부냐콥스키 추측

1. 개요

부냐콥스키 추측은 1보다 큰 차수의 정수 계수 기약 다항식 p(x)에 대해, p(N)이 무한히 많은 소수를 포함하거나 p(N)의 최대공약수가 1이 아니라는 추측이다. 이 추측은 1857년 빅토르 부냐콥스키에 의해 제시되었으며, 다항식의 기약성, 최고차항 계수의 부호, p(n)의 최대공약수가 1이어야 한다는 세 가지 조건을 만족해야 한다. 이 추측은 아직 증명되지 않았으며, 디리클레 등차수열 정리의 일반화로 볼 수 있다. 원분 다항식의 경우 부냐콥스키 추측의 세 가지 조건을 만족하며, 일반화된 부냐콥스키 추측은 딕슨 추측 및 Schinzel의 가설 H와 동치이다.

2. 정의

1보다 높은 차수의 (정수 상의) 정수계수 기약다항식 p(x)에 대하여, 자연수 집합 $\backslash mathbb\; N$의 상 $p(\backslash mathbb\; N)$을 생각할 수 있다. 부냐콥스키 추측에 따르면, $p(\backslash mathbb\; N)$은 다음 두 가지 가운데 하나가 성립한다.
* $p(\backslash mathbb\; N)$의 최대공약수가 1이 아니다.
* $p(\backslash mathbb\; N)$은 무한히 많은 소수를 포함한다.
다시 말해, p(N)이 유한한 개 소수만을 포함하면서 최대공약수가 1인 자연수들의 집합인 경우는 불가능하다는 뜻이다. 이는 콘의 기약성 기준의 역과 유사한 꼴이다. 또한 이는 디리클레 등차수열 정리의 일반화로도 볼 수 있다.

3. 역사

러시아의 수학자 빅토르 부냐콥스키Виктор Яковлевич Буняковский^러시아어가 1857년 제시하였다.

4. 세 가지 조건에 대한 논의

부냐콥스키 추측은 정수 계수를 가지는 다항식 $p(x)$가 무한히 많은 소수 값을 만들어내기 위해 만족해야 할 세 가지 필수적인 조건을 제시한다. 이 조건들은 다음과 같다.

1. 최고차항 계수의 부호: 다항식의 최고차항 계수는 양수여야 한다. 만약 음수라면 충분히 큰 $n$에 대해 $p(n)$ 값이 음수가 되어 소수가 될 수 없기 때문이다.
2. 기약성: 다항식 $p(x)$는 정수 계수를 가지는 두 개 이상의 다항식의 곱으로 인수분해되지 않는 기약다항식이어야 한다. 만약 인수분해가 가능하다면, 대부분의 $n$ 값에 대해 $p(n)$은 합성수가 된다.
3. 값들의 최대공약수: 다항식에 자연수 $n=1,\; 2,\; 3,\; \backslash dots$을 대입하여 얻는 값들, 즉 $p(1),\; p(2),\; p(3),\; \backslash dots$의 최대공약수는 1이어야 한다. 만약 이 최대공약수가 1보다 큰 $d$라면, 모든 $p(n)$ 값은 $d$의 배수가 되므로, 소수가 될 수 있는 값은 $d$ 자신(만약 $d$가 소수라면)으로 제한되거나 존재하지 않게 된다.

이 세 가지 조건 각각의 필요성에 대한 자세한 논의는 아래 하위 섹션에서 다룬다.

4.1. 첫 번째 조건: 최고차항 계수의 부호

첫 번째 조건은 부냐콥스키 추측이 성립하기 위해 반드시 필요하다. 만약 다항식 $f(x)$의 최고차항 계수가 음수라면, $x$ 값이 충분히 커질 때 $f(x)$의 값은 항상 음수가 된다 (). 소수는 양의 정수로 정의되므로, 충분히 큰 양의 정수 $n$에 대해 $f(n)$은 음수가 되어 소수가 될 수 없다. 즉, $f(n)$이 무한히 많은 소수 값을 가지려면 최고차항의 계수는 양수여야 한다.

