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평행축 정리

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목차

1. 개요

평행축 정리는 강체의 관성 모멘트를 계산하는 데 사용되는 정리로, 질량 중심을 지나는 축에 대한 관성 모멘트와 평행한 다른 축에 대한 관성 모멘트 사이의 관계를 나타낸다. 스칼라, 텐서, 단면 이차 모멘트 등 다양한 형태의 관성 모멘트에 적용되며, 평면 운동에서의 극관성 모멘트와 관성 모멘트 행렬 계산에도 활용된다. 이 정리는 복잡한 물체의 관성 모멘트를 쉽게 계산할 수 있도록 돕는다.

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평행축 정리
개요
이름평행축 정리
다른 이름평행축 정리 (平行軸の定理)
평행축 이론
슈타이너 정리 (Steiner's theorem)
휘어진 축 정리
분야역학
내용
설명강체의 질량 관성 모멘트가 회전축에 평행한 축으로 이동할 때 어떻게 변하는지를 설명하는 정리
공식I = I_{cm} + Md^2
공식 설명I: 회전축에 대한 질량 관성 모멘트
I_{cm}: 질량 중심을 통과하는 평행축에 대한 질량 관성 모멘트
M: 강체의 총 질량
d: 두 평행축 사이의 거리
활용
활용 분야다양한 물리적 시스템의 역학적 성질 분석
예시진자의 진동 주기 계산
회전체의 운동 에너지 계산
역사
관련 인물야코프 슈타이너
같이 보기
관련 개념수직축 정리
관성 모멘트

2. 스칼라 관성 모멘트에 대한 평행축 정리

I_{\textrm{cm}}를 질량중심을 통과하는 축에 대한 관성 모멘트라 하고, 이 축에서 거리 d만큼 평행이동된 축에 대한 새로운 관성 모멘트를 I, 강체의 질량을 m이라 할 때, 스칼라 관성 모멘트에 대한 평행축 정리는 다음과 같다.

:I = I_{\textrm{cm}} + md^2

평행축 정리는 연장 규칙 및 수직축 정리와 함께 적용되어 다양한 모양의 관성 모멘트를 구하는 데 사용될 수 있다.

2. 1. 증명

질량 중심을 직교좌표계의 중심으로 놓고 xy평면 상에서 새로운 회전축의 좌표를 (a, b)라 놓으면 피타고라스 정리에 의해

:d^2 = a^2 + b^2

이 되고, 새로운 관성 모멘트 I는

:I = \sum_i m_i \left[ (x_i-a)^2 + (y_i-b)^2 \right]

이 된다.

이제 위 식을 전개해보면,

:I = \sum_i m_i \left( x_i^2 + y_i^2 \right) - 2a \sum_i m_i x_i - 2 b \sum_i m_i y_i + \left( a^2 + b^2 \right) \sum_i m_i

이 된다.

이 식의 첫 번째 항은 I_{\textrm{cm}}에 해당하는 항이다. 두 번째 항과 세 번째 항의 경우, 원점을 질량중심으로 잡았기 때문에 0이 된다. 마지막 항의 합은 질량들을 전부 합한 것이므로 m이 된다. 따라서 아래의 평행축 정리를 얻는다.

:I = I_{\textrm{cm}} + md^2

물체의 질량 관성 모멘트는 질량 중심을 통과하는 평행 축에 대한 질량 관성 모멘트로부터 결정될 수 있다.


점입자가 아닌 커다란 강체에 대해서도 시그마를 인테그랄로, 질량을 질량무한소로 바꾸면 똑같은 결과를 얻을 수 있다.

: I = I_\mathrm{cm} + MD^2.[1]

면적 관성 모멘트에 대한 평행축 규칙

3. 관성 모멘트 텐서에 대한 평행축 정리



관성 모멘트 텐서에 대한 평행축 정리는 스칼라 형태와 유사하지만 약간 다르다. 질량 중심을 지나는 축에 대한 관성 모멘트 텐서를 \mathbf{I}, 새로운 관성 모멘트 텐서를 \mathbf{I}'이라 하면, 직교좌표계에서 이들의 성분에 대한 평행축 정리는 다음과 같다.[2]

:I'_{ij}=I_{ij} + m(a^2 \delta_{ij}-a_i a_j)

여기서 \mathbf{a}는 질량 중심으로부터 새로운 축을 가리키는 벡터이고, \delta_{ij}는 크로네커 델타이다.

관성 텐서는 임의의 기준점 \mathbf{R}_{ref}에서 최종 기준점 \mathbf{R}_F로 관계 행렬 M을 통해 이동될 수 있다.

