WKB 근사

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1. 개요
2. 역사
3. 방법론
4. 응용 분야
5. 한계점 및 추가 논의
참조

1. 개요

WKB 근사는 여러 물리학자와 수학자들에 의해 개발된, 슈뢰딩거 방정식과 같은 미분 방정식의 해를 근사하는 방법이다. 1926년 양자역학 문제에 적용되면서 WKB 근사라는 이름이 붙여졌으며, 1800년대 초부터 천체역학, 열전도, 유체 운동 등 다양한 분야에 적용되어 왔다. WKB 근사는 최고차 미분항에 작은 매개변수가 곱해진 미분 방정식의 해를 구하는 데 사용되며, 점근 급수 전개를 통해 근사해를 얻는다.

1차원 슈뢰딩거 방정식에 대한 WKB 근사는 에너지와 퍼텐셜의 관계에 따라 고전적인 경우와 터널 효과를 설명하며, 연결 공식을 통해 해를 연결한다. WKB 근사는 속박 상태 및 양자 터널링과 같은 다양한 물리 현상을 설명하는 데 응용되며, 특히 핵융합 발전 연구와 같이 양자 터널링 효과가 중요한 분야에서 활용된다.

WKB 근사는 퍼텐셜이 급격하게 변하는 경우 정확도가 떨어지며, 발산 급수이므로 최소 오차는 마지막 포함된 항의 크기와 같다. 또한, 양자 간섭 효과를 완전히 설명하지 못하는 한계가 있다.

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WKB 근사
개요
이름	WKB 근사
다른 이름	웨ンツェル-크라머르-브릴루앙 방법 (ウェンツェル-クラマース-ブリルアン法, Wenzeru-kuramāsu-buriruan hō) 웨ン첼-크라머르-브릴루앙-제프리스 방법 (Wentzel-Kramers-Brillouin-Jeffreys method) LIouville-Green 근사
분야	수학, 물리학
상세 내용
목적	선형 미분 방정식에 대한 해를 구하는 방법
주요 적용 분야	파동의 진폭과 위상이 천천히 변하는 영역
방법론	지수 함수를 사용한 점근적 근사
핵심 아이디어	파동 함수를 진폭과 위상으로 분리 위상이 빠르게 변하는 경우, 파동 함수는 진폭과 유사한 형태로 근사 위상이 느리게 변하는 경우, 파동 함수는 지수 함수 형태로 근사
조건	퍼텐셜 변화가 파장보다 매우 느리게 변해야 함
관련 개념	슈뢰딩거 방정식 점근 급수
활용	양자역학 광학 지진학
주의사항	고전적 전향점 부근에서는 WKB 근사가 유효하지 않음 전향점에서 연결 공식을 사용하여 해를 연결해야 함
역사
개발자	웨ンツェル (Wentzel) 크라머르스 (Kramers) 브릴루앙 (Brillouin) 제프리스 (Jeffreys)
발표 시기	1926년경

2. 역사

1923년에 영국의 수학자 해럴드 제프리스가 이 근사법을 이차 미분 방정식에 대한 일반적인 근사법으로 도입하였다.^[28] 1925년 슈뢰딩거 방정식이 발표되자, 그 이듬해인 1926년에 독일의 그레고어 벤첼,^[29] 네덜란드의 헨드릭 안토니 크라머르스,^[30] 프랑스의 레옹 브릴루앵^[31]이 독자적으로 이에 대한 근사법을 발표하였다. 넷 다 사실상 같은 방법이었으나 이들은 서로의 업적을 처음에 알지 못했다. 이에 따라 보통 WKB 또는 JWKB 근사법으로 불린다.

이 방법은 1926년에 이 방법을 개발한 물리학자 그레고어 벤첼, 헨드릭 안토니 크라머스, 레옹 브릴루앵의 이름을 따서 명명되었다.^[1] 슈뢰딩거 방정식 자체는 1925년에 발표되었는데, 해럴드 제프리스는 1923년에 이미 슈뢰딩거 방정식을 포함하는 선형 2차 미분 방정식의 해를 근사하는 일반적인 방법을 개발했었다. 벤첼, 크라머스, 브릴루앙은 이 이전의 연구를 알지 못했던 것으로 보이며, 제프리스는 종종 공헌을 인정받지 못한다. 양자역학 초기 텍스트에는 WBK, BWK, WKBJ, JWKB 및 BWKJ를 포함하여 그들의 이니셜의 다양한 조합이 사용되었다.^[2]

본질적으로 동일한 방법은 이전에도 여러번 발표된 적이 있었다. 1817년 프란체스코 카를리니, 1837년 조제프 리우빌과 조지 그린, 1912년 레이leigh 경, 1915년 리하르트 간스 등이 발표하였다. 리우빌과 그린은 1837년에 이 방법을 창시했다고 할 수 있으며, 이는 일반적으로 리우빌-그린 또는 LG 방법이라고도 불린다.^[3]^[4]

제프리스, 벤첼, 크라머스, 브릴루앙이 이 방법에 기여한 중요한 점은 터닝 포인트의 처리를 포함하여, 터닝 포인트의 양쪽에서 소멸 및 진동 해를 연결한 것이다. 예를 들어, 이는 위치 에너지 언덕으로 인해 슈뢰딩거 방정식에서 발생할 수 있다.

