탈레스 정리 (평행)

=\frac

{ | CD |}, $\backslash frac$

=\frac

, $\backslash frac$

=\frac

# S에서 시작하는 같은 광선 위의 두 선분 길이의 비는 평행선 위의 선분 길이의 비와 같다:
$\backslash frac$

= \frac

=\frac

# 첫 번째 명제의 역은 또한 참이다. 즉, 두 광선이 임의의 두 직선에 의해 절편되고 $\backslash frac$

=\frac

가 성립하면 두 절편선은 평행이다. 그러나 두 번째 명제의 역은 참이 아니다

3. 증명

우선 $\backslash overrightarrow\{AA\text{'}\text{'}\}/\backslash overrightarrow\{AA\text{'}\}=1/2$인 경우를 보이자. $A$를 지나는 $BB\text{'}$의 평행선과 $l\text{'}\text{'}$의 교점을 $C\text{'}\text{'}$이라고 하고, $A\text{'}\text{'}$을 지나는 $BB\text{'}$의 평행선과 $l\text{'}$의 교점을 $C\text{'}$이라고 하자. 그렇다면 $\backslash angle\; A\text{'}\text{'}AC\text{'}\text{'}=\backslash angle\; A\text{'}A\text{'}\text{'}C\text{'}$, $AA\text{'}\text{'}=A\text{'}\text{'}A\text{'}$, $\backslash angle\; AA\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}=\backslash angle\; A\text{'}\text{'}A\text{'}C\text{'}$이므로, 삼각형 $AA\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}$과 $A\text{'}\text{'}A\text{'}C\text{'}$은 합동이며, 특히 $\backslash overrightarrow\{AC\text{'}\text{'}\}=\backslash overrightarrow\{A\text{'}\text{'}C\text{'}\}$이다. 사각형 $ABB\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}$, $A\text{'}\text{'}B\text{'}\text{'}B\text{'}C\text{'}$은 모두 평행 사변형이므로,

:$\backslash overrightarrow\{BB\text{'}\text{'}\}=\backslash overrightarrow\{AC\text{'}\text{'}\}=\backslash overrightarrow\{A\text{'}\text{'}C\text{'}\}=\backslash overrightarrow\{B\text{'}\text{'}B\text{'}\}$

이다. 즉, $\backslash overrightarrow\{BB\text{'}\text{'}\}/\backslash overrightarrow\{BB\text{'}\}=1/2$가 성립한다.

이는 비가 유리수인 경우를 자명하게 함의한다. 즉, 정수 $m$과 양의 정수 $n$에 대하여 $\backslash overrightarrow\{BB\text{'}\text{'}\}/\backslash overrightarrow\{BB\text{'}\}=m/n$이라고 하자. 선분 $AA\text{'}$을 $n$등분하고, 직선 $AA\text{'}$의 남은 부분까지 같은 길이로 등분하자. 그렇다면, 각 $n$등분점을 지나는 $l$의 평행선과 직선 $BB\text{'}$의 교점 역시 선분 $BB\text{'}$을 $n$등분하며, 또한 직선 $BB\text{'}$의 남은 부분을 같은 길이로 등분한다. 따라서 $\backslash overrightarrow\{AA\text{'}\text{'}\}/\backslash overrightarrow\{AA\text{'}\}=m/n$이 성립한다.

이제 $\backslash overrightarrow\{AA\text{'}\text{'}\}/\backslash overrightarrow\{AA\text{'}\}=\backslash lambda$가 일반적인 실수인 경우를 보이자. $\backslash overrightarrow\{BB\text{'}\text{'}\}/\backslash overrightarrow\{BB\text{'}\}=\backslash mu$이라고 가정하자. 임의의 유리수 $q$에 대하여, 직선 $AA\text{'}$ 위에서 $\backslash overrightarrow\{AP\}=q\backslash overrightarrow\{AA\text{'}\}$인 점 $P$를 취하고, $P$를 지나는 $l$의 평행선과 직선 $BB\text{'}$의 교점을 $Q$라고 하자. 그렇다면 $\backslash overrightarrow\{BQ\}=q\backslash overrightarrow\{BB\text{'}\}$이다. $A\text{'}\text{'}B\text{'}\text{'}$과 $PQ$는 평행하므로, 만약

정리의 기본적인 증명은 넓이가 같은 삼각형을 사용하여 비율에 대한 기본적인 명제를 도출한다(주장 1). 그런 다음 다른 주장은 첫 번째 주장을 적용하고 모순을 이용하여 증명한다.

