in\{0,1,\dotsc,D+n-1\}$ 는 $D+n$ 차원에서의 벡터 지표이다.
$\mu,\nu,\dotsc\in\{0,1,\dotsc,D-1\}$ 는 $D$ 차원에서의 벡터 지표이다.
$i,j,\dotsc\in\{D,D+1,\dotsc,D+n-1\}$ 는 축소된 차원들의 지표이다.

;스칼라장

스칼라장은 차원 축소 아래 하나의 스칼라장으로 남는다.

;양-밀스 장

D+n 차원에서, 게이지 군

G

에 대한 양-밀스 장

A^a_M

는

D

차원에서 1개의 양-밀스 장

A^a_\mu

및

n

개의 딸림표현 스칼라장

A_i^a

들로 분해된다.

;미분 형식

D+n

차원에서

p

차 미분 형식 게이지 장

A_{M_1\dotsb M_p}

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이는

D

차원에서 다음과 같은 장들을 이룬다.

각 $k\in\{0,1,\dotsc,p\}$ 에 대하여, $\textstyle\binom n{p-k}$ 개의 $k$ 차 미분 형식 게이지장 $A_{\mu_1\dotso\mu_k i_{k+1}\dotso i_p}$

k

차 미분 형식 게이지장은 쌍대화에 따라서

D-2-k

차 미분 형식 게이지장과 동치이다.

;중력장

D+n

차원의 중력장

g_{MN}

은

D

차원에서 다음과 같이 분해된다.

$n(n+1)/2$ 개의 스칼라장 $g_{ij}$ . 이 가운데 하나는 딜라톤을 이룬다.
1개의 중력장 $g_{\mu\nu}$
$n$ 개의 U(1) 게이지장 $g_{\mu i}$ . 그 게이지 대칭은 $D+n$ 차원 미분 동형 사상 게이지 대칭 가운데 $D$ 차원 미분 동형 사상 게이지 대칭에 속하지 않는 것들로 구성된다.

;페르미온

페르미온은 차원 축소 아래에서도 페르미온으로 남는다. 만약 D가 홀수일 때, D+1차원에서의 바일 스피너는 D차원에서의 디랙 스피너가 된다.

3. 1. 스칼라장

스칼라장은 차원 축소 아래 하나의 스칼라장으로 남는다.

3. 2. 양-밀스 장

D+n 차원에서, 게이지 군

G

에 대한 양-밀스 장

A^a_M

는

D

차원에서 1개의 양-밀스 장

A^a_\mu

및

n

개의 딸림표현 스칼라장

A_i^a

들로 분해된다.

3. 3. 미분 형식

D+n

차원에서

p

차 미분 형식 게이지 장

A_{M_1\dotsb M_p}

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이는

D

차원에서 다음과 같은 장들을 이룬다.

각 $k\in\{0,1,\dotsc,p\}$ 에 대하여, $\textstyle\binom n{p-k}$ 개의 $k$ 차 미분 형식 게이지장 $A_{\mu_1\dotso\mu_k i_{k+1}\dotso i_p}$

k

차 미분 형식 게이지장은 쌍대화에 따라서

D-2-k

차 미분 형식 게이지장과 동치이다.

3. 4. 중력장

D+n

차원의 중력장

g_{MN}

은

D

차원에서 다음과 같이 분해된다.

$n(n+1)/2$ 개의 스칼라장 $g_{ij}$ . 이 가운데 하나는 딜라톤을 이룬다.
1개의 중력장 $g_{\mu\nu}$
$n$ 개의 U(1) 게이지장 $g_{\mu i}$ . 그 게이지 대칭은 $D+n$ 차원 미분 동형 사상 게이지 대칭 가운데 $D$ 차원 미분 동형 사상 게이지 대칭에 속하지 않는 것들로 구성된다.

3. 5. 페르미온

페르미온은 차원 축소 아래에서도 페르미온으로 남는다. 만약 D가 홀수일 때, D+1차원에서의 바일 스피너는 D차원에서의 디랙 스피너가 된다.

