파스칼 정리
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1. 개요
파스칼 정리는 원뿔 곡선에 내접하는 육각형의 변과 관련된 정리이다. 파스칼의 정리는 17세기 수학자 블레즈 파스칼에 의해 발견되었으며, 브레이큰리지-매클로린 정리, 브리앙숑의 정리, 케일리-바흐라흐 정리 등과 관련되어 있다. 파스칼 정리의 역도 성립하며, 퇴화된 경우와 뫼비우스의 일반화, Hexagrammum Mysticum 등 다양한 형태로 확장된다.
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파스칼 계산기는 블레즈 파스칼이 아버지의 업무를 돕기 위해 개발한 기계식 계산기로, 십진법과 9의 보수 방식을 사용하며 자리 올림 메커니즘을 갖춘 17세기 유일의 작동 가능한 계산기였다.
| 파스칼 정리 | |
|---|---|
| 개요 | |
 | |
| 유형 | 기하학 |
| 분야 | 사영 기하학 |
| 명명 | 블레즈 파스칼 |
| 관련 항목 | 파푸스의 정리 미켈 점 브리앙숑 정리 |
| 설명 | |
| 내용 | 원뿔 곡선에 내접하는 육각형의 마주보는 변의 연장선은 동일선상에 있다. |
2. 역사
2. 1. 파스칼의 정리 발견
2. 2. 브레이큰리지-매클로린 정리
18세기, 영국의 수학자 윌리엄 브레이큰리지와 콜린 매클로린은 파스칼 정리의 역을 증명했다.[2] 이를 '''브레이큰리지-매클로린 정리'''라 하며, 육각형의 세 쌍의 대변의 교점이 한 직선 위에 있으면, 그 육각형의 여섯 꼭짓점은 어떤 원뿔 곡선 위에 놓인다는 정리이다.[1][2] 이때 원뿔 곡선은 파푸스의 육각형 정리와 같이 퇴화될 수 있다.[2]
브레이큰리지-매클로린 정리는 브레이큰리지-맥클로린 작도에 적용될 수 있다.[2]
2. 3. 뫼비우스의 일반화
2. 4. 기타 발전
영국 수학자 윌리엄 브레이큰리지(Wiliam Braikenridge)와 콜린 매클로린의 이름을 따 브레이큰리지-매클로린 정리라고 불리는 파스칼 정리의 역도 성립한다.[8] 즉, AB와 DE의 연장선의 교점, BC와 EF의 연장선의 교점, CD와 FA의 연장선의 교점이 한 직선 위에 놓이는 육각형 ABCDEF의 꼭짓점들은 어떤 원뿔 곡선 위에 놓인다.[8] 파스칼의 정리의 쌍대적인 정리로 브리앙숑의 정리가 있으며, 특수한 경우로 파푸스의 육각형 정리가 있다.[8]파스칼의 정리는 케일리-바흐라흐 정리의 특수한 경우이다.
원뿔 곡선 위의 네 점 에 대해, 육각형의 대변의 교점 , 와, 대각선의 교점 와 의 접선의 교점을 포함한 네 점은 공선이다. 이는 극과 극선의 관계와 접촉 삼각형의 특성을 이용하여 증명할 수 있다.
3. 파스칼의 정리
3. 1. 정의
3. 2. 유클리드 평면에서의 변형
사영 평면은 파스칼 정리의 가장 자연스러운 설정이며, 이는 두 직선이 만나고 평행선에 대한 예외가 필요 없기 때문이다. 그러나 육각형의 반대편 변이 평행할 때 어떤 일이 일어나는지에 대한 올바른 해석과 함께 이 정리는 유클리드 평면에서도 유효하다.육각형의 반대편 변 중 정확히 한 쌍이 평행하면, 정리의 결론은 두 교차점으로 결정되는 "파스칼 선"이 육각형의 평행 변과 평행하다는 것이다. 반대편 변이 두 쌍 평행하면, 반대편 변의 세 쌍 모두 평행선을 형성하고 유클리드 평면에는 파스칼 선이 없다. 이 경우 확장된 유클리드 평면의 무한대 직선이 육각형의 파스칼 선이다.
3. 3. 증명
파스칼의 정리에는 다양한 증명이 존재한다. 원뿔 곡선이 원인 경우를 증명하고, 이를 사영 변환을 통해 일반적인 원뿔 곡선으로 확장할 수 있다. 파스칼은 이를 인지하고, 그의 첫 번째 보조 정리를 통해 원에 대한 정리를 설명했다. 두 번째 보조 정리는 한 평면에서 참인 명제가 다른 평면으로의 투영에도 참임을 보여준다.등각 공액점의 존재성을 이용해 증명할 수도 있다. 육각형의 마주보는 변의 연장선의 교점인 ''AB'' ∩ ''DE''}}, ''BC'' ∩ ''EF''}}, ''CD'' ∩ ''FA''}}가 공선임을 보이기 위해, 와 의 닮음을 이용한다. 닮은 삼각형을 겹치면 와 가 등각 공액점에 대응함을 알 수 있고, 이는 ∠''CYZ''}}를 의미하여 가 공선임을 보여준다.
교차비 보존을 이용한 증명도 가능하다. 사변형을 에서 선 로 투영하면 사변형을 얻고, 에서 선 로 투영하면 사변형을 얻는다. 이때 ''R''(''QB''; ''CY'')}}가 성립하고, 두 사변형의 점 중 하나가 겹치므로 다른 세 쌍의 점을 연결하는 선은 교차비 보존을 위해 일치해야 한다. 따라서 는 공선이다.
