체비쇼프 함수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 제1종 체비쇼프 함수
- 2.2. 제2종 체비쇼프 함수
3. 성질
4. 값의 평가
- 4.1. 일반적인 경우
- 4.2. 리만 가설 하에서
5. 소수 계량 함수와의 관계
6. 미분 가능화
7. 초등적인 평가
8. 소수 계승과의 관계
참조

1. 개요

체비쇼프 함수는 소수 분포와 관련된 두 개의 함수, 제1종 체비쇼프 함수 θ(x)와 제2종 체비쇼프 함수 ψ(x)를 지칭한다. θ(x)는 x 이하의 소수 p에 대한 log p의 합으로 정의되며, ψ(x)는 폰 망골트 함수 Λ(n)을 사용하여 정의된다. ψ(x)는 θ(x)를 사용하여 표현할 수 있으며, 두 함수의 차이는 상대적으로 작다.

두 번째 체비쇼프 함수는 1부터 n까지의 모든 정수의 최소공배수의 로그와 같다. 체비쇼프 함수는 소수 계량 함수 π(x)와 밀접한 관련이 있으며, 소수 정리와도 연결된다. 리만 가설이 참일 경우, 체비쇼프 함수는 특정 오차 범위 내에서 x에 근접하며, 소수 계량 함수에 대한 정보를 제공한다. 초등적인 방법으로 체비쇼프 함수의 상한을 증명할 수 있으며, 소수 계승과도 관련이 있다.

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체비쇼프 함수

2. 정의

체비쇼프 함수에는 두 가지 종류가 있다.

제1종 체비쇼프 함수 $\vartheta(x)$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $\vartheta(x)=\sum_{p\le x} \log p$

위 식은 $x$ 이하의 모든 소수 $p$ 에 대한 로그값을 더한다는 의미이다.

제2종 체비쇼프 함수 $\psi(x)$ 는 폰 망골트 함수를 이용하여 다음과 같이 정의된다.

: $\psi(x) = \sum_{n \leq x} \Lambda(n) = \sum_{p^k\le x}\log p=\sum_{p\le x}\lfloor\log_p x\rfloor\log p,$

2. 1. 제1종 체비쇼프 함수

제1종 체비쇼프 함수

\vartheta(x)

는

x

이하의 모든 소수

p

에 대한

\log p

의 합으로 정의되며, 다음과 같이 표기된다.^[1]

:

\vartheta(x)=\sum_{p\le x} \log p

이는

x

의 소수 계승의 로그이며,

x\#

로 표시된다.^[1]

:

\vartheta(x) = \sum_{p \le x} \log p = \log \prod_{p\le x} p = \log\left(x\#\right).

소수 계승

x\#

은 점근적으로

e^{(1+o(1))x}

와 같으며, 여기서 "

o

"는 빅 오 표기법에서의 little-o 표기법이다. 이는 소수 정리와 함께

p_n\#

의 점근적 거동을 확립한다.^[1]

2. 2. 제2종 체비쇼프 함수

제2종 체비쇼프 함수

\psi(x)

는 다음과 같이 정의된다.

:

\psi(x) = \sum_{n \leq x} \Lambda(n) = \sum_{p^k\le x}\log p=\sum_{p\le x}\lfloor\log_p x\rfloor\log p,

여기서

\Lambda(n)

은 폰 망골트 함수이다.

두 번째 체비쇼프 함수는 첫 번째 체비쇼프 함수와 관련이 있으며, 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\psi(x) = \sum_{p \le x}k \log p

여기서

k

는

p^k \le x

이고

x < p^{k+1}

를 만족하는 유일한 정수이다. 더 직접적인 관계는 다음과 같다.

:

\psi(x) = \sum_{n=1}^\infty \vartheta\big(x^{\frac{1}{n}}\big).

이 마지막 합은 유한 개의 0이 아닌 항만을 가지며, 다음이 성립한다.

:

\vartheta\big(x^{\frac{1}{n}}\big) = 0\quad \text{for}\quad n>\log_2 x = \frac{\log x}{\log 2}.