: I_{F} = I_\mathrm{ref} + m(M[\mathbf{R},\mathbf{R}] - 2M[\mathbf{R},\mathbf{C}])

여기서 \mathbf{C}는 초기 기준점에서 물체의 질량 중심까지의 벡터이고 \mathbf{R}은 초기 기준점에서 최종 기준점(\mathbf{R}_F = \mathbf{R}_{ref} + \mathbf{R})까지의 벡터이다. 관계 행렬은 다음과 같다.

: M[\mathbf{r},\mathbf{c}] = \left[\begin{array}{rrr}(r_y c_y + r_z c_z) & -1/2(r_x c_y + r_y c_x) & -1/2(r_x c_z + r_z c_x) \\


  • 1/2(r_x c_y + r_y c_x) & (r_x c_x + r_z c_z) & -1/2(r_y c_z + r_y c_z) \\
  • 1/2(r_x c_z + r_z c_x) & -1/2(r_y c_z + r_y c_z) & (r_x c_x + r_y c_y) \end{array}\right]

3. 1. 증명

스칼라 관성 모멘트와 마찬가지로, 질량 중심에 대한 회전축과 새로운 회전축이 평행하다고 가정하고 좌표로 표현하면 다음과 같다. 질량중심을 기준으로 하는 원래 좌표 O에서 \mathbf{a}만큼 평행이동한 새로운 좌표 O'를 생각한다. 즉, 새로운 좌표의 원점은 질량중심을 기준으로 한 좌표의 원점으로부터 \mathbf{a}만큼 이동된 곳에 있다. 이때, 직교좌표계로 표현되는 새로운 좌표에서의 관성모멘트 텐서의 성분은 다음과 같다.

:I'_{ij} = \sum_n m_n \left(|\mathbf{r}'_n|^2 \delta_{ij} - r'_{ni} r'_{nj} \right)

여기서 n는 입자를 가리키는 지표, i와 j는 좌표의 성분을 나타내는 지표이다. 여기에

:\mathbf{r}'_n = \mathbf{r}_n - \mathbf{a}

를 대입하면

:I'_{ij} = \sum_n m_n \left[ |\mathbf{r}_n - \mathbf{a}|^2 \delta_{ij} - \left(r_{ni} - a_i \right) \left(r_{nj} - a_j \right) \right]

이를 전개하면

:I'_{ij} = \sum_n m_n \left[ \left(|\mathbf{r}_n|^2 - 2 \mathbf{r}_n \cdot \mathbf{a} + |\mathbf{a}|^2 \right) \delta_{ij} - \left(r_{ni} r_{nj} - r_{ni} a_j - r_{nj} a_i + a_i a_j \right) \right]

\mathbf{a}는 상수이고, O는 질량중심이 원점인 좌표이므로 i에 관계없이

:\sum_n m_n r_{ni} = 0

임을 활용하면 두 번째, 다섯 번째, 여섯 번째 항이 사라진다. 남는 항들을 정리하면

:I'_{ij} = \sum_n m_n \left[ \left(|\mathbf{r}_n|^2 + |\mathbf{a}|^2 \right) \delta_{ij} - \left(r_{ni} r_{nj} + a_i a_j \right) \right]

\mathbf{r}은 \mathbf{r}끼리, \mathbf{a}는 \mathbf{a}끼리 정리하면

:I'_{ij} = \sum_n m_n \left( |\mathbf{r}_n|^2 \delta_{ij} - r_{ni} r_{nj} \right) + \sum_n m_n \left( |\mathbf{a}|^2 \delta_{ij} - a_i a_j \right)

을 얻는다. 여기서 첫 번째 합은 I_{ij}가 되고, 두 번째 항의 경우 \mathbf{a}는 n과 관계없는 벡터이기 때문에 m_n에 대한 합만 남고, 이 부분은 전체 질량 m이 된다. 따라서 아래의 관성 모멘트 텐서에 대한 평행축 정리를 얻는다.

:I'_{ij}=I_{ij} + m(a^2 \delta_{ij}-a_i a_j)

평행축 정리는 관성 텐서를 포함하는 계산으로 일반화될 수 있다.[2] 를 질량 중심에서 계산된 물체의 관성 텐서라고 하자. 그러면 새로운 점을 기준으로 계산된 관성 텐서 는 다음과 같다.

:J_{ij}=I_{ij} + m\left(|\mathbf{R}|^2 \delta_{ij}-R_i R_j\right),

여기서 \mathbf{R}=R_1\mathbf{\hat{x}}+R_2\mathbf{\hat{y}}+R_3\mathbf{\hat{z}}\!는 질량 중심에서 새로운 점까지의 변위 벡터이고, 는 크로네커 델타이다.