4. 예

4차원 일반 상대성 이론을 3차원으로 차원 축소한다고 하자. 이 경우, 4차원 중력장은 3차원에서 하나의 중력장과 하나의 게이지장 및 하나의 딜라톤으로 분해된다. 그런데 3차원은 다음과 같은 특별한 성질을 갖는다.^[5]^[6]

3차원에서 중력장은 국소 자유도를 갖지 않는다.
3차원에서 게이지장은 스칼라장과 동치이다.

즉, 이 경우 2개의 스칼라장만이 남게 되어, 일종의 시그마 모형으로 적을 수 있게 된다.

구체적으로, 4차원 필바인 ''E_M^A''를 다음과 같이 적자.

:

E_M{}^A = \begin{pmatrix}e_\mu{}^\alpha /\sqrt\Delta &\sqrt\Delta A_\mu \\0&\sqrt\Delta\end{pmatrix}

여기서

''e_μ^α''는 3차원 필바인이다.
''Δ''는 딜라톤이다.
''A_μ''는 3차원의 게이지장이다.

이 경우, 작용은 다음과 같다.

:

S = \int_{M_3}\left(\det e)(-\frac14\operatorname{Ric}[e]

\frac1{16}\Delta^2 F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + \frac18\Delta^{-2} \partial^\mu\Delta\partial_\mu\Delta

\right)

여기서 물론 지표의 올림과 내림은 3차원 계량 ''g_μν=e_μ^αe_ν^βη_αβ''에 의한 것이다.

이제, 게이지장을 다음과 같이 스칼라장으로 쌍대화할 수 있다. 게이지장의 가우스 법칙

:

\partial_\mu\left((\det e)\Delta^2 F^{\mu\nu}\right) = 0

은 다음과 같은 자기 퍼텐셜 스칼라장

:

\partial_\mu B = \frac12 \epsilon_\mu{}^{\nu\rho}F_{\nu\rho}\Delta^2

으로 (국소적으로) 풀 수 있다. 이를 대입하면, 다음과 같은 작용을 얻는다.

:

S = \frac18\int_{M_3} (\det e)\frac{\partial^\mu B\partial_\mu B + \partial^\mu\Delta\partial_\mu\Delta}{\Delta^2}

이는 (''B'', ''Δ'')에 대한 시그마 모형이며, 이 시그마 모형의 과녁 공간인 리만 다양체는 2차원 쌍곡 평면이다.

물론, 3차원 중력장은 국소 자유도를 갖지 않지만, 대역적 (위상수학적) 자유도를 가질 수 있다. 즉, 위와 같은 분석은 국소적 자유도만을 고려한 것이다.

4. 1. 3차원 중력의 특성

4차원 일반 상대성 이론을 3차원으로 차원 축소하면, 4차원 중력장은 3차원에서 하나의 중력장과 하나의 게이지장 및 하나의 딜라톤으로 분해된다. 그런데 3차원에서는 다음과 같은 특별한 성질이 나타난다.^[5]^[6]

3차원에서 중력장은 국소 자유도를 갖지 않는다.
3차원에서 게이지장은 스칼라장과 동치이다.

즉, 3차원에서는 2개의 스칼라장만이 남게 되어, 일종의 시그마 모형으로 표현할 수 있다.

구체적으로, 4차원 필바인 ''E_M^A''를 다음과 같이 분해할 수 있다.

:

E_M{}^A = \begin{pmatrix}e_\mu{}^\alpha /\sqrt\Delta &\sqrt\Delta A_\mu \\0&\sqrt\Delta\end{pmatrix}

여기서

''e_μ^α''는 3차원 필바인이다.
''Δ''는 딜라톤이다.
''A_μ''는 3차원의 게이지장이다.

이 경우, 작용은 다음과 같이 주어진다.

:

S = \int_{M_3}\left(\det e)(-\frac14\operatorname{Ric}[e]

\frac1{16}\Delta^2 F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + \frac18\Delta^{-2} \partial^\mu\Delta\partial_\mu\Delta

\right)

여기서 지표의 올림과 내림은 3차원 계량 ''g_μν=e_μ^αe_ν^βη_αβ''에 의해 결정된다.

