픽 정리

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1. 개요
2. 공식
- 2.1. 예시
3. 증명
4. 오일러 지표와의 관계
5. 일반화
6. 고차원 확장
7. 관련 개념
8. 격자 정다각형
9. 활용
참조

1. 개요

픽의 정리는 격자점을 꼭짓점으로 하는 다각형의 면적을 다각형 내부와 경계에 있는 격자점의 개수를 이용하여 계산하는 공식이다. 픽의 정리는 A = i + b/2 - 1로 표현되며, 여기서 A는 면적, i는 내부 격자점의 개수, b는 경계 격자점의 개수이다. 이 정리는 오일러 지표, 귀납법 등을 통해 증명될 수 있으며, 구멍이 있는 다각형, 평면 선형 그래프 등으로 일반화가 가능하다. 3차원에서는 픽의 정리와 유사한 공식이 존재하지 않으며, 블리히펠트 정리, 가우스 원 문제 등과 관련이 있다. 픽의 정리를 사용하면 격자 정다각형은 정사각형 외에는 존재하지 않음을 알 수 있으며, 조합 기하학, 정수론, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야에서 활용된다.

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픽 정리
개요
이름	픽 정리
분야	기하학
설명	꼭짓점이 모두 격자점인 다각형의 넓이를 구하는 공식
공식
공식	' i + − 1}}'
변수 설명	': 다각형의 면적' ': 다각형 내부에 있는 격자점의 수' ': 다각형 경계 위에 있는 격자점의 수'
예시
픽 정리 예시
내부 격자점 수 (i)	9
경계 격자점 수 (b)	13
면적 (A)	'14.5 (A = i + b/2 - 1 = 9 + 13/2 - 1 = 14.5)'
역사
발견자	게오르크 알렉산더 픽
발표 년도	1899년

2. 공식

격자점을 꼭짓점으로 하는 다각형의 면적 ''A''는 다음과 같이 계산된다.

:''A'' = ''i'' + ''b''/2 - 1

(여기서 ''i''는 다각형 내부의 격자점 개수, ''b''는 다각형 둘레 위의 격자점 개수)

예시에서 ''i''=7 (빨간색), ''b''=8 (녹색)이며, 면적은 A = 7 + 8/2 - 1 = 10이다.

2. 1. 예시

3. 증명

픽의 정리는 여러 가지 방법으로 증명할 수 있다. 그 중 대표적인 방법들을 소개한다.

=== 오일러 지표를 이용한 증명 ===

오일러 지표를 이용하여 픽의 정리를 증명할 수 있다. 이 증명에는 두 가지 보조정리가 필요하다.^[2]

격자점을 꼭짓점으로 하는 삼각형 중에서 내부에 격자점이 없고(아이/i^영어 = 0) 꼭짓점에만 격자점 3개(비/b^영어 = 3)가 있는 삼각형(기본 삼각형)의 넓이는 항상 $\frac{1}{2}$ 이다.
격자점을 꼭짓점으로 하는 모든 다각형은 기본 삼각형으로 분할할 수 있다.

격자점을 꼭짓점으로 하는 다각형

P

를

N

개의 기본 삼각형으로 나눈다. 이

N

개의 기본삼각형의 내각의 합을 두 가지 방법으로 구하여 연립한다.

첫째, 삼각형의 내각의 합은

\pi

이므로, 모든 기본 삼각형들의 내각의 합

S = N\pi

이다.

둘째, 각 점(내부, 변 위, 꼭짓점)에서 생기는 각의 크기를 모두 더한다.

$P$ 내부의 점 $i$ 에서 만나는 기본 삼각형들의 각의 크기 합은 $2\pi$ 이므로, 모든 점 $i$ 에서 만들어지는 각들의 합은 $2i\pi$ 이다.
꼭짓점이 아닌 변 위의 점 $b$ 에서 만나는 기본 삼각형들의 각의 크기 합은 $\pi$ 이다. $P$ 가 $k$ 각형이라고 했을 때, 모든 점 $b$ 에서 만들어지는 각들의 합은 $(b-k)\pi$ 이다.
$P$ 의 내각의 크기의 합은 $(k-2)\pi$ 이다.

따라서,

S = 2i\pi + (b-k)\pi + (k-2)\pi

이고, 정리하면

S = 2i\pi + b\pi - 2\pi

이다.

S=N\pi

와

S=2i\pi+b\pi-2\pi

를 연립하여

N=2i+b-2

를 얻는다.

