탈레스 정리 (평행)

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1. 개요

탈레스 정리(Thales' theorem)는 평면에서 세 개의 평행선과 두 개의 다른 직선이 만날 때 성립하는 기하학적 정리이다. 이 정리에 따르면, 평행선에 의해 잘린 두 직선의 선분들의 비는 서로 같다. 탈레스 정리는 닮음 삼각형의 개념과 밀접하게 관련되어 있으며, 선분 분할, 높이 측정, 평행선 작도 등 다양한 분야에 응용된다. 고대 그리스의 수학자 탈레스는 이 정리를 이용하여 피라미드의 높이를 측정하는 데 사용했다고 알려져 있다.

탈레스 정리 (평행)

개요

이름	교차 정리
다른 이름	비례 절단 정리, 탈레스의 정리
분야	유클리드 기하학
설명	두 개의 직선이 평행선 쌍에 의해 교차될 때 형성되는 선분 비율에 대한 정리

정리 내용

조건	두 개의 직선이 평행선 쌍에 의해 교차될 때
결론	해당 선분들의 비율은 서로 동일함 한 직선에서 평행선 사이의 선분 비율은 다른 직선에서 평행선 사이의 해당 선분 비율과 동일함
수식 표현	만약 A, B가 직선 l 위에 있고, C, D가 직선 m 위에 있으며, AC와 BD가 평행하다면, AB/BC = CD/DE가 성립함

활용

기하학적 증명	다른 기하학적 명제들을 증명하는 데 사용될 수 있음
유사성 증명	삼각형의 유사성을 증명하는 데 사용될 수 있음
평행성 증명	직선의 평행성을 증명하는 데 사용될 수 있음

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1. 개요
2. 정의
3. 증명
- 3.1. 유리수 비례 관계 증명
- 3.2. 실수 비례 관계 증명
4. 따름정리와 일반화
5. 응용
6. 역사
7. 관련 개념
- 7.1. 닮음 (기하학)
- 7.2. 벡터 공간에서의 스칼라 곱

2. 정의

평면 위 3개의 서로 다른 평행선 $l$ , $l'$ , $l$ 이 주어졌을 때, 다른 두 직선이 이 평행선들과 각각 점 $A$ , $A'$ , $A$ 와 점 $B$ , $B'$ , $B$ 에서 만난다면, 탈레스 정리에 따라 다음이 성립한다.

: $\frac{\overrightarrow{AA$ }}{\overrightarrow{AA'}}=\frac{\overrightarrow{BB}}{\overrightarrow{BB'}}

특히, $A$ 이 $A$ 에 대하여 $A'$ 과 같은 쪽에 있다면, $B$ 역시 $B$ 에 대하여 $B'$ 과 같은 쪽에 있으며, 반대로 만약 $A$ 이 $A$ 에 대하여 $A'$ 과 다른 쪽에 있다면, $B''$ 역시 $B$ 에 대하여 $B'$ 과 다른 쪽에 있다.

두 광선이 공통의 시작점 S를 가지고, 두 평행선이 이 두 광선과 교차한다고 가정하자(그림 참조). A, B는 첫 번째 광선과 두 평행선의 교차점이고, B는 A보다 S에서 더 멀리 떨어져 있으며, 마찬가지로 C, D는 두 번째 광선과 두 평행선의 교차점이고, D는 C보다 S에서 더 멀리 떨어져 있다고 하자. 이 구성에서 다음 명제가 성립한다.