3. 1. 유리수 비례 관계 증명

$\backslash overrightarrow\{AA\text{'}\text{'}\}/\backslash overrightarrow\{AA\text{'}\}=1/2$인 경우를 먼저 증명할 수 있다. $A$를 지나고 $BB\text{'}$에 평행한 직선과 $l\text{'}\text{'}$의 교점을 $C\text{'}\text{'}$, $A\text{'}\text{'}$을 지나고 $BB\text{'}$에 평행한 직선과 $l\text{'}$의 교점을 $C\text{'}$이라고 하면, $\backslash angle\; A\text{'}\text{'}AC\text{'}\text{'}=\backslash angle\; A\text{'}A\text{'}\text{'}C\text{'}$, $AA\text{'}\text{'}=A\text{'}\text{'}A\text{'}$, $\backslash angle\; AA\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}=\backslash angle\; A\text{'}\text{'}A\text{'}C\text{'}$이므로, 삼각형 $AA\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}$과 $A\text{'}\text{'}A\text{'}C\text{'}$은 합동이다. 따라서 $\backslash overrightarrow\{AC\text{'}\text{'}\}=\backslash overrightarrow\{A\text{'}\text{'}C\text{'}\}$이다. 사각형 $ABB\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}$, $A\text{'}\text{'}B\text{'}\text{'}B\text{'}C\text{'}$은 모두 평행 사변형이므로, $\backslash overrightarrow\{BB\text{'}\text{'}\}=\backslash overrightarrow\{AC\text{'}\text{'}\}=\backslash overrightarrow\{A\text{'}\text{'}C\text{'}\}=\backslash overrightarrow\{B\text{'}\text{'}B\text{'}\}$이다. 즉, $\backslash overrightarrow\{BB\text{'}\text{'}\}/\backslash overrightarrow\{BB\text{'}\}=1/2$가 성립한다.

$\backslash overrightarrow\{AA\text{'}\text{'}\}/\backslash overrightarrow\{AA\text{'}\}=m/n$ ($m$은 정수, $n$은 양의 정수)인 경우, 선분 $AA\text{'}$을 $n$등분하고, 각 $n$등분점을 지나면서 $l$에 평행한 직선들을 그으면, 선분 $BB\text{'}$ 역시 $n$등분된다. 따라서 $\backslash overrightarrow\{AA\text{'}\text{'}\}/\backslash overrightarrow\{AA\text{'}\}=m/n$이면 $\backslash overrightarrow\{BB\text{'}\text{'}\}/\backslash overrightarrow\{BB\text{'}\}=m/n$이 성립한다. 즉, AA'를 n등분하고, 각 등분점을 지나면서 l에 평행한 직선들을 그으면, BB' 역시 n등분된다.

3. 2. 실수 비례 관계 증명

AA''/AA'가 일반적인 실수인 경우를 증명한다. 우선 AA''/AA'=1/2 인 경우를 보일 수 있다. A를 지나는 BB'의 평행선과 l''의 교점을 C'', A''를 지나는 BB'의 평행선과 l'의 교점을 C'라고 하면, 삼각형 AA''C''과 A''A'C'은 합동이며, AC''=A''C'이다. 사각형 ABB''C'', A''B''B'C'은 모두 평행 사변형이므로, BB''=AC''=A''C'=B''B'이다. 즉, BB''/BB'=1/2가 성립한다.