두 번째 체비쇼프 함수는 1부터

n

까지의 정수의 최소공배수의 로그이다.

:

\operatorname{lcm}(1,2,\dots,n) = e^{\psi(n)}.

3. 성질

첫 번째 체비쇼프 함수는 주어진 값 이하의 모든 소수에 대해 $\log p$ 의 값을 모두 더하는 함수이고, 두 번째 체비쇼프 함수는 주어진 값 이하의 모든 소수의 거듭제곱수들에 대해 $\log p$ 의 값을 모두 더하는 함수이므로, 항상 다음 부등식이 성립한다.^[3]

: $\vartheta(x) \le \psi(x)$

예를 들어, x = 12.4 인 경우 다음과 같이 계산할 수 있다.

: $\vartheta(12.4) = \sum_{p \le 12.4}\log p = \log 2 + \log 3 + \log 5 + \log 7 + \log 11$

: $\psi(12.4) = \sum_{p^k \le 12.4}\log p = \log 2 + \log 3 + \log 2 + \log 5 + \log 7 + \log 2 + \log 3 + \log 11$

또한 다음 관계가 성립한다.^[3]

: $\psi(x)=\sum_{n=1}^\infty \vartheta \left(x^{1/n}\right).$

위의 합에서 $n$ 이 $\log_2 x$ 보다 커지면 $\vartheta \left(x^{1/n}\right) = 0$ 이 되므로, 실제로는 유한합이 된다.

3. 1. 관계

두 체비쇼프 함수 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.^[3]

:

\vartheta(x) \le \psi(x)

이는 주어진 값 이하의 모든 소수에 대해 log|로그^영어 p의 값을 모두 더하는 첫 번째 체비쇼프 함수

\vartheta(x)

보다, 주어진 값 이하의 모든 소수의 거듭제곱수에 대해 log|로그^영어 p의 값을 모두 더하는 두 번째 체비쇼프 함수

\psi(x)

가 항상 크거나 같기 때문이다.

또한 다음 관계가 성립한다.

:

\psi(x)=\sum_{n=1}^\infty \vartheta \left(x^{1/n}\right).

이 합은

n > \log_2 x

일 때

\vartheta(x^{1/n}) = 0

이므로 유한합이다.

두 몫

\frac{\psi(x)}{x}

와

\frac{\vartheta(x)}{x}

의 관계는 다음 부등식으로 나타낼 수 있다.^[3]

:

0 \leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x}\leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log 2}.

이 부등식은

\psi(x)/x

또는

\vartheta(x)/x

중 하나가 극한에 수렴하면 다른 하나도 수렴하며, 두 극한이 같음을 의미한다.

제2종 체비쇼프 함수는 1부터 n까지의 정수의 최소공배수의 로그이다.

:

\operatorname{lcm}(1,2,\dots,n) = e^{\psi(n)}.

3. 2. 점근적 성질

다음 세 극한은 동치이다.

:

\lim_{x\to \infty}\frac{\pi(x)\log x}{x} =1

:

\lim_{x\to \infty}\frac{\vartheta(x)}{x} =1

:

\lim_{x\to \infty}\frac{\psi(x)}{x} =1

여기서

\pi(x)

는 소수 계량 함수를 의미한다. 마지막 식은 점근 표기법을 써서 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\psi(x)\sim x

첫 번째 극한은 소수 정리이다. 소수 정리는 위 극한들이 동치라는 성질을 이용하여, 세 번째 극한을 증명함으로써 증명할 수 있다.

3. 3. 리만 제타 함수와의 관계

1895년, 한스 카를 프리드리히 폰 망골트는 명시적 표현을 증명했는데, 이는 리만 제타 함수의 비자명 영점의 합으로 ψ(''x'')^영어를 나타낸 것이다.

수정된 제2 체비쇼프 함수

:

\psi_0(x)= \lim_{h\rightarrow 0} \frac12\left(\psi(x+h)+\psi(x-h)\right)= \frac12\left( \sum_{n \leq x} \Lambda(n)+\sum_{n < x} \Lambda(n)\right)=\begin{cases} \psi(x) - \frac{1}{2} \Lambda(x) & x = 2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\\psi(x) & \mbox{otherwise.} \end{cases}

는 리만 제타 함수를 사용하여

:

\psi_0(x) = x - \sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho} - \ln(2\pi) - \frac{1}{2} \ln (1-x^{-2}).