4.2. 두 번째 조건: 기약성

두 번째 조건, 즉 다항식 $p(x)$가 정수 계수를 가지는 기약다항식이어야 한다는 조건 역시 필요하다. 만약 다항식 $p(x)$가 정수 계수를 가지는 두 다항식 $g(x)$와 $h(x)$의 곱으로 인수분해될 수 있다면 ($p(x)\; =\; g(x)h(x)$), 모든 정수 $n$에 대해 $p(n)\; =\; g(n)h(n)$이 성립한다. 다항식 $g(x)$와 $h(x)$는 0 또는 $\backslash pm\; 1$의 값을 유한한 횟수만큼만 가질 수 있다. 따라서 충분히 큰 $n$에 대해서는 $g(n)$과 $h(n)$ 모두 절댓값이 1보다 큰 정수가 된다. 이는 $p(n)$이 두 정수의 곱으로 표현됨을 의미하므로, 대부분의 $n$에 대해 $p(n)$은 합성수가 된다. 결과적으로 $p(n)$ 값 중에 소수는 유한 개만 존재하게 되므로, 부냐콥스키 추측이 성립하기 위해서는 $p(x)$가 기약다항식이어야 한다.

이 기약성 조건은 정수 계수 다항식에 대한 것이며, 유리수 계수 위에서만 기약인 다항식의 경우에는 추측이 적용되지 않을 수 있다. 예를 들어, 정수값 다항식 $P(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{12\}\; x^4\; +\; \backslash frac\{11\}\{12\}\; x^2\; +\; 2$를 살펴보자. 이 다항식은 $P(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{12\}\; (x^4\; +\; 11x^2\; +\; 24)\; =\; \backslash frac\{1\}\{12\}\; (x^2+3)(x^2+8)$로 인수분해된다. $P(x)$가 소수가 되려면, $(x^2+3)$ 또는 $(x^2+8)$ 중 적어도 하나는 12의 약수가 되어야 한다. 이를 만족하는 정수 $x$는 $|x|\; \backslash le\; 3$인 경우뿐이다. 실제로 $x$가 정수일 때 $P(x)$가 취할 수 있는 소수 값은 $P(0)=2,\; P(\backslash pm\; 1)=3,\; P(\backslash pm\; 2)=7,\; P(\backslash pm\; 3)=17$ 뿐이다. 이 다항식은 유한한 개수의 소수 값만을 가지지만, 부냐콥스키 추측의 반례는 아니다. 왜냐하면 $P(x)$는 정수 계수를 가지는 기약다항식이 아니므로 추측의 전제 조건(두 번째 조건)을 만족하지 않기 때문이다.

4.3. 세 번째 조건: 최대공약수

세 번째 조건은 다항식 $p(x)$에 자연수 $n$을 대입하여 얻는 값들의 집합 $\backslash \{p(n)\; \backslash mid\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\backslash \}$의 최대공약수가 1이어야 한다는 것이다. 이 조건은 추측이 성립하기 위해 반드시 필요하며, 다음 예시를 통해 그 이유를 명확히 알 수 있다.

기약다항식이고 최고차항 계수가 양수인 $p(x)\; =\; x^2\; +\; x\; +\; 2$를 고려해보자. 이 다항식의 계수(1, 1, 2) 자체는 서로소이다. 하지만 어떤 정수 $n$을 대입하든 $p(n)\; =\; n(n+1)\; +\; 2$가 되는데, 연속된 두 정수의 곱인 $n(n+1)$은 항상 짝수이므로, $p(n)$은 항상 짝수 값을 갖는다. 따라서 $p(n)$이 소수가 될 수 있는 유일한 경우는 $p(n)=2$일 때이며, 이는 $n=0$ 또는 $n=-1$일 때만 가능하다. 즉, 이 다항식은 오직 유한한 개수의 소수(2 하나)만을 만들어낸다. 이는 $p(n)$ 값들의 집합 $\backslash \{p(n)\backslash \}$의 최대공약수가 1이 아니라 2이기 때문에 발생하는 현상이다.

