함수

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1. 개요
2. 정의
3. 표기
4. 종류
5. 연산
6. 역사
7. 성질
8. 미적분학에서의 함수
9. 다가 함수
10. 컴퓨터 과학에서의 함수
11. 일반화
참조

1. 개요

함수는 두 집합 간의 관계를 나타내는 특별한 경우로, 정의역의 각 원소에 공역의 단 하나의 원소를 대응시키는 규칙이다. 함수는 튜플 (X, Y, graph f)로 정의되며, X는 정의역, Y는 공역, graph f는 곱집합 X × Y의 부분 집합인 함수의 그래프이다. 함수는 사상 또는 매핑이라고도 불리며, 정의역과 공역의 종류, 대응 규칙에 따라 단사 함수, 전사 함수, 전단사 함수 등으로 분류된다. 함수는 상, 원상, 역함수, 합성, 제한 등의 연산을 통해 새로운 함수를 생성할 수 있으며, 미적분학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 중요한 개념으로 활용된다. 또한 함수 개념은 다가 함수, 고차 함수, 범함수 등으로 일반화된다.

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함수
함수 개요
정의	각 입력에 대해 하나의 출력을 연결하는 수학적 대상
다른 이름	사상, 맵핑
역사
역사	함수 개념의 역사 참고
유형
부울값 함수	''
부울값 함수	''
다변수 부울 함수	''
정수 함수	''
수열 함수	''
실수 함수	''
실변수 함수	''
다변수 함수	''
복소숫값 함수	''
복소변수 함수	''
다변수 복소 함수	''
클래스/속성
종류	상수 항등 선형 다항식 유리 대수적 해석적 매끄러운 연속 가측 단사 전사 전단사
구성
구성	제한 합성 λ 역함수
일반화
일반화	관계(이항 관계) 집합값 다가 부분 음함수 공간 고차 사상 함자

2. 정의

'''함수'''는 다음과 같은 튜플이다.

'''정의역''' : 집합이며, 로 표기한다.
'''공역''' : 집합이며, 로 표기한다.
'''그래프''' : 곱집합 × 의 부분 집합이며, 로 표기한다.

이 튜플은 다음 조건을 만족시켜야 함수라고 할 수 있다.

임의의 ∈ 에 대하여, (, ) ∈ 인 ∈ 가 유일하게 존재한다. 이러한 를 라고 쓴다.

즉, 함수는 정의역의 각 원소를 정확히 하나의 공역 원소에 대응시킨다.

각 입력에 대해 해당 출력을 생성하는 "기계" 또는 "블랙 박스"로 비유되는 함수의 개략적인 묘사

'''함수''' 는 집합 에서 집합 로의 사상으로, 의 각 원소에 의 하나의 원소를 할당하는 것이다. 집합 는 함수의 정의역이라고 하며, 집합 는 함수의 공역이라고 한다.

함수 에 의해 의 원소 가 의 원소 에 할당되면, 가 를 로 ''사상한다''고 말하며, 이는 일반적으로 = 로 표기한다. 이 표기에서 는 함수의 ''인자'' 또는 ''변수''이다. 의 특정 원소 는 "변수의 값"이며, 의 해당 원소는 에서의 "함수의 값" 또는 함수 아래에서 의 "이미지"이다.

함수 , 그 정의역 , 그리고 공역 는 종종 와 같은 표기로 지정된다. 대신 로 쓸 수 있으며, 여기서 기호 ('사상된다'로 읽음)는 정의역의 특정 원소 가 에 의해 어디로 사상되는지 지정하는 데 사용된다. 이를 통해 이름을 지정하지 않고 함수를 정의할 수 있다. 예를 들어, 제곱 함수는 인 함수이다.

함수를 정의할 때 정의역과 공역이 항상 명시적으로 주어지는 것은 아니다. 특히, 어떤 (어려울 수 있는) 계산 없이, 특정 함수의 정의역이 더 큰 집합에 포함되어 있다는 것만을 알 수 있는 경우가 흔하다. 예를 들어, 이 실수 함수인 경우, 함수 의 정의역을 결정하려면 의 영점을 알아야 한다. 이것이 수학적 분석에서 "X에서 Y로의 함수"가 의 진부분 집합을 정의역으로 갖는 함수를 지칭할 수 있는 이유 중 하나이다.^[6] 예를 들어, "실수에서 실수로의 함수"는 실수 값 함수의 실변수를 지칭할 수 있으며, 그 정의역은 실수의 진부분 집합, 일반적으로 비어 있지 않은 열린 구간을 포함하는 부분 집합이다. 이러한 함수는 부분 함수라고 한다.

함수의 치역 또는 이미지는 정의역에 있는 모든 원소의 이미지 집합이다.^[7]^[8]^[9]

집합 에 대한 함수 는 공역을 지정하지 않고 정의역 에서 함수를 의미한다. 그러나 일부 저자는 함수가 임을 간결하게 말하는 데 사용한다.

19세기 말에 이르러서야 집합론의 관점에서 함수의 첫 번째 형식적 정의가 제공될 수 있었다. 이 집합론적 정의는 함수가 정의역의 요소와 공역의 일부(또는 전체) 요소 사이에 '관계'를 설정한다는 사실에 기반한다. 수학적으로, 두 집합 와 사이의 이항 관계는 이고 인 모든 순서쌍 의 집합의 부분 집합이다. 이 모든 쌍의 집합을 와 의 데카르트 곱이라고 하며 로 표기한다. 따라서 위 정의는 다음과 같이 형식화될 수 있다.

정의역이 이고 공역이 인 ''함수''는 다음 두 가지 조건을 만족하는 와 사이의 이항 관계 이다.^[10]

모든 의 에 대해 의 가 존재하여 .
만약 이고 이면 .

이 정의는 관계의 개념을 명시적으로 언급하지 않고 더 많은 표기법(집합-빌더 표기법 포함)을 사용하여 더욱 형식적으로 다시 쓸 수 있다.

함수는 세 개의 집합, 즉 ''정의역'' , ''공역'' , 및 다음 세 가지 조건을 만족하는 ''그래프'' 로 구성된다.

}

디리클레는 와 의 대응 관계에 일정한 법칙성을 부여할 필요는 없다고 했다. 즉, 개개의 독립 변수와 종속 변수의 대응 그 자체가 함수이며, 그 대응은 수식 등으로 나타낼 필요는 없다는, 오일러와는 다른 입장을 취했다.

집합론적 입장에 서는 현대 수학에서는, 디리클레처럼 함수를 대응 규칙 라고 해석한다. 이것은 이항 관계의 특별한 경우로서 함수를 정의하는 것이며, 그런 의미에서 함수는 사상의 동의어이다.

3. 표기

함수에 의해 ''X''의 원소 ''x''가 ''Y''의 ''y''에 할당되면, ''f''가 ''x''를 ''y''로 ''사상한다''고 말하며, 이는 일반적으로 $y=f(x)$ 로 표기한다.^[6] 이 표기에서 ''x''는 함수의 ''인자'' 또는 ''변수''이다. ''X''의 특정 원소 ''x''는 "변수의 값"이며, ''Y''의 해당 원소는 ''x''에서의 "함수의 값" 또는 함수 아래에서 ''x''의 "이미지"이다.

함수를 표기하는 데에는 다양한 표준 방식이 있다. 가장 일반적으로 사용되는 표기법은 함수 표기법으로, 아래에 설명된 첫 번째 표기법이다. 함수 표기법은 함수에 이름을 부여해야 하며, 지정되지 않은 함수의 경우 종종 문자 ''f''를 사용한다. 그런 다음, 인수에 대한 함수의 적용은 괄호 안에 묶인 함수의 이름과 인수를 차례로 표기한다(다변수 함수의 경우 인수를 표기). 예를 들어 다음과 같다.

: $f(x), \quad \sin(3),\quad \text{또는}\quad f(x^2+1).$

괄호 안의 인수는 함수의 정의역의 임의의 원소를 나타내는 변수(주로 ''x''), 정의역의 특정 원소(''3''은 위의 예시), 또는 정의역의 원소로 평가될 수 있는 식( $x^2+1$ 는 위의 예시)일 수 있다. 괄호 안에 지정되지 않은 변수를 사용하는 것은 " $f(x)=\sin(x^2+1)$ "와 같이 함수를 명시적으로 정의하는 데 유용하다.