이는 비가 유리수인 경우를 자명하게 함의한다. 즉, 정수 m과 양의 정수 n에 대하여 BB''/BB'=m/n이라고 하면, 선분 AA'을 n등분하고 직선 AA'의 남은 부분까지 같은 길이로 등분할때, 각 n등분점을 지나는 l의 평행선과 직선 BB'의 교점 역시 선분 BB'을 n등분하며, 직선 BB'의 남은 부분을 같은 길이로 등분한다. 따라서 AA''/AA'=m/n이 성립한다.

이제 AA''/AA'=λ가 일반적인 실수인 경우를 보일 수 있다. BB''/BB'=μ라고 가정한다. 임의의 유리수 q에 대하여, 직선 AA' 위에서 AP=qAA'인 점 P를 취하고, P를 지나는 l의 평행선과 직선 BB'의 교점을 Q라고 하면, BQ=qBB'이다. A''B''과 PQ는 평행하므로, 만약 λq라면 μ>q이다. 유리수가 실수 집합의 조밀 집합을 이룬다는 사실에 의하여, μ=λ가 성립한다.

4. 따름정리와 일반화

두 개의 반직선이 점 $S$에서 교차하는 두 개의 선으로 대체될 경우, 처음 두 개의 명제는 여전히 유효하다. 이 경우 $S$와 관련하여 두 가지 시나리오가 존재하는데, 하나는 $S$가 두 평행선 사이에 놓이는 경우(X자 형태)이고, 다른 하나는 그렇지 않은 경우(V자 형태)이다. $S$가 두 평행선 사이에 위치하지 않으면 원래의 정리가 직접 적용된다. 만약 $S$가 두 평행선 사이에 놓여 있다면, $S$에서 $A$와 $C$를 반사하면 원래의 정리가 적용되는 동일한 측정값을 가진 V자 형태가 생성된다.^[6] 그러나 세 번째 명제(역)는 선에 대해서는 유효하지 않다.^[7][9][14]

만약 $S$에서 시작하는 세 개 이상의 반직선이나 $S$에서 교차하는 세 개 이상의 선이 있는 경우, 각 평행선은 둘 이상의 선분을 포함하며, 한 평행선 위의 두 선분의 비율은 다른 평행선 위의 해당 선분의 비율과 같다. 예를 들어, $S$에서 시작하여 $E$와 $F$에서 평행선과 교차하는 세 번째 반직선이 있고, $F$가 $E$보다 $S$에서 더 멀리 떨어져 있다면, 다음 등식이 성립한다.^[9]

:$\backslash frac$

=\frac

{ | FD |} , $\backslash frac$

{ | EC |} =\frac

두 번째 방정식의 역도 마찬가지로 유효하다. 즉, 세 개의 반직선이 두 개의 선에 의해 가로막히고 각 선 위의 해당 선분의 비율이 같으면, 그 두 선은 평행해야 한다.^[9]

4. 1. 닮음 삼각형의 성질

삼각형 ABC의 두 변 AB, AC의 직선과 점 B', C'에서 만나는 직선 B'C'이 다른 한 변 BC에 평행하면, 다음이 성립한다.^[15]

:$\backslash frac\{\backslash overrightarrow\{AB\}\}\{\backslash overrightarrow\{AB\text{'}\}\}$

=\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AC'}}

=\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{B'C'}}

점 A를 지나는 BC의 평행선과 직선 BC, B'C'에 탈레스 정리 (평행)를 적용하면 첫 번째 등식을 얻는다. 두 번째 등식은 다음과 같이 보일 수 있다.

:$\backslash frac\{\backslash overrightarrow\{AB\}\}\{\backslash overrightarrow\{AB\text{'}\}\}$

=\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AC'}}=\lambda

라고 하면,

:$\backslash frac\{\backslash overrightarrow\{BC\}\}\{\backslash overrightarrow\{B\text{'}C\text{'}\}\}$

=\frac{\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AB'}}

=\frac{\lambda\overrightarrow{AC'}-\lambda\overrightarrow{AB'}}{\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AB'}}=\lambda

이다.

탈레스 정리 (평행)는 닮음과 밀접한 관련이 있다. 이는 닮은 삼각형의 개념과 동일하며, 닮은 삼각형의 성질을 증명하는 데 사용될 수 있다. 동일한 각도를 일치시켜 두 개의 닮은 삼각형을 서로 배치하여 절편 정리가 적용되는 구성을 얻을 수 있으며, 역으로 절편 정리 구성은 항상 두 개의 닮은 삼각형을 포함한다.