대각 요소( 인 경우)에 대해 회전 축에 수직인 변위는 위에서 평행축 정리의 단순화된 버전을 제공한다.

평행축 정리의 일반화된 버전은 좌표 무관 표기법의 형태로 표현될 수 있다.

: \mathbf{J} = \mathbf{I} + m \left[\left(\mathbf{R} \cdot \mathbf{R}\right) \mathbf{E}_{3} - \mathbf{R} \otimes \mathbf{R} \right],

여기서 '''E'''3는 항등 행렬이고 \otimes는 외적이다.

평행축 정리의 추가적인 일반화는 기준 관성 텐서와 관련된 x, y 및 z축의 임의의 직교 축 집합에 대한 관성 텐서를 제공하며, 이 축이 질량 중심을 통과하는지 여부에 관계없이 적용된다.[2]

더욱 일반화하면 기준 축의 조 가 질량 중심을 통과하는지에 관계없이, 이에 평행한 임의의 직교축의 조 에 대한 관성 텐서를 얻을 수 있다[6]。

4. 단면 이차 모멘트에 대한 평행축 정리

평행축 정리는 평면 영역 ''D''의 단면 이차 모멘트(관성 모멘트)에도 적용된다.

:I_z = I_x + Ar^2

여기서 I_z는 평행축에 대한 ''D''의 단면 이차 모멘트이고, I_x는 도심에 대한 ''D''의 단면 이차 모멘트이며, A는 평면 영역 ''D''의 면적이고, r은 새로운 축 z에서 평면 영역 ''D''의 도심까지의 거리이다. ''D''의 도심은 균일한 밀도를 가진 동일한 모양의 물리적 판의 무게 중심과 일치한다.

템플릿이 제거되었고, 수식은 LaTeX 문법을 사용하여 표현되어 있으며, 나머지 내용은 주어진 원본 소스와 지침을 정확히 따르고 있습니다.

5. 평면 운동에서의 극관성 모멘트

어떤 점에 대한 물체의 극관성 모멘트는 질량 중심을 지나는 축에 대한 극관성 모멘트로부터 결정될 수 있다.


평면에 평행하게 움직이도록 제한된 강체의 질량 특성은 이 평면 내의 질량 중심 '''R''' = (''x'', ''y'')와 평면에 수직인 '''R'''을 지나는 축에 대한 극관성 모멘트 ''I''''R''에 의해 정의된다. 평행축 정리는 임의의 점 '''S'''에 대한 관성 모멘트 IS와 질량 중심 '''R'''에 대한 관성 모멘트 IR 사이의 편리한 관계를 제공한다.

질량 중심 '''R'''은 다음 속성을 갖는다.

: \int_V \rho(\mathbf{r}) (\mathbf{r}-\mathbf{R}) \, dV=0,

여기서 '''r'''은 물체의 부피 ''V''에 대해 적분된다. 평면 운동을 하는 물체의 극관성 모멘트는 임의의 기준점 '''S'''에 대해 계산될 수 있다.

: I_S = \int_V \rho(\mathbf{r}) (\mathbf{r}-\mathbf{S})\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{S}) \, dV,

여기서 '''S'''는 상수이고 '''r'''은 부피 ''V''에 대해 적분된다.

관성 모멘트 ''I''''R''을 사용하여 관성 모멘트 ''I''''S''을 얻기 위해 '''S'''에서 질량 중심 '''R'''까지의 벡터 '''d'''를 도입한다.

:

\begin{align}

I_S & = \int_V \rho(\mathbf{r}) (\mathbf{r}-\mathbf{R}+\mathbf{d})\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{R}+\mathbf{d}) \, dV \\

& = \int_V \rho(\mathbf{r}) (\mathbf{r}-\mathbf{R})\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{R})dV + 2\mathbf{d}\cdot\left(\int_V \rho(\mathbf{r}) (\mathbf{r}-\mathbf{R}) \, dV\right) + \left(\int_V \rho(\mathbf{r}) \, dV\right)\mathbf{d}\cdot\mathbf{d}.