로 나타낼 수 있다. 여기서

\rho

는 제타 함수의 비자명한 영점 전체를 나타낸다.

ψ₀^영어는 ψ^영어와 동일하지만, 점프 불연속성 (소수 거듭제곱)에서 좌우 값의 중간 값을 취한다.

:

\psi_0(x)= \frac{1}{2}\!\left( \sum_{n \leq x} \Lambda(n)+\sum_{n < x} \Lambda(n)\right)=\begin{cases} \psi(x) - \tfrac{1}{2} \Lambda(x) & x = 2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\ [5px]\psi(x) & \mbox{otherwise.} \end{cases}

테일러 급수에서 자연 로그를 사용하여, 명시적 공식의 마지막 항은 제타 함수의 자명 영점, ''ω'' 에 대한 의 합으로 이해할 수 있다.

:

\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{-2k}}{-2k} = \tfrac{1}{2} \log \left( 1 - x^{-2} \right).

마찬가지로, 첫 번째 항 ''x'' }}는 제타 함수의 1에서의 단순한 극점에 해당한다. 이것이 영점이 아닌 극점이라는 사실은 항의 부호가 반대인 이유를 설명한다.

제타 함수의 영점에 관한 고찰로부터

:

\psi_0(x) \sim x

임을 알 수 있으며, 여기서 앞 절의 성질을 이용하여 소수 정리

:

\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}

을 유도할 수 있다.

4. 값의 평가

체비쇼프 함수에 대한 기본적인 경계는 초등적인 방법으로 증명할 수 있다.

$n = 1$ 일 때, $\vartheta(n)=0 < 2\ln 2.$
$n = 2$ 일 때, $\vartheta(n)=\ln 2 < 4\ln 2.$

n

이

m - 1

이하의 정수일 때 위의 부등식이 성립한다고 가정하면,

$m > 2$ 가 짝수일 경우, $\vartheta(m) = \vartheta(m-1)<2(m-1)\ln 2<2m\ln 2.$
$m > 2$ 가 홀수일 경우, $m = 2l + 1$ 로 두고 이항 정리를 적용하면

::

\binom{2l + 1}{l} =\frac{1}{2} \left[\binom{2l + 1}{l} + \binom{2l + 1}{l + 1}\right]< \frac{1}{2}\sum_{k = 0}^{2l+1} \binom{2l + 1}{k}= \frac{1}{2}(1 + 1)^{2l + 1}= 4^l

:가 성립한다.

::

l+1 를 만족하는 소수 p 는 모두 \textstyle\binom{2l + 1}{l} 를 나누므로,

::

\vartheta(2l+1)-\vartheta(l+1)=\sum_{l+1

:따라서

::

\vartheta(2l+1)<2l\ln 2+\vartheta(l+1)<2l\ln 2+2(l+1)\ln 2=2(2l+1)\ln 2.

그러므로 수학적 귀납법에 의해,

:

\vartheta(n)<2n\ln 2

(

n=1, 2, \ldots

)

가 성립함을 초등적인 방법으로 증명할 수 있다.^[5]

이 논의는 베르트랑-체비쇼프 정리나 메르텐스 정리와 같이 소수에 관한 평가를 초등적으로 증명하는 데 중요한 역할을 한다.

