퀼런 완전 범주

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 역사
참조

1. 개요

퀼런 완전 범주는 가법 범주 또는 아벨 범주의 특수한 부분 범주로 정의되는 개념이다. 이는 합성 가능 사상 순서쌍의 모임으로 정의될 수 있으며, 아벨 범주의 짧은 완전열의 성질을 따른다. 퀼런 완전 범주는 허용 모노모피즘과 허용 에피모피즘을 포함하며, 완전 함자를 정의할 수 있다. 퀼런 완전 범주는 자기 쌍대적이며, 아벨 범주, 비틀림이 없는 아벨 군, 꼬임 아벨 군 등 다양한 예시를 갖는다. 이 개념은 1958년 알렉스 헬러, 1960년 요네다 노부오에 의해 도입되었으며, 1973년 대니얼 퀼런에 의해 재발견되어 대수적 K이론에 활용되었다.

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퀼런 완전 범주

2. 정의

퀼런 완전 범주는 '짧은 완전열'이라는 특별한 사상 순서쌍들의 모임을 갖는 가법 범주이다. 퀼런 완전 범주는 두 가지 방법으로 정의될 수 있는데, 하나는 '짧은 완전열'이 주어진 가법 범주로 정의하는 것이고, 다른 하나는 어떤 아벨 범주의 특별한 부분 가법 범주로 정의하는 것이다. 이 두 정의는 서로 동치이다.

퀼런 완전 범주에서 사용되는 '짧은 완전열'과 관련된 용어는 다음과 같다.

허용 확대: 퀼런 완전 범주를 정의하는 데이터에 포함된 사상 순서쌍
허용 단사 사상: 허용 확대의 첫 번째 성분
허용 전사 사상: 허용 확대의 두 번째 성분

허용 전사 사상은

\twoheadrightarrow

, 허용 단사 사상은

\hookrightarrow

로 표기한다.

2. 1. 공리적 정의

퀼런 완전 범주는 가법 범주와 '짧은 완전열'의 모임으로 구성되며, 이들은 특정 공리들을 만족해야 한다.

가법 범주 $\mathcal E$
'짧은 완전열'이라고 불리는, 하나의 공역이 다른 하나의 정의역이 되는 사상 순서쌍들의 모임 $\mathfrak E \subseteq \{(f,g) \colon \operatorname{codom} f = \operatorname{dom} g \}$ .
$\mathfrak C = \{f \colon (f,g) \in \mathfrak E\}$
$\mathfrak F = \{g \colon (f,g) \in \mathfrak E\}$

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

임의의 두 대상 $A, B \in \mathcal E$ 의 직합에 등장하는 사상 $A \to A \oplus B \to B$ 는 항상 $\mathfrak E$ 에 속한다.
만약 $(f,g) \in \mathfrak E$ 이라면, $g = \ker f$ 이며 $f = \operatorname{coker} g$ 이다.
임의의 $(X \overset{f}\to Y \overset{g}\to Z) \in \mathfrak E$ 및 임의의 사상 $W \overset{h}\to Z$ 에 대하여, 당김 $Y \times_Z W$ 가 존재하며, 사영 사상 $Y \times_Z W \to W$ 역시 핵을 가지며, $(\ker Y \times_Z W \to W, Y \times_Z W \to W) \in \mathfrak E$ 이다. 마찬가지로 그 쌍대 공리 역시 성립한다.

\mathfrak E

에 속하는 사상 순서쌍들을 '''허용 확대'''라고 하고, 허용 확대의 첫 성분을 '''허용 단사 사상''', 허용 확대의 둘째 성분을 '''허용 전사 사상'''이라고 한다.

정확한 범주 '''E'''는 "짧은 완전열"의 집합 ''E''를 포함하는 가법 범주이며, 화살표로 연결된 대상의 삼중항이다.

:

M' \to M \to M''

이러한 삼중항은 다음 공리들을 만족한다.

''E''는 동형 사상에 대해 닫혀 있으며, 표준 ("분할 완전") 열을 포함한다.

::

M' \to M' \oplus M'' \to M''

$M \to M''$ 가 ''E''에 있는 열의 두 번째 화살표로 나타나고 ('''허용 에피모피즘''') $N \to M''$ 가 '''E'''의 임의의 화살표라고 가정한다. 그러면 이들의 당김이 존재하며, $N$ 으로의 사영도 허용 에피모피즘이다. 쌍대적으로, $M' \to M$ 가 ''E''에 있는 열의 첫 번째 화살표로 나타나고 ('''허용 모노모피즘''') $M' \to N$ 이 임의의 화살표이면, 이들의 푸시 아웃이 존재하며, $N$ 으로부터의 공사영도 허용 모노모피즘이다.
허용 모노모피즘은 해당 허용 에피모피즘의 커널이며, 쌍대적으로도 성립한다. 두 허용 모노모피즘의 합성은 허용 가능하며 허용 에피모피즘도 마찬가지이다.
$M \to M''$ 가 '''E'''에서 커널을 허용하는 사상이고, $N \to M$ 이 합성 $N \to M \to M''$ 이 허용 에피모피즘이 되도록 하는 사상이라고 가정하면, $M \to M''$ 도 허용 에피모피즘이다. 쌍대적으로, $M' \to M$ 이 코커널을 허용하고, $M \to N$ 이 $M' \to M \to N$ 이 허용 모노모피즘이 되도록 하는 사상이라면, $M' \to M$ 도 허용 모노모피즘이다.