\end{align}



첫 번째 항은 관성 모멘트 ''I''''R''이고, 두 번째 항은 질량 중심의 정의에 의해 0이며, 마지막 항은 물체의 총 질량에 벡터 '''d'''의 제곱 크기를 곱한 값이다. 따라서

: I_S = I_R + Md^2, \,

이것이 평행축 정리로 알려져 있다.[3]

6. 관성 모멘트 행렬

강체 입자계의 관성 행렬은 기준점을 어디로 선택하느냐에 따라 달라진다.[4] 질량 중심 '''R'''을 기준으로 한 관성 행렬과 다른 점 '''S'''를 기준으로 한 관성 행렬 사이에는 유용한 관계가 있는데, 이를 평행축 정리라고 한다.

입자들의 강체 시스템에서 기준점 '''S'''를 기준으로 측정한 관성 행렬 [IS]는 다음과 같이 표현된다.

: [I_S] = -\sum_{i=1}^n m_i[r_i-S][r_i-S]

여기서 '''r'''''i''는 각 입자 ''P''''i'' (''i'' = 1, ..., ''n'')의 위치를 나타내는 벡터이다. [''r''''i'' − ''S'']는 외적을 수행하는 왜대칭 행렬이다.

'''R'''을 강체 시스템의 질량 중심으로 두면,

: \mathbf{R} = (\mathbf{R}-\mathbf{S}) + \mathbf{S} = \mathbf{d} + \mathbf{S}

와 같이 표현할 수 있다. 여기서 '''d'''는 기준점 '''S'''에서 질량 중심 '''R'''까지의 벡터이다. 이 식을 이용하여 관성 행렬을 다시 계산하면,

: [I_S] = -\sum_{i=1}^n m_i[r_i- R + d][r_i - R+ d]

로 표현된다. 이 식을 전개하면

: [I_S] = \left(-\sum_{i=1}^n m_i [r_i - R][r_i - R]\right) + \left(-\sum_{i=1}^n m_i[r_i - R]\right)[d] + [d]\left(-\sum_{i=1}^n m_i[r_i - R]\right) + \left(-\sum_{i=1}^n m_i\right)[d][d]

를 얻는다. 여기서 첫 번째 항은 질량 중심을 기준으로 한 관성 행렬 [''I''''R'']이다. 두 번째와 세 번째 항은 질량 중심 '''R'''의 정의에 의해 0이 된다.

: \sum_{i=1}^n m_i(\mathbf{r}_i -\mathbf{R}) = 0

마지막 항은 시스템의 총 질량 ''M''에 '''d'''로 구성된 왜대칭 행렬 [''d'']의 제곱을 곱한 것이다.

결과적으로 평행축 정리는 다음과 같이 표현된다.

: [I_S] = [I_R] - M[d]^2

여기서 '''d'''는 기준점 '''S'''에서 질량 중심 '''R'''까지의 벡터이다.[4]

6. 1. 왜대칭 행렬에 대한 항등식

위치 벡터 '''R''' = (''x'', ''y'', ''z'')에 관련된 왜대칭 행렬을 [''R'']이라고 하면, 관성 행렬에 나타나는 곱은 다음과 같다.

:-[R][R]= -\begin{bmatrix} 0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix}

y^2+z^2 & -xy & -xz \\ -y x & x^2+z^2 & -yz \\ -zx & -zy & x^2+y^2 \end{bmatrix}

이 곱은 외적 ['''R''' '''R'''T]로 형성된 행렬을 사용하여 다음 항등식을 통해 계산할 수 있다.

:-[R]^2 = |\mathbf{R}|^2[E_3] -[\mathbf{R}\mathbf{R}^T]=

\begin{bmatrix} x^2+y^2+z^2 & 0 & 0 \\ 0& x^2+y^2+z^2 & 0 \\0& 0& x^2+y^2+z^2 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix}x^2 & xy & xz \\ yx & y^2 & yz \\ zx & zy & z^2\end{bmatrix}

여기서 [''E''3]는 3 × 3 단위 행렬이다.

또한 다음이 성립한다.

:|\mathbf{R}|^2 = \mathbf{R}\cdot\mathbf{R} =\operatorname{tr}[\mathbf{R}\mathbf{R}^T]

여기서 tr은 트레이스이며, 외적 행렬의 대각 요소의 합을 나타낸다.

참조

[1] 서적 Introduction to theoretical physics
[2] 간행물 Generalization of parallel axis theorem for rotational inertia 2017-10
[3] 서적 Kinematics and Dynamics of Planar Machinery Prentice Hall
[4] 서적 Dynamics, Theory and Applications McGraw-Hill, New York
[5] 서적 Introduction to theoretical physics
[6] 논문
[7] 서적 Kinematics and Dynamics of Planar Machinery Prentice Hall
[8] 서적 Dynamics, Theory and Applications https://www.amazon.c[...] McGraw-Hill, NY


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