함수를 나타내는 기호가 여러 문자로 구성되고 모호성이 발생하지 않을 수 있는 경우, 함수 표기법의 괄호가 생략될 수 있다. 예를 들어, $\sin (x)$ 대신 $\sin x$ 를 쓰는 것이 일반적이다.

함수 표기법은 1734년 레온하르트 오일러에 의해 처음 사용되었다.^[12] 널리 사용되는 일부 함수는 여러 문자로 구성된 기호(일반적으로 두세 자, 일반적으로 이름의 약어)로 표현된다. 이 경우, 단일 문자 기호의 이탤릭체와 대조적으로, 로마자가 관례적으로 사용된다(예: 사인 함수의 경우 " $\sin$ ").

함수 표기법은 " $f(x)$ 를 함수로 정의"와 같이 함수를 언급하고 동시에 인수의 이름을 지정하기 위해 구어체로 자주 사용된다. 이는 더 간단한 공식을 위해 유용한 표기법 남용이다.

화살표 표기법은 함수에 이름을 부여할 필요 없이 함수 규칙을 인라인으로 정의한다. "~로 매핑된다"라고 읽는 ↦ 화살표 기호를 사용한다. 예를 들어, $x\mapsto x+1$ 은 실수를 입력으로 받아 해당 숫자에 1을 더한 값을 출력하는 함수이다. 마찬가지로, $\R$ 의 정의역과 공역이 암시된다.

정의역과 공역도 명시적으로 지정할 수 있다. 예를 들어:

: $\begin{align}\operatorname{sqr}\colon \Z &\to \Z\\x &\mapsto x^2.\end{align}$

이것은 정수에서 정수로의 함수 $\operatorname{sqr}$ 을 정의하며 입력의 제곱을 반환한다.

화살표 표기법의 일반적인 응용으로, $f: X\times X\to Y;\;(x,t) \mapsto f(x,t)$ 가 두 변수의 함수라고 가정하고, 새로운 함수 이름을 도입하지 않고 두 번째 인수를 $t_0$ 값으로 고정하여 생성된 부분 적용 함수 $X\to Y$ 를 참조하려는 경우를 생각해 보자. 문제의 맵은 화살표 표기법을 사용하여 $x\mapsto f(x,t_0)$ 로 표시할 수 있다. 표현식 $x\mapsto f(x,t_0)$ (" $x$ 를 $f$ of $x$ 콤마 $t_0$ 으로 가져가는 맵"으로 읽음)은 이 새로운 함수를 단 하나의 인수로 나타내는 반면, 표현식 $f(x_0, t_0)$ 는 $(x_0, t_0)$ 에서 함수 $f$ 의 값을 나타낸다.

색인 표기법은 함수 표기법 대신 사용될 수 있다. 즉, $f(x)$ 대신 $f_x$ 라고 표기한다.

이는 일반적으로 자연수 집합을 정의역으로 하는 함수에 해당한다. 이러한 함수를 수열이라고 하며, 이 경우 원소 $f_n$ 을 수열의 $n$ 번째 원소라고 한다.

색인 표기법은 "진정한 변수"와 구별되는 몇몇 변수인 ''매개변수''를 구별하는 데에도 사용될 수 있다. 실제로 매개변수는 문제 연구 동안 고정된 것으로 간주되는 특정 변수이다. 예를 들어, 맵 $x\mapsto f(x,t)$ (위 참조)는 색인 표기법을 사용하여 $f_t$ 로 표시될 수 있다. 만약 맵의 집합 $f_t$ 를 모든 $x,t\in X$ 에 대해 $f_t(x)=f(x,t)$ 라는 공식으로 정의한다면 말이다.

$x\mapsto f(x)$ 표기법에서 기호 $x$ 는 어떤 값을 나타내는 것이 아니라 단순히 자리표시자로, 화살표의 왼쪽에 $x$ 를 어떤 값으로 대체하면 화살표의 오른쪽에 있는 $x$ 도 같은 값으로 대체해야 함을 의미한다. 따라서 $x$ 는 종종 가운데 점 " $\cdot$ "과 같이 어떤 기호로든 대체될 수 있다. 이것은 함수 $f(\cdot)$ 를 $x$ 에서의 값 $f(x)$ 와 구별하는 데 유용할 수 있다.

예를 들어, $a(\cdot)^2$ 는 함수 $x\mapsto ax^2$ 를 나타낼 수 있으며, $\int_a^{\, (\cdot)} f(u)\,du$ 는 변수 상한이 있는 적분으로 정의된 함수, 즉 $x\mapsto \int_a^x f(u)\,du$ 를 나타낼 수 있다.

어떤 경우에는 함수의 인수가 몇몇 집합 또는 집합들에서 가져온 순서쌍일 수 있다. 예를 들어, 함수 $f$ 는 실수 $(x, y)$ 의 임의의 쌍을 그 제곱의 합, $x^2 + y^2$ 에 매핑하도록 정의될 수 있다. 이러한 함수는 일반적으로 $f(x, y)=x^2 + y^2$ 로 표기되며 "두 변수의 함수"라고 불린다. 마찬가지로 $f(w,x, y)$ , $f(w,x, y, z)$ 와 같은 표기법으로 세 개 이상의 변수를 갖는 함수를 가질 수 있다.

용어	"함수"와의 차이점
사상/매핑	없음; 이 용어들은 동의어이다.^[13]
	사상은 어떤 집합이든 공역으로 가질 수 있지만, 일부 맥락, 특히 오래된 책에서는 함수의 공역이 특별히 실수 또는 복소수의 집합이다.^[14]
	또는 사상은 특별한 구조와 관련이 있다(예: 정의에서 구조화된 공역을 명시적으로 지정). 예를 들어, 선형 사상.^[17]
준동형 사상	구조의 연산을 보존하는 동일한 유형의 두 구조 사이의 함수(예: 군 준동형 사상).^[15]
사상	대상들이 집합이 아닌 경우에도 모든 범주로의 준동형 사상의 일반화 (예를 들어, 군은 사상으로 군의 원소를 갖는 하나의 대상만 있는 범주를 정의한다. 이 예제 및 기타 유사한 예제는 예시를 참조).^[16]

함수는 '''사상''' 또는 '''매핑'''이라고도 할 수 있지만, 일부 저자는 "사상"과 "함수"라는 용어 사이에 차이를 둔다. 예를 들어, "사상"이라는 용어는 종종 일종의 특별한 구조를 가진 "함수"를 위해 사용된다(예: 다양체 사상). 특히 ''사상''은 간결성을 위해 ''준동형 사상'' 대신 사용될 수 있다(예: 선형 사상 또는 '' $G$ 에서 $H$ 로의 사상''은 ''군 준동형 사상 $G$ 에서 $H$ '' 대신). 일부 저자^[17]는 공역의 구조가 함수의 정의에 명시적으로 속하는 경우에만 ''매핑''이라는 단어를 사용한다.

세르주 랑과 같은 일부 저자는^[14] "함수"를 공역이 실수 또는 복소수의 부분 집합인 사상을 지칭하는 데만 사용하고, 더 일반적인 함수에 대해 ''매핑''이라는 용어를 사용한다.

동적 시스템 이론에서, 사상은 진화 함수를 나타내며, 이를 사용하여 이산 동적 시스템을 생성한다. 푸앵카레 사상도 참조하라.

''사상''의 어떤 정의가 사용되든, ''정의역'', ''공역'', ''단사'', ''연속''과 같은 관련 용어는 함수와 동일한 의미를 갖는다.

함수 $f$ 가 주어졌을 때, 정의에 따르면 함수 $f$ 의 정의역의 각 원소 $x$ 에 고유한 원소, 즉 $x$ 에서의 $f$ 의 값 $f(x)$ 가 연결되어 있다. $x$ 가 $f(x)$ 와 어떻게 관련되는지 명시적이고 암묵적인 여러 가지 방법으로 지정하거나 설명할 수 있다. 때로는 공리나 정리가 어떤 속성을 가진 함수의 존재를 주장하지만, 이를 더 정확하게 설명하지는 않는다. 종종 이러한 지정 또는 설명을 함수 $f$ 의 정의라고 한다.