# 첫 번째 광선 위의 임의의 두 선분 길이의 비는 두 번째 광선 위의 해당 선분 길이의 비와 같다:

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=\frac

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{ | CD |},

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# S에서 시작하는 같은 광선 위의 두 선분 길이의 비는 평행선 위의 선분 길이의 비와 같다:

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= \frac

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# 첫 번째 명제의 역은 또한 참이다. 즉, 두 광선이 임의의 두 직선에 의해 절편되고

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가 성립하면 두 절편선은 평행이다. 그러나 두 번째 명제의 역은 참이 아니다

3. 증명

우선 $\overrightarrow{AA$ }/\overrightarrow{AA'}=1/2인 경우를 보이자. $A$ 를 지나는 $BB'$ 의 평행선과 $l$ 의 교점을 $C$ 이라고 하고, $A$ 을 지나는 $BB'$ 의 평행선과 $l'$ 의 교점을 $C'$ 이라고 하자. 그렇다면 $\angle A$ AC=\angle A'AC', $AA$ =AA', $\angle AA$ C=\angle AA'C'이므로, 삼각형 $AA$ C과 $A$ A'C'은 합동이며, 특히 $\overrightarrow{AC$ }=\overrightarrow{AC'}이다. 사각형 $ABB$ C, $A$ BB'C'은 모두 평행 사변형이므로,
: $\overrightarrow{BB$ }=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{BB'}
이다. 즉, $\overrightarrow{BB$ }/\overrightarrow{BB'}=1/2가 성립한다.

이는 비가 유리수인 경우를 자명하게 함의한다. 즉, 정수 $m$ 과 양의 정수 $n$ 에 대하여 $\overrightarrow{BB$ }/\overrightarrow{BB'}=m/n이라고 하자. 선분 $AA'$ 을 $n$ 등분하고, 직선 $AA'$ 의 남은 부분까지 같은 길이로 등분하자. 그렇다면, 각 $n$ 등분점을 지나는 $l$ 의 평행선과 직선 $BB'$ 의 교점 역시 선분 $BB'$ 을 $n$ 등분하며, 또한 직선 $BB'$ 의 남은 부분을 같은 길이로 등분한다. 따라서 $\overrightarrow{AA$ }/\overrightarrow{AA'}=m/n이 성립한다.

이제 $\overrightarrow{AA$ }/\overrightarrow{AA'}=\lambda가 일반적인 실수인 경우를 보이자. $\overrightarrow{BB$ }/\overrightarrow{BB'}=\mu이라고 가정하자. 임의의 유리수 $q$ 에 대하여, 직선 $AA'$ 위에서 $\overrightarrow{AP}=q\overrightarrow{AA'}$ 인 점 $P$ 를 취하고, $P$ 를 지나는 $l$ 의 평행선과 직선 $BB'$ 의 교점을 $Q$ 라고 하자. 그렇다면 $\overrightarrow{BQ}=q\overrightarrow{BB'}$ 이다. $A$ B과 $PQ$ 는 평행하므로, 만약 $\lambda 라면 \mu, 만약 \lambda=q 라면 \mu=q, 만약 \lambda>q 라면 \mu>q 이다. 유리수가 실수 집합의 조밀 집합 을 이룬다는 사실에 의하여, \mu=\lambda 가 성립한다.$
정리의 기본적인 증명은 넓이가 같은 삼각형을 사용하여 비율에 대한 기본적인 명제를 도출한다(주장 1). 그런 다음 다른 주장은 첫 번째 주장을 적용하고 모순을 이용하여 증명한다.

3.1. 유리수 비례 관계 증명

$\overrightarrow{AA$ }/\overrightarrow{AA'}=1/2인 경우를 먼저 증명할 수 있다. $A$ 를 지나고 $BB'$ 에 평행한 직선과 $l$ 의 교점을 $C$ , $A$ 을 지나고 $BB'$ 에 평행한 직선과 $l'$ 의 교점을 $C'$ 이라고 하면, $\angle A$ AC=\angle A'AC', $AA$ =AA', $\angle AA$ C=\angle AA'C'이므로, 삼각형 $AA$ C과 $A$ A'C'은 합동이다. 따라서 $\overrightarrow{AC$ }=\overrightarrow{AC'}이다. 사각형 $ABB$ C, $A$ BB'C'은 모두 평행 사변형이므로, $\overrightarrow{BB$ }=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{BB'}이다. 즉, $\overrightarrow{BB$ }/\overrightarrow{BB'}=1/2가 성립한다.