양자역학에서의 근사 해법으로 유명한 WKB법이지만, 역사적으로는 양자역학 성립 이전부터 폭넓은 분야에 응용되어 왔다.^[23] WKB법의 시초는 19세기 초 프란체스코 카를리니가 천체역학 문제에 적용한 것으로 여겨진다.^[24] 1817년 카를리니는 태양 주위를 운행하는 천체의 타원 궤도에 대해 섭동을 수행할 때, 오늘날의 고전적으로 도달 가능한 영역에서의 1차 WKB 근사를 수행했다. 그 후, 1837년 조제프 리우빌은 열전도 문제를 다루면서 슈뢰딩거 방정식 타입의 2계 선형 상미분 방정식에 WKB 근사를 적용했다.^[25] 또한 1837년 조지 그린은 완만하게 변화하는 좁은 폭과 얕은 깊이의 운하에서의 유체 운동을 다루면서, 시간과 공간을 변수로 하는 편미분 방정식에 WKB 근사를 적용했다.^[26]

3. 방법론

WKB 근사는 최고차 미분항에 작은 매개변수 ε이 곱해진 미분 방정식의 해를 근사하는 방법이다.

미분 방정식

$\varepsilon \frac{d^ny}{dx^n} + a(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + k(x)\frac{dy}{dx} + m(x)y= 0,$

에 대해, 다음과 같은 점근 급수 전개 형태의 해를 가정한다.

$y(x) \sim \exp\left[\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty} \delta^n S_n(x)\right]$

여기서 $\delta \to 0$ 일 때 극한을 취한다. $\delta$ 는 $\varepsilon$ 에 관한 방정식에 의해 결정된다.

위의 해를 미분 방정식에 대입하고 지수항을 소거하면, 전개에서 임의 개수의 항 $S_n(x)$ 을 구할 수 있다. WKB 근사는 다중 스케일 분석의 특수한 경우이다.^[5]^[6]^[7]

다음의 2계 동차 선형 미분 방정식을 예로 들어 WKB 근사 방법을 살펴보자.^[7]

$\epsilon^2 \frac{d^2 y}{dx^2} = Q(x) y,$

여기서 $Q(x) \neq 0$ 이다. 위와 같은 형태의 해를 대입하면,

$\epsilon^2\left[\frac{1}{\delta^2} \left(\sum_{n=0}^\infty \delta^nS_n'\right)^2 + \frac{1}{\delta} \sum_{n=0}^{\infty}\delta^n S_n''\right] = Q(x).$

를 얻는다.

$\epsilon$ 의 최고차항에서 위 식은 다음과 같이 근사할 수 있다.

$\frac{\epsilon^2}{\delta^2} S_0'^2 + \frac{2\epsilon^2}{\delta} S_0' S_1' + \frac{\epsilon^2}{\delta} S_0'' = Q(x).$

$\delta \to 0$ 의 극한에서, 지배 균형은

$\frac{\epsilon^2}{\delta^2} S_0'^2 \sim Q(x).$

이다. 따라서 $\delta$ 는 $\epsilon$ 에 비례한다. $\delta = \epsilon$ 으로 놓고 거듭제곱을 비교하면,

$\epsilon^0: \quad S_0'^2 = Q(x),$

를 얻고, 이는 아이코날 방정식으로 인식될 수 있다. 이 방정식의 해는

$S_0(x) = \pm \int_{x_0}^x} \sqrt{Q(x')}\,dx'.$

이다.

$\epsilon$ 의 1차항을 고려하면,

$\epsilon^1: \quad 2 S_0' S_1' + S_0'' = 0.$

를 얻고, 이 방정식의 해는

$S_1(x) = -\frac{1}{4} \ln Q(x) + k_1,$

이다. 여기서 $k_1$ 은 임의의 상수이다.

따라서 1차 WKB 근사는 다음과 같다.

$y(x) \approx c_1 Q^{-\frac{1}{4}}(x) \exp\left[\frac{1}{\epsilon} \int_{x_0}^x \sqrt{Q(t)} \, dt\right] + c_2 Q^{-\frac{1}{4}}(x) \exp\left[-\frac{1}{\epsilon} \int_{x_0}^x\sqrt{Q(t)} \, dt\right].$

더 높은 차수의 항은 $\delta$ 의 더 높은 거듭제곱에 대한 방정식을 통해 얻을 수 있다. ( $n \ge 2$ 에 대해)

$2S_0' S_n' + S''_{n-1} + \sum_{j=1}^{n-1}S'_j S'_{n-j} = 0$

3. 1. 1차원 슈뢰딩거 방정식에 대한 WKB 근사

1차원 공간에서 에너지

E

를 가지는 입자가 퍼텐셜

V(x)

의 영향을 받을 때, 이 입자의 파동 함수

\Psi(x)

는 다음 시간 무관 슈뢰딩거 방정식을 만족한다.^[1]

:

-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \Psi(x) + V(x) \Psi(x) = E \Psi(x)

.

