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투과계수

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목차

1. 개요

투과 계수는 전자기파, 통신 신호, 또는 양자역학적 입자가 특정 매질, 소자, 또는 장벽을 통과하는 정도를 나타내는 지표이다. 광학에서는 입사파와 투과파의 진폭 또는 세기의 비를, 통신에서는 전송선의 불연속점에서 투과파와 입사파의 진폭 비율을 의미한다. 양자역학에서는 입자가 퍼텐셜 장벽을 통과할 확률을 나타내며, 화학에서는 반응의 퍼텐셜 장벽을 극복하는 정도를 의미한다. 각 경우 투과 계수는 반사 계수와 함께 에너지 보존 법칙을 따르며, 굴절률, 임피던스, 또는 확률 흐름 밀도와 관련하여 정의된다.

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투과계수
일반 정보
정의투과 계수 (Transmission coefficient)는 입자가 퍼텐셜 장벽을 투과할 확률을 나타내는 양자역학적 개념이다.
기호T
관련 개념퍼텐셜 장벽
양자 터널링
응용 분야
물리학핵물리학 (핵반응)
고체물리학 (전자 수송)
화학화학 반응 속도론 (반응 속도 상수)
계산
공식투과 계수는 입사하는 파동의 진폭과 투과하는 파동의 진폭의 비의 제곱으로 계산된다.
변수E: 입자의 에너지
V: 퍼텐셜 장벽의 높이
m: 입자의 질량
ħ: 디랙 상수
추가 정보
참고 문헌Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Pearson Prentice Hall. pp. 73–78. ISBN 0-13-111892-7.

2. 광학에서의 투과 계수

광학에서 투과계수는 전자기파가 어떤 매질의 표면이나 광학 소자를 통과하는 정도를 가리킨다. 입사파와 투과파 간의 진폭이나 세기(광도)의 비를 이용해 계산한다.[1]

투과는 물질이 빛을 통과시키는 성질로, 입사광의 일부 또는 전부가 흡수되지 않고 통과하는 것을 의미한다. 물질에 의해 빛의 일부가 흡수되면, 투과된 빛은 투과되고 흡수되지 않은 빛의 파장 조합이 된다. 예를 들어, 파란색 빛 필터는 빨간색과 녹색 파장을 흡수하기 때문에 파란색으로 보인다. 흰색 빛이 필터를 통과하면, 투과된 빛 또한 빨간색과 녹색 파장의 흡수로 인해 파란색으로 보인다.

투과 계수는 전자기파(빛)가 표면 또는 광학 소자를 얼마나 통과하는지 측정하는 지표이다. 파동의 진폭 또는 세기에 대해 계산할 수 있으며, 총 전력에 대한 투과 계수는 일반적으로 세기에 대한 계수와 동일하다.

하위 섹션에서는 투과 계수의 계산 방법, 반사 계수, 에너지 보존 법칙과의 관계를 다룬다.

2. 1. 투과 계수의 계산

전자기파가 어떤 매질의 표면이나 광학 소자를 통과하는 정도를 나타내는 투과계수는 입사파(入射坡)와 투과파(透過波) 간의 진폭이나 세기(광도)의 비를 이용해 계산한다.

전자기파의 단위면적당 세기, 즉 광도(intensity)는 다음과 같다.

:I=\frac{1}{2} \epsilon vE_0^2 \qquad \,E_0는 전자기파에서 전기장의 진폭.

유전율이 \, \epsilon_1인 매질에서 \, \epsilon_2인 매질로 전자기파가 진행할 때, 입사광과 투과광의 광도와 속도를 각각 \, I_1과 \, I_2, \, v_1과 \, v_2라고 하면, 투과계수는 다음과 같이 정의된다.

:T \equiv \frac{I_T}{I_I} = \frac{\epsilon_2 v_2}{\epsilon_1 v_1}\left(\frac{E_{0_T}}{E_{0_I}}\right)^2 = \frac{4n_{1} n_{2}}{(n_{1} + n_{2})^2}.

여기에서 \, n_{1}과 \, n_{2}는 두 매질의 굴절률을 가리킨다.

2. 2. 반사 계수

매질이나 광학 소자의 표면에서 전자기파가 반사되는 정도를 나타내는 지표이다. 반사 계수는 다음과 같이 정의된다.[1]

:R \equiv \frac{I_R}{I_I} = \left(\frac{E_{0_R}}{E_{0_I}}\right)^2 = \frac{(n_{1} - n_{2})^2}{(n_{1} + n_{2})^2}.

여기에서 \, n_{1}과 \, n_{2}는 두 매질의 굴절률을 가리킨다.[1]

에너지 보존 법칙에 따라 \, T+R=1이다.[1]

2. 3. 에너지 보존 법칙

에너지 보존 법칙에 따라 투과 계수와 반사계수의 합은 1이다.

3. 통신에서의 투과 계수

통신에서 '''투과 계수'''는 전송선의 불연속점에서 복소 투과파의 진폭과 입사파의 진폭의 비율을 말한다.[1]

임피던스가 Z_\mathrm A에서 Z_\mathrm B로 바뀌는 전송선을 통과하는 파동을 생각할 때, 파동이 임피던스 단계를 통과하면서 일부는 소스로 다시 반사된다.