$\overrightarrow{AA$ }/\overrightarrow{AA'}=m/n ( $m$ 은 정수, $n$ 은 양의 정수)인 경우, 선분 $AA'$ 을 $n$ 등분하고, 각 $n$ 등분점을 지나면서 $l$ 에 평행한 직선들을 그으면, 선분 $BB'$ 역시 $n$ 등분된다. 따라서 $\overrightarrow{AA$ }/\overrightarrow{AA'}=m/n이면 $\overrightarrow{BB''}/\overrightarrow{BB'}=m/n$ 이 성립한다. 즉, AA'를 n등분하고, 각 등분점을 지나면서 l에 평행한 직선들을 그으면, BB' 역시 n등분된다.

3.2. 실수 비례 관계 증명

AA/AA'가 일반적인 실수인 경우를 증명한다. 우선 AA/AA'=1/2 인 경우를 보일 수 있다. A를 지나는 BB'의 평행선과 l의 교점을 C, A를 지나는 BB'의 평행선과 l'의 교점을 C'라고 하면, 삼각형 AAC과 AA'C'은 합동이며, AC=AC'이다. 사각형 ABBC, ABB'C'은 모두 평행 사변형이므로, BB=AC=AC'=BB'이다. 즉, BB/BB'=1/2가 성립한다.

이는 비가 유리수인 경우를 자명하게 함의한다. 즉, 정수 m과 양의 정수 n에 대하여 BB/BB'=m/n이라고 하면, 선분 AA'을 n등분하고 직선 AA'의 남은 부분까지 같은 길이로 등분할때, 각 n등분점을 지나는 l의 평행선과 직선 BB'의 교점 역시 선분 BB'을 n등분하며, 직선 BB'의 남은 부분을 같은 길이로 등분한다. 따라서 AA/AA'=m/n이 성립한다.

이제 AA/AA'=λ가 일반적인 실수인 경우를 보일 수 있다. BB/BB'=μ라고 가정한다. 임의의 유리수 q에 대하여, 직선 AA' 위에서 AP=qAA'인 점 P를 취하고, P를 지나는 l의 평행선과 직선 BB'의 교점을 Q라고 하면, BQ=qBB'이다. AB''과 PQ는 평행하므로, 만약 λq라면 μ>q이다. 유리수가 실수 집합의 조밀 집합을 이룬다는 사실에 의하여, μ=λ가 성립한다.

4. 따름정리와 일반화

두 개의 반직선이 점

S

에서 교차하는 두 개의 선으로 대체될 경우, 처음 두 개의 명제는 여전히 유효하다. 이 경우

S

와 관련하여 두 가지 시나리오가 존재하는데, 하나는

S

가 두 평행선 사이에 놓이는 경우(X자 형태)이고, 다른 하나는 그렇지 않은 경우(V자 형태)이다.

S

가 두 평행선 사이에 위치하지 않으면 원래의 정리가 직접 적용된다. 만약

S

가 두 평행선 사이에 놓여 있다면,

S

에서

A

와

C

를 반사하면 원래의 정리가 적용되는 동일한 측정값을 가진 V자 형태가 생성된다. 그러나 세 번째 명제(역)는 선에 대해서는 유효하지 않다.

만약

S

에서 시작하는 세 개 이상의 반직선이나

S

에서 교차하는 세 개 이상의 선이 있는 경우, 각 평행선은 둘 이상의 선분을 포함하며, 한 평행선 위의 두 선분의 비율은 다른 평행선 위의 해당 선분의 비율과 같다. 예를 들어,

S

에서 시작하여

E

와

F

에서 평행선과 교차하는 세 번째 반직선이 있고,

F

가

E

보다

S

에서 더 멀리 떨어져 있다면, 다음 등식이 성립한다.
:

\frac

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=\frac

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{ | FD |} ,

\frac

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{ | EC |} =\frac

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두 번째 방정식의 역도 마찬가지로 유효하다. 즉, 세 개의 반직선이 두 개의 선에 의해 가로막히고 각 선 위의 해당 선분의 비율이 같으면, 그 두 선은 평행해야 한다.