여기서

\hbar

는 디랙 상수이다. 파동 함수

\Psi(x)

를 로그의 실수부와 허수부의 도함수로 표현하면 다음과 같다.

:

\Psi(x)=\exp\left(\int (A(x)+iB(x))\,dx\right)

.

이 식을 슈뢰딩거 방정식에 대입하고 정리하면, 다음과 같은 두 개의 방정식을 얻는다.

:

A'(x) + A(x)^2 - B(x)^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)

:

B'(x) + 2 A(x) B(x) = 0

.

이 연립 미분 방정식을 풀기 위해 반고전 근사법(semiclassical approximation^영어)을 사용한다. 우선, 파동 함수의 성분

A(x)

와

B(x)

를 디랙 상수

\hbar

에 대한 테일러 급수로 전개한다.

:

A(x)=\sum_{n=0}^\infty \hbar^{n-1} A_n(x)

:

B(x)=\sum_{n=0}^\infty \hbar^{n-1} B_n(x)

.

디랙 상수는 매우 작으므로, 급수에서 가장 낮은 차수의 항부터 고려한다.

:

A_0(x)^2-B_0(x)^2=2m\left( V(x) - E \right)

:

A_0(x)B_0(x)=0

.

두 번째 방정식에서

A_0=0

또는

B_0=0

이다. 첫 번째 방정식과

V(x)

와

E

의 크기를 비교하면,

$V(x) 이면 (고전적인 경우) A_0=0, B_0\ne0$
$V(x)>E$ 이면 ( 터널링이 일어나는 경우) $A_0\ne0$ , $B_0=0$

이다.

그 다음 차수의 항은 다음과 같다.

:

A_0'(x)+2A_0(x)A_1(x)-2B_0(x)B_1(x)=0

:

B_0'(x)+2A_0(x)B_1(x)+2A_1(x)B_0(x)=0

.

A_0=0

이면 첫 번째 식에 의해

B_1=0

이고,

B_0=0

이면 두 번째 식에 의해 역시

B_1=0

이다.

3. 2. 고전적인 경우 (E > V(x))

이 경우는 총 에너지

E

가 위치 에너지

V(x)

보다 커서, 입자가 고전적으로 존재할 수 있는 영역이다. 파동 함수의 진폭은 크게 변하지 않지만, 위상은 많이 변하는 형태를 보인다. 파동 함수

\Psi(x)

는 다음과 같이 근사할 수 있다.^[9]^[10]

:

\Psi(x)\approx \frac{C_+\exp\left(i \int \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)} dx\right)+C_-\exp\left(-i \int \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)} dx\right)}{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)}}

여기서

C_+

와

C_-

는 임의의 적분 상수이다. 이에 따라, 고전적인 영역에서는 파동 함수는 대략 사인파 모양을 띈다.

E>V(x)

인 영역에서 지수 내의 피적분 함수는 허수이며, 근사 파동 함수는 진동한다. 이때 파동함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\Psi(x') \approx C \frac{\cos{(\frac 1 \hbar \int |p(x)|\,dx} + \alpha)  }{\sqrt{|p(x)| }} + D \frac{ \sin{(- \frac 1 \hbar \int |p(x)|\,dx} +\alpha)}{\sqrt

3. 3. 터널 효과 (E < V(x))

위치 에너지가 총 에너지보다 큰 영역에서는 입자가 고전적으로 존재할 수 없다. 이 영역은 터널 효과에 해당하며, 파동 함수는 다음과 같이 근사할 수 있다.:

\Psi(x)\approx \frac{ D_{+}\exp\left(\int\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}\,dx\right) + D_{-} \exp\left(-\int\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}\,dx\right)}{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}

여기서 D₊와 D_-는 임의의 적분 상수이다. 이 식에서 볼 수 있듯이, 터널링 영역에서 파동 함수는 지수 함수 형태를 띤다.

고전적으로 입자가 운동 불가능한 영역(E < V(x))에서는 국소 운동량이 순허수가 되며, 다음과 같이 정의한다.

:

\tilde{p}(x)= \sqrt{2m(V(x)-E)} \quad (p(x)=i \tilde{p}(x))

이때 파동 함수는 다음과 같이 표현된다.^[10]^[11]^[12]

:

\psi(x)=\frac{C'_1}{\sqrt{\tilde{p}(x)}} e^{+\frac{1}{\hbar} \int \tilde{p}(x)dx}+\frac{C'_2}{\sqrt{\tilde{p}(x)}} e^{-\frac{1}{\hbar} \int \tilde{p}(x)dx}

이는 터널 효과에 의해 포텐셜 장벽을 넘어 고전적으로 도달 불가능한 영역으로 스며드는 파동 함수를 나타낸다.

3. 4. 연결 공식 (Connection formula)

고전적인 경우와 터널 효과인 경우의 해는

V\approx E

가 되는 점 근처에서 발산한다. 따라서 이런 점 근처에는 '''연결 공식'''(connection formula^영어)을 사용하여 두 해를 (전체 파동 함수가 연속 미분 가능하게끔) 서로 맞추어야 한다.^[13]

고전적인 영역과 터널링 영역이

x_0

에서 만난다고 할 때, 즉,

V(x_0)=E

이라면,

x_0

근처에서 퍼텐셜

V(x)

를

V(x)\approx V'(x_0)(x-x_0)+E

와 같이 근사할 수 있다. 이때 풀어야 할 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

:

\frac{\hbar^2}{2m}\Psi''=V'(x_0)\Psi(x)(x-x_0)

.