평면을 픽의 정리를 증명하는 데 사용된, 세 개의 정수 꼭짓점과 다른 정수 점이 없는 삼각형의 복사본으로 타일링

두 번째 보조정리에 의해 격자점을 꼭짓점으로 하는 모든 다각형은 기본 삼각형으로 분할할 수 있으므로, 다각형의 넓이

A=\frac{1}{2}N

이다. 따라서,

A=\frac{1}{2}N=\frac{1}{2}(2i+b-2)=i+\frac{b}{2}-1

이므로 픽의 정리가 성립한다.^[2]

이 증명은 모든 삼각형이 서로 공유하는 가장자리를 중심으로 180° 회전된 인접한 삼각형과 함께 테셀레이션이 평면을 타일링한다는 사실을 이용한다. 세 개의 정수 꼭짓점과 다른 정수 점이 없는 삼각형으로 타일링할 경우, 정수 격자의 각 점은 6개의 타일의 꼭짓점이다. 격자점당 삼각형의 수(6)가 삼각형당 격자점의 수(3)의 두 배이므로, 삼각형은 평면에서 격자점보다 두 배 더 조밀하다. 따라서 각 삼각형의 면적은

\tfrac{1}{2}

이다. 이러한 삼각형의 면적이

\tfrac{1}{2}

임을 증명하는 다른 증명은 대칭 볼록 집합의 격자점에 대한 민코프스키 정리를 사용한다.

다각형을 삼각형으로 세분하면 평면 그래프가 형성되며, 오일러의 다면체 공식

V-E+F=2

를 적용할 수 있다. 꼭짓점은 다각형의 격자점(

V=i+b

개)이고, 면은 세분의 삼각형과 다각형 외부의 평면의 단일 영역(

F=2A+1

)이다. 세분에서 삼각형의

6A

변이 있고, 다각형의 내부에 있는 각 모서리는 두 개의 삼각형의 변이며, 다각형의 경계를 따라

b

개의 삼각형 모서리가 있으므로,

6A=2E-b

에서 모서리의 수

E=\tfrac{6A+b}{2}

를 얻는다. 오일러 공식에 대입하면

(i+b) - \frac{6A+b}{2} + (2A+1) = 2

를 얻고, 픽의 공식은 이 선형 방정식을

A

에 대해 풀어서 얻는다.

=== 귀납법을 이용한 증명 ===

픽의 정리를 증명하기 위해서는 두 개의 보조정리가 필요하다.^[2]

격자점을 꼭짓점으로 하는 삼각형 중에서 ''i''^일본어=0, ''b''^일본어=3인 경우 그 넓이는 항상 1/2이다. 이것을 기본 삼각형이라고 부른다.
격자점을 꼭짓점으로 하는 모든 다각형을 기본 삼각형으로 분할할 수 있다.

격자점을 꼭짓점으로 하는 다각형 ''P''^일본어를 ''N''^일본어개의 기본 삼각형으로 나눈다. ''N''^일본어개의 기본삼각형의 내각의 합을 서로 다른 방법으로 구하여 연립하여 증명한다.^[2]

모든 기본 삼각형들의 내각의 합 ''S''^일본어를 나타내는 방법은 두 가지가 있다.^[2]

첫째로 삼각형의 내각의 합은 π^일본어이므로 ''S''^일본어 = ''N''^일본어π^일본어로 나타낼 수 있다.^[2]

둘째로 각 점에서 생기는 각의 크기를 모두 더하는 방법이 있다.^[2]

''P''^일본어 내부의 점 ''i''^일본어에서 만나는 기본 삼각형들의 각의 크기의 합은 2π^일본어이고, 따라서 모든 점 ''i''^일본어에서 만들어지는 각들의 합은 2^일본어''i''^일본어π^일본어이다.^[2]

''P''^일본어 가 ''k''^일본어각형이라고 했을 때, 꼭짓점이 아닌 변 위의 점 ''b''^일본어에서 만나는 기본 삼각형들의 각의 크기의 합은 π^일본어이다. 모든 점 ''b''^일본어에서 만들어지는 각들의 합은(''b''^일본어-''k''^일본어)π^일본어이다.^[2]

마지막으로, ''P''^일본어의 내각의 크기의 합은 (''k''^일본어-2)π^일본어이다.^[2]