유한 집합에서 함수는 정의역의 원소와 관련된 공역의 원소를 나열하여 정의할 수 있다. 예를 들어, $A = \{ 1, 2, 3 \}$ 이면, $f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 4.$ 로 함수 $f: A \to \mathbb{R}$ 를 정의할 수 있다.

함수는 종종 식에 의해 정의되며, 이 식은 산술 연산과 이전에 정의된 함수들의 조합을 설명한다. 이러한 공식은 정의역의 임의의 원소 값으로부터 함수의 값을 계산할 수 있게 해준다.

예를 들어, 위의 예에서 $f$ 는 $n\in\{1,2,3\}$ 에 대해 $f(n) = n+1$ 이라는 공식으로 정의될 수 있다.

함수가 이런 방식으로 정의될 때, 정의역을 결정하는 것은 때때로 어렵다. 함수를 정의하는 공식에 나눗셈이 포함되어 있다면, 분모가 0이 되는 변수 값은 정의역에서 제외되어야 한다. 따라서 복잡한 함수의 경우, 정의역을 결정하는 것은 보조 함수의 영점을 계산하는 과정을 거친다. 마찬가지로, $\mathbb{R}$ 에서 $\mathbb{R}$ 로의 함수 정의에 제곱근이 나타나는 경우, 정의역은 제곱근의 인수가 음수가 아닌 변수 값의 집합에 포함된다.

예를 들어, $f(x)=\sqrt{1+x^2}$ 는 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 함수를 정의하며, 그 정의역은 $\mathbb{R}$ 이다. 왜냐하면 $1+x^2$ 는 $x$ 가 실수일 경우 항상 양수이기 때문이다. 반면에, $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ 는 실수에서 실수로의 함수를 정의하며, 정의역은 구간 $[-1, 1]$ 로 축소된다. (오래된 텍스트에서는 이러한 정의역을 함수의 "정의역"이라고 불렀다.)

함수는 함수를 정의하는 공식의 성격에 따라 분류될 수 있다.

이차 함수는 $f(x) = ax^2+bx+c$ 로 쓸 수 있는 함수이며, 여기서 $a, b, c$ 는 상수이다.
더 일반적으로, 다항 함수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 그리고 음이 아닌 정수 거듭제곱으로의 지수 연산만을 포함하는 공식으로 정의될 수 있는 함수이다. 예를 들어, $f(x) = x^3-3x-1$ 와 $f(x) = (x-1)(x^3+1) +2x^2 -1$ 는 $x$ 의 다항 함수이다.
유리 함수는 $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$ 및 $f(x) = \frac 1{x+1}+\frac 3x-\frac 2{x-1}$ 와 같이 나눗셈도 허용되는 함수이다.
대수 함수는 $n$ 제곱근과 다항식의 근도 허용되는 함수이다.
기본 함수^[18]는 로그 함수와 지수 함수가 허용되는 함수이다.

함수

f : X\to Y

는 정의역

X

와 공역

Y

를 가지며, 모든

y

가

Y

에 속할 때,

y = f(x)

를 만족하는

X

의 원소

x

가 하나만 존재한다면 전단사 함수이다. 이 경우,

f

의 역함수는

f^{-1} : Y \to X

이며,

y\in Y

를

y = f(x)

를 만족하는 원소

x\in X

로 매핑한다. 예를 들어, 자연 로그는 양의 실수에서 실수로의 전단사 함수이다. 따라서 지수 함수라고 불리는 역함수를 가지며, 이는 실수를 양수로 매핑한다.

함수

f: X\to Y

가 전단사가 아니라면,

f

의

E

로의 함수의 제한이

E

에서

F

로의 전단사이며 역함수를 가지도록,

E\subseteq X

와

F\subseteq Y

의 부분 집합을 선택할 수 있는 경우가 발생할 수 있다. 역삼각 함수는 이러한 방식으로 정의된다. 예를 들어, 코사인 함수는 제한을 통해 구간

[0, \pi]

에서 구간

[-1, 1]

로의 전단사를 유도하며, 그 역함수인 아크코사인은

[-1, 1]

를

[0, \pi]

로 매핑한다. 다른 역삼각 함수들도 유사하게 정의된다.

더 일반적으로, 두 집합

X

와

Y

사이의 이항 관계

R

이 주어졌을 때, 모든

x\in E

에 대해

x R y

를 만족하는

y\in Y

가 있도록

X

의 부분 집합을

E

라고 하자. 만약 모든

x\in E

에 대해 그러한

y

를 선택할 수 있는 기준이 있다면, 이는 음함수라고 불리는 함수

f: E\to Y

를 정의하는데, 이는 관계

R

에 의해 암묵적으로 정의되기 때문이다.

예를 들어, 단위 원

x^2+y^2=1

의 방정식은 실수에 대한 관계를 정의한다. 만약

-1 < x < 1

라면,

y

의 가능한 값은 양수 하나와 음수 하나, 두 개가 있다.

x = \pm 1

인 경우, 이 두 값은 모두 0이 된다. 그렇지 않으면,

y

의 가능한 값은 없다. 이는 이 방정식이 정의역이

[-1, 1]

이고, 각각 공역이

[0, +\infty)

및

(-\infty, 0]

인 두 개의 음함수를 정의한다는 것을 의미한다.

이 예에서는

y=\pm \sqrt{1-x^2}

를 제공하여

y

에 대해 방정식을 풀 수 있지만, 더 복잡한 예에서는 불가능하다. 예를 들어, 관계

y^5+y+x=0

은

x

의 음함수로

y

를 정의하며, 이를 Bring 근이라고 부르고, 정의역과 치역으로

\mathbb R

을 가진다. Bring 근은 네 가지 산술 연산과

n

제곱근으로 표현할 수 없다.

음함수 정리는 한 점의 근방에서 음함수의 존재성과 유일성을 위한 완만한 미분가능성 조건을 제공한다.

많은 함수는 다른 함수의 부정적분으로 정의될 수 있다. 이는

1/x

의 부정적분이며,

x = 1

에서 0인 자연 로그의 경우이다. 또 다른 흔한 예는 오차 함수이다.

더 일반적으로, 대부분의 특수 함수를 포함한 많은 함수는 미분 방정식의 해로 정의될 수 있다. 가장 간단한 예는 아마도 지수 함수일 것이며, 이는 도함수와 같고

x = 0

에서 값 1을 갖는 고유한 함수로 정의될 수 있다.

멱급수는 수렴하는 영역에서 함수를 정의하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 지수 함수는

e^x = \sum_{n=0}^{\infty} {x^n \over n!}

로 주어진다. 그러나 급수의 계수는 상당히 임의적이므로, 수렴하는 급수의 합인 함수는 일반적으로 다른 방식으로 정의되며, 계열의 순서는 다른 정의를 기반으로 한 어떤 계산의 결과이다. 그런 다음, 멱급수는 함수의 영역을 확장하는 데 사용될 수 있다. 일반적으로, 실수 변수에 대한 함수가 어떤 구간에서 테일러 급수의 합인 경우, 이 멱급수는 즉시 영역을 복소수의 부분 집합인 급수의 수렴 반경으로 확장할 수 있다. 그런 다음 해석적 연속을 사용하면 거의 전체 복소 평면을 포함하도록 영역을 더 확장할 수 있다. 이 과정은 일반적으로 로그 함수, 지수 함수 및 복소수의 삼각 함수를 정의하는 데 사용되는 방법이다.

수열로 알려진, 정의역이 음이 아닌 정수인 함수는 때때로 점화 관계에 의해 정의된다.

음이 아닌 정수에 대한 팩토리얼 함수(

n\mapsto n!

)는 기본적인 예시이다. 점화 관계는 다음과 같다.

:

n!=n(n-1)!\quad\text{for}\quad n>0,

초기 조건은 다음과 같다.

:

0!=1.