이는 에어리 함수를 사용하여 풀 수 있으며, 일반적인 해는 다음과 같다.

:

\Psi(x)=aAi(\sqrt[3]{2mV'(x_0)/\hbar^2}x)+bBi(\sqrt[3]{2mV'(x_0)/\hbar^2}x)

.

여기서

a

와

b

는 임의의 상수이다.

x\gg1

일 때, 에어리 함수는 다음을 만족한다.

:

Ai(x)\approx\frac{\exp(-\frac23x^{3/2})}{2\sqrt{\pi}x^{1/4}}

(분모에 2가 있는 것에 주의)

:

Bi(x)\approx\frac{\exp(\frac23x^{3/2})}{\sqrt{\pi}x^{1/4}}

:

Ai(-x)\approx\frac{\sin(\frac23x^{3/2}+\pi/4)}{\sqrt{\pi}x^{1/4}}

:

Bi(-x)\approx\frac{\cos(\frac23x^{3/2}+\pi/4)}{\sqrt{\pi}x^{1/4}}

.

이를 고전적 영역의 해와 터널링 영역의 해와 비교하면 계수 사이의 관계를 얻을 수 있는데, 이를 '''연결 공식'''이라고 한다. 예를 들어,

x 은 고전적인 영역이고, x>x_0 은 터널링 영역이라고 하면,

:

D_+-2iD_-=2C_+\exp(-i\pi/4)

:

D_++2iD_-=2C_-\exp(i\pi/4)

이다.

x>x_0

이 고전적이고

x 이 터널링인 경우에도 유사한 공식을 유도할 수 있다.

^[14]

두 경우로부터 고전적 반전점

x=a

에서 연결 공식은 다음과 같이 얻어진다.^[11]

:

\frac{N}{\sqrt

} \sin{\left(\frac 1 \hbar \int_{x}^{a} |p(x)| dx - \frac \pi 4\right)} \Longrightarrow - \frac{N}{\sqrt

}\exp{\left(\frac 1 \hbar \int_{a}^{x} |p(x)| dx \right)}

:

\frac{N'}{\sqrt

} \cos{\left(\frac 1 \hbar \int_{x}^{a} |p(x)| dx - \frac \pi 4\right)} \Longleftarrow \frac{N'}{2\sqrt

}\exp{\left(-\frac 1 \hbar \int_{a}^{x} |p(x)| dx \right)}

3. 5. 일반적인 경우 (다차원)

n^영어차원 리만 다양체

M

위에서 퍼텐셜

V\colon M\to\mathbb R

속에서 움직이는 입자를 가정한다. 이 경우, 파동 함수에 대해 다음과 같은 가설 풀이를 사용할 수 있다.

:

\psi(x)=\exp(iS(x)/\hbar)\sum_{k=0}^\infty a_k(x)\hbar^k

여기서 각 항의 단위는 다음과 같다.

$S(x)$ 는 작용의 단위를 갖는다.
$a_k(x)$ 는 [길이]^−''n''/2[작용]^−k의 단위를 갖는다.

이를 슈뢰딩거 방정식

:

0=\left(-\hbar^2\nabla^2+2m(V(x)-E)\right)\psi

에 대입하여

\hbar

의 각 계수별로 비교하면, 다음과 같은 일련의 편미분 방정식을 얻는다.^[27]

:

\nabla^\mu S(x)\nabla_\mu S(x)=2m\left(E-V(x)\right)

:

\left(\left(\nabla^2S(x)\right)+2(\partial^\mu S)\partial_\mu\right)a_0(x)=0

:

\left(\left(\nabla^2S(x)\right)+2(\partial^\mu S)\partial_\mu\right)a_k(x)=i\nabla^2a_{k-1}(x)

고전적 영역에서는

S

는 실수이며, 터널 영역에서는

S

는 허수가 된다.

처음 두 편미분 방정식은 기하학적으로 해석할 수 있다. 우선, 심플렉틱 다양체

T^*M

의 라그랑주 부분 다양체를 다음과 같이 정의한다.

:

L=\{(x,p)\colon x\in M,\;p=\partial_\mu S(x)\in T_x^*M\}\subset T^*M

이 경우, 다음과 같은 자연스러운 사영 사상이 존재하며, 이는 미분 동형을 이룬다.