''S''^일본어 = 2^일본어''i''^일본어π^일본어 + (''b''^일본어-''k''^일본어)π^일본어 + (''k''^일본어-2)π^일본어이므로, 정리하면 모든 기본 삼각형의 내각의 합은 ''S''^일본어 = 2^일본어''i''^일본어π^일본어 + ''b''^일본어π^일본어 - 2π^일본어라고 나타낼 수 있다.^[2]

''S''^일본어 = ''N''^일본어π^일본어와 ''S''^일본어 = 2^일본어''i''^일본어π^일본어 + ''b''^일본어π^일본어 - 2π^일본어를 연립하면 ''N''^일본어π^일본어 = 2^일본어''i''^일본어π^일본어 + ''b''^일본어π^일본어 - 2π^일본어가 된다. 여기서 양변을 π^일본어로 나누면 ''N''^일본어 = 2^일본어''i''^일본어 + ''b''^일본어 - 2가 된다.^[2]

두 번째 보조정리에서 격자점을 꼭짓점으로 하는 모든 다각형은 기본 삼각형으로 분할할 수 있다고 했으므로 ''A''^일본어 = 1/2''N''^일본어이 유도된다. 따라서 ''A''^일본어 = 1/2''N''^일본어 = 1/2(2^일본어''i''^일본어 + ''b''^일본어 - 2) = ''i''^일본어 + ''b''^일본어/2 - 1이므로 픽의 정리가 성립함을 알 수 있다.^[2]

다각형 ''P''와 한 변을 ''P''와 공유하는 삼각형 ''T''를 생각했을 때, 픽의 정리가 ''P''와 ''T''에서 각각 성립한다고 가정하고, ''P''에 ''T''를 부가한 다각형 ''PT''에서도 동일한 정리가 성립함을 통해 픽의 정리를 증명할수 있다.

''P''와 ''T''는 한 변을 공유하므로, 동일 변 위에 있는 모든 격자점은, 변의 두 단점을 제외하고, 내부의 격자점이 되며, 변의 두 단점은 변 위에 있는 격자점이 된다.

공유하는 변 위의 격자점을 ''c''라고 하면, 내부에 있는 격자점에 대해 ''i_PT'' = (''i_P'' + ''i_T'') + (''c'' - 2) 가 성립하며, 변 위에 있는 격자점에 대해 ''b_PT'' = (''b_P'' + ''b_T'') - 2(''c'' - 2) - 2 가 성립한다.

픽의 정리가 ''n''개의 삼각형으로 이루어진 다각형에 대해 성립한다면, ''n'' + 1개의 삼각형으로 이루어진 다각형에 대해서도 성립함을 보이고, 임의의 삼각형은 3개 이하의 직각삼각형 및 1개 이하의 직사각형을 부가함으로써, 하나의 직사각형으로 만들 수 있고, 직각삼각형과 직사각형에 대해 성립하므로, 수학적 귀납법을 통해 임의의 다각형에 대해 픽의 정리가 성립함을 증명할수 있다.

=== 기타 증명 방법 ===

픽의 정리에 대한 다른 증명 방법은 다음과 같다:

주어진 다각형을 재귀적으로 삼각형으로 분해할 수 있으며, 분할된 삼각형 중 일부는 면적이 1/2보다 클 수 있다. 면적과 픽 공식에 사용된 점의 개수는 서로 같은 방식으로 더해지므로, 일반적인 다각형에 대한 픽 공식의 참은 삼각형에 대한 참으로부터 파생된다. 임의의 삼각형은 자체와 추가적인 직각 삼각형으로 경계 상자를 세분하며, 경계 상자와 직각 삼각형의 면적은 쉽게 계산할 수 있다. 이러한 면적 계산을 결합하면 삼각형에 대한 픽 공식이 나오며, 삼각형을 결합하면 임의의 다각형에 대한 픽 공식이 나온다.^[2]
또는, 격자점에 중심을 둔 격자 사각형을 사용하는 대신, 꼭짓점이 격자점에 있는 격자 사각형을 사용할 수 있다. 이 격자 사각형은 주어진 다각형을 조각으로 자르며, 각 다각형의 가장자리를 따라 사각형 쌍을 일치시켜 동일한 면적을 가진 폴리오미노로 재배열할 수 있다.^[2]
픽의 정리는 또한 바이어슈트라스 타원 함수와 관련된 이중 주기 함수의 복소 적분을 기반으로 증명할 수도 있다.^[2]
다각형의 특성 함수에 푸아송 덧셈 공식을 적용하면 또 다른 증명을 얻을 수 있다.^[2]

격자점을 꼭짓점으로 하는 다각형

P

를

N

개의 기본 삼각형으로 나눈다. 모든 기본 삼각형들의 내각의 합

S

를 두 가지 방법으로 구하여 연립한다.

