큰 쐐기꼴 왕관

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1. 개요
2. 성질
참조

1. 개요

큰 쐐기꼴 왕관은 1966년 존슨이 명명한 존슨의 다면체 중 하나로, 16개의 정삼각형과 2개의 정사각형으로 이루어진 18개의 면을 가진 볼록 다면체이다. 모든 면이 정다각형으로 이루어져 있으며, J88로 번호가 매겨진다. 표면적 A는 (2 + 4√3)a²로, 부피 V는 ξa³로 표현되며, 여기서 a는 모서리 길이이고, ξ는 상수이다. 변의 길이가 2인 큰 쐐기꼴 왕관의 데카르트 좌표는 특정 점들의 궤도로 표현된다.

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큰 쐐기꼴 왕관
개요
스페노메가코로나
종류	존슨 입체
관련 입체	J – J – J
성질
면	16개의 정삼각형, 2개의 정사각형
모서리	28
꼭짓점	12
대칭군	}}
꼭짓점 배열	) 2(3.4) 2x2(3) 4(3.4)}}
성질	볼록, 기본
스페노메가코로나 전개도
문헌 정보
참고 문헌	Johnson, Norman W. (1966), "Convex polyhedra with regular faces", Canadian Journal of Mathematics, 18: 169–200, doi:10.4153/cjm-1966-021-8, MR 0185507, Zbl 0132.14603

2. 성질

쐐기꼴 왕관은 1966년에 존슨(Johnson)이 명명했으며, 그는 두 개의 인접한 'lunes'—정사각형에 반대쪽에 정삼각형이 부착된 쐐기 모양 복합체를 나타내는 접두사 ''spheno-''를 사용했다. 접미사 ''-megacorona''는 쐐기꼴 왕관을 구성하는 더 작은 삼각형 복합체와 대조적으로 12개의 삼각형으로 이루어진 왕관 모양 복합체를 나타낸다. 두 복합체를 결합하면, 16개의 정삼각형과 2개의 정사각형을 가지며 18개의 면을 갖는다. 모든 면이 정다각형이므로, 큰 쐐기꼴 왕관은 존슨의 다면체—모든 면이 정다각형인 볼록 다면체—로 분류되며, J_{88}로 번호가 매겨진 88번째 존슨의 다면체이다. 이는 기본 다면체이며, 평면으로 두 개의 작은 정면 다면체로 분리될 수 없다는 것을 의미한다.

큰 쐐기꼴 왕관의 표면적 ''A''는 다각형 면의 전체 면적—16개의 정삼각형과 2개의 정사각형—이다. 큰 쐐기꼴 왕관의 부피는 다항식의 근을 구하여 얻으며, 그 소수점 전개—''ξ''로 표시—는 A334114에 의해 주어진다. 모서리 길이 ''a''에 대해, 표면적과 부피는 다음과 같이 공식화될 수 있다.

:''A'' = (2 + 4√3)''a''² ≈ 8.928''a''²,

:''V'' = ξ ''a''³ ≈ 1.948''a''³.

2. 1. 기하학적 구조

쐐기꼴 왕관은 1966년에 존슨(Johnson)이 명명했으며, 그는 두 개의 인접한 'lunes'—정사각형에 반대쪽에 정삼각형이 부착된 쐐기 모양 복합체를 나타내는 접두사 ''spheno-''를 사용했다. 접미사 ''-megacorona''는 쐐기꼴 왕관을 구성하는 더 작은 삼각형 복합체와 대조적으로 12개의 삼각형으로 이루어진 왕관 모양 복합체를 나타낸다. 두 복합체를 결합하면, 16개의 정삼각형과 2개의 정사각형을 가지며 18개의 면을 갖는다. 모든 면이 정다각형이므로, 큰 쐐기꼴 왕관은 존슨의 다면체—모든 면이 정다각형인 볼록 다면체—로 분류되며, J_{88}로 번호가 매겨진 88번째 존슨의 다면체이다. 이는 기본 다면체이며, 평면으로 두 개의 작은 정면 다면체로 분리될 수 없다는 것을 의미한다.

큰 쐐기꼴 왕관의 표면적 ''A''는 다각형 면의 전체 면적—16개의 정삼각형과 2개의 정사각형—이다. 큰 쐐기꼴 왕관의 부피는 다항식의 근을 구하여 얻으며, 그 소수점 전개—''ξ''로 표시—는 A334114에 의해 주어진다. 모서리 길이 ''a''에 대해, 표면적과 부피는 다음과 같이 공식화될 수 있다.

:''A'' = (2 + 4√3)''a''² ≈ 8.928''a''²,

:''V'' = ξ ''a''³ ≈ 1.948''a''³.

2. 2. 표면적과 부피

큰 쐐기꼴 왕관의 표면적 ''A''는 다각형 면의 전체 면적—16개의 정삼각형과 2개의 정사각형—이다. 쐐기꼴 왕관의 부피는 다항식의 근을 구하여 얻는다. 모서리 길이 ''a''에 대해, 표면적과 부피는 다음과 같이 공식화될 수 있다.

:''A'' = (2 + 4√3)''a''² ≈ 8.928''a''²,

:''V'' = ξ ''a''³ ≈ 1.948''a''³.

2. 3. 데카르트 좌표

k \approx 0.59463

를 다음 다항식의 가장 작은 양의 근이라고 하자.

1680 x^{16}- 4800 x^{15} - 3712 x^{14} + 17216 x^{13}+ 1568 x^{12} - 24576 x^{11} + 2464 x^{10} + 17248 x^9 -3384 x^8 - 5584 x^7 + 2000 x^6+ 240 x^5- 776 x^4+ 304 x^3 + 200 x^2 - 56 x -23.

그러면, 변의 길이가 2인 큰 쐐기꼴 왕관의 데카르트 좌표는 다음 점들의 궤도의 합으로 주어진다.

\begin{align} &\left(0,1,2\sqrt{1-k^2}\right),\,(2k,1,0),\,\left(0,\frac{\sqrt{3-4k^2}}{\sqrt{1-k^2}}+1,\frac{1-2k^2}{\sqrt{1-k^2}}\right), \\&\left(1,0,-\sqrt{2+4k-4k^2}\right),\,\left(0,\frac{\sqrt{3-4k^2}\left(2k^2-1\right)}{\left(k^2-1\right)\sqrt{1-k^2}}+1,\frac{2k^4-1}{\left(1-k^2\right)^\frac32}\right) \end{align}

xz-평면과 yz-평면에 대한 반사에 의해 생성된 대칭군의 작용 하에.

참조

_[1] 학술지 Regular-faced convex polyhedra
_[2] 서적 Polyhedra https://archive.org/[...] Cambridge University Press
_[3] 학술지 Johnson solids & their acronyms https://go.gale.com/[...] 2013-08
_[4] 학술지 Convex polyhedra with regular faces
_[5] 웹사이트 A334114 http://oeis.org/A334[...]
_[6] 학술지 The non-Platonic and non-Archimedean noncomposite polyhedra
_[7] 인용 Convex polyhedra with regular faces

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