:

\pi\colon L\to M

:

\pi\colon (x,p)\mapsto x

처음 두 WKB 방정식은 다음과 같이 해석할 수 있다.^[27]

$S$ 에 대한 방정식은 해밀턴-야코비 방정식이며, 이는 해밀토니언을 $L$ 에 국한하였을 경우 상수 함수임을 뜻한다.
: $H|_L=E$
$a_0$ 에 대한 방정식 $\nabla^\mu(a^2\partial_\mu S)=0$ 은 수송 방정식(transport equation^영어)이며, 이는 $L$ 위에 정의된 밀도 $\pi^*\left(a_0^2(x)\sqrt{\det g(x)} dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n\right)$ 가 해밀토니언 벡터장 $(X_H)^I=(\omega^{-1})^{IJ}\partial_JH$ 에 대하여 불변인 것을 뜻한다. (해밀턴-야코비 방정식에 의하여, 해밀토니언 벡터장은 항상 $L$ 의 접벡터이다.) 여기서 $\mathcal L$ 은 밀도의 리 미분이며, $\pi^*$ 는 $\pi$ 에 대한 당김이다.
: $\mathcal L_{X_H}\pi^*\left(a_0^2(x)\sqrt{\det g(x)}dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n\right)=0$

처음 두 WKB 방정식은 기하학적 양자화에서, 라그랑주 부분 다양체 및 그 위에 주어진 ½-밀도로서 주어진 고전적 상태가 만족시켜야 하는 조건을 나타낸다. 그러나 나머지 WKB 방정식들은 이와 같이 간단한 기하학적 해석을 부여하기 힘들다.

슈뢰딩거 방정식에 대한 전역(근사) 해를 구성하려면, 파동 함수가 제곱 적분 가능해야 하므로, 고전적으로 금지된 두 영역에서 지수적으로 감쇠하는 해만 취해야 한다. 이 해는 고전적으로 허용된 영역을 통해 회전점을 통해 적절하게 "연결"되어야 한다. 대부분의 에너지 값에 대해 이 매칭 절차는 작동하지 않는다.

+\infty

근처의 해를 고전적으로 허용된 영역에 연결하여 얻은 함수는

-\infty

근처의 해를 고전적으로 허용된 영역에 연결하여 얻은 함수와 일치하지 않는다. 두 함수가 일치해야 한다는 요구 사항은 에너지에 대한 조건을 부과하며, 이는 정확한 양자 에너지 준위에 대한 근사값을 제공한다.

파동 함수의 계수는 그림과 같이 간단한 문제에 대해 계산할 수 있다. 잠재력이 x에 따라 감소하는 첫 번째 회전점을

x=x_1

에서, 잠재력이 x에 따라 증가하는 두 번째 회전점을

x=x_2

에서 발생한다고 가정한다. 파동 함수가 다음과 같은 형태일 것으로 예상되므로, 에어리 함수를 사용하여 다른 영역을 연결하여 계수를 계산할 수 있다.

:

\begin{align}\Psi_{V>E} (x) \approx A \frac{ e^{\frac 2 3 u^\frac{3}{2}}}{\sqrt[4]{u}} + B \frac{ e^{-\frac 2 3 u^\frac{3}{2}} }{\sqrt[4]{u}} \\\Psi_{E>V}(x) \approx C \frac{\cos{(\frac 2 3 u^\frac{3}{2} - \alpha )  } }{\sqrt[4]{u} } + D \frac{ \sin{(\frac 2 3 u^\frac{3}{2} - \alpha)}}{\sqrt[4]{u} }\\\end{align}

4. 응용 분야

WKB 근사는 양자역학의 다양한 문제에 적용될 수 있다. 예를 들어, 다양한 퍼텐셜을 갖는 슈뢰딩거 방정식에 WKB 방법을 적용하고, 섭동 방법 및 경로 적분과 비교하는 것은 뮐러-키르스텐(Müller-Kirsten)의 연구에서 다루어진다.^[18]

WKB 근사는 퍼텐셜이 부드럽게 변하는 경우에만 적용되는 것이 일반적이지만,^[11] 단단한 벽과 같이 퍼텐셜이 무한대가 되는 경우에도 파동 함수를 근사하는 데 사용될 수 있다. 그러나 단단한 벽은 매우 불연속적인 퍼텐셜을 가지므로 연결 조건을 사용할 수 없으며, 결과가 달라질 수 있다는 점에 유의해야 한다.^[10]

WKB 근사를 통해 얻은 파동 함수를 이용하면 확률 밀도를 계산할 수 있다. 고전적으로 금지된 영역에서는 양자 입자가 발견될 확률이 낮은 반면, 고전적으로 허용된 영역에서는 양자 입자가 주어진 간격에서 발견될 확률은 대략 '고전 입자가 운동의 한 주기 동안 해당 간격에서 보내는 시간의 비율'과 같다.^[17] 고전 입자의 속도는 변환점에서 0으로 수렴하기 때문에 변환점 근처에서 더 많은 시간을 보내며, 이는 파동 함수와 확률 밀도에서 나타나는 피크(peak) 현상을 설명한다.

WKB 근사는 다음과 같은 다양한 양자역학적 문제에 적용될 수 있다.

속박 상태 (Bound states)
양자 산란 (Quantum scattering)
양자 터널링 (Quantum tunneling)

4. 1. 속박 상태 (Bound states)

U_1 < 0

, 즉 포텐셜이 감소하는 조건에서

x=x_1

에서 파동 함수가 0으로 수렴하려면 지수 함수가 음의 x 값에 대해 감소해야 한다. 에어리 함수를 연결 공식으로 사용하면 다음을 얻는다.^[14]

에어리 함수는 음의 x에 대해 증가하는 지수적 거동을 보이므로 사용할 수 없다. WKB 해와 비교하여

\pm \infty

에서의 거동을 일치시키면,

A=-D=N

,

B=C=0

,

\alpha = \frac \pi 4

임을 알 수 있다.