이 세 번째 조건, 즉 값들의 최대공약수가 1인지를 확인하는 방법은 여러 가지가 있다.

* 가장 직관적인 방법 중 하나는 $p(m)$과 $p(n)$이 서로소가 되는 양의 정수 $m$과 $n$을 찾는 것이다. 만약 그런 쌍이 하나라도 존재하면, 전체 값들의 최대공약수는 1이 된다.
* 보다 일반적인 방법은 다항식의 차수 $d$를 이용하는 것이다. 차수가 $d$인 정수값 다항식 $p(x)$에 대해, 집합 $\backslash \{p(n)\backslash \}\_\{n\backslash geq\; 1\}$의 최대공약수는 임의의 정수 $m$에 대해 연속된 $d+1$개의 값, 즉 $p(m),\; p(m+1),\; \backslash dots,\; p(m+d)$의 최대공약수와 같다.
* 예시: 위에서 든 $p(x)\; =\; x^2\; +\; x\; +\; 2$는 차수가 $d=2$이다. 따라서 연속된 $d+1=3$개의 값을 확인하면 된다. 예를 들어 $m=-1$을 선택하면, $p(-1)=2,\; p(0)=2,\; p(1)=4$이다. 이 세 값의 최대공약수는 $\backslash gcd(2,\; 2,\; 4)\; =\; 2$이다. 그러므로 $\backslash \{p(n)\backslash \}$ 전체 값들의 최대공약수는 2임을 알 수 있다.
* 또 다른 방법은 정수 다항식 $p(x)$를 이항 계수 다항식을 기저로 사용하여 표현하는 것이다:
$p(x)\; =\; a\_0\; +\; a\_1\backslash binom\{x\}\{1\}\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_d\backslash binom\{x\}\{d\}$
이때 계수 $a\_0,\; a\_1,\; \backslash dots,\; a\_d$는 모두 정수이며, $\backslash gcd\backslash \{p(n)\backslash \}\_\{n\; \backslash geq\; 1\}\; =\; \backslash gcd(a\_0,\; a\_1,\; \backslash dots,\; a\_d)$라는 성질이 있다.
* 예시: $p(x)\; =\; x^2\; +\; x\; +\; 2$를 이항 계수 기저로 표현하면 $x^2\; +\; x\; +\; 2\; =\; 2\backslash binom\{x\}\{2\}\; +\; 2\backslash binom\{x\}\{1\}\; +\; 2$가 된다. 여기서 계수는 $a\_2=2,\; a\_1=2,\; a\_0=2$이며, 이들의 최대공약수는 $\backslash gcd(2,\; 2,\; 2)\; =\; 2$이다. 이 방법으로도 최대공약수가 2임을 확인할 수 있다.

결론적으로, $\backslash gcd\backslash \{p(n)\backslash \}\_\{n\; \backslash geq\; 1\}\; =\; 1$이라는 조건은 $p(m)$과 $p(n)$이 서로소가 되는 양의 정수 $m,\; n$이 존재한다는 것과 필요충분조건 관계에 있다.

5. 예시

부냐콥스키 추측은 특정 조건을 만족하는 정수 계수 다항식이 무한히 많은 소수 값을 생성한다는 추측이다. 이 추측과 관련된 몇 가지 예시는 다음과 같다.

* 다항식 $p(x)\; =\; x^2\; +\; x\; +\; 4$는 정수 위에서 기약 다항식이지만, 어떤 자연수 $x$를 대입해도 그 값 $p(x)$는 항상 짝수가 된다. 따라서 $p(1),\; p(2),\; p(3),\; \backslash dots$ 값들의 최대공약수는 1보다 크므로 부냐콥스키 추측의 조건을 만족하지 못하며, 무한히 많은 소수를 생성할 수 없다.