허용 모노모피즘은 일반적으로

\rightarrowtail

로 표시되고, 허용 에피모피즘은

\twoheadrightarrow

로 표시된다.

2. 2. 부분 범주를 통한 정의

퀼런 완전 범주

\mathcal E

는 아벨 범주

\mathcal A

의 충실충만한 부분 가법 범주이며, 다음 조건을 만족한다.

확대에 대하여 닫혀 있음: $\mathcal A$ 속의 짧은 완전열 $0\to X\to Y\to Z\to0$ 에서, $X,Z\in\mathcal E$ 라면 $Y\in\mathcal E$ 이다.

이러한 확대를 '''허용 확대'''(許容擴大, admissible extension^영어)라고 한다. 허용 확대의 단사 사상

X\to Y

을 '''허용 단사 사상'''(許容單射寫像, admissible monomorphism^영어), 허용 확대의 전사 사상

Y\to Z

를 '''허용 전사 사상'''(許容全射寫像, admissible epimorphism^영어)이라고 한다. 허용 전사 사상은

\twoheadrightarrow

, 허용 단사 사상은

\hookrightarrow

로 표기한다.

2. 3. 두 정의 사이의 관계

퀼런 완전 범주의 공리적 정의와 부분 범주를 통한 정의는 서로 동치이다.

(공리적 정의에 대한) 퀼런 완전 범주

\mathcal E

가 주어졌을 때,

\mathcal E^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Ab}

왼쪽 완전 함자의 범주

\mathcal A

는 아벨 범주이다.

\hom

함자는 왼쪽 완전 함자이므로, 요네다 매장을 통해

\mathcal E

는

\mathcal A

의 부분 함자를 이룬다.

:

\mathcal E\hookrightarrow\mathcal A

:

X\mapsto\hom_{\mathcal E}(-,X)

이 경우

\mathcal E

는 (

\mathcal A

의 부분 범주로서) 부분 범주를 통한 퀼런 완전 범주의 정의를 만족시킨다.

반대로, (부분 범주를 통한) 퀼런 완전 범주는 퀼런 범주의 공리적 정의를 만족시키는 것을 쉽게 확인할 수 있다.

3. 성질

퀼런 완전 범주의 개념은 자기 쌍대적이다. 즉, 임의의 퀼런 완전 범주 $(\mathcal E,\mathfrak E)$ 에 대하여, 그 반대 범주 $\mathcal E^{\operatorname{op}}$ 에 $\mathfrak E^{\operatorname{op}}=\{(d,i)\colon(i,d)\in\mathfrak E\}$ 를 부여하면, 이 역시 퀼런 완전 범주를 이룬다.^[3]^[1] 이는 퀼런 완전 범주의 공리적 정의로부터 쉽게 확인할 수 있다.

4. 예시

아벨 범주에 표준적인 짧은 완전열의 모임을 부여하면 퀼런 완전 범주를 이룬다. 이는 아벨 범주 위의 퀼런 완전 범주 구조 가운데, 짧은 완전열을 가장 많이 갖는 것이다.^[3]

덜 자명한 예시로 꼬임 없는 아벨 군의 범주 '''Ab'''_tf가 있으며, 이는 모든 아벨 군의 아벨 범주 '''Ab'''의 엄밀하게 가득 찬 하위 범주이다. 이 범주는 확장에 대해 닫혀 있다.

또 다른 예시로, '''Ab'''_t를 꼬임을 "가진" 아벨 군(과 영 군)의 범주로 정의하면, 이 역시 가법적이며 '''Ab'''의 엄밀하게 가득 찬 하위 범주이며 확장에 대해 안정적이므로 정확 범주이다.

4. 1. 아벨 범주

임의의 아벨 범주에 표준적인 짧은 완전열의 모임을 부여하면, 이는 퀼런 완전 범주를 이룬다. 부분 범주를 통한 정의에서, 이는 아벨 범주를 스스로의 부분 범주로 여기는 것에 해당한다.

이는 아벨 범주 위의 퀼런 완전 범주 구조 가운데, 짧은 완전열을 가장 많이 갖는 것이다.^[3]

4. 2. 꼬임 없는 아벨 군

꼬임 없는 아벨 군과 군 준동형의 범주

\operatorname{Ab_{tf}}

는 가법 범주이지만 아벨 범주가 아니며, 아벨 군과 군 준동형의 아벨 범주

\operatorname{Ab}

의 부분 범주이다. 이 부분 범주는 퀼런 완전 범주를 이룬다.