따라서 어떤 정규화 상수

N

에 대해, 포텐셜이 증가하는 경우 (x에 따라) 파동 함수는 다음과 같이 주어진다.^[10]

\Psi_{\text{WKB}}(x) = \begin{cases}

\frac{N}{\sqrt

}\exp{(-\frac 1 \hbar \int_{x}^{x_1} |p(x)| dx )} & \text{if } x < x_1\\\frac{N}{\sqrt

} \sin{(\frac 1 \hbar \int_{x}^{x_1} |p(x)| dx - \frac \pi 4)} & \text{if } x_2 > x > x_1 \\\end{cases}

U_1 > 0

, 즉 증가하는 퍼텐셜 조건 또는

x=x_2

의 경우, 파동 함수가 0으로 수렴하기 위해 지수 함수가 x의 양의 값에 대해 감소해야 한다. 에어리 함수를 연결 공식으로 사용하면 다음과 같다.^[14]

Bairy 함수는 양의 x에 대해 증가하는 지수 동작을 제공하므로 사용할 수 없다. WKB 해와 비교하고

\pm \infty

에서 동작을 일치시키면,

2B=C=N'

,

D=A=0

,

\alpha = \frac \pi 4

이다.

따라서, 어떤 정규화 상수를

N'

로 놓고, 증가하는 퍼텐셜(x에 따라)에 대한 파동 함수는 다음과 같다.^[10]

\Psi_{\text{WKB}}(x) = \begin{cases}\frac{N'}{\sqrt

} \cos{(\frac 1 \hbar \int_{x}^{x_2} |p(x)| dx - \frac \pi 4)} & \text{if } x_1 < x < x_2 \\\frac{N'}{2\sqrt

}\exp{(-\frac 1 \hbar \int_{x_2}^{x} |p(x)| dx )} & \text{if } x > x_2\\\end{cases}

영역

x_1 에 대한 두 해를 일치시키려면, 각도의 차이가 \pi(n+1/2) 가 되어야 한다. \frac \pi 2 위상차는 파동 함수에 대해 코사인을 사인으로 변경하고, 함수를 부정함으로써 N= (-1)^n N' 이 되도록 n \pi 의 차이를 만든다. 따라서

\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{2m \left( E-V(x)\right)}\,dx = (n+1/2)\pi \hbar ,

여기서 ''n''은 음이 아닌 정수이다. 이 조건은 보어-조머펠트 양자화 조건의 한 형태이며, 마슬로프 보정은 1/2이다.^[15]

다양한 영역에서 근사를 연결하면 실제 고유 함수에 대한 좋은 근사를 얻는다. 특히, 마슬로프 보정된 보어-조머펠트 에너지는 슈뢰딩거 연산자의 실제 고유값에 대한 좋은 근사값이다.^[16] 에너지의 오차는 전형적인 양자 에너지 준위 간격에 비해 작다.
1개의 단단한 벽시스템의 퍼텐셜은 다음과 같다.

V(x) = \begin{cases}V(x) & \text{if }  x \geq x_1\\\infty & \text{if } x < x_1 \\\end{cases}

여기서

x_1 < x_2

이다.

고전적 반전점

x_1

과

x_2

사이의 묶인 영역에서 파동 함수를 구하기 위해,

x_1

과

x_2

에서 멀리 떨어진 근사를 고려하면 두 가지 해를 얻는다.

\Psi_{\text{WKB}}(x) =\frac{A}{\sqrt

}\sin{\left(\frac 1 \hbar \int_{x}^{x_1} |p(x)| dx +\alpha \right)}

\Psi_{\text{WKB}}(x) =\frac{B}{\sqrt

}\cos{\left(\frac 1 \hbar \int_{x}^{x_2} |p(x)| dx +\beta \right)}

파동 함수는

x_1

근처에서 사라져야 하므로,

\alpha = 0

이다.

x_2

근처의 에어리 함수에 대해서는

\beta = - \frac \pi 4

가 필요하다. 함수 내의 각도는

\pi(n+1/2)

의 위상차를 가져야 하며,

\frac \pi 2

위상차는 사인 함수를 코사인 함수로 변환하고,

n \pi

는

B= (-1)^n A

를 허용한다.

\frac 1 \hbar \int_{x_1}^{x_2} |p(x)| dx = \pi \left(n + \frac 3 4\right)

여기서 ''n''은 음이 아닌 정수이다.^[10]

n = 1,2,3,\cdots

에 대해 다음을 얻는다.

\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{2m \left( E-V(x)\right)}\,dx = \left(n-\frac 1 4\right)\pi \hbar

3차원 구형 대칭의 경우, 위치 x가 방사형 거리 r로 대체된다는 점을 제외하면 이 문제와 유사하므로 동일한 조건이 적용된다.^[19]
2개의 단단한 벽시스템의 퍼텐셜은 다음과 같다.