* 다항식 $p(x)\; =\; x^2\; +\; 1$은 무한히 많은 소수 값을 생성하는 것처럼 보인다. 예를 들어 $x=1,\; 2,\; 4,\; 6,\; \backslash dots$ 일 때 $x^2+1$의 값은 각각 2, 5, 17, 37, ... 와 같이 소수가 된다. $n^2+1$ 형태의 수가 소수인 경우가 무한히 많이 존재하는지에 대한 문제는 오일러에 의해 처음 제기되었으며, 이는 다섯 번째 하디-리틀우드 추측이자 네 번째 란다우 문제로도 알려져 있다. 많은 계산 결과에도 불구하고 이 문제가 참인지는 아직 증명되지 않았다.

* 원분 다항식 $\backslash Phi\_k(x)$는 모든 자연수 $k$에 대해 부냐콥스키 추측의 세 가지 조건을 만족한다. 따라서 추측에 따르면, 모든 $k$에 대해 $\backslash Phi\_k(n)$이 소수가 되는 자연수 $n$이 무한히 많이 존재해야 한다. 이 경우 역시 널리 받아들여지고 있지만, 아직 증명되지는 않았다.

5.1. 최대공약수가 1보다 큰 경우

부냐콥스키 추측은 다항식 $p(x)$가 생성하는 값들 $p(1),\; p(2),\; p(3),\; ...$의 최대공약수가 1이어야 한다는 조건을 필요로 한다. 만약 이 최대공약수가 1보다 크다면, 다항식 $p(x)$는 무한히 많은 소수를 생성할 수 없다.

예를 들어, 다항식 $p(x)\; =\; x^2\; +\; x\; +\; 4$를 생각해 볼 수 있다. 이 다항식은 실수 위에서는 더 이상 인수분해되지 않는 기약 다항식이며, 따라서 정수 위에서도 기약 다항식이다. 하지만 이 다항식에 어떤 자연수 $x$를 대입하더라도 그 결과값 $p(x)$는 항상 짝수가 된다. 왜냐하면 $x^2\; +\; x\; =\; x(x+1)$인데, 연속된 두 자연수의 곱은 항상 짝수이고, 여기에 4를 더한 값 역시 항상 짝수이기 때문이다. 따라서 $p(1)=6,\; p(2)=10,\; p(3)=16,\; ...$ 등 모든 함숫값이 짝수이므로, 이들의 최대공약수는 최소 2가 되어 1보다 크다. 결과적으로 이 다항식은 부냐콥스키 추측의 조건을 만족하지 못하며, 오직 $x=0$일 때 $p(0)=4$이고, 자연수 $x$에 대해서는 유한한 개수의 소수(이 경우 없음)만을 생성하거나 아예 생성하지 못한다.

5.2. 무한히 많은 소수를 생성하는 경우

무한히 많은 소수를 생성하는 것처럼 보이는 경우로 다항식 $p(x)\; =\; x^2\; +\; 1$을 들 수 있다. 이 다항식에 몇 개의 자연수 $x$를 대입하여 얻는 값 $x^2\; +\; 1$ 중 소수인 경우는 다음 표와 같다.

$n^2+1$ 형태의 수가 소수인 경우가 무한히 많이 존재하는지에 대한 문제는 오일러에 의해 처음 제기되었다. 이는 다섯 번째 하디-리틀우드 추측이자 네 번째 란다우 문제이기도 하다. 많은 계산을 통해 이러한 소수가 계속 발견되고 있지만, 이 수열이 무한히 계속되는지는 아직 증명되지 않았다.

5.3. 원분 다항식

원분 다항식 $\backslash Phi\_k(x)$는 $k=1,2,3,\backslash ldots$에 대해 부냐콥스키 추측의 세 가지 조건을 만족한다. 따라서 모든 k에 대해 $\backslash Phi\_k(n)$이 소수가 되는 무한히 많은 자연수 n이 존재해야 한다고 추측할 수 있다. 만약 모든 k에 대해 $\backslash Phi\_k(n)$이 소수인 정수 n > 1이 존재한다면, 모든 k에 대해 $\backslash Phi\_k(n)$이 소수인 무한히 많은 자연수 n이 존재한다는 것을 보일 수 있다.