두 변수

x

와

y

가 있고, 입력 ''

x

''에 대해, 출력 ''

y

''의 값을 결정하는 규칙(''x''에 특정 값을 대입할 때마다 ''

y

''의 값이 확정됨)이 주어졌을 때, 변수 ''

y

''를 "''

x

''를 '''독립 변수'''(independent variable)로 하는 '''함수'''" 또는 간단히 "''

x

''의 함수"라고 한다. 대응 규칙을 명시할 때는 적당한 문자열(특히 특별한 이유가 없으면 function의 머리글자에서

f

가 선택되는 경우가 많다)을 사용하여

y = f(x)

라고 쓰고,

x = a

를 대입했을 때 결정되는 함수의 값을

f(a)

로 나타낸다. 그러나 여기서, 상수 함수의 예에서 보듯이, 개별 ''

y

''의 값에 대해 대응하는 ''

x

''의 값이 하나로 결정된다고는 할 수 없음에 주의해야 한다. 이

f(x)

라는 표기법은 18세기의 수학자 레온하르트 오일러에 의한 것이다. 오일러는 변수나 상수를 조합하여 만들어진 수식을 함수로 정의했지만, 코시는 위에 언급한 것처럼 ''

y

''라는 변수를 함수로 정의했다.

''

y

''가 ''

x

''의 함수라는 것의 다른 표현으로, 변수 ''

y

''는 변수 ''

x

''에 '''종속'''한다고도 하며, ''

y

''를 '''종속 변수'''(dependent variable)라고 한다. 독립 변수가 가질 수 있는 값의 전체(변역)를 이 함수의 '''정의역'''(domain)이라고 하며, 독립 변수가 정의역의 모든 값을 가질 때 종속 변수가 가질 수 있는 값(변역)을 이 함수의 '''치역'''(range)이라고 한다.

함수의 공역은 실수체

\mathbb{R}

나 복소수체

\mathbb{C}

의 부분 집합인 경우가 많다. 공역이 실수의 집합이 되는 함수를 '''실수 값 함수'''(real valued function)라고 하며, 공역이 복소수의 집합이 되는 함수를 '''복소수 값 함수'''(complex valued function)라고 한다. 각각 정의역이 어떤 집합인지는 묻지 않지만, 정의역도 공역도 실수의 집합인 함수를 '''실함수'''(real function)라고 하며, 정의역도 공역도 복소수의 집합인 함수를 '''복소 함수'''(complex function)라고 한다.

함수를 표기하기 위한 표준적인 방법이 몇 가지 있다.

일반적으로 잘 알려진 기법은 함수명과 인수를 명시하는 식을 사용하여 함수를 정의하는, 이른바 함수 표기법이다. 그러나 함수 표기법에는 "함수 그 자체"와 "함수 값"의 구별이 불가능하다는 문제점이 있다.

함수는 이탤릭체의 문자 하나로 나타내거나(예:

f, g, h, ...

), 로만체의 문자를 여러 개 사용하여 나타낸다(예: 삼각 함수:

\sin

, 지수 함수:

\exp

, 로그:

\log

, 로그 적분:

\operatorname{Li, li}

, 대각합:

\operatorname{tr, Sp}

등). 후자의 로만체는 예를 들어 함수명의 생략형으로 함수를 표기할 때 등에 사용된다.

이탤릭체가 아닌 로만체를 함수에 사용함으로써, 일반적으로 이탤릭체로 표기되는 변수와의 혼동을 피할 수 있다.^[44]

함수 표기법으로

y = f(x)

(''f''의 ''x''에서의 값이 ''y''이다)라고 쓰면, 이것은 순서쌍

(x, y)

가 함수를 정의하는 순서쌍의 집합에 속한다는 것을 의미한다(더 구체적으로 함수

f

의 정의역을

X

라고 하면, 함수를 정의하는 순서쌍의 집합은 내포적 표기법으로

\{(x,f(x));\ x \in X\}

라고 쓸 수 있다).

자주 함수의 정의는 함수

f

가 명시된 인수

x

에 대해 무엇을 하는가 하는 형태로 이루어진다. 예를 들어

f

를 임의의 실수

x

에 대해 성립하는 등식

f(x):=\sin(x^2+1)

로 정의한다고 하면, 이것은

x

를 제곱하고 1을 더한 다음 그 합성을 취하는 더 단순한 여러 절차로 생각할 수 있다.

오해의 소지가 없는 경우, 예를 들어 여러 문자의 함수 기호를 사용하는 함수에 대해 인수를 명시하는 괄호는 생략해도 좋다. 즉,

\sin (x)

대신

\sin x

라고 써도 된다.

함수 표기법을 사용한 것은 레온하르트 오일러가 처음(1734년)인 것으로 알려져 있다.^[45]

함수

f

의 정의역

X

와 공역

Y

를 명시할 목적으로, 화살표 표기

f\colon X \to Y

나

X \stackrel{f} Y

("

f

는

X

에서

Y

로의 함수", "

f

는

X

의 원소를

Y

의 원소로 사상시킨다")가 사용된다. 여기에 더하여, 원소 간의 관계를 나타내기 위해 "

f

가

x

를

f(x)

로 사상시킨다"는 의미의

x \mapsto f(x)

를 종종 덧붙여 쓴다.

예를 들어, 곱셈이 정의된 집합

X

위에서 각 원소를 제곱하는 함수

\operatorname{sqr}

를 명확하게 정의하려면

:

\begin{align}\operatorname{sqr}\colon X &\to X\\x &\mapsto x\cdot x,\end{align}

와 같이 쓰면 된다. 원소의 대응은

x \mapsto x^2

라고 써도 좋다.

함수 기호나 정의역 및 공역에 대해서는 생략되는 경우가 종종 있다. 이러한 표기법은 함수의 임의의 인수에 대한 값만 등식으로 주어지는 상황이 자주 발생하므로, 이때 특별한 함수 기호를 준비하지 않아도 되기 때문에 유용하다. 예를 들어, 두 변수 함수

f\colon X\times X\to Y;\;(x,t) \mapsto f(x,t)

가 주어져 있고, 두 번째 인수를 값

t_0

으로 고정하여 얻어지는 부분 적용(Partial application)

X\to Y

에 대해 언급하고 싶을 때, 이 함수에 새롭게 이름을 붙이지 않고,

x\mapsto f(x,t_0)

라는 원소의 대응을 나타내는 화살표 표기를 사용하면 다룰 수 있다.

첨자 표기법은 함수 표기법과 함께 자주 사용되는 표기법으로, 함수 표기법

f(x)

는 첨자 표기법에서

f_x

와 같이 쓰인다.

정의역이 자연수인 경우(즉, 수열인 경우)에는 첨자 표기법을 사용하는 것이 일반적이며, 각 값 $f_n$ 은 수열의 $n$ 번째 항이라고 불린다.
여러 개의 인수를 가진 함수에서, 그 인수들이 "진정한 변수"와 매개변수로 나뉠 때, 진정한 변수가 아님을 구별하기 위해 보조 변수를 첨자로 사용하는 경우가 종종 있다(실제로 파라미터라는 것은 하나의 문제를 고찰하는 동안에는 어떤 값으로 고정되어 있는 것으로 간주되는 변수를 말한다). 예를 들어, 앞의 예에서도 보았던 두 변수 함수의 편함수 $x \mapsto f(x, t)$ 를 첨자 표기법으로 $f_t$ 라고 쓰면, 정의식 $f_t(x):=f(x,t)\ (x,t\in X)$ 에 의해 일변수 함수의 족 $\{f_t \colon X \to X;\ t \in X\}$ 가 정의된다.

화살표 표기

x \mapsto f(x)

에서 기호

x

는 특정 값을 나타내지 않고, 단지 자리표시자로서, 좌변의

x

를 임의의 값으로 대체할 때 우변의

x

도 같은 값으로 대체해야 함을 나타내기 위해 사용된다. 따라서,

x

대신 어떤 기호를 사용해도 되며, 수식 내 특정 값을 나타내는 문자와의 혼동을 피하기 위해 중점 "

\cdot

"이 자주 사용된다. 중점을 사용함으로써, 예를 들어 함수 자체

f(\cdot)

와 임의의 점

x

에서의 함수 값

f(x)

를 구분할 수 있다.