통신 시스템에서 선로, 회선, 채널, 트렁크 등이 지정된 성능 기준을 충족할 확률을 해당 부분의 "투과 계수"라고도 한다.[1] 투과 계수 값은 이들의 품질과 반비례한다.

3. 1. 반사 계수와의 관계

임피던스가 Z_\mathrm A에서 Z_\mathrm B로 바뀌는 전송선에서 파동이 진행될 때, 파동의 일부 \Gamma 는 다시 소스로 반사된다. 전송선의 전압은 항상 해당 지점에서 진행파와 반사파의 합이므로, 입사파의 진폭이 1이고 반사파가 \Gamma이면, 진행파의 진폭은 두 파동의 합, 즉 (1 + \Gamma) 가 된다.[1]

\Gamma 값은 불연속점에 대한 입사 전력이 반사파와 투과파 전력의 합과 같다는 점을 고려하여 결정된다.

\Gamma에 대한 이차 방정식을 풀면 반사 계수는 다음과 같다.

: {\Gamma = }

그리고 투과 계수는 다음과 같이 주어진다.

: } .

4. 양자역학에서의 투과 계수

양자역학에서 투과 계수와 관련 반사 계수는 장벽에 입사하는 파동의 거동을 설명하는 데 사용된다.[2] 투과 계수는 입사파에 대한 투과파의 확률 흐름을 나타내며, 주로 입자가 장벽을 터널링할 확률을 설명하는 데 사용된다. 투과 계수와 반사 계수의 합은 확률 보존에 의해 \, T+R=1이다.

샘플 계산은 ''사각 퍼텐셜 장벽''을 참조.

4. 1. 투과 계수의 정의

비상대론적 non-relativistic영어 양자역학에서 투과계수(transmission coefficient)는 경계면에 파가 입사되었을 때 거동을 묘사할 때 쓰인다. 투과계수는 종종 경계를 터널링하는 확률을 나타내는 데 사용된다.

투과계수는 입사와 투과 확률 흐름 밀도 j를 사용하여 다음과 같이 정의한다.[2]

:T = \frac



여기서 j_{incident}는 경계층에 입사하는 확률이고 j_{transmitted}는 경계층을 투과하는 확률이다.

4. 2. 반사 계수의 정의

비상대론적 양자역학에서 반사 계수는 장벽에 파동이 입사할 때의 행동을 설명하는 데 사용된다.[2] 반사 계수 ''R''은 입사 확률 흐름 밀도와 반사 확률 흐름 밀도를 사용하여 다음과 같이 정의된다.

:R=\frac



여기서 j_{incident}는 경계층을 향해 입사하는 확률이고, j_{refleced}는 경계층에서 반사되는 확률이다.

4. 3. 확률 보존

양자역학에서 투과 계수와 반사 계수는 경계면에 파동이 입사될 때 그 거동을 묘사하는 데 사용된다. 투과 계수는 종종 입자가 장벽을 터널링할 확률을 나타내는 데 사용된다.

투과 계수는 입사 및 투과 확률 흐름 밀도(transmitted probability current density영어) j를 사용하여 다음과 같이 정의된다.

:T = \frac



여기서 j_{incident}는 경계층에 입사하는 확률이고, j_{transmitted}는 경계층을 투과하는 확률이다.

반사 계수 R은 다음과 같이 정의된다.

:R=\frac



확률 보존 법칙에 따라, 두 계수의 합은 \, T+R=1이다.

4. 4. WKB 근사법에 의한 투과 계수 계산

WKB 근사법을 사용하여 투과 계수를 근사적으로 계산할 수 있다. 투과 계수 T는 다음과 같이 주어진다.[2]

:T = \frac{e^{-2\int_{x_1}^{x_2} dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}}{ \left( 1 + \frac{1}{4} e^{-2\int_{x_1}^{x_2} dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}} \right)^2}

여기서 x_1, x_2는 전위 장벽의 두 고전적인 회귀점이다. 플랑크 상수보다 매우 큰 매개변수에 대해 고전적 한계 (\hbar \rightarrow 0)를 취하면, 투과 계수는 0으로 수렴한다.

전위 장벽이 얇아 투과 계수가 1보다 매우 작은 경우에는 위 식을 다음과 같이 근사할 수 있다.[2]

:T \approx 16 \frac{E}{U_0} (1-\frac{E}{U_0}) e^{-2 L \sqrt{m (U_0-E)}}

여기서 L = x_2 - x_1 은 전위 장벽의 두께이다.

5. 화학에서의 투과 계수

화학에서 투과 계수는 화학 반응이 퍼텐셜 장벽을 넘어 생성물로 변환되는 정도를 나타내는 지표이다. 특히 전이상태 이론에서 특정 "투과 계수"가 나타나는데, 이는 단분자 반응에서 종종 1로 간주된다. 이 투과 계수는 아이링 방정식에 나타난다.[1]

참조

[1] 웹사이트 Federal Standard 1037C http://www.its.bldrd[...] United States Department of Commerce 2014-01-01
[2] 서적 Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) Prentice Hall


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