팔팅스의 정리

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 역사
3. 정의
4. 증명
- 4.1. 팔팅스의 증명
- 4.2. 다른 증명들
5. 결과
6. 일반화
7. 계산 가능성 (실효성)
참조

1. 개요

팔팅스의 정리는 유리수체 위에 정의된 종수 g>1인 대수 곡선은 유한 개의 유리점을 갖는다는 정리이다. 1922년 루이스 모델이 종수 1인 타원 곡선의 유리점에 대한 모델-베유 정리를 증명한 후, 종수 2 이상인 대수 곡선에 대한 추측이 제기되었고, 이는 모델 추측으로 불렸다. 1983년 게르트 팔팅스가 모델 추측을 증명하여 팔팅스의 정리로 불리게 되었으며, 이후 폴 보이타, 엔리코 봄비에리, 브라이언 로렌스와 아크샤이 벤카테시 등이 새로운 증명법을 제시했다. 팔팅스 정리는 모델 추측, 동종 사상 정리, 샤파레비치 추측을 결과로 도출하며, 페르마의 마지막 정리의 약한 형태에도 적용될 수 있다. 팔팅스의 정리는 계산 가능성을 갖지 않지만, 야코비 다양체의 구조를 활용하여 유리점의 개수에 대한 상계를 구할 수 있다.

더 읽어볼만한 페이지

디오판토스 기하학 - 모델-베유 정리
모델-베유 정리는 대수적 수체 K 위에서 정의된 아벨 다양체 A의 K-유리점들이 이루는 군 A(K)가 유한 생성 아벨 군이라는 정리이며, 앙리 푸앵카레가 문제를 제기하고 루이스 모델과 앙드레 베유가 일반화했지만 랭크 계산 문제 등 해결되지 않은 과제가 남아있다.
디오판토스 기하학 - 유리점
유리점은 스킴 X의 K-유리점을 의미하며, 아핀, 사영 대수다양체 등에서 방정식을 만족하는 유리수 좌표의 점을 뜻하고, 대수 곡선, 특히 타원 곡선 연구에서 중요하게 다루어진다.
대수 곡선 - 원뿔 곡선
원뿔 곡선은 평면과 이중 원뿔의 교차로 생기는 타원, 포물선, 쌍곡선 세 종류의 곡선이며, 이차 방정식으로 표현되고 천체의 궤도나 광학 기기 설계 등에 응용된다.
대수 곡선 - 클라인 4차 곡선
클라인 4차 곡선은 2차원 복소수 사영 공간에서 정의되는 4차 동차 다항식으로 표현되는 복소 사영 대수 곡선이며, 종수 3의 콤팩트 리만 곡면이고, 크기가 168인 PSL(2;F7)과 동형인 방향 보존 리만 곡면 자기 동형군을 갖는다.
대수기하학 정리 - 리만-로흐 정리
리만-로흐 정리는 콤팩트 리만 곡면에서 인자의 차수, 유리형 함수 공간의 차원, 곡면의 종수 사이의 관계를 나타내는 정리로서, 유리형 함수를 구성하는 문제에 대한 해답을 제시하며 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.
대수기하학 정리 - 고다이라 매장 정리
콤팩트 켈러 다양체가 사영 대수다양체가 될 필요충분조건을 제시하는 고다이라 매장 정리는 켈러 형식이 정수 코호몰로지에 속하는 켈러 다양체, 즉 호지 다양체가 사영 대수다양체를 이룬다는 내용으로, 고다이라 구니히코가 1954년에 고다이라 소멸 정리를 사용하여 증명했다.

팔팅스의 정리
개요
분야	수론
증명 방법	대수기하학
최초 증명자	게르트 팔팅스
증명 연도	1983년
발표 연도	1984년
명제
내용	1보다 큰 종수를 가지는 유리수 위에서의 곡선은 유한 개의 유리수 점을 가진다.
다른 이름	모델 추측
영어 이름	Mordell conjecture
일본어 이름	ファルティングスの定理 (Farutingusu no teiri)
역사
제안자	루이스 모델
제안 연도	1922년
증명	게르트 팔팅스 (1983년)
관련 개념
일반화	봄비에리-랭 추측
결과	지겔 정리 (정수점)

2. 역사

1922년에 루이스 모델은 종수가 1인 대수 곡선(타원 곡선)의 유리점에 대한 모델-베유 정리를 증명하였고, 이에 대한 자연스러운 확장으로 종수가 2 이상인 대수 곡선에 대하여 이 정리를 추측하였다. 이후 이는 "모델 추측"이라고 불리게 되었다.