메넬라우스 정리를 반복적으로 사용하는 증명도 존재하며, 단델린 구를 발견한 단델린은 3차원 사영을 이용한 증명을 제시했다. 이 증명은 모든 원뿔 단면에 대해 원뿔 단면을 통과하는 일엽 쌍곡면을 찾을 수 있다는 속성을 이용한다.
케일리-바라흐 정리를 이용한 증명도 가능하다. 8개의 점을 지나는 3차 곡선은 9번째 점도 지난다는 정리를 이용하여, 육각형의 6개의 점과 파스칼 선 위의 2개의 점을 지나는 3차 곡선을 고려한다.
베주의 정리를 이용한 증명도 가능하다. 를 지나는 3차 다항식 와 를 지나는 3차 다항식 를 이용하여, ''f'' + ''λg''}}가 원뿔 곡선과 7개의 점을 공유하는 3차 곡선임을 보인다. 베주의 정리에 의해 3차 곡선과 원뿔 곡선은 최대 6개의 점을 공유하므로, 0}}은 원뿔 곡선과 직선의 합집합이 되고, 이 직선이 파스칼 선임을 확인할 수 있다.
4. 브리앙숑의 정리
브리앙숑의 정리는 파스칼 정리의 쌍대적인 정리이다.[1] 이 정리에 따르면, 원뿔 곡선에 외접하는 육각형에서 마주보는 꼭짓점을 잇는 세 대각선은 한 점에서 만난다.[8]
5. 브레이큰리지-매클로린 정리
영국 수학자 윌리엄 브레이큰리지와 콜린 매클로린의 이름을 따 '''브레이큰리지-매클로린 정리'''(Braikenridge-Maclaurin theorem)라고 불리는 파스칼 정리의 역도 성립한다.[1] 즉, 육각형의 세 쌍의 대변의 연장선이 만나는 세 점이 한 직선 위에 있다면, 육각형의 여섯 꼭짓점은 한 원뿔 곡선 위에 놓인다.[2]
브레이큰리지-매클로린 정리는 5개의 점이 원뿔 곡선을 결정한다는 사실을 바탕으로, 다섯 개의 점으로 정의된 원뿔 곡선의 작도에 응용될 수 있다. (브레이큰리지-매클로린 작도)[2]
6. 케일리-바흐라흐 정리
케일리-바흐라흐 정리는 파스칼 정리와 브리앙숑의 정리를 일반화한 정리이다.[1] 파스칼 정리는 8개의 점이 주어지면, 처음 8개의 점을 지나는 모든 3차 곡선이 아홉 번째 점도 지나도록 하는 고유한 아홉 번째 점이 존재한다는 케일리-바라흐 정리를 사용하여 간단하게 증명할 수 있다.[1] 특히, 2개의 일반적인 3차 곡선이 8개의 점에서 교차하면, 동일한 8개의 점을 지나는 다른 모든 3차 곡선은 처음 두 3차 곡선의 아홉 번째 교점을 만난다.[1]
7. 퇴화된 경우
파스칼 정리에는 5점, 4점, 3점의 퇴화된 경우가 있다. 퇴화된 경우, 이전에는 연결되었던 도형의 두 점이 형식적으로 일치하게 되며, 연결선은 합쳐진 점에서의 접선이 된다. 포물선과 쌍곡선에 대한 많은 흥미로운 도형을 파스칼 도형의 적절한 선을 무한대로 선택하여 얻을 수 있다.
8. 뫼비우스의 일반화
9. Hexagrammum Mysticum (신비로운 육각형)
여섯 개의 순서가 지정되지 않은 점이 원뿔 곡선 위에 주어지면, 60가지 방식으로 육각형으로 연결될 수 있으며, 이는 파스칼 정리의 60가지 다른 인스턴스와 60개의 다른 파스칼 선을 생성한다. 이 60개 선의 구성을 ''Hexagrammum Mysticum''이라고 한다.
토마스 커크먼이 1849년에 증명했듯이, 이 60개의 선은 각 점이 세 개의 선 위에 있고 각 선이 세 개의 점을 포함하도록 60개의 점과 연관될 수 있다. 이 방식으로 형성된 60개의 점은 이제 '''커크먼 점'''으로 알려져 있다. 파스칼 선은 또한 세 개씩 20개의 '''슈타이너 점'''을 통과한다. 슈타이너 점과 세 개의 커크먼 점으로 구성된 20개의 '''케일리 선'''이 있다. 슈타이너 점은 또한 네 개씩 15개의 '''플뤼커 선''' 위에 놓인다. 또한, 20개의 케일리 선은 네 개씩 '''샐몬 점'''으로 알려진 15개의 점을 통과한다.
10. 파푸스의 육각형 정리
영국 수학자 윌리엄 브레이큰리지와 콜린 매클로린의 이름을 따 명명된 브레이큰리지-매클로린 정리(Braikenridge-Maclaurin theorem)는 파스칼 정리의 역으로, 육각형 ABCDEF에서 AB와 DE의 연장선 교점, BC와 EF의 연장선 교점, CD와 FA의 연장선 교점이 한 직선 위에 있으면 여섯 꼭짓점이 어떤 원뿔 곡선 위에 놓인다는 정리이다. 파스칼 정리의 쌍대적인 정리로는 브리앙숑의 정리가 있으며, 특수한 경우로 파푸스의 육각형 정리가 있다.
11. 한국에서의 중요성
참조
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서적
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웹사이트
A Property of Pascal's Hexagon Pascal May Have Overlooked
http://www.cut-the-k[...]
2014-02-03
[8]
서적
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