4. 2. 중심 닮음 변환의 성질

중심 닮음 변환은 모든 직선을 이와 평행한 직선으로 변환시킨다. 이는 탈레스 정리를 통해 증명할 수 있다. 중심 닮음 변환은 아핀 변환이므로, 임의의 직선에 대하여, 그 상 역시 직선이다. 중심 닮음 변환의 중심을 O라고 하고, 원래 직선 위의 서로 다른 두 점 A, B를 취한다. A의 상을 A'이라고 하고, A'을 지나는 AB의 평행선과 직선 OB의 교점을 B'이라고 하면, ${\frac{\overrightarrow{OB'}}{\overrightarrow{OB}}}={\frac{\overrightarrow{OA'}}{\overrightarrow{OA}}}}$이므로, B' 역시 B의 상이다. 따라서 직선 AB의 상 직선 A'B'은 원래 직선에 평행한다.

4. 3. 다차원 아핀 공간 일반화

체$K$ 위의 아핀 공간$A$의 서로 다른 평행 아핀 초평면 $H,H\text{'},H\text{'}\text{'}\backslash subseteq\; A$가 주어졌고, 어떤 아핀 직선 $L\backslash subseteq\; A$가 $H$, $H\text{'}$, $H\text{'}\text{'}$과 각각 점

:$a=H\backslash cap\; L$

:$a\text{'}=H\text{'}\backslash cap\; L$

:$a\text{'}\text{'}=H\text{'}\text{'}\backslash cap\; L$

에서 만난다고 하자. 그렇다면,

:$\backslash frac\{\backslash overrightarrow\{aa\text{'}\text{'}\}\}\{\backslash overrightarrow\{aa\text{'}\}\}\backslash in\; K$

은 아핀 초평면 $H$, $H\text{'}$, $H\text{'}\text{'}$에만 의존하며, 아핀 직선 $L$의 선택과 무관하다.^[16]

이는 아핀 초평면 $H$의 평행 이동들로 구성된 벡터 공간$V(H)$에 대한 몫아핀 공간 $A/V(H)$로 가는 아핀 사영 변환

:$P\backslash colon\; A\backslash to\; A/V(H)$

를 생각했을 때, $P$는 아핀 변환이며, 유도된 선형 변환$\backslash overrightarrow\; P$를 갖는다는 사실을 통해 증명할 수 있다.

5. 응용

5. 1. 선분 분할

임의의 선분 $\backslash overline\{AB\}$를 $m:n$의 비율로 나누려면, $\backslash overline\{AB\}$를 한 변으로 하는 임의의 각을 A에 그린다. 다른 변 위에 $m+n$개의 등거리 점을 만들고, 마지막 점과 B를 지나는 선과 ''m''번째 점을 지나는 평행선을 그린다. 이 평행선은 $\backslash overline\{AB\}$를 원하는 비율로 나눈다.^[5] 오른쪽 그림은 선분 $\backslash overline\{AB\}$를 $5:3$의 비율로 분할한 것을 보여준다.^[5]

두 개의 주어진 선분에서 다른 두 선분의 길이의 곱과 같은 길이를 갖는 새로운 선분을 작도하거나, 길이 $a$의 선분에 대해 길이 $a^\{-1\}$의 새로운 선분을 작도할수 있다. 절편 정리를 사용하면 두 경우 모두 이러한 작도가 가능하다.^[1][4]

style="width:330px" valign="top" |

style="width:330px" valign="top" |

를 계산한다.

5. 3. 평행선 작도

삼각형 두 변의 중점을 연결하면, 결과로 생기는 선분은 삼각형의 세 번째 변과 평행하다(삼각형의 중점 연결 정리). 사다리꼴의 평행하지 않은 두 변의 중점을 연결하면, 결과로 생기는 선분은 사다리꼴의 나머지 두 변과 평행하다.