모델 추측은 오랫동안 난제로 남아 있었다. 1983년 독일의 수학자 게르트 팔팅스가 모델 추측을 증명하였고,^[3] 그 뒤 "팔팅스의 정리"로 불리게 되었다. 팔팅스는 모델 추측을 테이트 추측으로 축소시킨 뒤, 네롱 모형 등 대수기하학적 기법을 사용하여 모델 추측을 증명하였다.

팔팅스 이후 여러 새로운 증명법들이 발견되었다. 폴 보이타는 팔팅스와 전혀 다른 방법으로 팔팅스의 정리를 증명하였다. 엔리코 봄비에리가 이 증명을 단순화한 증명을 1990년 제시하였다.^[4]

3. 정의

팔팅스 정리에 따르면, 유리수체 위에 정의된, 종수가 $g>1$ 인 대수 곡선 $C$ 는 유한 개의 유리점들을 가진다.

대수 곡선의 유리점은 종수 $g$ 에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다.

종수 ( $g$ )	유리점의 수
$g=0$	유리점이 없거나 무한히 많다. 이때 $C$ 는 원뿔 곡선이다.
$g=1$	유리점이 없거나, $C$ 가 타원 곡선이며, 유리점이 유한 생성 아벨 군을 이룬다. (모델 정리는 나중에 모델-베유 정리로 일반화되었다.) 메이저 꼬임 정리^[1]는 꼬임 부분군의 구조를 제한한다.
$g>1$	유한 개의 유리점만 가진다. (팔팅스 정리)

4. 증명

이골 샤파레비치는 고정된 차원과 분극 차수를 갖는 아벨 다양체의 동형류가, 고정된 수체 위에서 고정된 유한한 자리 집합 밖에서 좋은 축소를 갖는 것은 유한하다고 추측했다. 알렉세이 파르신은 샤파레비치의 유한성 추측이 현재 파르신의 트릭이라고 불리는 것을 사용하여 모르델 추측을 함축한다는 것을 보였다.^[3]

게르트 팔팅스는 테이트 추측의 한 경우로 알려진 축소를 사용하여 샤파레비치의 유한성 추측을 증명했으며, 여기에는 네론 모형 이론을 포함한 대수기하학 도구가 사용되었다.^[3] 팔팅스 증명의 주요 아이디어는 팔팅스 높이와 소박한 높이를 지겔 모듈러 다양체를 통해 비교하는 것이다.

폴 보이타는 디오판토스 근사를 기반으로 한 증명을 제시했다.^[4] 엔리코 봄비에리는 보이타의 증명에서 보다 기본적인 변형을 발견했다.^[4] 브라이언 로렌스와 아크샤이 벤카테시는 -진 호지 이론을 기반으로 한 증명을 제시했으며, 팔팅스의 원래 증명에서 더 쉬운 몇 가지 요소를 차용했다.

4. 1. 팔팅스의 증명

1983년 독일의 수학자 게르트 팔팅스는 모델 추측을 테이트 추측으로 축소시킨 뒤, 네롱 모형 등 대수기하학적 기법을 사용하여 증명하였다.^[3]

이골 샤파레비치는 고정된 차원과 분극 차수를 갖는 아벨 다양체의 동형류가, 고정된 수체 위에서 고정된 유한한 자리 집합 밖에서 좋은 축소를 갖는 것은 유한하다고 추측했다. 알렉세이 파르신은 샤파레비치의 유한성 추측이 파르신의 트릭을 사용하여 모르델 추측을 함의함을 보였다.

게르트 팔팅스는 테이트 추측의 한 경우로 축소하여 샤파레비치의 유한성 추측을 증명했으며, 여기에는 네론 모형 이론을 포함한 대수기하학 도구가 사용되었다. 팔팅스 증명의 주요 아이디어는 팔팅스 높이와 소박한 높이를 지겔 모듈러 다양체를 통해 비교하는 것이다.

팔팅스의 원래 증명은 테이트 추측의 알려진 경우로 귀착시키는 동시에 네론 모형 이론을 포함한 대수 기하학의 많은 도구를 사용했다. 디오판토스 근사를 기초로 하는 전혀 다른 증명은 Paul Vojta|폴 보이타^영어에 의해 얻어졌다. 보이타의 증명의 초등적인 증명은 엔리코 봄비에리가 제시했다.

4. 2. 다른 증명들

폴 보이타는 디오판토스 근사를 기반으로 증명했다.^[4] 엔리코 봄비에리는 보이타 증명의 단순화된 변형을 발견했다.^[4] 브라이언 로렌스와 아크샤이 벤카테시는 p-진 호지 이론을 기반으로 증명했다.