다른 예시로,

x \mapsto ax^2

를 나타내기 위해

a(\cdot)^2

로 쓰거나, 상한이 변수인 정적분

x\mapsto \int_a^x f(u)\,du

를

\int_a^{(\cdot)} f(u)\,du

로 쓰는 경우 등이 있다.

수학의 특정 분야에서는 그 외에도 특별한 표기법이 사용되기도 한다. 예를 들어, 선형대수학이나 함수해석학에서는 선형 사상을 벡터에 작용시킬 때, 이들 사이에 성립하는 쌍대성을 명확히 하기 위해 내적의 표기법이 사용된다(양자역학에서도 이와 유사한 브라-켓 표기법이 사용된다). 수리논리학이나 계산 이론에서는 람다 계산의 표기법이 함수의 추상화나 적용 등의 기본 개념을 명시적으로 나타내기 위해 사용된다. 범주론이나 호몰로지 대수학에서는 위에서 본 함수의 화살표 표기법을 확장하거나 일반화하는 방식으로, 함수로 구성된 그림과 이들의 합성이 가환 도형을 만족한다는 의미로 어떤 가환성을 가지는지의 형태로 기술된다.

그래프는 함수의 직관적인 묘사를 제공하기 위해 널리 사용된다. 그래프를 통해 예를 들어 함수가 어떻게 증가하고 감소하는지 와 같은 함수의 성질을 파악할 수 있으며, 함수의 이해에 도움이 된다. 함수에 따라서는 그 표현에 막대 그래프 등도 활용할 수 있다.

주어진 함수

f\colon X\to Y

의 그래프는 형식적인 집합

G:=\{(x,f(x)) : x\in X\}

를 의미한다.

흔한 경우로

X

및

Y

가 실수 전체(또는 그 특정 부분 집합, 예를 들어 구간 등)의 부분 집합일 때, 실수 쌍

(x,y)\in G

를 2차원 좌표계(예: 데카르트 좌표계)에서 좌표

(x, y)

를 갖는 점과 동일시할 수 있다. 이러한 함수(의 일부분)의 표시법의 일환으로, 플롯도를 그릴 수 있다(이러한 플롯도 또한 "함수의 그래프"로 널리 사용된다). 또한 다른 좌표계를 사용하여 함수의 그림을 그릴 수도 있다. 예를 들어 제곱 함수

x \mapsto x^2

의 그래프는 좌표

4. 종류

함수의 종류는 정의역, 공역, 대응 규칙 등에 따라 다양하게 분류된다.

정의역	공역	이름
$\mathbb N$		수열
$\mathbb R$ 의 열린집합		실변수 함수(function of a real variable^영어)
	$\mathbb R$	실숫값 함수(real-valued function^영어)
$\mathbb C$ 의 열린집합		복소변수 함수(function of a complex variable^영어)
	$\mathbb C$	복소값 함수(complex-valued function^영어)
$\mathbb R^n$ (또는 $\mathbb C^n$ )의 열린집합		다변수 함수(multivariate function^영어)

특별한 정의역을 갖는 함수에 대하여 추가적인 성질들을 정의할 수 있다. 예를 들어 두 위상 공간 사이의 함수에 대하여 연속 함수의 개념을 정의할 수 있으며, 두 매끄러운 다양체 사이의 함수의 각종 매끄러움 성질들을 정의할 수 있다. 실변수 실숫값 함수 $f\colon U\to\mathbb R$ ( $U$ 는 $\mathbb R$ 의 열린집합)의 경우 추가로 다음과 같은 성질들을 정의할 수 있다.

단조함수^[48]
* 증가함수: 임의의 $x,y\in U$ 에 대하여, 만약 $x\le y$ 라면, $f(x)\le f(y)$ . 즉, $f$ 의 그래프는 오른쪽으로 갈수록 상승하는 곡선이다. 예를 들어, $U=\mathbb R$ , $x\mapsto 2x$
* 감소함수: 임의의 $x,y\in U$ 에 대하여, 만약 $x\le y$ 라면, $f(x)\ge f(y)$ . 즉, $f$ 의 그래프는 오른쪽으로 갈수록 하강한다. 예를 들어, $U=\mathbb R$ , $x\mapsto-2x$
홀함수와 짝함수^[47]
* 홀함수: 임의의 $x\in U$ 에 대하여, $-x\in U$ 이며 $f(-x)=-f(x)$ . 즉, $f$ 의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. 예를 들어, $U=\mathbb R$ , $x\mapsto x^3$
* 짝함수: 임의의 $x\in U$ 에 대하여, $-x\in U$ 이며 $f(-x)=f(x)$ . 즉, $f$ 의 그래프는 y축에 대하여 대칭이다. 예를 들어, $U=\mathbb R$ , $x\mapsto x^2$
주기 함수: 임의의 $x\in U$ 에 대하여, $x+T\in U$ 이며 $f(x+T)=f(x)$ . 즉, $f$ 의 그래프는 x축 방향의 평행 이동 대칭을 갖는다. 대표적으로 모든 삼각 함수는 주기 함수다.

f : X\to Y

를 함수라고 하자.

함수

f

가

X

의 서로 다른 두 원소

a

와

b

에 대해

f(a) \ne f(b)

이면, 이 함수는 ''단사''이다.^[21]^[22] 동등하게,

f

가 단사 함수인 것은 모든

y\in Y

에 대해 역상

f^{-1}(y)

가 최대 하나의 원소를 포함하는 것과 같다. 빈 함수는 항상 단사 함수이다.

X

가 공집합이 아닌 경우,

f

가 단사 함수인 것은

g: Y\to X

와 같은 함수가 존재하여

g\circ f=\operatorname{id}_X

, 즉,

f

가 왼쪽 역을 갖는 것과 같다.^[22]

함수

f

의 치역

f(X)

가 공역

Y

와 같으면, 즉, 공역의 각 원소

y

에 대해,

f(x) = y

인 정의역의 원소

x

가 존재하면, 이 함수는 ''전사''이다 (다시 말해, 모든

y\in Y

의 역상

f^{-1}(y)

가 비어 있지 않음).^[21]^[24] 선택 공리를 가정하면,

f

가 전사 함수인 것은

f\circ g=\operatorname{id}_Y

, 즉,

f

가 오른쪽 역을 갖는 함수

g: Y\to X

가 존재하는 것과 같다.^[24]

함수

f

가 단사이면서 전사이면, 즉, 모든

y\in Y

에 대해 역상

f^{-1}(y)

가 정확히 하나의 원소를 포함하면, 이 함수는 ''전단사''이다.^[21]^[25] 함수

f

가 전단사 함수인 것은 역함수를 갖는 것, 즉

g\circ f=\operatorname{id}_X

및

f\circ g=\operatorname{id}_Y

를 만족하는 함수

g : Y\to X

가 있는 것과 같다.^[25]

모든 함수

f: X\to Y

는 전사 함수의 뒤에 단사 함수가 오는 합성

i\circ s

로 인수분해될 수 있는데, 여기서

s

는

X

에서

f(X)

로의 표준 전사 함수이고,

i

는

f(X)

에서

Y

로의 표준 단사 함수이다. 이것이

f

의 ''표준 인수분해''이다.

"일대일"과 "위로"는 이전 영어 문헌에서 더 흔하게 사용된 용어였고, "단사", "전사", "전단사"는 20세기 초 부르바키 그룹에 의해 프랑스어로 처음 만들어져 영어로 수입되었다.^[26] 주의할 점은 "일대일 함수"는 단사 함수이고 "일대일 대응"은 전단사 함수를 의미한다. 또한, "

f

가

X

를

Y

''위로'' 매핑한다"는 것은 "

f

가

X

를

Y

''안으로'' 매핑한다"와는 다르며, 전자는

f

가 전사임을 의미하는 반면 후자는

f

의 특성에 대해 아무런 주장도 하지 않는다.

유한 집합에서 정의된 함수의 경우, 정의역의 각 점에 할당되는 공역의 원소를 모두 나열하여 함수를 정의할 수 있다. 예를 들어

A := \{ 1, 2, 3 \}

일 때, 함수

f: A \to \mathbb{R}

을

f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 4

로 정의할 수 있다.