이제, 게이지장을 스칼라장으로 쌍대화할 수 있다. 게이지장의 가우스 법칙

:

\partial_\mu\left((\det e)\Delta^2 F^{\mu\nu}\right) = 0

은 자기 퍼텐셜 스칼라장

:

\partial_\mu B = \frac12 \epsilon_\mu{}^{\nu\rho}F_{\nu\rho}\Delta^2

으로 (국소적으로) 풀 수 있다. 이를 대입하면, 다음과 같은 작용을 얻는다.

:

S = \frac18\int_{M_3} (\det e)\frac{\partial^\mu B\partial_\mu B + \partial^\mu\Delta\partial_\mu\Delta}{\Delta^2}

이는 (''B'', ''Δ'')에 대한 시그마 모형이며, 이 시그마 모형의 과녁 공간인 리만 다양체는 2차원 쌍곡 평면이다.

3차원 중력장은 국소 자유도를 갖지 않지만, 대역적 (위상수학적) 자유도를 가질 수 있다. 즉, 위 분석은 국소적 자유도만을 고려한 것이다.

4. 2. 시그마 모형

4차원 일반 상대성 이론을 3차원으로 차원 축소하면, 4차원 중력장은 3차원에서 하나의 중력장과 하나의 게이지장 및 하나의 딜라톤으로 분해된다.^[5]^[6] 3차원에서는 중력장이 국소 자유도를 갖지 않고, 게이지장은 스칼라장과 동치이므로, 2개의 스칼라장만 남게되어 일종의 시그마 모형으로 표현할 수 있다.

구체적으로 4차원 필바인

E_M{}^A

을 다음과 같이 분해한다.

:

E_M{}^A = \begin{pmatrix}e_\mu{}^\alpha /\sqrt\Delta &\sqrt\Delta A_\mu \\0&\sqrt\Delta\end{pmatrix}

여기서

e_\mu{}^\alpha

는 3차원 필바인,

\Delta

는 딜라톤,

A_\mu

는 3차원의 게이지장이다. 이 경우 작용은 다음과 같다.

:

S = \int_{M_3}\left(\det e)(-\frac14\operatorname{Ric}[e]

\frac1{16}\Delta^2 F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + \frac18\Delta^{-2} \partial^\mu\Delta\partial_\mu\Delta

\right)

지표의 올림과 내림은 3차원 계량

g_{\mu\nu}=e_\mu{}^\alpha e_\nu{}^\beta\eta_{\alpha\beta}

에 의해 결정된다. 게이지장의 가우스 법칙

\partial_\mu\left((\det e)\Delta^2 F^{\mu\nu}\right) = 0

은 자기 퍼텐셜 스칼라장

\partial_\mu B = \frac12 \epsilon_\mu{}^{\nu\rho}F_{\nu\rho}\Delta^2

으로 풀 수 있다. 이를 통해 다음과 같은 작용을 얻는다.

:

S = \frac18\int_{M_3} (\det e)\frac{\partial^\mu B\partial_\mu B + \partial^\mu\Delta\partial_\mu\Delta}{\Delta^2}

이는

(B,\Delta)

에 대한 시그마 모형이며, 과녁 공간인 리만 다양체는 2차원 쌍곡 평면이다. 3차원 중력장은 국소 자유도를 갖지 않지만, 대역적 (위상수학적) 자유도를 가질 수 있다. 즉, 위 분석은 국소적 자유도만을 고려한 것이다.

4. 3. 대역적 자유도

참조

_[1] 문서
_[2] 논문 Lowering of dimensionality in phase transitions with random fields
_[3] 논문 Supersymmetry and the Parisi-Sourlas dimensional reduction: a rigorous proof http://projecteuclid[...]
_[4] 논문 Random Magnetic Fields, Supersymmetry, and Negative Dimensions 1979
_[5] 저널 Classification of gravitational instanton symmetries https://projecteucli[...] 1979
_[6] 서적 Superspace and Supergravity, Proceedings of the Workshop held in July 1980 in Cambridge, England Cambridge University Press 1981

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