V(x) = \begin{cases}\infty & \text{if } x > x_2 \\V(x) & \text{if } x_2 \geq x \geq x_1\\\infty & \text{if } x < x_1 \\\end{cases}

여기서

x_1 < x_2

이다.

x_1

과

x_2

사이에서

E \geq V(x)

일 때, 이 두 지점은 고전적 반전점이며,

x_1

과

x_2

에서 멀리 떨어진 근사를 고려하면 두 개의 해를 얻는다.

\Psi_{\text{WKB}}(x) =\frac{A}{\sqrt

}\sin{\left(\frac 1 \hbar \int_{x}^{x_1} |p(x)| dx \right)}

\Psi_{\text{WKB}}(x) =\frac{B}{\sqrt

}\sin{\left(\frac 1 \hbar \int_{x}^{x_2} |p(x)| dx \right)}

파동 함수는

x_1

과

x_2

에서 사라져야 하므로, 위상 차이는

n \pi

만 고려하면 되며, 이로 인해

B= (-1)^n A

가 된다. 따라서 조건은 다음과 같다.

\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{2m \left( E-V(x)\right)}\,dx = n\pi \hbar

여기서

n = 1,2,3,\cdots

이다.^[10]
바운스 볼바운스 볼이 받는 포텐셜은 다음과 같다.

V(x) = \begin{cases}mgx & \text{if }  x \geq 0\\\infty & \text{if } x < 0 \\\end{cases}

위의 파동 함수 해는 대안적 포텐셜

V(x) = mg|x|

의 홀수 패리티 해만 고려하여 WKB 방법을 사용하여 풀 수 있다. 고전적 반전점은

x_1 = - {E \over mg}

및

x_2 = {E \over mg}

이다. WKB에서 얻은 양자화 조건을 적용하면

\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{2m \left( E-V(x)\right)}\,dx = (n_{\text{odd}}+1/2)\pi \hbar

n_{\text{odd}}=2n-1

(

n = 1,2,3,\cdots

)로 놓고,

V(x) = mg|x|

로

E

에 대해 풀면, 바운스 볼의 양자역학적 에너지를 얻는다.^[20]

E = {\left(3\left(n-\frac 1 4\right)\pi\right)^{\frac 2 3} \over 2}(mg^2\hbar^2)^{\frac 1 3}.

이 결과는 하나의 강체 벽의 속박 상태 방정식의 사용과도 일치한다.

4. 2. 양자 산란 (Quantum scattering)

WKB 근사를 사용하여 입사파, 반사파, 투과파를 고려하여 양자 산란 문제를 분석할 수 있다.

포텐셜이 다음과 같이 주어지는 경우를 생각해 보자.

V(x) = \begin{cases}0 & \text{if } x < x_1 \\V(x) & \text{if } x_2 \geq x \geq x_1\\0 & \text{if } x > x_2 \\\end{cases}

여기서

x_1 < x_2

이다.

이 경우 입사파에 대한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\psi(x) = \begin{cases}A \exp({ i p_0 x \over \hbar} ) + B \exp({- i p_0 x \over \hbar}) & \text{if } x < x_1 \\\frac{C}{\sqrt

}\exp{(-\frac 1 \hbar \int_{x_1}^{x} |p(x)| dx )} & \text{if } x_2 \geq x \geq x_1\\D \exp({ i p_0 x \over \hbar} ) & \text{if } x > x_2 \\\end{cases}

여기서

p(x) = \sqrt {2m( E - V(x))}

이고, 고전적으로 금지된 영역 (

x_2 \geq x \geq x_1

)의 파동 함수는 WKB 근사로 나타내지만, 증가하는 지수 함수는 무시한다. 이는 파동 함수가 높은 크기로 성장하지 않을 것으로 예상되는 넓은 포텐셜 장벽에 대해 적절한 가정이다.

파동 함수와 그 도함수의 연속성 조건을 적용하면, 투과 계수 T를 다음과 같이 얻을 수 있다.^[10]

T = \frac {|E|^2} {|A|^2} = \frac{4}{(1+{a_1^2}/{p_0^2} )} \frac{a_1}{a_2}\exp\left(-\frac 2 \hbar \int_{x_1}^{x_2} |p(x')| dx'\right)

여기서

a_1 = |p(x_1)|

이고

a_2 = |p(x_2)|

이다.

이 결과는

T \sim ~ e^{-2\gamma}

로 근사할 수 있으며, 여기서

\gamma = \int_{x_1}^{x_2} |p(x')| dx'

이다.^[10]

4. 3. 양자 터널링 (Quantum tunneling)

위치 에너지

V(x)

가 총 에너지

E

보다 큰 영역에서는 입자가 고전적으로 존재할 수 없지만, 터널 효과를 통해 존재할 수 있다. 이 경우 파동 함수

\Psi(x)

는 다음과 같이 근사할 수 있다.^[14]

:

\Psi(x)\approx \frac{ D_{+}\exp\left(\int\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}\,dx\right) + D_{-} \exp\left(-\int\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}\,dx\right)}{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}

여기서

D_+

와

D_-

는 적분 상수이다. 터널링 영역에서 파동 함수는 지수 함수 형태를 띤다.