산술 및 기타 알려진 함수를 조합한 식(닫힌 형식의 식)에 의해 함수가 주어지는 경우도 많다. 이러한 식으로부터 정의역의 임의의 원소 값에서 함수의 값을 계산할 수 있다. 예를 들어, 바로 앞의 예시의

f

는

f(n) := n+1\ (n\in\{1,2,3\})

으로 정의할 수도 있다.

이러한 방식으로 함수를 정의했을 때, 해당 함수가 어떤 집합에서 정의되는지 결정하기 어려운 경우가 종종 발생한다. 예를 들어 정의식이 나눗셈을 포함하는 경우, 분모가 0이 되는 변수 값은 정의역에서 제외해야 한다. 마찬가지로, 실수 함수의 정의에 제곱근이 포함된 경우에는 제곱근의 인수가 비음수가 되는 변수 값의 집합에 정의역이 포함되도록 해야 한다.

함수					형식
초등 함수	대수 함수
		유리 함수
			다항 함수
				상수 함수	$f(x) = a$
				일차 함수	$f(x) = ax + b$
				이차 함수	$ax^2 + bx + c$
				삼차 함수	$ax^3 + bx^2 + cx + d$
			분수 함수		$f(x) = \frac{a}{x}$
		무리 함수			$\sqrt{x}$
	초등초월 함수
		지수 함수			a^x, e^x, 2^x
		로그 함수			log(x), ln(x), log_a(x)
		삼각 함수			sin(x), cos(x), tan(x)
		역삼각 함수			sin⁻¹(x), cos⁻¹(x), tan⁻¹(x)
		쌍곡선 함수			sinh(x), cosh(x), tanh(x)
특수 함수
		감마 함수			Γ(x)
		베타 함수			Β(x, y)
		오차 함수			erf(x)
		세타 함수
		제타 함수			ζ(x)
		마티외 함수
* 대표적인 함수와 그 구체적인 예시의 목록을 제시한다^[41]^[46]。

식에 의해 함수를 정의하는 경우, 해당 식들이 가지는 성질·특성에 따라 함수를 분류하는 경우가 종종 있다.

이차 함수는 $f(x)=ax^2+bx+c$ 의 형태(단, $a, b, c$ 는 상수)로 나타낼 수 있는 함수를 말한다.
더 일반적으로, 다항 함수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈과 음이 아닌 정수 거듭제곱만 포함하는 식으로 정의할 수 있는 함수이다.
유리 함수는 다항 함수와 같은 조건에서 나눗셈을 허용하는 것이다.
대수 함수는 추가로 멱근이나 다항식의 근을 구하는 연산이 허용된다.
위를 모두 포함하는 초등 함수에는 추가로 로그나 지수 함수 등이 포함된다.

함수

f\colon X\to Y

가 전단사 함수라는 것은,

Y

의 각 원소

y

에 대해,

X

의 원소

x

가 정확히 하나 존재하여

y = f(x)

로 쓸 수 있다는 것이다. 이 경우,

f

의 역함수

f^{-1}\colon Y \to X

가 임의의

y \in Y

를

y = f(x)

를 만족하는

x \in X

에 대응시키는 함수로 정의된다. 예를 들어, 자연 로그 함수는 양의 실수 전체의 집합에서 실수 전체의 집합으로의 전단사 함수이므로 역함수를 가지며, 이는 지수 함수라고 불리는 실수 전체에서 양의 실수 전체로의 함수이다.

함수

f\colon X\to Y

가 전단사 함수가 아니더라도, 적절한 부분 집합

E\subseteq X

및

F\subseteq Y

를 선택하여,

f

의

E

로의 제한이

E

에서

F

로의 전단사 함수가 되어, 그 의미에서의 역함수를 가질 수 있다. 역삼각 함수가 이러한 방식으로 정의된다.

더 일반적으로, 두 집합

X, Y

사이의 이항 관계

R

이 주어지고,

X

의 부분 집합

E

는 각 원소

x \in E

에 대해 적절한

y \in Y

가 존재하여

x R y

라고 할 수 있는 것으로 한다. 어떤

x \in E

에 대해 그러한

y \in Y

를 하나 선택하는 판별법을 알고 있다면, 함수

f\colon E\to Y

를 정의할 수 있으며, 관계

R

에서 음함수적으로 정해진다는 의미에서 음함수라고 부른다.

음함수 정리는 점의 근방에서의 음함수의 존재와 유일성을 보장하는 완만한 미분 가능성 조건을 제공한다.

다양한 함수를 적절한 함수의 원시함수로 정의할 수 있다. 예를 들어, 자연로그 함수는 역수 함수

1/x

의 원시함수이며,

x=1

에서의 값이

0

이 되는 것으로 정의된다. 오차 함수

erf

역시 이러한 방식으로 정의되는 함수의 예이다.

더 일반적으로, 대부분의 특수 함수를 포함한 많은 함수는 미분 방정식의 해로 정의된다. 가장 단순한 예로, 지수 함수는 미분이 자기 자신과 같은 함수 중에서

x=0

에서의 값이

1

이 되는 유일한 함수로 정의할 수 있다.

멱급수는 수렴 영역을 정의역으로 하여 함수를 정의하는 데 사용할 수 있다. 예를 들어, 지수 함수는

e^x = \textstyle\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!}

와 같이 정의할 수 있다.

정의역이 음이 아닌 정수인 함수 (즉 수열)는 종종 점화식으로 정의된다.

기본적인 예로, 음이 아닌 정수에 그 계승을 대응시키는 함수

n\mapsto n!

은 점화식

n!=n(n-1)!\quad(n>0)

과 초기 조건

0!=1

에 의해 결정된다.

공역의 원소가 벡터인 함수를 벡터값 함수라고 한다. 벡터값 함수는 (예를 들어, 물리적 성질을 모델링하는 것과 같은) 응용 분야에서 특히 유용하며, 예를 들어, 유속의 각 지점에서 해당 지점의 속도 벡터를 할당하는 함수는 벡터값 함수가 된다.

5. 연산

함수는 상, 원상, 역함수, 합성, 제한 등의 연산을 통해 새로운 함수를 생성할 수 있다.

'''상'''(Image): 집합 $A\subseteq X$ 및 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, $\{f(a)\colon a\in A\}$ 를 $A$ 의 상이라고 하며, $f(A)$ 로 쓴다. $f(X)$ 는 치역이라고 한다.
'''원상'''(Preimage): 집합 $B\subseteq Y$ 및 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, $\{x\in X\colon f(x)\in B\}$ 를 $B$ 의 원상이라고 하며, $f^{-1}(B)$ 로 쓴다.
'''역함수''': 함수 $f\colon X\to Y$ 가 전단사 함수일 때, 정의역과 공역이 뒤바뀌고 대응 방향이 반대로 바뀐 함수 $f^{-1}\colon Y\to X$ 를 생각할 수 있다. 이를 $f$ 의 역함수라고 한다.
'''합성''': 두 함수 $f\colon X\to Y$ 및 $g\colon Y\to Z$ 에 대하여, $X$ 의 원소를 먼저 $f$ 를 통해 $Y$ 의 원소에 대응시키고, 다시 $g$ 에 따라 $Z$ 의 원소로 대응시키는 함수 $g\circ f\colon X\to Z$ 를 $f$ 와 $g$ 의 합성이라고 한다.
'''제한'''(Restriction): 함수 $f\colon X\to Y$ 의 정의역의 부분 집합 $A\subseteq X$ 으로의 제한은 $f\restriction A\colon A\to Y$ 로 나타내며, $f$ 의 대응 규칙을 유지한 채 정의역만 $A$ 로 줄인 함수이다.

예를 들어 사인 함수

\sin\colon\mathbb R\to\mathbb R

의 치역은

[-1,1]

이며, 지수 함수의 역함수는 로그 함수이다.

