페르마 두 제곱수 정리

3. 증명

페르마 두 제곱수 정리에 따르면, 홀수인 소수 에 대해 다음 두 명제는 동치이다.

• $p=x^2+y^2$인 정수 $x,y$가 존재한다.
• $p\backslash equiv\; 1\{\backslash pmod\; 4\}$

첫 번째 명제가 두 번째 명제를 함의하는 것은 자명하다. 제곱수를 4로 나눈 나머지는 0 또는 1이므로, 두 제곱수의 합을 4로 나눈 나머지는 0, 1, 2 중 하나이기 때문이다.

반대 방향, 즉 $p\; \backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\; 4$이면 $p\; =\; x^2\; +\; y^2$을 만족하는 정수 x, y가 존재함을 보이는 증명은 여러 가지가 있다.

'''오일러의 증명'''

레온하르트 오일러가 제시한 증명은 무한 강하법을 사용하며, 다음과 같다.

1. 보조정리 1: 두 제곱수의 합인 수 $a^2\; +\; b^2$가 두 제곱수의 합인 소인수 $c^2\; +\; d^2$를 가지면, 몫 $(a^2+b^2)/(c^2+d^2)$은 두 제곱수의 합이다.

• 증명: $c^2\; +\; d^2$가 $a^2\; +\; b^2$의 인수이므로, $c^2+d^2\backslash mid\; c^2(a^2+b^2)-a^2(c^2+d^2)=(bc+ad)(bc-ad)$가 성립한다. 따라서 $c^2\; +\; d^2$는 $bc+ad$ 또는 $bc-ad$를 나눈다. $c^2\; +\; d^2\; \backslash mid\; bc+ad$라고 가정하면, 브라마굽타-피보나치 항등식에 의해 다음이 성립한다.

• 증명: 귀류법을 사용하여, $n/p$의 모든 약수가 두 제곱수의 합이라고 가정한다. 그러면 $n/p$의 소인수 $q$는 두 제곱수의 합이고, 보조정리 1에 따라 $n/q$도 두 제곱수의 합이다. 이를 반복하면 $p$가 두 제곱수의 합이라는 결론에 도달하여 모순이다.

• 증명: $a\; \backslash equiv\; c\; \backslash pmod\; p$, $b\; \backslash equiv\; d\; \backslash pmod\; p$이고 $|c|,\; |d|\; \backslash le\; p/2$인 정수 $c,\; d$를 잡는다. 그러면 $\backslash gcd(a,b)=1$이므로 $c^2\; +\; d^2\; \backslash ne\; 0$이고, $c^2\; +\; d^2\; \backslash equiv\; a^2\; +\; b^2\; \backslash equiv\; 0\; \backslash pmod\; p$이다. $g\; =\; \backslash gcd(c,d)$, $c\text{'}\; =\; c/g$, $d\text{'}\; =\; d/g$로 정의하면 $\backslash gcd(c\text{'},d\text{'})\; =\; 1$이고, $\gcd(a,b)=1$이므로 $\backslash gcd(g,p)=1$이며, $g^2\; \backslash mid\; (c^2+d^2)/p$이다. 따라서 다음이 성립한다.

• 증명: 귀류법을 사용하여, $p\; \backslash mid\; a^2\; +\; b^2$인 소수 $p\$$가 두 제곱수의 합이 아니라고 가정한다. 보조정리 3에 따라, $\backslash gcd(c,d)=1$, $p\; \backslash mid\; c^2\; +\; d^2$, $c^2\; +\; d^2\; \backslash le\; p^2/2$를 만족시키는 정수 $c,\; d$를 찾을 수 있다. 그러면 $(c^2\; +\; d^2)/p$는 두 제곱수의 합이 아닌 약수 $q\; \backslash mid\; (c^2\; +\; d^2)/p$를 갖는다. 또한 $q\; \backslash le\; p/2$이다. 이를 $q$와 $c^2\; +\; d^2$에 대해 반복하면, 양의 정수의 순감소 무한 수열

• 첫 번째 증명: 가우스 정수환 '''Z'''[''i'']에서 프로베니우스 자기동형사상을 이용한다. $p=4n+1$이면 프로베니우스 자기동형사상의 차수가 1 또는 2이므로, 아이디얼 (''p'')는 '''Z'''[''i'']에서 두 개의 서로 다른 소 아이디얼의 곱이 된다. 가우스 정수는 유클리드 정역이므로 모든 아이디얼은 주 아이디얼이고, 노름이 곱셈적이라는 사실을 이용하여 $p\; =\; N(\backslash alpha)\; =\; a^2\; +\; b^2$ 형태임을 보인다.

• 두 번째 증명: $p=4n+1$이 소수이면, 오일러의 기준에 의해 $m^2\; +\; 1$이 ''p''로 나누어지는 정수 ''m''이 존재한다. ''p''는 가우스 정수 $m\; +\; i$와 $m-i$ 중 어떤 것도 나누지 않지만, 그들의 곱 $m^2\; +\; 1$을 나누므로, 는 가우스 정수에서 소수 원소가 될 수 없다. 따라서 가우스 정수에서 ''p''의 비자명한 인수 분해가 존재하며, $p\; =\; (x+yi)(x-yi)$ 형태여야 한다. 여기서 와 는 정수이고, $p\; =\; x^2\; +\; y^2$을 얻는다.

