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콘의 기약성 기준

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목차

1. 개요

콘의 기약성 기준은 10 이상의 소수 p를 십진법으로 전개했을 때, 각 자릿수를 계수로 하는 다항식이 유리수 상에서 기약이라는 정리이다. 이 정리는 임의의 자연수 기저 k에 대한 k-진 전개로 일반화될 수 있으며, 다항식의 계수가 숫자보다 큰 경우에 대한 추가적인 일반화도 존재한다. 콘의 정리는 부냐콥스키 추측과 연관되어 있으며, 유한체 위의 대수 함수체에 대한 유사체도 성립한다. 아서 콘에 의해 처음 언급되었으며, 폴리아와 세게의 저서를 통해 알려졌다.

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콘의 기약성 기준
개요
분야수학
하위 분야대수학
이름 붙여짐콘
설명
유형정리
명세기약성의 충분 조건

2. 공식화

콘의 기약성 기준은 특정 소수를 특정 기저로 나타냈을 때, 그 자릿수를 계수로 하는 다항식이 정수 계수 위에서 기약 다항식이 된다는 정리이다.[7] 이 기준은 원래 십진법 전개에 대해 제시되었으나, 임의의 자연수 기저 b \ge 2로 일반화될 수 있다.[7]

2. 1. 십진법 전개

10 이상의 소수 p가 십진법 전개로 p=a_m10^m+a_{m-1}10^{m-1}+\dots+a_110+a_0 (단, 0\leq a_i\leq 9) 와 같이 표현될 때, 각 자릿수를 계수로 하는 다항식

:f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\dots+a_1x+a_0

은 유리수 상에서 기약이다. 즉, 유리수 계수를 가지는 두 개 이상의 상수가 아닌 다항식의 곱으로 인수분해되지 않는다.

구체적으로, 소수 p가 p = a_m 10^m + a_{m-1} 10^{m-1} +\cdots+ a_1 10 + a_0 (0\leq a_i\leq 9)와 같이 십진법으로 표현된다면, 다항식

:f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0

은 정수 계수 다항식의 집합 \mathbb{Z}[x]에서 기약 다항식이다.[7]

이 정리는 임의의 기저로 다음과 같이 일반화될 수 있다.

자연수 b \ge 2에 대해, 다항식 p(x) = a_k x^k + a_{k-1} x^{k-1} +\cdots+ a_1 x + a_0의 계수가 0\leq a_i \leq b-1를 만족한다고 가정하자. 만약 p(b)의 값이 소수라면, 다항식 p(x)는 정수 계수 다항식의 집합 \mathbb{Z}[x]에서 기약 다항식이다.[7]

2. 2. 일반화

콘의 기약성 기준은 십진법 표기에만 국한되지 않고, 임의의 자연수 기저 b \ge 2에 대한 b진법 표기로 일반화될 수 있다. 즉, 어떤 소수가 특정 기저 b를 사용하여 b진법으로 표현될 때, 그 각 자릿수를 계수로 하는 다항식은 정수 계수 위에서 기약 다항식이 된다는 것이다.[8]

일반화된 정리는 다음과 같이 기술할 수 있다.

: 자연수 b \ge 2에 대해, 정수 계수 다항식 p(x) = a_k x^k + a_{k-1} x^{k-1} +\cdots+ a_1 x + a_0의 모든 계수 a_i가 0\leq a_i \leq b-1를 만족한다고 하자. 이때 만약 p(b)의 값이 소수라면, 다항식 p(x)는 정수 계수 다항식 환 \mathbb{Z}[x]에서 기약 다항식이다.[7]

역으로, 계수들의 최대공약수가 1인 기약 다항식 p(x)에 대해 p(n)이 소수가 되는 정수 n이 항상 존재하는지에 대한 문제는 수론의 유명한 미해결 문제인 부냐콥스키 추측과 관련이 있다.