6. 역사

삼각함수와 같은 특정 함수에 대한 연구는 오래전부터 있어 왔다. 16세기 라이프치히 대학교의 수학 교수이자 코페르니쿠스의 《천구의 회전에 관하여》가 출간되는데 큰 역할을 하였던 레티쿠스는 1596년 《팔라티누스 삼각형 서(書)》(Opus Palatinum de triangulis^la)에서 삼각함수표를 정리하여 발표하기도 하였다.^[50] 그러나 당시의 연구는 현재의 함수 정의에 확립되어 있는 관계에 대한 개념이 없이 단순히 계산의 편의를 도모하기 위한 것이었다. 한편, 르네 데카르트는 데카르트 좌표계를 이용하여 오늘날 함수의 관계식에 해당하는 방정식을 그래프로 표현하는 방법을 제시하였다.^[51]

17세기에 도입된 대부분의 함수는 함수 개념이 충분히 인식되기 이전에는 곡선, 특히 운동 궤적으로서 연구되었다. 1667년, 제임스 그레고리(James Gregory^영어)는 논문 《원과 쌍곡선의 구적법에 대하여》(Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura^la)에서 함수를 다른 양들에 대한 대수 연산 및 극한 연산을 통해 얻는 양으로 정의하였다. 1665년부터, 아이작 뉴턴은 줄곧 “플루언트”(fluent^영어)라는 용어로 변수 간 관계를 지칭하였다. 1673년, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 오늘날 쓰이는 용어인 “함수”(function^영어)를 곡선 위 점에 따라 변화하는 양으로 정의하였다. 1697년, 요한 베르누이는 함수를 상수와 변수가 대수 연산 및 초월 연산을 통해 구성하는 양으로 정의하였으며, 1698년에 라이프니츠의 용어를 채택하였다. 1714년, 라이프니츠는 저서 《역사》(historia^la)에서 함수를 변수에 의존하는 양으로 정의하였다. 그러나, 그는 미분 가능한 함수만을 다루었다.

레온하르트 오일러는 1734년에 오늘날 쓰이는 표기법 $f(x)$ 를 도입하였다. 또한, 오일러는 1748년에 저서 《무한 해석 입문》(Introductio in Analysin Infinitorum^la)에서 함수를 변수와 상수로 구성된 임의의 해석적 수식으로 정의하였으며, 1775년에 저서 《미분학 입문》(Institutiones Calculi Differentialis^la)에서 변수에 의존하며 그 변화에 따라 변화하는 또 다른 변수로 정의하였다.

1797년, 실베스트르 프랑수아 라크루아(Sylvestre-François Lacroix^프랑스어)는 저서 《미분과 적분에 대하여》(Traité du Calcul Différentiel et du Calcul Intégral^프랑스어)에서 수식으로 표현될 필요가 없는, 더 넓은 함수의 개념을 도입하였으며, 5차 방정식의 근이 5차 방정식의 계수의 함수라는 예시를 들었다. 1811~1815년, 조제프루이 라그랑주는 저서 《역학 해석》(Mecanique analytique^la)에서 “함수”라는 용어를 거의 모든 유형의 함수에서 사용하였다.

조제프 푸리에는 함수가 해석적 수식으로 표현될 수 있을 필요가 없다고 주장하였으나, 동시에 모든 함수는 푸리에 급수로 표현될 수 있다고 주장하였다. 그러나 그는 임의의 유한 구간에서 유한 개의 불연속점만을 갖는 함수만을 다루었다.

1837년, 페터 구스타프 르죈 디리클레는 논문 《완전히 임의인 함수의 사인 및 코사인 함수 표현에 대하여》(Ober die Darstellung ganz willkurlicher Functionen durch Sinus-und Cosinusreihen^de)에서, $y$ 가 $x$ 의 함수라는 것을 $x$ 의 주어진 구간에서의 임의의 값에 $y$ 의 유일한 값이 대응하는 것으로 정의하였으며, $y$ 가 $x$ 에 따라 어떤 법칙을 통해 결정되거나, 수학 공식으로 표현될 필요는 없다고 설명하였다. 이는 오늘날에도 사용되는 정의이다.

함수의 현대적 정의는 게오르크 칸토어가 제기한 집합론에 기반한 것이다. 버트런드 러셀은 집합을 기반으로 수학의 공리를 재서술하면서 함수 역시 이를 기반으로 재정의하였다.^[52]

함수 개념은 17세기에 시작되어 새로운 미적분학의 기본이 되었다. 당시에는 단일 실수 변수의 실수 값 함수만 고려되었으며, 모든 함수는 매끄러운 함수로 간주되었다. 그러나 이 정의는 곧 여러 변수의 함수와 복소 변수의 함수로 확장되었다. 19세기 후반에는 수학적으로 엄밀한 함수 정의가 도입되었으며, 임의의 정의역과 공역을 가진 함수가 정의되었다.

7. 성질

이 부분에서는 정의역과 공역의 특정 속성에 독립적인 함수의 일반적인 속성에 대해 설명한다.

함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음과 같은 성질들을 정의할 수 있다.

'''단사 함수''': 임의의 정의역 원소 $x,y\in X$ 에 대하여, 만약 $f(x)=f(y)$ 라면, $x=y$ 이다. 즉, 서로 다른 정의역 원소는 서로 다른 공역 원소에 대응한다.^[48]
'''전사 함수''': 임의의 공역 원소 $y\in Y$ 에 대하여, $y=f(x)$ 인 정의역 원소 $x\in X$ 가 존재한다. 즉, $f$ 의 치역은 $f$ 의 공역과 같다.^[48]
'''전단사 함수''': $f$ 는 단사 함수이며, 전사 함수이다. 이는 $f$ 가 역함수를 갖는 것과 동치이다.^[48]

8. 미적분학에서의 함수

미적분학에서 함수는 매우 중요한 개념이며, 특히 실함수를 중심으로 다양한 함수들이 연구된다. 실함수는 실수값을 갖는 실변수 함수로, 실수 체를 공역으로 하고, 구간을 포함하는 실수 집합을 정의역으로 한다.

수학 및 응용 분야에서 주로 다루는 함수는 연속 함수, 미분 가능 함수, 해석 함수와 같이 일정한 규칙성을 가지며, 이러한 규칙성 덕분에 그래프를 통해 시각적으로 표현할 수 있다.

함수는 점별 연산을 통해 새로운 함수를 만들 수 있다. 예를 들어, 두 함수 f와 g가 있을 때, 이들의 합, 차, 곱은 다음과 같이 정의된다.

: $\begin{align}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(f-g)(x)&=f(x)-g(x)\\(f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x)\\\end{align}.$

이때, 결과 함수의 정의역은 f와 g의 정의역의 교집합이 된다. 두 함수의 몫은 다음과 같이 정의되지만,

: $\frac fg(x)=\frac{f(x)}{g(x)},$

결과 함수의 정의역은 f와 g의 정의역의 교집합에서 g의 영점을 제외한 집합이 된다.

다항 함수는 다항식으로 정의되며, 정의역은 실수 전체 집합이다. 상수 함수, 선형 함수, 이차 함수 등이 이에 속한다. 유리 함수는 두 다항 함수의 몫으로 정의되며, 정의역은 0으로 나누기를 피하기 위해 유한 개의 점을 제외한 실수 전체 집합이다. 예를 들어, $x\mapsto \frac 1x$ 와 같은 함수는 쌍곡선 그래프를 가지며, 0을 제외한 모든 실수가 정의역이다.

실 미분 가능 함수의 도함수는 실함수이며, 연속적인 실함수의 부정적분은 원래 함수를 도함수로 갖는 실함수이다. 예를 들어, $x\mapsto\frac 1x$ 는 양의 실수에서 연속이며 미분 가능하므로, x=1에서 0의 값을 갖는 부정적분은 자연 로그 함수이다.

실함수 f가 어떤 구간에서 단조 함수가 되려면, $\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$ 의 부호가 해당 구간 내 x와 y의 선택에 관계없이 일정해야 한다. 함수가 구간에서 미분 가능하다면, 도함수의 부호가 해당 구간에서 일정하면 단조 함수이다. 만약 실함수 f가 구간 I에서 단조 함수이면, 역함수를 가지며, 역함수는 정의역이 f(I)이고 치역이 I인 실함수이다. 역삼각 함수는 삼각 함수가 단조 함수가 되는 구간에서 정의된다. 자연 로그는 양의 실수에서 단조 함수이고, 그 치역은 전체 실수선이므로, 실수와 양의 실수 사이의 전단사인 역함수를 가지는데, 이것이 지수 함수이다.