어떤 시스템의 포텐셜이 다음과 같이 주어질 때,

V(x) = \begin{cases}0 & \text{if } x < x_1 \\V(x) & \text{if } x_2 \geq x \geq x_1\\0 & \text{if } x > x_2 \\\end{cases}

(

x_1 < x_2

), 입사파에 대한 해는 다음과 같다.

\psi(x) = \begin{cases}A \exp({ i p_0 x \over \hbar} ) + B \exp({- i p_0 x \over \hbar}) & \text{if } x < x_1 \\\frac{C}{\sqrt

}\exp{(-\frac 1 \hbar \int_{x_1}^{x} |p(x)| dx )} & \text{if } x_2 \geq x \geq x_1\\D \exp({ i p_0 x \over \hbar} ) & \text{if } x > x_2 \\\end{cases}

여기서 고전적으로 금지된 영역 (

x_2 \geq x \geq x_1

)의 파동 함수는 WKB 근사로, 증가하는 지수 함수는 무시한다.

투과 계수는 다음과 같이 주어진다.^[10]

:

T = \frac {|E|^2} {|A|^2} = \frac{4}{(1+{a_1^2}/{p_0^2} )} \frac{a_1}{a_2}\exp\left(-\frac 2 \hbar \int_{x_1}^{x_2} |p(x')| dx'\right)

여기서

p(x) = \sqrt {2m( E - V(x))}

,

a_1 = |p(x_1)|

,

a_2 = |p(x_2)|

이다. 이 결과는

T \sim ~ e^{-2\gamma}

로 나타낼 수 있으며, 여기서

\gamma = \int_{x_1}^{x_2} |p(x')| dx'

이다.

5. 한계점 및 추가 논의

WKB 근사는 일반적으로 발산 급수이며, 특정 항 이후에는 오차가 증가하기 시작한다. 따라서 WKB 방법으로 얻을 수 있는 최소 오차는 마지막으로 포함된 항의 크기와 같다.^[8]

방정식 $\epsilon^2 \frac{d^2 y}{dx^2} = Q(x) y$ (여기서 $Q(x)<0$ )에서, 마지막 항의 크기는 변환점 $x_{\ast}$ ( $Q(x_{\ast})=0$ )에 의해 결정된다. $n_{max}$ 는 $x_0$ 와 가장 가까운 변환점 사이의 진동 횟수로 해석할 수 있다. 만약 $\epsilon^{-1}Q(x)$ 가 천천히 변하는 함수라면, 즉 $\epsilon\left| \frac{dQ}{dx} \right| \ll Q^2$ 이라면, $n_{max}$ 는 커지고, 점근 급수의 최소 오차는 지수적으로 작아진다.

WKB 근사는 포텐셜의 변화가 파장에 비해 천천히 변한다는 가정, 즉 드 브로이 파장 $\lambda$ 에 걸쳐 운동량 $p(x)$ 의 변화율이 작다는 조건을 필요로 한다.^[10]^[11]^[12] 이는 파동 함수의 국소 드 브로이 파장이 서서히 변한다는 것을 의미한다.^[11]

플랑크 상수 $h$ (또는 $\hbar=h/2\pi$ )가 0으로 수렴하는 극한에서, 양자역학은 고전역학으로 전이된다. WKB 근사는 슈뢰딩거 방정식의 해를 $\exp{(\frac{i}{\hbar}S)}$ 형태로 가정하고, $S$ 를 $\hbar$ 의 섭동 급수로 전개하여 1차 항까지 취하는 근사 방법이므로, 반고전 근사 또는 준고전 근사라고도 불린다. 이 극한에서 $S$ 는 작용 적분의 의미를 갖는다. WKB 근사를 통해 고전역학적으로 입자가 도달 가능한 영역과 양자 터널링에 의해 존재 가능하게 되는 영역에서의 근사해를 얻을 수 있다. 하지만, 이 두 영역을 나누는 반전점에서는 두 영역의 해를 연결해야 하는 문제가 발생한다.

참조

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_[13] harvnb
_[14] 저널 Airy Functions Demystified — II https://doi.org/10.1[...] 2021-06-01
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_[18] 문서 Introduction to Quantum Mechanics: Schrödinger Equation and Path Integral World Scientific
_[19] 서적 Lectures on Quantum Mechanics http://dx.doi.org/10[...] Cambridge University Press 2015-09-10
_[20] 서적 Modern quantum mechanics Cambridge University Press 2021
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_[22] 문서
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_[25] 저널 Sur le développement des fonctions et séries
_[26] 저널 On the motion of waves in a variable canal of small depth and width https://ui.adsabs.ha[...]
_[27] 서적 Lectures on the geometry of quantization https://math.berkele[...] American Mathematical Society 1997
_[28] 저널 On certain approximate solutions of linear differential equations of the second order 1925
_[29] 저널 Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik
_[30] 저널 Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung
_[31] 저널 La mécanique ondulatoire de Schrödinger; une méthode générale de résolution par approximations successives https://archive.org/[...] 1926-07-05

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