• 소수 $p\backslash equiv1,3\backslash ;(\backslash operatorname\{mod\}\backslash ;8)$은 $p=x^2+2y^2$로 표현될 수 있다.
• 소수 $p\backslash equiv1,7\backslash ;(\backslash operatorname\{mod\}\backslash ;12)$는 $p=x^2+3y^2$로 표현될 수 있다. (오일러의 6n+1 정리)^[20]

4. 야코비의 두 제곱수 정리

야코비의 두 제곱수 정리에 따르면, 자연수를 두 개 이하의 제곱수의 합으로 나타내는 방법의 수는 다음과 같이 주어진다.

:$r\_2(n)=4\backslash sum\_\{2\{\backslash nmid\}d\{\backslash mid\}n\}(-1)^\backslash frac\{d-1\}\{2\}$

여기서 시그마 기호는 2로 나누어 떨어지지 않는 n의 약수(1과 n 포함)에 대해 합을 취하는 것을 나타낸다. 예를 들어,

:$r\_2(25)=4\backslash left((-1)^\backslash frac\{1-1\}\{2\}+(-1)^\backslash frac\{5-1\}\{2\}+(-1)^\backslash frac\{25-1\}\{2\}\backslash right)=12$

인데, 실제로 25를 두 개 이하의 제곱수의 합으로 나타내는 방법은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}25$

&=(\pm5)^2+0^2\\

&=0^2+(\pm5)^2\\

&=(\pm4)^2+(\pm3)^2\\

&=(\pm3)^2+(\pm4)^2\\

\end{align}

부호와 순서를 구별하면 12개가 된다.

5. 관련 정리 및 확장

페르마 두 제곱수 정리는 가우스 소수 이론과 밀접하게 관련되어 있다.

가우스 정수는 a+ib 형태의 복소수이며, 여기서 a와 b는 정수이다. 가우스 정수의 ''노름'' N(a+ib)=a²+b²은 가우스 정수의 절댓값의 제곱과 같은 정수이다. 가우스 정수의 곱의 노름은 그 노름들의 곱인데, 이는 디오판토스 항등식으로, 절댓값의 유사한 성질로부터 즉시 얻어진다.

가우스 정수는 주 이상 정역을 형성한다. 이것은 가우스 소수를 소수와 유사하게 정의할 수 있다는 것을 의미한다. 즉, 두 개의 비단원의 곱이 아닌 가우스 정수를 의미한다 (여기서 단원은 1, −1, ''i'' 및 −''i''이다).

노름의 곱셈적 성질은 소수 p가 가우스 소수이거나 가우스 소수의 노름임을 의미한다. 페르마의 정리는 첫 번째 경우는 p=4k+3일 때 발생하고, 두 번째 경우는 p=4k+1 및 p=2일 때 발생한다고 주장한다. 마지막 경우는 페르마의 명제에서는 고려되지 않지만, 2 = 1²+1² = N(1+i)이므로 자명하다.

페르마 정리에 대한 위 관점은 이차 정수환의 아이디얼 인수분해 이론의 특수한 경우이다. 요약하면, 가 대수적 정수의 환인 경우, 에서 ''d''를 나누지 않는 홀수 소수 ''p''는 의 소원이거나, 반드시 소수인 의 아이디얼의 아이디얼 노름이다. 게다가, 이차 상호 법칙을 사용하면 합동식을 통해 두 경우를 구별할 수 있다. 가 주 아이디얼 정역이면, ''p''는 다음의 경우에만 아이디얼 노름이다.

: 4''p''=''a''²-''db''²,

여기서 ''a''와 ''b''는 모두 정수이다.

1654년 9월 25일 블레즈 파스칼에게 보낸 편지에서 페르마는 본질적으로 ''d''=-2와 ''d''=-3의 특수한 경우인 다음 두 가지 결과를 발표했다. ''p''가 홀수 소수이면,

: ''p'' = ''x''²+2''y''² ⇔ ''p''≡1 또는 ''p''≡3 (mod 8),

: ''p''= ''x''²+3''y''² ⇔ ''p''≡1 (mod 3).

페르마는 또한 다음과 같이 썼다.

: ''3 또는 7로 끝나고 4의 배수보다 3 큰 두 소수를 곱하면 그 곱은 제곱과 다른 제곱의 5배수로 구성될 것이다.''

다시 말해, ''p'', ''q''가 20''k''+3 또는 20''k''+7의 형태라면 1=''pq'' = ''x''² + 5''y''²이다. 오일러는 나중에 이것을 다음과 같은 추측으로 확장했다.

: ''p'' = ''x''²+5''y''² ⇔ ''p''≡1 또는 ''p''≡9 (mod 20),

: 2''p'' = ''x''²+5''y''² ⇔ ''p''≡3 또는 ''p''≡7 (mod 20).