첫째로, 삼각형의 내각의 합은

\pi

이므로

S=N\pi

로 나타낼 수 있다.

둘째로, 각 점에서 생기는 각의 크기를 모두 더한다.

P

내부의 점

i

에서 만나는 기본 삼각형들의 각의 크기의 합은

2\pi

이고, 모든 점

i

에서 만들어지는 각들의 합은

2i\pi

이다. 꼭짓점이 아닌 변 위의 점

b

에서 만나는 기본 삼각형들의 각의 크기의 합은

\pi

이다.

P

가

k

각형이라고 했을 때, 모든 점

b

에서 만들어지는 각들의 합은

(b-k)\pi

이다.

P

의 내각의 크기의 합은

(k-2)\pi

이다. 따라서

S=2i\pi+(b-k)\pi+(k-2)\pi

이므로, 정리하면

S=2i\pi+b\pi-2\pi

이다.

S=N\pi

와

S=2i\pi+b\pi-2\pi

를 연립하면

N=2i+b-2

가 된다. 격자점을 꼭짓점으로 하는 모든 다각형은 기본 삼각형으로 분할할 수 있으므로

A=\frac{1}{2}N

이 유도된다. 따라서

A=i+\frac{b}{2}-1

이므로 픽의 정리가 성립한다.^[2]

픽의 정리는 1999년에 "100대 수학 정리" 웹 목록에 포함되었으며, 나중에 Freek Wiedijk이 다양한 증명 보조 도구의 성능을 테스트하기 위한 벤치마크 세트로 사용했다.

3. 1. 오일러 지표를 이용한 증명

오일러 지표를 이용하여 픽의 정리를 증명할 수 있다. 이 증명에는 두 가지 보조정리가 필요하다.^[2]

격자점을 꼭짓점으로 하는 삼각형 중에서 내부에 격자점이 없고(아이/i^영어 = 0) 꼭짓점에만 격자점 3개(비/b^영어 = 3)가 있는 삼각형(기본 삼각형)의 넓이는 항상 $\frac{1}{2}$ 이다.
격자점을 꼭짓점으로 하는 모든 다각형은 기본 삼각형으로 분할할 수 있다.

격자점을 꼭짓점으로 하는 다각형

P

를

N

개의 기본 삼각형으로 나눈다. 이

N

개의 기본삼각형의 내각의 합을 두 가지 방법으로 구하여 연립한다.

첫째, 삼각형의 내각의 합은

\pi

이므로, 모든 기본 삼각형들의 내각의 합

S = N\pi

이다.

둘째, 각 점(내부, 변 위, 꼭짓점)에서 생기는 각의 크기를 모두 더한다.

$P$ 내부의 점 $i$ 에서 만나는 기본 삼각형들의 각의 크기 합은 $2\pi$ 이므로, 모든 점 $i$ 에서 만들어지는 각들의 합은 $2i\pi$ 이다.
꼭짓점이 아닌 변 위의 점 $b$ 에서 만나는 기본 삼각형들의 각의 크기 합은 $\pi$ 이다. $P$ 가 $k$ 각형이라고 했을 때, 모든 점 $b$ 에서 만들어지는 각들의 합은 $(b-k)\pi$ 이다.
$P$ 의 내각의 크기의 합은 $(k-2)\pi$ 이다.

따라서,

S = 2i\pi + (b-k)\pi + (k-2)\pi

이고, 정리하면

S = 2i\pi + b\pi - 2\pi

이다.

S=N\pi

와

S=2i\pi+b\pi-2\pi

를 연립하여

N=2i+b-2

를 얻는다.

두 번째 보조정리에 의해 격자점을 꼭짓점으로 하는 모든 다각형은 기본 삼각형으로 분할할 수 있으므로, 다각형의 넓이

A=\frac{1}{2}N

이다. 따라서,

A=\frac{1}{2}N=\frac{1}{2}(2i+b-2)=i+\frac{b}{2}-1

이므로 픽의 정리가 성립한다.^[2]

이 증명은 모든 삼각형이 서로 공유하는 가장자리를 중심으로 180° 회전된 인접한 삼각형과 함께 테셀레이션이 평면을 타일링한다는 사실을 이용한다. 세 개의 정수 꼭짓점과 다른 정수 점이 없는 삼각형으로 타일링할 경우, 정수 격자의 각 점은 6개의 타일의 꼭짓점이다. 격자점당 삼각형의 수(6)가 삼각형당 격자점의 수(3)의 두 배이므로, 삼각형은 평면에서 격자점보다 두 배 더 조밀하다. 따라서 각 삼각형의 면적은

\tfrac{1}{2}

이다. 이러한 삼각형의 면적이

\tfrac{1}{2}

임을 증명하는 다른 증명은 대칭 볼록 집합의 격자점에 대한 민코프스키 정리를 사용한다.