4.1. 닮음 삼각형의 성질

삼각형 ABC의 두 변 AB, AC의 직선과 점 B', C'에서 만나는 직선 B'C'이 다른 한 변 BC에 평행하면, 다음이 성립한다.
: $\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB'}}=\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AC'}}=\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{B'C'}}$
점 A를 지나는 BC의 평행선과 직선 BC, B'C'에 탈레스 정리 (평행)를 적용하면 첫 번째 등식을 얻는다. 두 번째 등식은 다음과 같이 보일 수 있다.
: $\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB'}}=\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AC'}}=\lambda$
라고 하면,
: $\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{B'C'}}=\frac{\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AB'}}=\frac{\lambda\overrightarrow{AC'}-\lambda\overrightarrow{AB'}}{\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AB'}}=\lambda$
이다.

탈레스 정리 (평행)는 닮음과 밀접한 관련이 있다. 이는 닮은 삼각형의 개념과 동일하며, 닮은 삼각형의 성질을 증명하는 데 사용될 수 있다. 동일한 각도를 일치시켜 두 개의 닮은 삼각형을 서로 배치하여 절편 정리가 적용되는 구성을 얻을 수 있으며, 역으로 절편 정리 구성은 항상 두 개의 닮은 삼각형을 포함한다.

4.2. 중심 닮음 변환의 성질

중심 닮음 변환은 모든 직선을 이와 평행한 직선으로 변환시킨다. 이는 탈레스 정리를 통해 증명할 수 있다. 중심 닮음 변환은 아핀 변환이므로, 임의의 직선에 대하여, 그 상 역시 직선이다. 중심 닮음 변환의 중심을 O라고 하고, 원래 직선 위의 서로 다른 두 점 A, B를 취한다. A의 상을 A'이라고 하고, A'을 지나는 AB의 평행선과 직선 OB의 교점을 B'이라고 하면, ${\frac{\overrightarrow{OB'}}{\overrightarrow{OB}}}={\frac{\overrightarrow{OA'}}{\overrightarrow{OA}}}}$이므로, B' 역시 B의 상이다. 따라서 직선 AB의 상 직선 A'B'은 원래 직선에 평행한다.

4.3. 다차원 아핀 공간 일반화

체 $K$ 위의 아핀 공간 $A$ 의 서로 다른 평행 아핀 초평면 $H,H',H$ \subseteq A가 주어졌고, 어떤 아핀 직선 $L\subseteq A$ 가 $H$ , $H'$ , $H$ 과 각각 점
: $a=H\cap L$
: $a'=H'\cap L$
: $a$ =H\cap L
에서 만난다고 하자. 그렇다면,
: $\frac{\overrightarrow{aa$ }}{\overrightarrow{aa'}}\in K
은 아핀 초평면 $H$ , $H'$ , $H$ 에만 의존하며, 아핀 직선 $L$ 의 선택과 무관하다.

이는 아핀 초평면 $H$ 의 평행 이동들로 구성된 벡터 공간 $V(H)$ 에 대한 몫아핀 공간 $A/V(H)$ 로 가는 아핀 사영 변환
: $P\colon A\to A/V(H)$
를 생각했을 때, $P$ 는 아핀 변환이며, 유도된 선형 변환 $\overrightarrow P$ 를 갖는다는 사실을 통해 증명할 수 있다.

5. 응용

5.1. 선분 분할

임의의 선분 $\overline{AB}$ 를 $m:n$ 의 비율로 나누려면, $\overline{AB}$ 를 한 변으로 하는 임의의 각을 A에 그린다. 다른 변 위에 $m+n$ 개의 등거리 점을 만들고, 마지막 점과 B를 지나는 선과 m번째 점을 지나는 평행선을 그린다. 이 평행선은 $\overline{AB}$ 를 원하는 비율로 나눈다. 오른쪽 그림은 선분 $\overline{AB}$ 를 $5:3$ 의 비율로 분할한 것을 보여준다.