페르마의 주장과 오일러의 추측은 모두 조제프루이 라그랑주에 의해 증명되었다. 이 더 복잡한 공식은 가 와 과 달리 주 아이디얼 정역이 아니라는 사실에 의존한다.

6. 역사

프랑스의 알베르 지라르는 1632년 두 제곱수의 합으로 표현 가능한 정수에 대한 최초의 아이디어를 제시했고, 피에르 드 페르마는 1640년 마랭 메르센에게 보낸 편지에서 이와 관련된 정리를 언급했지만 완전한 증명을 제시하지는 못했다.^[2][3] 1749년 스위스 수학자 레온하르트 오일러가 크리스티안 골트바흐에게 보낸 편지에서 처음으로 이 정리에 대한 완전한 증명을 제시하였다.

지라르는 1625년 출판된 저서에서 양의 정수(반드시 소수는 아님)를 두 양의 정수의 제곱의 합으로 나타낼 수 있다는 것을 처음으로 관찰했다. $4n+1$ 꼴의 모든 소수 ''p''가 두 제곱수의 합이라는 명제는 때때로 '지라르의 정리'라고 불린다.^[4] 페르마는 1640년 12월 25일 메르센에게 보낸 편지에서 이 명제의 상세한 버전(두 제곱수의 합으로 나타낼 수 있는 ''p''의 거듭제곱의 개수 포함)을 제시하였다. 이러한 이유로 이 정리의 버전은 '페르마의 크리스마스 정리'라고도 불린다.

페르마는 자신의 주장에 대한 증명을 남기지 않는 것으로 알려져 있으며, 이 명제에 대한 증명 역시 제공하지 않았다. 레온하르트 오일러는 무한 강하법을 사용하여 이 명제에 대한 최초의 증명을 발견했다. 그는 1747년 5월 6일과 1749년 4월 12일, 크리스티안 골드바흐에게 보낸 두 통의 편지에서 증명을 발표했으며, 1752년에서 1755년 사이에 두 편의 논문으로 자세한 증명을 출판했다.^[7][8] 조제프루이 라그랑주는 1775년 이차 형식 연구를 바탕으로 증명을 제시했고, 카를 프리드리히 가우스는 저서 ''산술의 연구''(제182조)에서 이 증명을 단순화했다. 리하르트 데데킨트는 가우스 정수의 산술에 기반한 최소 두 가지 증명을 제시했으며, 민코프스키 정리를 이용한 증명도 존재한다. 돈 자기에는 1990년에 로저 히스-브라운의 증명(그는 리우빌의 아이디어에서 영감을 받았다)을 단순화하여 비구성적인 한 문장 증명을 제시했다.^[9] 더 최근에는 크리스토퍼가 분할론적 증명을 제시했다.^[10]

참조

_[1] 서적
_[2] 웹사이트 "l'Arithmétique de Simon Stevin de Bruges" https://archive.org/[...]
_[3] 서적 History of the Theory of Numbers
_[4] 서적 History of the Theory of Numbers
_[5] 간행물 Editor's Corner: The Euclidean Algorithm Strikes Again
_[6] 저널 Editor’s Corner: The Euclidean Algorithm Strikes Again https://www.jstor.or[...] 2024-11-20
_[7] 문서 De numeris qui sunt aggregata duorum quadratorum 1758
_[8] 문서 Demonstratio theorematis FERMATIANI omnem numerum primum formae 4n+1 esse summam duorum quadratorum 1760
_[9] 간행물 A one-sentence proof that every prime p ≡ 1 (mod 4) is a sum of two squares
_[10] 논문 "A partition-theoretic proof of Fermat's Two Squares Theorem" 2016-04-06
_[11] 웹사이트 Euler à Goldbach, lettre CXXV http://www.math.dart[...]
_[12] 웹사이트 De numeris qui sunt aggregata duorum quadratorum http://www.math.dart[...]
_[13] 웹사이트 Demonstratio theorematis FERMATIANI omnem numerum primum formae 4n+1 esse summam duorum quadratorum http://www.math.dart[...]
_[14] 문서
_[15] 간행물
_[16] 논문 A partition-theoretic proof of Fermat's Two Squares Theorem" 2016
_[17] 웹사이트 Wolfram MathWorld: Sum of Squares Function http://mathworld.wol[...]
_[18] 문서 Weisstein
_[19] 저널 A One-Sentence Proof That Every Prime 𝑝≡1 ⁢(mod⁡4) Is a Sum of Two Squares https://people.mpim-[...] 2023-12-30
_[20] 웹사이트 Wolfram Mathworld: Euler's 6n+1 Theorem http://mathworld.wol[...]
_[21] 문서
_[22] 저널 http://eulerarchive.[...] 1758
_[23] 저널 http://eulerarchive.[...] 1760
_[24] 서적 2003
_[25] 저널 https://archive.org/[...] 1990-02
_[26] 서적 2012