다각형을 삼각형으로 세분하면 평면 그래프가 형성되며, 오일러의 다면체 공식

V-E+F=2

를 적용할 수 있다. 꼭짓점은 다각형의 격자점(

V=i+b

개)이고, 면은 세분의 삼각형과 다각형 외부의 평면의 단일 영역(

F=2A+1

)이다. 세분에서 삼각형의

6A

변이 있고, 다각형의 내부에 있는 각 모서리는 두 개의 삼각형의 변이며, 다각형의 경계를 따라

b

개의 삼각형 모서리가 있으므로,

6A=2E-b

에서 모서리의 수

E=\tfrac{6A+b}{2}

를 얻는다. 오일러 공식에 대입하면

(i+b) - \frac{6A+b}{2} + (2A+1) = 2

를 얻고, 픽의 공식은 이 선형 방정식을

A

에 대해 풀어서 얻는다.

3. 2. 귀납법을 이용한 증명 (일본어 위키)

픽의 정리를 증명하기 위해서는 두 개의 보조정리가 필요하다.^[2]

격자점을 꼭짓점으로 하는 삼각형 중에서 ''i''^일본어=0, ''b''^일본어=3인 경우 그 넓이는 항상 1/2이다. 이것을 기본 삼각형이라고 부른다.
격자점을 꼭짓점으로 하는 모든 다각형을 기본 삼각형으로 분할할 수 있다.

격자점을 꼭짓점으로 하는 다각형 ''P''^일본어를 ''N''^일본어개의 기본 삼각형으로 나눈다. ''N''^일본어개의 기본삼각형의 내각의 합을 서로 다른 방법으로 구하여 연립하여 증명한다.^[2]

모든 기본 삼각형들의 내각의 합 ''S''^일본어를 나타내는 방법은 두 가지가 있다.^[2]

첫째로 삼각형의 내각의 합은 π^일본어이므로 ''S''^일본어 = ''N''^일본어π^일본어로 나타낼 수 있다.^[2]

둘째로 각 점에서 생기는 각의 크기를 모두 더하는 방법이 있다.^[2]

''P''^일본어 내부의 점 ''i''^일본어에서 만나는 기본 삼각형들의 각의 크기의 합은 2π^일본어이고, 따라서 모든 점 ''i''^일본어에서 만들어지는 각들의 합은 2^일본어''i''^일본어π^일본어이다.^[2]

''P''^일본어 가 ''k''^일본어각형이라고 했을 때, 꼭짓점이 아닌 변 위의 점 ''b''^일본어에서 만나는 기본 삼각형들의 각의 크기의 합은 π^일본어이다. 모든 점 ''b''^일본어에서 만들어지는 각들의 합은(''b''^일본어-''k''^일본어)π^일본어이다.^[2]

마지막으로, ''P''^일본어의 내각의 크기의 합은 (''k''^일본어-2)π^일본어이다.^[2]

''S''^일본어 = 2^일본어''i''^일본어π^일본어 + (''b''^일본어-''k''^일본어)π^일본어 + (''k''^일본어-2)π^일본어이므로, 정리하면 모든 기본 삼각형의 내각의 합은 ''S''^일본어 = 2^일본어''i''^일본어π^일본어 + ''b''^일본어π^일본어 - 2π^일본어라고 나타낼 수 있다.^[2]

''S''^일본어 = ''N''^일본어π^일본어와 ''S''^일본어 = 2^일본어''i''^일본어π^일본어 + ''b''^일본어π^일본어 - 2π^일본어를 연립하면 ''N''^일본어π^일본어 = 2^일본어''i''^일본어π^일본어 + ''b''^일본어π^일본어 - 2π^일본어가 된다. 여기서 양변을 π^일본어로 나누면 ''N''^일본어 = 2^일본어''i''^일본어 + ''b''^일본어 - 2가 된다.^[2]

두 번째 보조정리에서 격자점을 꼭짓점으로 하는 모든 다각형은 기본 삼각형으로 분할할 수 있다고 했으므로 ''A''^일본어 = 1/2''N''^일본어이 유도된다. 따라서 ''A''^일본어 = 1/2''N''^일본어 = 1/2(2^일본어''i''^일본어 + ''b''^일본어 - 2) = ''i''^일본어 + ''b''^일본어/2 - 1이므로 픽의 정리가 성립함을 알 수 있다.^[2]

픽의 정리는 바이어슈트라스 타원 함수와 관련된 이중 주기 함수의 복소 적분을 기반으로 증명할 수도 있고, 다각형의 특성 함수에 푸아송 덧셈 공식을 적용하여 증명할 수도 있다.