두 개의 주어진 선분에서 다른 두 선분의 길이의 곱과 같은 길이를 갖는 새로운 선분을 작도하거나, 길이

a

의 선분에 대해 길이

a^{-1}

의 새로운 선분을 작도할수 있다. 절편 정리를 사용하면 두 경우 모두 이러한 작도가 가능하다.

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5.2. 측정

5.2.1. 쿠푸왕의 대 피라미드 높이 측정

일부 역사적 자료에 따르면, 그리스 수학자 탈레스는 절편 정리를 사용하여 쿠푸왕의 피라미드의 높이를 측정했다. 다음은 피라미드의 높이를 계산하기 위해 절편 정리를 사용하는 방법을 설명한다. 그러나 분실된 탈레스의 원래 작업에 대한 내용은 아니다.

탈레스는 피라미드 밑변의 길이와 자신의 막대기의 높이를 측정했다. 그런 다음 같은 날 같은 시각에 피라미드의 그림자와 막대기의 그림자 길이를 측정했다. 이를 통해 다음 데이터를 얻었다.

* 막대기 높이 (A): 1.63 m
* 막대기 그림자 (B): 2 m
* 피라미드 밑변 길이: 230 m
* 피라미드 그림자: 65 m

그는 이것으로부터 다음을 계산했다.

C = 65 m + (230 m / 2) = 180 m

A, B, C를 알고 있었으므로, 이제 절편 정리를 적용하여 다음을 계산할 수 있었다.

D = (C * A) / B = (1.63 m * 180 m) / 2 m = 146.7 m

5.2.2. 강의 폭 측정

절편 정리는 강이나 호수의 폭, 높은 건물의 높이 등 직접 측정할 수 없는 거리를 결정하는 데 사용할 수 있다. 오른쪽 그림은 강의 폭을 측정하는 것을 보여준다. 선분 $|CF|$ , $|CA|$ , $|FE|$ 를 측정하여 원하는 거리 $|AB|=\frac$

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를 계산한다.

5.3. 평행선 작도

삼각형 두 변의 중점을 연결하면, 결과로 생기는 선분은 삼각형의 세 번째 변과 평행하다(삼각형의 중점 연결 정리). 사다리꼴의 평행하지 않은 두 변의 중점을 연결하면, 결과로 생기는 선분은 사다리꼴의 나머지 두 변과 평행하다.

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6. 역사

탈레스 정리는 고대 그리스의 수학자 탈레스의 이름을 땄다. 밀레투스의 탈레스는 이 정리를 이용하여 이집트 피라미드의 높이를 측정하고, 해안에서 배까지의 거리를 계산한 것으로 알려져 있다.

7. 관련 개념

7.1. 닮음 (기하학)

탈레스 정리는 닮음과 밀접하게 관련되어 있으며, 닮은 삼각형의 개념과 동일하다. 즉, 닮은 삼각형의 성질을 증명하는 데 사용될 수 있고, 역으로 닮은 삼각형은 탈레스 정리를 증명하는 데 사용될 수 있다. 동일한 각도를 일치시켜 두 개의 닮은 삼각형을 서로 배치하면 탈레스 정리가 적용되는 구성을 얻을 수 있으며, 역으로 탈레스 정리 구성은 항상 두 개의 닮은 삼각형을 포함한다.

7.2. 벡터 공간에서의 스칼라 곱

노름 벡터 공간에서 스칼라 곱과 관련된 공리는 절편 정리가 성립함을 보장한다. 특히, λ · (a⃗ + b⃗ ) = λ · a⃗ + λ · b⃗ 및 ||λ a⃗ || = |λ| · ||a⃗ ||가 성립한다.

다음 식이 성립한다.

: $\frac{ \| \lambda \cdot \vec{a} \| }{ \| \vec{a} \|}=\frac{\|\lambda\cdot\vec{b}\|}{\|\vec{b}\|}=\frac{\|\lambda\cdot(\vec{a}+\vec{b}) \|}{\|\vec{a}+\vec{b}\|}=|\lambda|$