4. 1. 일반적인 경우

체비쇼프 함수에 대해 다음과 같은 경계가 알려져 있다.^[4]

를 k번째 소수라고 하면 (, , ...),

:

\begin{align}\vartheta(p_k) &\ge k\left( \log k+\log\log k-1+\frac{\log\log k-2.050735}{\log k}\right)&& \text{for }k\ge10^{11}, \\[8px]\vartheta(p_k) &\le k\left( \log k+\log\log k-1+\frac{\log\log k-2}{\log k}\right)&& \text{for }k \ge 198, \\[8px]|\vartheta(x)-x| &\le 0.006788\,\frac{x}{\log x}&& \text{for }x \ge 10\,544\,111, \\[8px]|\psi(x)-x|&\le0.006409\,\frac{x}{\log x}&& \text{for } x \ge e^{22},\\[8px]0.9999\sqrt{x} &< \psi(x)-\vartheta(x)<1.00007\sqrt{x}+1.78\sqrt[3]{x}&& \text{for }x\ge121.\end{align}

리만 가설에 따르면, 모든 에 대해 다음이 성립한다.

:

\begin{align}|\vartheta(x)-x| &= O\Big(x^{\frac12+\varepsilon}\Big) \\|\psi(x)-x| &= O\Big(x^{\frac12+\varepsilon}\Big)\end{align}

와 에 대해 다음과 같은 상한이 존재한다.^[4]

:

\begin{align} \vartheta(x)&<1.000028x \\ \psi(x)&<1.03883x \end{align}

모든 에 대해 성립한다. 상수 1.03883에 대한 설명은 에서 찾아볼 수 있다.

는 k번째 소수를 나타낸다. (, , ...)

:

\vartheta(p_k)\geq k\left( \ln k+\ln\ln k-1+\frac{\ln\ln k-2.050735}{\ln k}\right)

for ,

:

\vartheta(p_k)\leq k\left( \ln k+\ln\ln k-1+\frac{\ln\ln k-2}{\ln k}\right)

for ,

:

|\vartheta(x)-x|\leq 0.006788\frac{x}{\ln x}

for ,

:

|\psi(x)-x|\leq 0.006409\frac{x}{\ln x}

for ,

:

\psi(x)<\left(1+\frac{1}{36260}\right)x

for ,

:

\psi(x)-\vartheta(x)>0.9999\sqrt x

for ,

:

0.9999\sqrt x<\psi(x)-\vartheta(x)<1.00007\sqrt x+1.78\sqrt[3]x

for ,

리만 가설에 의해, 다음의 평가를 얻을 수 있다.

:

|\vartheta(x)-x|<\frac{1}{8\pi}\sqrt x \ln^2 x

for ,

:

|\psi(x)-x|<\frac{1}{8\pi}\sqrt x \ln^2 x

for ,

이러한 평가에는 리만 제타 함수의 영점에 관한 평가와 체비쇼프 함수에 대한 복잡한 근사 공식이 필요하다.

4. 2. 리만 가설 하에서

리만 가설이 참이면, 모든 ε|엡실론^영어 > 0에 대해 다음이 성립한다.^[4]

:

\begin{align}|\vartheta(x)-x| &= O\Big(x^{\frac12+\varepsilon}\Big) \\|\psi(x)-x| &= O\Big(x^{\frac12+\varepsilon}\Big)\end{align}

더 구체적으로, 다음 부등식이 성립한다.

:

|\vartheta(x)-x|<\frac{1}{8\pi}\sqrt x \ln^2 x

for

x\geq 599,

:

|\psi(x)-x|<\frac{1}{8\pi}\sqrt x \ln^2 x

for

x\geq 73.2,

이러한 평가에는 리만 제타 함수의 영점에 관한 평가와 체비쇼프 함수에 대한 복잡한 근사 공식이 필요하다.

5. 소수 계량 함수와의 관계

체비쇼프 함수는 다음과 같이 소수 계량 함수와 관련될 수 있다. 다음을 정의한다.

: $\Pi(x) = \sum_{n \leq x} \frac{\Lambda(n)}{\log n}.$

그러면,

: $\Pi(x) = \sum_{n \leq x} \Lambda(n) \int_n^x \frac{dt}{t \log^2 t} + \frac{1}{\log x} \sum_{n \leq x} \Lambda(n) = \int_2^x \frac{\psi(t)\, dt}{t \log^2 t} + \frac{\psi(x)}{\log x}.$

$\Pi(x)$ 에서 소수 계량 함수 $\pi(x)$ 로의 변환은 다음 식을 통해 이루어진다.