다각형 ''P''와 한 변을 ''P''와 공유하는 삼각형 ''T''를 생각했을 때, 픽의 정리가 ''P''와 ''T''에서 각각 성립한다고 가정하고, ''P''에 ''T''를 부가한 다각형 ''PT''에서도 동일한 정리가 성립함을 통해 픽의 정리를 증명할수 있다.

''P''와 ''T''는 한 변을 공유하므로, 동일 변 위에 있는 모든 격자점은, 변의 두 단점을 제외하고, 내부의 격자점이 되며, 변의 두 단점은 변 위에 있는 격자점이 된다.

공유하는 변 위의 격자점을 ''c''라고 하면, 내부에 있는 격자점에 대해 ''i_PT'' = (''i_P'' + ''i_T'') + (''c'' - 2) 가 성립하며, 변 위에 있는 격자점에 대해 ''b_PT'' = (''b_P'' + ''b_T'') - 2(''c'' - 2) - 2 가 성립한다.

픽의 정리가 ''n''개의 삼각형으로 이루어진 다각형에 대해 성립한다면, ''n'' + 1개의 삼각형으로 이루어진 다각형에 대해서도 성립함을 보이고, 임의의 삼각형은 3개 이하의 직각삼각형 및 1개 이하의 직사각형을 부가함으로써, 하나의 직사각형으로 만들 수 있고, 직각삼각형과 직사각형에 대해 성립하므로, 수학적 귀납법을 통해 임의의 다각형에 대해 픽의 정리가 성립함을 증명할수 있다.

3. 3. 기타 증명 방법 (영어 위키)

픽의 정리에 대한 다른 증명 방법은 다음과 같다:

주어진 다각형을 재귀적으로 삼각형으로 분해할 수 있으며, 분할된 삼각형 중 일부는 면적이 1/2보다 클 수 있다. 면적과 픽 공식에 사용된 점의 개수는 서로 같은 방식으로 더해지므로, 일반적인 다각형에 대한 픽 공식의 참은 삼각형에 대한 참으로부터 파생된다. 임의의 삼각형은 자체와 추가적인 직각 삼각형으로 경계 상자를 세분하며, 경계 상자와 직각 삼각형의 면적은 쉽게 계산할 수 있다. 이러한 면적 계산을 결합하면 삼각형에 대한 픽 공식이 나오며, 삼각형을 결합하면 임의의 다각형에 대한 픽 공식이 나온다.^[2]
또는, 격자점에 중심을 둔 격자 사각형을 사용하는 대신, 꼭짓점이 격자점에 있는 격자 사각형을 사용할 수 있다. 이 격자 사각형은 주어진 다각형을 조각으로 자르며, 각 다각형의 가장자리를 따라 사각형 쌍을 일치시켜 동일한 면적을 가진 폴리오미노로 재배열할 수 있다.^[2]
픽의 정리는 또한 바이어슈트라스 타원 함수와 관련된 이중 주기 함수의 복소 적분을 기반으로 증명할 수도 있다.^[2]
다각형의 특성 함수에 푸아송 덧셈 공식을 적용하면 또 다른 증명을 얻을 수 있다.^[2]

격자점을 꼭짓점으로 하는 다각형

P

를

N

개의 기본 삼각형으로 나눈다. 모든 기본 삼각형들의 내각의 합

S

를 두 가지 방법으로 구하여 연립한다.

첫째로, 삼각형의 내각의 합은

\pi

이므로

S=N\pi

로 나타낼 수 있다.

둘째로, 각 점에서 생기는 각의 크기를 모두 더한다.

P

내부의 점

i

에서 만나는 기본 삼각형들의 각의 크기의 합은

2\pi

이고, 모든 점

i

에서 만들어지는 각들의 합은

2i\pi

이다. 꼭짓점이 아닌 변 위의 점

b

에서 만나는 기본 삼각형들의 각의 크기의 합은

\pi

이다.

