부냐콥스키 추측

3. 역사

러시아의 수학자 빅토르 부냐콥스키Виктор Яковлевич Буняковский|빅토르 야코블레비치 부냐콥스키^rus가 1857년 제시하였다.

4. 세 가지 조건에 대한 논의

부냐콥스키 추측은 정수 계수를 가지는 다항식 $p(x)$가 무한히 많은 소수 값을 만들어내기 위해 만족해야 할 세 가지 필수적인 조건을 제시한다. 이 조건들은 다음과 같다.

1. 최고차항 계수의 부호: 다항식의 최고차항 계수는 양수여야 한다. 만약 음수라면 충분히 큰 $n$에 대해 $p(n)$ 값이 음수가 되어 소수가 될 수 없기 때문이다.

2. 기약성: 다항식 $p(x)$는 정수 계수를 가지는 두 개 이상의 다항식의 곱으로 인수분해되지 않는 기약다항식이어야 한다. 만약 인수분해가 가능하다면, 대부분의 $n$ 값에 대해 $p(n)$은 합성수가 된다.

3. 값들의 최대공약수: 다항식에 자연수 $n=1,\; 2,\; 3,\; \backslash dots$을 대입하여 얻는 값들, 즉 $p(1),\; p(2),\; p(3),\; \backslash dots$의 최대공약수는 1이어야 한다. 만약 이 최대공약수가 1보다 큰 $d$라면, 모든 $p(n)$ 값은 $d$의 배수가 되므로, 소수가 될 수 있는 값은 $d$ 자신(만약 $d$가 소수라면)으로 제한되거나 존재하지 않게 된다.

이 세 가지 조건 각각의 필요성에 대한 자세한 논의는 아래 하위 섹션에서 다룬다.

4. 1. 첫 번째 조건: 최고차항 계수의 부호

4. 2. 두 번째 조건: 기약성

4. 3. 세 번째 조건: 최대공약수

• 가장 직관적인 방법 중 하나는 $p(m)$과 $p(n)$이 서로소가 되는 양의 정수 $m$과 $n$을 찾는 것이다. 만약 그런 쌍이 하나라도 존재하면, 전체 값들의 최대공약수는 1이 된다.
• 보다 일반적인 방법은 다항식의 차수 $d$를 이용하는 것이다. 차수가 $d$인 정수값 다항식 $p(x)$에 대해, 집합 $\backslash \{p(n)\backslash \}\_\{n\backslash geq\; 1\}$의 최대공약수는 임의의 정수 $m$에 대해 연속된 $d+1$개의 값, 즉 $p(m),\; p(m+1),\; \backslash dots,\; p(m+d)$의 최대공약수와 같다.^[1]
• 예시: 위에서 든 $p(x)\; =\; x^2\; +\; x\; +\; 2$는 차수가 $d=2$이다. 따라서 연속된 $d+1=3$개의 값을 확인하면 된다. 예를 들어 $m=-1$을 선택하면, $p(-1)=2,\; p(0)=2,\; p(1)=4$이다. 이 세 값의 최대공약수는 $\backslash gcd(2,\; 2,\; 4)\; =\; 2$이다. 그러므로 $\backslash \{p(n)\backslash \}$ 전체 값들의 최대공약수는 2임을 알 수 있다.
• 또 다른 방법은 정수 다항식 $p(x)$를 이항 계수 다항식을 기저로 사용하여 표현하는 것이다:

• 예시: $p(x)\; =\; x^2\; +\; x\; +\; 2$를 이항 계수 기저로 표현하면 $x^2\; +\; x\; +\; 2\; =\; 2\backslash binom\{x\}\{2\}\; +\; 2\backslash binom\{x\}\{1\}\; +\; 2$가 된다. 여기서 계수는 $a\_2=2,\; a\_1=2,\; a\_0=2$이며, 이들의 최대공약수는 $\backslash gcd(2,\; 2,\; 2)\; =\; 2$이다. 이 방법으로도 최대공약수가 2임을 확인할 수 있다.

5. 예시

부냐콥스키 추측은 특정 조건을 만족하는 정수 계수 다항식이 무한히 많은 소수 값을 생성한다는 추측이다. 이 추측과 관련된 몇 가지 예시는 다음과 같다.