5. 결과

팔팅스의 1983년 논문은 다음의 결과들을 도출했다.^[1]

모델 추측: 수체 위의 종수가 1보다 큰 곡선은 유한 개의 유리점만을 가진다.
동종 사상 정리: 동형인 테이트 가군(갈루아 작용을 갖는 $\mathbb{Q}_{\ell}$ -가군)을 가진 아벨 다양체는 동종 사상이다.

팔팅스 정리는 페르마의 마지막 정리의 약한 형태에 적용될 수 있는데, 임의의 고정된

n\ge 4

에 대해,

a^n+b^n=c^n

의 원시 정수 해(쌍별 상호 소수 해)는 유한 개이다. 왜냐하면 그러한

n

에 대해, 페르마 곡선

x^n+y^n=1

의 종수는 1보다 크기 때문이다.^[1]

6. 일반화

모르델-베유 정리 덕분에, 팔팅스의 정리는 곡선 $C$ 와 아벨 다양체 $A$ 의 유한 생성 부분군 $\Gamma$ 의 교차점에 대한 진술로 재구성될 수 있다. $A$ 를 준 아벨 다양체로, $C$ 를 $A$ 의 임의의 부분 다양체로, $\Gamma$ 를 $A$ 의 임의의 유한 랭크 부분군으로 대체하여 일반화하면 모르델-랑 추측으로 이어진다. 이는 로랑, 미셸 레노, 앙드리, 폴 보이타, 팔팅스의 연구를 바탕으로 1995년 맥킬란에 의해 증명되었다.^[2]

팔팅스 정리의 또 다른 고차원적 일반화는 $X$ 가 수체 $k$ 에 대한 의사-정규 다양체(즉, 일반형 다양체)인 경우 $X(k)$ 가 $X$ 에서 자리스키 위상 조밀 집합이 아니라는 봄비에리-랑 추측이다. 폴 보이타에 의해 더욱 일반적인 추측이 제시되었다.

함수체에 대한 모르델 추측은 유리 이바노비치 마닌과 한스 그라우어트에 의해 증명되었다. 1990년, 로버트 F. 콜먼은 마닌의 증명에서 오류를 발견하고 수정했다.

7. 계산 가능성 (실효성)

팔팅스의 정리는 계산 가능성을 갖지 않는다(유효하지 않다). 팔팅스의 정리 증명에 사용된 논의로부터 야코비 다양체의 구조를 사용하여, 유리점 개수에 대한 구체적인 상계는 구할 수 있지만, 유리점 크기에 대한 상계는 얻을 수 없다. 따라서 이 정리를 사용하여 유리점을 모두 구할 수는 없다.

모델 추측 해결에 앞서, 샤바우티(Chabauty)는 1941년에 야코비 다양체의 계수가 작을 때 유리점 개수의 상계를 구하는 방법을 개발했고, 콜먼(Coleman)은 1985년에 실제로 몇몇 경우에 구체적인 상계를 얻었다.

예를 들어, ''p''가 2''g''보다 큰 소수이고 C가 ''p''를 법으로 좋은 환원을 가진다고 하면, 유리점의 개수는 많아야

:\# C(F|에프^영어_''p'') + 2''g'' - 2

가 된다. 여기서 \# C(F|에프^영어_''p'')는 C를, ''p''를 법으로 환원했을 때 점의 개수이다. 더욱이 경우에 따라서는 이러한 방법을 사용하여 유리점을 모두 결정할 수 있다. 예를 들어,

:''y''² = ''x''(''x'' - 1)(''x'' - 2)(''x'' - 5)(''x'' - 6)

의 유리점은 (''x'', ''y'') = (0, 0), (1, 0), (2, 0), (5, 0), (6, 0), (3, ±6), (10, ±120) 뿐이다. 또한, 히라카와 요시노스케(平川義之輔)와 마츠무라 히데키(松村英樹)는 이 방법을 사용하여 변의 길이가 정수인 직각삼각형과 이등변삼각형의 쌍으로, 둘레와 면적이 모두 일치하는 것은 (닮음을 제외하고는), 세 변의 길이가 각각 (377, 135, 352)와 (366, 366, 132)인 것만 존재한다는 것을 보였다.

참조

_[1] 문서 メイザーの捩れ定理
_[2] 문서 モーデル・ラング予想
_[3] 논문 Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern 1983
_[4] 논문 The Mordell conjecture revisited 1990

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com