큰 쐐기꼴 왕관

1. 개요

큰 쐐기꼴 왕관은 1966년 존슨이 명명한 존슨의 다면체 중 하나로, 16개의 정삼각형과 2개의 정사각형으로 이루어진 18개의 면을 가진 볼록 다면체이다. 모든 면이 정다각형으로 이루어져 있으며, J88로 번호가 매겨진다. 표면적 A는 (2 + 4√3)a²로, 부피 V는 ξa³로 표현되며, 여기서 a는 모서리 길이이고, ξ는 상수이다. 변의 길이가 2인 큰 쐐기꼴 왕관의 데카르트 좌표는 특정 점들의 궤도로 표현된다.

2. 성질

쐐기꼴 왕관은 1966년에 존슨(Johnson)이 명명했으며, 그는 두 개의 인접한 'lunes'—정사각형에 반대쪽에 정삼각형이 부착된 쐐기 모양 복합체를 나타내는 접두사 spheno-를 사용했다. 접미사 -megacorona는 쐐기꼴 왕관을 구성하는 더 작은 삼각형 복합체와 대조적으로 12개의 삼각형으로 이루어진 왕관 모양 복합체를 나타낸다. 두 복합체를 결합하면, 16개의 정삼각형과 2개의 정사각형을 가지며 18개의 면을 갖는다. 모든 면이 정다각형이므로, 큰 쐐기꼴 왕관은 존슨의 다면체—모든 면이 정다각형인 볼록 다면체—로 분류되며, J_{88}로 번호가 매겨진 88번째 존슨의 다면체이다. 이는 기본 다면체이며, 평면으로 두 개의 작은 정면 다면체로 분리될 수 없다는 것을 의미한다.

큰 쐐기꼴 왕관의 표면적 A는 다각형 면의 전체 면적—16개의 정삼각형과 2개의 정사각형—이다. 큰 쐐기꼴 왕관의 부피는 다항식의 근을 구하여 얻으며, 그 소수점 전개—ξ로 표시—는 A334114에 의해 주어진다. 모서리 길이 a에 대해, 표면적과 부피는 다음과 같이 공식화될 수 있다.
:A = (2 + 4√3)a² ≈ 8.928a²,
:V = ξ a³ ≈ 1.948a³.

2.1. 기하학적 구조

쐐기꼴 왕관은 1966년에 존슨(Johnson)이 명명했으며, 그는 두 개의 인접한 'lunes'—정사각형에 반대쪽에 정삼각형이 부착된 쐐기 모양 복합체를 나타내는 접두사 spheno-를 사용했다. 접미사 -megacorona는 쐐기꼴 왕관을 구성하는 더 작은 삼각형 복합체와 대조적으로 12개의 삼각형으로 이루어진 왕관 모양 복합체를 나타낸다. 두 복합체를 결합하면, 16개의 정삼각형과 2개의 정사각형을 가지며 18개의 면을 갖는다. 모든 면이 정다각형이므로, 큰 쐐기꼴 왕관은 존슨의 다면체—모든 면이 정다각형인 볼록 다면체—로 분류되며, J_{88}로 번호가 매겨진 88번째 존슨의 다면체이다. 이는 기본 다면체이며, 평면으로 두 개의 작은 정면 다면체로 분리될 수 없다는 것을 의미한다.

큰 쐐기꼴 왕관의 표면적 A는 다각형 면의 전체 면적—16개의 정삼각형과 2개의 정사각형—이다. 큰 쐐기꼴 왕관의 부피는 다항식의 근을 구하여 얻으며, 그 소수점 전개—ξ로 표시—는 A334114에 의해 주어진다. 모서리 길이 a에 대해, 표면적과 부피는 다음과 같이 공식화될 수 있다.
:A = (2 + 4√3)a² ≈ 8.928a²,
:V = ξ a³ ≈ 1.948a³.

2.2. 표면적과 부피

큰 쐐기꼴 왕관의 표면적 A는 다각형 면의 전체 면적—16개의 정삼각형과 2개의 정사각형—이다. 쐐기꼴 왕관의 부피는 다항식의 근을 구하여 얻는다. 모서리 길이 a에 대해, 표면적과 부피는 다음과 같이 공식화될 수 있다.

:A = (2 + 4√3)a² ≈ 8.928a²,
:V = ξ a³ ≈ 1.948a³.

2.3. 데카르트 좌표

$k\; \backslash approx\; 0.59463$를 다음 다항식의 가장 작은 양의 근이라고 하자.

$$1680\; x^\{16\}-\; 4800\; x^\{15\}\; -\; 3712\; x^\{14\}\; +\; 17216\; x^\{13\}+\; 1568\; x^\{12\}\; -\; 24576\; x^\{11\}\; +\; 2464\; x^\{10\}\; +\; 17248\; x^9\; -3384\; x^8\; -\; 5584\; x^7\; +\; 2000\; x^6+\; 240\; x^5-\; 776\; x^4+\; 304\; x^3\; +\; 200\; x^2\; -\; 56\; x\; -23.$$

그러면, 변의 길이가 2인 큰 쐐기꼴 왕관의 데카르트 좌표는 다음 점들의 궤도의 합으로 주어진다.


&\left(1,0,-\sqrt{2+4k-4k^2}\right),\,\left(0,\frac{\sqrt{3-4k^2}\left(2k^2-1\right)}{\left(k^2-1\right)\sqrt{1-k^2}}+1,\frac{2k^4-1}{\left(1-k^2\right)^\frac32}\right) \end{align}

xz-평면과 yz-평면에 대한 반사에 의해 생성된 대칭군의 작용 하에.