• 다항식 $p(x)\; =\; x^2\; +\; x\; +\; 4$는 정수 위에서 기약 다항식이지만, 어떤 자연수 $x$를 대입해도 그 값 $p(x)$는 항상 짝수가 된다. 따라서 $p(1),\; p(2),\; p(3),\; \backslash dots$ 값들의 최대공약수는 1보다 크므로 부냐콥스키 추측의 조건을 만족하지 못하며, 무한히 많은 소수를 생성할 수 없다.

• 다항식 $p(x)\; =\; x^2\; +\; 1$은 무한히 많은 소수 값을 생성하는 것처럼 보인다. 예를 들어 $x=1,\; 2,\; 4,\; 6,\; \backslash dots$ 일 때 $x^2+1$의 값은 각각 2, 5, 17, 37, ... 와 같이 소수가 된다. $n^2+1$ 형태의 수가 소수인 경우가 무한히 많이 존재하는지에 대한 문제는 오일러에 의해 처음 제기되었으며, 이는 다섯 번째 하디-리틀우드 추측이자 네 번째 란다우 문제로도 알려져 있다. 많은 계산 결과에도 불구하고^[2] 이 문제가 참인지는 아직 증명되지 않았다.

• 원분 다항식 $\backslash Phi\_k(x)$는 모든 자연수 $k$에 대해 부냐콥스키 추측의 세 가지 조건을 만족한다. 따라서 추측에 따르면, 모든 $k$에 대해 $\backslash Phi\_k(n)$이 소수가 되는 자연수 $n$이 무한히 많이 존재해야 한다. 이 경우 역시 널리 받아들여지고 있지만, 아직 증명되지는 않았다.

5. 1. 최대공약수가 1보다 큰 경우

5. 2. 무한히 많은 소수를 생성하는 경우

$n^2+1$ 형태의 수가 소수인 경우가 무한히 많이 존재하는지에 대한 문제는 오일러에 의해 처음 제기되었다. 이는 다섯 번째 하디-리틀우드 추측이자 네 번째 란다우 문제이기도 하다. 많은 계산을 통해 이러한 소수가 계속 발견되고 있지만,^[2] 이 수열이 무한히 계속되는지는 아직 증명되지 않았다.

5. 3. 원분 다항식

6. 부분적인 결과

현재까지 증명된 부냐콥스키 추측의 유일한 경우는 다항식의 차수가 1인 경우이다. 이는 $a$와 $m$이 서로소인 정수일 때, $p\; \backslash equiv\; a\; \backslash pmod\; m$를 만족하는 소수 $p$가 무한히 많이 존재한다는 디리클레 정리와 같다. 즉, $f(x)\; =\; a\; +\; mx$ (또는 $m$이 음수일 경우 $a\; -\; mx$) 형태의 일차 다항식에 대한 부냐콥스키 추측에 해당한다.

일차 다항식 $mx\; +\; a$에 대한 부냐콥스키 추측의 세 번째 조건(다항식 값들의 최대공약수가 1)은 계수 $a$와 $m$이 서로소라는 조건과 동일하다.

차수가 1보다 큰 경우에 대해서는 부냐콥스키 추측이 증명된 사례가 아직 없다. 하지만 더 높은 차수의 다항식에 대한 여러 수치적 계산 결과는 이 추측이 성립할 가능성을 뒷받침하고 있다.

7. 일반화된 부냐콥스키 추측

$k\; \backslash geq\; 1$개의 다항식이 주어졌다고 가정하자. 이 다항식들은 모두 양의 차수를 가지며, 계수는 모두 정수이다. 또한, 이 다항식들은 다음 조건을 만족해야 한다: 모든 소수 $p$에 대해, $k$개의 다항식 $f\_1(x),\; ...,\; f\_k(x)$ 모두의 값이 $p$로 나누어지지 않게 하는 정수 $n$이 존재해야 한다. 즉, 어떤 소수 $p$로도 모든 다항식의 값이 동시에 나누어떨어지는 경우가 없어야 한다.

이러한 조건들이 만족될 때, $f\_1(n),\; f\_2(n),\; ...,\; f\_k(n)$의 값이 모두 소수가 되게 하는 양의 정수 $n$이 무한히 많이 존재할 것이라고 추측한다. 이 추측은 일반화된 딕슨 추측 및 Schinzel의 가설 H와 동치인 것으로 알려져 있다.

참조

_[1] 논문 Ueber den grössten gemeinsamen Theiler aller Zahlen, welche durch eine ganze Function von n Veränderlichen darstellbar sind https://www.degruyte[...]
_[2] 논문 Some Conjectures On Primes Of The Form m2 + 1 http://pracownicy.uk[...]