P

가

k

각형이라고 했을 때, 모든 점

b

에서 만들어지는 각들의 합은

(b-k)\pi

이다.

P

의 내각의 크기의 합은

(k-2)\pi

이다. 따라서

S=2i\pi+(b-k)\pi+(k-2)\pi

이므로, 정리하면

S=2i\pi+b\pi-2\pi

이다.

S=N\pi

와

S=2i\pi+b\pi-2\pi

를 연립하면

N=2i+b-2

가 된다. 격자점을 꼭짓점으로 하는 모든 다각형은 기본 삼각형으로 분할할 수 있으므로

A=\frac{1}{2}N

이 유도된다. 따라서

A=i+\frac{b}{2}-1

이므로 픽의 정리가 성립한다.^[2]

픽의 정리는 1999년에 "100대 수학 정리" 웹 목록에 포함되었으며, 나중에 Freek Wiedijk이 다양한 증명 보조 도구의 성능을 테스트하기 위한 벤치마크 세트로 사용했다.

4. 오일러 지표와의 관계

픽의 정리는 오일러 지표로부터 유도될 수 있다.^[3] 이 관계를 알기 위해서는 "edge theorem"이라는 보조 정리가 필요하다.

"edge theorem"에 의하면 임의의 다각형에서 내부와 경계선 위의 점들을 연결하여 기본 삼각형들로 분할했을 때 생기는 변의 개수를 e, 내부에 있는 점의 수를 i, 변 위에 있는 점의 수를 b라고 할 때 다음이 성립한다.

:e=3i+2b-3

b=3이고 i=0이면 삼각형이 만들어지면서 e의 값은 언제나 3이고 위 등식을 만족한다. 이 삼각형 내부에 점을 한 개 추가하면(i=1) 모서리의 수는 3만큼 늘어난다(e=6). 이 경우 역시 위 등식을 만족한다. 변 위에 있는 점을 한 개 추가하는 상황에서 x개의 변 위에 있는 점들이 내부에 있는 점으로 바뀐다고 하면, e값은 (x+2)개 증가, b값은 (x-1)개 감소한다. 이 내용을 위 등식에 대입하면 마찬가지로 등식을 만족하게 된다. 따라서 i값과 b값에 변동이 있어도 위 등식은 항상 성립함을 알 수 있다.

오일러 지표에 의하면 평면 그래프에서 v가 꼭짓점의 개수이고, e가 모서리의 개수이고, f가 모서리들로 나누어진 면의 개수일 때 다음이 성립한다.

:v-e+f=2

이 등식을 이용하기 위해 꼭짓점이 격자점 위에 있는 격자다각형을 기본 삼각형들로 분할하고, 그 도형을 평면 그래프라고 생각한다. 그러면 삼각형 내부의 점과 변 위의 점을 합한 것이 v의 값이므로 v=i+b이고, 'edge theorem'에 의해 e=3i+2b-3임을 알 수 있다. 이것을 위 등식에 대입하면

:i+b-3i-2b+3+f=2

:f=2i+b-1

마지막으로 면의 수 f의 경우, 평면 그래프의 관점에서는 넓이가 무한한 면 한 개가 포함되어 있기 때문에 실제 면의 수는 기본 삼각형들의 수보다 하나 더 많다. 따라서 주어진 다각형을 분할하는 기본 삼각형의 수는 (f-1)이고, 각 기본 삼각형의 넓이는 1/2이므로 주어진 다각형의 넓이는 A= 1/2(f-1)가 된다. 이 식을 앞에서 구한 식과 연립하면 다음과 같이 픽의 정리가 유도된다.^[3]

:1/2(f-1)=A=1/2(2i+b-2)

:A =i+ b/2-1

5. 일반화

픽의 정리는 구멍이 있는 다각형, 평면 선형 그래프, 자체 교차하는 다각형 등으로 일반화될 수 있다. 구멍이 h개인 다각형의 경우, 다음 식이 성립한다.

:A = i + b/2 + h - 1

여기서 A는 다각형의 면적, i는 내부 격자점의 개수, b는 경계 격자점의 개수를 의미한다. 픽 정리를 정수 꼭짓점 좌표를 갖는 더 복잡한 평면 선형 그래프로 제한된 영역으로 일반화하는 것도 가능하다. 이 영역과 경계의 오일러 지표를 사용하여 정의된 추가 용어를 사용하거나, 총 회전수뿐만 아니라 각 정수 점 주위의 다각형의 회전수를 포함하는 공식을 사용하여 자체 교차할 수 있는 단일 경계 다각형이 있는 다각형으로 일반화할 수도 있다.