3. 역사

콘의 기약성 기준은 독일의 수학자 아서 콘(Arthur Cohn영어)이 증명하였다.[9] 콘은 이사이 슈어의 지도 아래 베를린 훔볼트 대학교에서 1921년 박사 학위를 받았다.[9] 이 정리는 폴리아와 세게가 자신들의 저서 ''해석학의 문제와 정리''에서 10진법 형태의 정리를 콘의 업적으로 소개하면서[1][3][4] 널리 알려지게 되었다. 이후 브릴하트, 필라세타, 오들리즈코 등에 의해 임의의 밑수 ''b''로 일반화되었으며,[2] 필라세타와 그로스 등은 계수의 크기 제한을 완화하는 방향으로 정리를 더욱 확장하였다.[5][6] 또한 유한체 위의 대수 함수체에 대해서도 유사한 정리가 성립함이 알려져 있다.[7]

3. 1. 아서 콘

아서 콘(Arthur Cohn영어, 1894–1940)은 콘의 기약성 기준을 증명한 수학자이다.[3][4] 그는 이사이 슈어의 지도 아래 베를린 훔볼트 대학교 (당시 프리드리히 빌헬름 대학교)에서 1921년에 박사 학위를 받았다.[9] 콘은 상대적으로 덜 알려진 수학자였으나, 폴리아와 세게가 자신들의 저서 ''해석학의 문제와 정리''에서 콘의 기약성 기준 정리(10진법 형태)를 그의 업적으로 소개하면서[1][3][4] 수학계에 알려지게 되었다.

3. 2. 정리의 확장

폴리아와 세게는 ''해석학의 문제와 정리''에서 이 정리의 10진법 버전을 코언에게 귀속시켰다.[1] 문맥상 이 "A. 코언"은 1921년 프리드리히 빌헬름 대학교에서 박사 학위를 받은 이사 슈르의 제자 아서 코언(1894–1940)으로 보인다.[3][4] 이후 브릴하트, 필라세타, 오들리즈코는 이를 임의의 밑수 ''b''로 일반화했다.[2]

필라세타와 그로스는 계수가 숫자보다 큰 경우까지 허용하는 추가적인 일반화를 제시했다.[5] 구체적으로, 음이 아닌 정수 계수를 갖는 다항식 f(x)에 대해 f(10)이 소수라고 가정하자. 이때 모든 계수가 49598666989151226098104244512918 이하(\leq)이면, f(x)는 정수 계수 다항식 환 \mathbb{Z}[x]에서 기약 다항식이다. 필라세타와 그로스는 이 경계값이 최적이라는 것, 즉 이 값보다 큰 계수는 기약성을 보장하지 않는다는 것도 증명했다. 콜, 던, 필라세타는 필라세타와 그로스의 방법을 더욱 일반화하여 다른 일부 밑수에 대해서도 유사한 최적 경계를 제시했다.[6]

정리의 유사체는 유한체 위의 대수 함수체에 대해서도 성립한다.[7]

4. 역과 부냐콥스키 추측

콘의 기약성 기준의 역에 대한 질문을 생각해 볼 수 있다. 만약 어떤 정수 계수 다항식 p(x)가 계수들의 최대공약수가 1인 기약 다항식이라면, p(n)이 소수가 되는 정수 n이 항상 존재할까? [7]

이 질문은 유명한 수론의 미해결 문제인 부냐콥스키 추측으로 이어진다. 부냐콥스키 추측은 정수 계수를 가지고 최대공약수가 1인 기약 다항식 p가 주어졌을 때, p(n)이 소수가 되는 정수 n이 존재한다는 내용을 담고 있다. 다시 말해, 다항식 p(x)의 계수들이 어떤 기수(base) n에서 소수 p(n)을 나타내는 표현이 될 수 있다는 것이다. 이 추측의 진위 여부는 아직 밝혀지지 않은 미해결 문제로 남아 있다.[7]

참조

[1] 서적 Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, Bd 2 Springer, Berlin
[2] 간행물 On an irreducibility theorem of A. Cohn
[3] 웹사이트 Arthur Cohn's entry at the Mathematics Genealogy Project http://genealogy.mat[...]
[4] 서적 Mathematicians Fleeing from Nazi Germany: Individual Fates and Global Impact Princeton University Press 2009
[5] 간행물 49598666989151226098104244512918
[6] 간행물 Further irreducibility criteria for polynomials with non-negative coefficients
[7] 간행물 Prime Numbers and Irreducible Polynomials http://www.mast.quee[...]
[8] 간행물 On an irreducibility theorem of A. Cohn
[9] 수학계보 Arthur Cohn


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