: $\Pi(x) = \pi(x) + \tfrac{1}{2} \pi\left(\sqrt{x}\,\right) + \tfrac{1}{3} \pi\left(\sqrt[3]{x}\,\right) + \cdots$

분명히 $\pi(x) \leq x$ 이므로, 근사를 위해 이 마지막 관계는 다음과 같은 형태로 바꿀 수 있다.

: $\pi(x) = \Pi(x) + O\left(\sqrt{x}\,\right).$

6. 미분 가능화

미분 가능화한 함수(smoothing function)는 다음과 같이 정의된다.

: $\psi_1(x)=\int_0^x \psi(t)\,dt.$

점근 표기법을 이용하여 다음과 같이 점근적 성질을 표현할 수 있다.

: $\psi_1(x) \sim \frac{x^2}{2}.$

위 사실은 실제로 $\psi(x)\sim x$ 와 동치임을 증명할 수 있고 따라서 이 미분가능화한 함수의 점근적 성질을 증명하여 소수 정리의 해석적 증명을 할 수도 있다.^[6]

7. 초등적인 평가

초등적인 방법에 의해 다음 부등식이 성립함을 증명할 수 있다.^[5]

: $\vartheta(n)<2n\ln 2$ ( $n=1, 2, \ldots$ )

$n = 1$ 일 때, $\vartheta(n)=0 < 2\ln 2.$
$n = 2$ 일 때, $\vartheta(n)=\ln 2 < 4\ln 2.$

여기서 ''n''이 ''m'' -1 이하의 정수일 때, 위의 부등식이 옳다고 가정한다.

$m > 2$ 가 짝수라고 한다. $\vartheta(m) = \vartheta(m-1)<2(m-1)\ln 2<2m\ln 2.$
$m > 2$ 가 홀수라고 한다. $m = 2l + 1$ 로 두면 이항 정리에 의해

:::

\binom{2l + 1}{l} =\frac{1}{2} \left[\binom{2l + 1}{l} + \binom{2l + 1}{l + 1}\right]< \frac{1}{2}\sum_{k = 0}^{2l+1} \binom{2l + 1}{k}= \frac{1}{2}(1 + 1)^{2l + 1}= 4^l

:가 성립한다.

::

l+1 가 되는 소수 ''p''는 모두 \textstyle\binom{2l + 1}{l} 를 나누므로,

::

\vartheta(2l+1)-\vartheta(l+1)=\sum_{l+1

:따라서

::

\vartheta(2l+1)<2l\ln 2+\vartheta(l+1)<2l\ln 2+2(l+1)\ln 2=2(2l+1)\ln 2.

이상으로부터, 수학적 귀납법에 의해 위의 부등식이 옳다는 것이 증명되었다.

이 논의는 베르트랑-체비쇼프 정리나 메르텐스 정리와 같이, 소수에 관한 평가를 초등적으로 증명하는 데에도 중요한 역할을 한다.

8. 소수 계승과의 관계

제1 체비쇼프 함수는 x의 소수 계승의 로그이며, x#로 표시된다.

: $\vartheta(x) = \sum_{p \le x} \log p = \log \prod_{p\le x} p = \log\left(x\#\right).$

이것은 소수 계승 x#이 점근적으로 e|e^영어^{(1 + o(1))x}와 같다는 것을 증명하며, 여기서 "o"는 little-o 표기법( 빅 오 표기법 참조)이며 소수 정리와 함께 p|p^영어_n#의 점근적 거동을 확립한다.

참조

_[1] 웹사이트 Multiobjective Optimization Concepts, Algorithms and Performance Measures http://syllabus.cs.m[...] The University of Manchester 2014-05-02
_[2] 학술 논문 An improved MOEA/D algorithm for bi-objective optimization problems with complex Pareto fronts and its application to structural optimization https://pure.tudelft[...] Delft University of Technology 2018
_[3] 서적 Introduction to Analytic Number Theory Springer
_[4] 학술 논문 Approximate formulas for some functions of prime numbers. http://projecteuclid[...]
_[5] 서적 An Introduction to the Theory of Numbers Oxford University Press
_[6] 서적

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