6. 고차원 확장

3차원에서 픽의 정리와 유사한 공식은 존재하지 않는다. 예를 들어, 리브 사면체는 꼭짓점으로 4개의 정수 점을 가지며 다른 정수 점을 포함하지 않지만, 모두 같은 부피를 갖지 않는다. 따라서 다면체의 부피를 내부 및 경계 점의 수만의 함수로 표현하는 것은 불가능하다. 그러나 에르하르트 다항식을 사용하여 이러한 부피를 표현할 수 있다.

7. 관련 개념

블리히펠트 정리는 모든 도형이 최소한 자신의 넓이만큼의 격자점을 포함하도록 이동될 수 있다고 말한다. 가우스 원 문제는 원의 넓이와 격자점의 수 사이의 오차를 제한하는 것과 관련이 있다. 볼록 다면체 내의 정수점을 세는 문제는 수학 및 컴퓨터 과학의 여러 분야에서 발생한다.

응용 분야에서, 점 플래니미터는 도형 내부에 포함된 격자점을 세어 도형의 넓이를 추정하는 투명도 기반 장치이다. 파레이 수열은 피크 정리를 분석하는 데 관련된 분모가 제한된 유리수의 정렬된 수열이다.

신발끈 공식은 임의의 단순 다각형의 넓이를 연속된 꼭짓점 쌍의 좌표로부터 계산된 항들의 합으로 제공한다. 신발끈 공식은 피크 정리와 달리 꼭짓점이 정수 좌표를 가질 필요가 없다.

8. 격자 정다각형

픽의 정리를 사용하면 모든 정점이 격자점 위에 있는 '''격자 정다각형'''은 정사각형 외에는 존재하지 않는다는 것을 알 수 있다. 예를 들어 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 면적 S는 다음과 같다.

: $S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

피타고라스 정리로부터 $a^2 \,$ 은 정수이므로, 격자 정삼각형의 면적 S는 √3이 무리수이므로 무리수이다. 하지만 픽의 정리에서 S는 유리수 (이 경우에는 정수 또는 반정수)이므로, S는 무리수이자 유리수가 되어 격자 정삼각형이 존재하지 않음을 증명할 수 있다. 정사각 외의 정다각형의 면적은 ( $a^2 \,$ 이 정수일 때) 무리수이므로, 정오각형 이상의 격자 정다각형도 픽의 정리 결과에 반하므로 존재하지 않는다.

9. 활용

픽의 정리는 조합 기하학, 정수론, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야에서 활용된다. 예를 들어, 이미지 처리에서 객체의 면적을 추정하거나, CAD/CAM 시스템에서 도면의 면적을 계산하는 데 사용될 수 있다. 픽의 정리는 1999년에 "100대 수학 정리" 웹 목록에 포함되었으며, 2024년 현재 다양한 증명 보조 도구의 성능을 테스트하기 위한 벤치마크 세트로 사용되고 있다.

블리히펠트 정리는 모든 도형이 최소한 자신의 넓이만큼의 격자점을 포함하도록 이동될 수 있다고 말한다. 가우스 원 문제는 원의 넓이와 격자점의 수 사이의 오차를 제한하는 것과 관련이 있다. 볼록 다면체 내의 정수점을 세는 문제는 수학 및 컴퓨터 과학의 여러 분야에서 발생한다.

응용 분야에서, 점 플래니미터는 도형 내부에 포함된 격자점을 세어 도형의 넓이를 추정하는 투명도 기반 장치이다. 파레이 수열은 피크 정리를 분석하는 데 관련된 분모가 제한된 유리수의 정렬된 수열이다.

다각형의 넓이를 계산하는 또 다른 간단한 방법은 신발끈 공식이다. 이 공식은 임의의 단순 다각형의 넓이를 연속된 꼭짓점 쌍의 좌표로부터 계산된 항들의 합으로 제공한다. 신발끈 공식은 피크 정리와 달리 꼭짓점이 정수 좌표를 가질 필요가 없다.

참조

_[1] 논문 Pick's theorem http://dl.acm.org/ci[...] 1993
_[2] 논문 Two beautiful proofs of Pick's theorem http://umu.diva-port[...]
_[3] 간행물 The American Mathematical Monthly, Vol. 81, No. 6 1974-06-01

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