다음 수열은 $k=1,2,3,\backslash ldots$에 대해 $\backslash Phi\_k(n)$이 소수가 되는 가장 작은 자연수 n > 1을 나타낸다.

:3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 4, 3, 2, 10, 2, 22, 2, 2, 4, 6, 2, 2, 2, 2, 2, 14, 3, 61, 2, 10, 2, 14, 2, 15, 25, 11, 2, 5, 5, 2, 6, 30, 11, 24, 7, 7, 2, 5, 7, 19, 3, 2, 2, 3, 30, 2, 9, 46, 85, 2, 3, 3, 3, 11, 16, 59, 7, 2, 2, 22, 2, 21, 61, 41, 7, 2, 2, 8, 5, 2, 2, ...

이 수열에는 545번째 항이 2706, 601번째 항이 2061, 943번째 항이 2042와 같이 매우 큰 항이 포함되어 있는 것으로 알려져 있다. 부냐콥스키 추측의 이 경우는 널리 받아들여지고 있지만, 이 수열이 무한히 계속되는지는 아직 증명되지 않았다.

일반적으로 $\backslash Phi\_k(n)$이 소수가 되는 정수 $n$은 2와 $\backslash phi(k)$ 사이에 존재한다. 여기서 $\backslash phi$는 오일러 피 함수이고, $\backslash phi(k)$는 $\backslash Phi\_k(n)$의 차수이다. 하지만 예외도 존재하며, $\backslash Phi\_k(n)$이 소수가 되는 $n$이 2와 $\backslash phi(k)$ 사이에 없는 첫 몇 개의 k 값은 다음과 같다.

: 1, 2, 25, 37, 44, 68, 75, 82, 99, 115, 119, 125, 128, 159, 162, 179, 183, 188, 203, 213, 216, 229, 233, 243, 277, 289, 292, ....

6. 부분적인 결과

현재까지 증명된 부냐콥스키 추측의 유일한 경우는 다항식의 차수가 1인 경우이다. 이는 $a$와 $m$이 서로소인 정수일 때, $p\; \backslash equiv\; a\; \backslash pmod\; m$를 만족하는 소수 $p$가 무한히 많이 존재한다는 디리클레 정리와 같다. 즉, $f(x)\; =\; a\; +\; mx$ (또는 $m$이 음수일 경우 $a\; -\; mx$) 형태의 일차 다항식에 대한 부냐콥스키 추측에 해당한다.

일차 다항식 $mx\; +\; a$에 대한 부냐콥스키 추측의 세 번째 조건(다항식 값들의 최대공약수가 1)은 계수 $a$와 $m$이 서로소라는 조건과 동일하다.

차수가 1보다 큰 경우에 대해서는 부냐콥스키 추측이 증명된 사례가 아직 없다. 하지만 더 높은 차수의 다항식에 대한 여러 수치적 계산 결과는 이 추측이 성립할 가능성을 뒷받침하고 있다.

7. 일반화된 부냐콥스키 추측

$k\; \backslash geq\; 1$개의 다항식이 주어졌다고 가정하자. 이 다항식들은 모두 양의 차수를 가지며, 계수는 모두 정수이다. 또한, 이 다항식들은 다음 조건을 만족해야 한다: 모든 소수 $p$에 대해, $k$개의 다항식 $f\_1(x),\; ...,\; f\_k(x)$ 모두의 값이 $p$로 나누어지지 않게 하는 정수 $n$이 존재해야 한다. 즉, 어떤 소수 $p$로도 모든 다항식의 값이 동시에 나누어떨어지는 경우가 없어야 한다.

이러한 조건들이 만족될 때, $f\_1(n),\; f\_2(n),\; ...,\; f\_k(n)$의 값이 모두 소수가 되게 하는 양의 정수 $n$이 무한히 많이 존재할 것이라고 추측한다. 이 추측은 일반화된 딕슨 추측 및 Schinzel의 가설 H와 동치인 것으로 알려져 있다.