만약

::

0 \to A \to B \to C \to 0\

가

A, C

가 꼬임 없는 아벨 군의 짧은 완전열이라면,

B

는 꼬임이 없다는 것을 알 수 있다.

b

가 꼬임 원소라면,

C

는 꼬임이 없으므로

C

에서의 그 이미지는 0이다. 따라서

b

는

C

로 가는 사상의 핵에 있는데, 이는

A

이며, 이것 또한 꼬임이 없으므로

b = 0

이다. 동기 부여의 구성에 따라

\operatorname{Ab_{tf}}

는 정확 범주이다. 이 범주에서의 정확열의 몇 가지 예시는 다음과 같다.

::

0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right)} \mathbb{Z}^2 \xrightarrow{(-2, 1)} \mathbb{Z} \to 0,

::

0 \to d\Omega^0(S^1) \to \Omega^1_c(S^1) \to H^1_{\text{dR}}(S^1) \to 0,

여기서 마지막 예시는 드람 코호몰로지에서 영감을 얻었다(

\Omega^1_c(S^1)

및

d\Omega^0(S^1)

는 원군 위의 닫힌 미분 형식과 정확한 미분 형식이다). 특히, 코호몰로지 군이 실수와 동형이라는 것이 알려져 있다. 이 범주는 아벨 범주가 아니다.

4. 3. 꼬임 아벨 군

꼬임 없는 아벨 군과 군 준동형의 범주

\operatorname{Ab_{tf}}

는 아벨 군과 군 준동형의 아벨 범주

\operatorname{Ab}

의 부분 범주이며, 퀼런 완전 범주를 이룬다.

만약

0 \to A \to B \to C \to 0\

가

A

,

C

가 꼬임 없는 아벨 군의 짧은 완전열이라면,

B

는 꼬임이 없다는 것을 알 수 있다.

b

가 꼬임 원소라면,

C

는 꼬임이 없으므로

C

에서의 그 이미지는 0이다. 따라서

b

는

C

로 가는 사상의 핵에 있는데, 이는

A

이며, 이것 또한 꼬임이 없으므로

b = 0

이다.

'''Ab'''_t를 꼬임을 "가진" 아벨 군(과 영 군)의 범주로 정의하면, 이 역시 가법적이며 '''Ab'''의 엄밀하게 가득 찬 하위 범주이다. 만약

0 \to A \to B \to C \to 0\

가

A

,

C

가 꼬임을 갖는 정확열이라면,

B

는 자연스럽게

A

의 모든 꼬임 원소를 갖는다. 따라서 이것은 정확 범주이다.

5. 역사

퀼런 완전 범주의 개념은 여러 수학자들에 의해 독립적으로 발견되고 발전되었다. 1958년에 알렉스 헬러(Alex Heller^영어)는 "아벨 범주"(abelian category^영어)라는 이름으로 퀼런 완전 범주와 유사한 개념을 도입하였으나,^[4] 이는 오늘날의 아벨 범주와는 달랐다. 요네다 노부오는 1960년에 "준아벨 $\mathcal S$ -범주"(quasi-abelian $\mathcal S$ -category^영어)라는 이름으로 퀼런 완전 범주와 동치인 개념을 도입하였다.^[5]^[1] 대니얼 퀼런은 1973년에 대수적 K이론을 정의하기 위해 같은 개념을 재발견하고 "완전 범주"(exact category^영어)라는 이름을 붙였다.^[6] 그러나 다른 저자들이 "완전 범주"라는 용어를 다른 뜻으로 사용하면서 혼란을 피하기 위해 "퀼런 완전 범주"라고 불리게 되었다.

5. 1. 알렉스 헬러

1958년에 알렉스 헬러(Alex Heller^영어)가 퀼런 완전 범주와 유사한 개념을 “아벨 범주”(abelian category^영어)라는 이름으로 도입하였다.^[4] (이는 오늘날의 아벨 범주의 개념과 다르다.)

5. 2. 요네다 노부오

요네다 노부오는 1960년에 "준아벨

\mathcal S

-범주"(quasi-abelian

\mathcal S

-category^영어)라는 이름으로 퀼런 완전 범주와 동치인 개념을 도입하였다.^[5]^[1]

5. 3. 대니얼 퀼런

대니얼 퀼런은 1973년에 대수적 K이론을 정의하기 위하여 같은 개념을 재발견하였으며, “완전 범주”(exact category^영어)라는 이름을 도입하였다.^[6] 이후 다른 저자들이 “완전 범주”라는 같은 용어를 다른 뜻으로 사용했기 때문에, 혼란을 피하기 위하여 “퀼런 완전 범주”라고 불리게 되었다.

참조

_[1] 저널 Exact categories 2010
_[2] 저널 Chain complexes and stable categories
_[3] 저널 Exact categories and vector space categories 1999-02
_[4] 저널 Homological algebra in abelian categories 1958
_[5] 저널 On Ext and exact sequences 1960
_[6] 서적 Algebraic K-theory I: higher K-theories. Proceedings of the Conference held at the Seattle Research Center of the Battelle Memorial Institute, from August 28 to September 8, 1972 Springer-Verlag 1973

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