많은 실함수는 음함수 정리(역함수는 특정 예) 또는 미분 방정식의 해로 정의된다. 예를 들어, 사인과 코사인 함수는 다음과 같은 선형 미분 방정식의 해이다.

: $y''+y=0$

,초기 조건은 다음과 같다.

: $\sin 0=0, \quad \cos 0=1, \quad\frac{\partial \sin x}{\partial x}(0)=1, \quad\frac{\partial \cos x}{\partial x}(0)=0.$

함수의 공역의 원소가 벡터일 때, 그 함수를 '''벡터 값 함수'''라고 한다. 이러한 함수는 물리적 속성을 모델링하는 등 응용 분야에서 유용하다. 예를 들어, 유체의 각 지점에 속도 벡터를 연결하는 함수는 벡터 값 함수이다.

일부 벡터 값 함수는 $\mathbb{R}^n$ 의 부분 집합 또는 $\mathbb{R}^n$ 의 기하학적 또는 위상수학적 속성을 공유하는 다른 공간(예: 다양체)에서 정의된다. 이러한 벡터 값 함수는 '''벡터장'''이라고 한다.

9. 다가 함수

다가 함수는 함수의 정의를 완화하여, 정의역의 각 원소에 대해 여러 개의 공역 원소를 대응시키는 관계이다. 즉, 정의역의 각 원소를 적어도 하나의 공역 원소에 대응시키지만, 함수와 달리 여러 개의 공역 원소에 대응시킬 수 있다.^[48] 다가 함수 $f\colon X\to Y$ 는 일반적으로 $X$ 에서 $Y$ 로 가는 함수가 아니지만 멱집합으로 가는 함수 $f\colon X\to\mathcal P(Y)$ 와 동치이다.

복소수의 거듭제곱은 대표적인 다가 함수이다. 특히 음이 아닌 실수의 제곱근

: $f\colon[0,\infty)\to\mathbb R$

: $f\colon x\mapsto\pm\sqrt x$

은 양의 실수가 두 개의 제곱근을 가지므로 다가 함수이다.

일반적인 함수를 다가 함수와 구별하기 위해 '''일가 함수'''(一價函數, single-valued function^영어)라고 부르기도 한다.^[48]

하나의 입력에 여러 개의 출력을 반환하는 대응 규칙을 함수의 부류로 간주할 때 '''다가 함수'''라고 한다. 항상 n개의 출력을 얻는 함수는 n가 함수라고 하며, 그 n을 다가 함수의 '''가수'''라고 부른다. 예를 들어 양의 실수에 그 제곱근을 부여하는 연산은 양수와 음수 두 개의 값을 가지므로, 이가 함수이다.

10. 컴퓨터 과학에서의 함수

컴퓨터 프로그래밍에서, 일반적으로 함수는 함수의 추상적 개념을 구현하는 컴퓨터 프로그램의 일부이다. 즉, 각 입력에 대해 출력을 생성하는 프로그램 단위이다.^[1] 그러나 많은 프로그래밍 언어에서 출력값이 없거나, 기능이 단순히 컴퓨터 메모리의 일부 데이터를 수정하는 것으로 구성되어 있을 때조차도 모든 서브루틴을 함수라고 부른다.^[1]

함수형 프로그래밍은 수학적 함수처럼 동작하는 서브루틴만 사용하여 프로그램을 구축하는 프로그래밍 패러다임이다.^[1] 예를 들어, `if_then_else`는 세 개의 함수를 인수로 받아서, 첫 번째 함수의 결과(''참'' 또는 ''거짓'')에 따라 두 번째 또는 세 번째 함수의 결과를 반환하는 함수이다.^[1] 함수형 프로그래밍의 중요한 장점은 잘 정립된 이론, 즉 람다 대수를 기반으로 하기 때문에 프로그램 증명을 더 쉽게 만든다는 것이다.^[1]

컴퓨터 언어 용어를 제외하고, "함수"는 컴퓨터 과학에서 일반적인 수학적 의미를 갖는다.^[1] 이 분야에서 주요 관심 대상인 속성은 함수의 계산 가능성이다.^[1] 이 개념과 관련된 알고리즘 개념에 정확한 의미를 부여하기 위해, 여러 개의 계산 모델이 도입되었으며, 오래된 모델로는 μ-재귀 함수, 람다 대수 및 튜링 기계가 있다.^[1] 계산 가능성 이론의 기본 정리는 이 세 가지 계산 모델이 동일한 집합의 계산 가능한 함수를 정의하며, 지금까지 제안된 다른 모든 계산 모델은 동일한 집합의 계산 가능한 함수 또는 더 작은 집합의 계산 가능한 함수를 정의한다는 것이다.^[1] 처치-튜링 명제는 ''계산 가능한 함수''에 대한 철학적으로 수용 가능한 모든 정의가 또한 동일한 함수를 정의한다는 주장이다.^[1]

일반 재귀 함수는 정수에서 정수로의 부분 함수이며, 다음과 같은 연산자를 통해 정의될 수 있다.^[1]

상수 함수^[1]
후계자^[1]
투영 함수^[1]
합성^[1]
원시 재귀^[1]
최소화^[1]

정수에서 정수로의 함수에 대해서만 정의되지만, 다음과 같은 속성의 결과로 모든 계산 가능한 함수를 모델링할 수 있다.^[1]

계산은 기호의 유한 시퀀스(숫자, 공식 등의 숫자)를 조작하는 것이다.^[1]
모든 기호 시퀀스는 비트 시퀀스로 코딩될 수 있다.^[1]
비트 시퀀스는 정수의 이진 표현으로 해석될 수 있다.^[1]

람다 대수는 집합론을 사용하지 않고 계산 가능한 함수를 정의하는 이론이며, 함수형 프로그래밍의 이론적 배경이다.^[1] 변수, 함수 정의(λ^la-항), 또는 함수를 항에 적용하는 ''항''으로 구성된다.^[1] 항은 일부 규칙(α^영어-동치, β^영어-감소, 및 η^영어-변환)을 통해 조작되며, 이는 이론의 공리이며, 계산 규칙으로 해석될 수 있다.^[1]

람다 대수는 원래 형태에서는 함수의 도메인과 공역의 개념을 포함하지 않는다.^[1] 대략적으로 말하면, 형식화된 람다 대수에서 ''형''이라는 이름으로 이론에 도입되었다.^[1] 대부분의 형식화된 람다 대수는 형식화되지 않은 람다 대수보다 더 적은 함수를 정의할 수 있다.^[1]

11. 일반화

함수 개념은 여러 수학 분야에서 다양하게 일반화된다.

고차 함수: 함수를 입력값이나 출력값으로 사용하는 함수이다.
준동형 사상: 대수 구조를 보존하는 함수이다.
분포: 슈바르츠 초함수라고도 하며, 콤팩트 지지 집합을 갖는 무한 번 미분 가능한 함수 공간 위의 연속 선형 범함수로 정의된다. 일반적인 함수를 포함하는 더 넓은 개념이다.
작용소: 함수를 함수로 대응시키는 연산자이다.
선형대수학과 함수 해석학에서는 선형 형식과 벡터를 사용하여 쌍대성을 표현하며, 이는 양자역학의 브라-켓 표기법과 유사하다.
수리 논리학과 계산 이론에서는 람다 대수를 사용하여 함수 추상화와 적용을 표현한다.
범주론과 호몰로지 대수에서는 가환 다이어그램을 사용하여 함수와 그 합성들의 관계를 나타낸다.
함수 공간: 특정한 성질을 공유하는 함수들의 집합으로, 선형 위상 공간을 이룬다. 함수 해석학에서 중요한 역할을 하며, 미분 방정식의 해의 존재성과 유일성을 연구하는 데 사용된다.
사토 초함수: 층 계수 코호몰로지 등의 대수적 기법을 사용하여 정의되는 함수로, 선형 미분 방정식 계의 대수화인 가군 이론 등, 대수적 해석학에서 사용된다.

참조

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