공종 집합

1. 개요

공종 집합은 원순서 집합의 부분 집합으로, 원순서 집합의 모든 원소가 공종 집합의 어떤 원소보다 작거나 같은 조건을 만족한다. 공종 집합과 쌍대적인 개념으로 공시작 집합이 있으며, 함수 f의 치역이 공종 집합일 경우 f를 공종 함수라고 한다. 부분 순서 집합의 경우, 공종 관계는 반사적이고 추이적이다. 극대 원소가 있는 부분 순서 집합에서는 모든 공종 부분 집합이 극대 원소를 포함해야 하며, 최대 원소가 있는 경우에는 최대 원소를 포함하는 경우에만 공종적이다. 자연수 집합, 특정 구간, 멱집합 등 다양한 예시가 있으며, 프로유한군을 구성하고 설명하는 데 활용된다.

2. 정의

원순서 집합 $(X,\backslash lesssim)$의 부분 집합 $S\backslash subseteq\; X$가 다음 조건을 만족하면 공종 집합(cofinal set^영어)이라고 한다.

:$\backslash forall\; x\backslash in\; X\backslash exists\; s\backslash in\; S\backslash colon\; x\backslash lesssim\; s$

즉, $X$의 모든 원소가 $S$의 어떤 원소보다 작거나 같다.

쌍대적으로, 원순서 집합 $(X,\backslash lesssim)$의 부분 집합 $S\backslash subseteq\; X$가 다음 조건을 만족하면 공시작 집합(coinitial set^영어)이라고 한다.

:$\backslash forall\; x\backslash in\; X\backslash exists\; s\backslash in\; S\backslash colon\; x\backslash gtrsim\; s$

즉, $X$의 모든 원소가 $S$의 어떤 원소보다 크거나 같다.

2.1. 공종 함수

함수 $f\backslash colon\; X\backslash to\; Y$의 치역이 $Y$의 공종 집합이면, $f$를 공종 함수(cofinal map^영어)라고 한다.

3. 성질

부분 순서 집합(포셋)에 대한 공종 관계는 반사적이며, 추이적이다. 즉, 모든 포셋은 그 자체에 공종적이며, $B$가 포셋 $A$의 공종 부분 집합이고, $C$가 $B$의 공종 부분 집합이라면($A$의 부분 순서가 $B$에 적용됨), $C$는 $A$의 공종 부분 집합이다.

최대 원소가 있는 부분 순서 집합에서, 부분 집합은 최대 원소를 포함하는 경우에만 공종적이다. 최대 원소는 반드시 극대 원소이므로 이 규칙이 적용된다. 최대 원소 또는 극대 원소가 없는 부분 순서 집합은 서로소 공종 부분 집합을 가질 수 있다. 예를 들어, 짝수 및 홀수 자연수 집합은 모든 자연수 집합의 서로소 공종 부분 집합을 형성한다.

부분 순서 집합 $A$가 전순서 공종 부분 집합을 허용하는 경우, 정렬 순서이고 $A$에서 공종적인 부분 집합 $B$를 찾을 수 있다.

$(A,\; \backslash leq)$가 방향 집합이고 $B\; \backslash subseteq\; A$가 $A$의 공종 부분 집합이면 $(B,\; \backslash leq)$도 방향 집합이다.

3.1. 극대 · 극소 공종 집합

원순서 집합 $(X,\backslash lesssim)$에 대하여 $(\backslash operatorname\{Cofin\}(X),\backslash subseteq)$와 $(\backslash operatorname\{Coinit\}(X),\backslash subseteq)$ 둘 다 모든 상한을 갖는다.

그러나 두 공종 집합의 교집합은 공종 집합이 아닐 수 있다. 예를 들어, 자연수의 전순서 집합 $(\backslash mathbb\; N,\backslash le)$에서, 짝수의 집합 $2\backslash mathbb\; N$과 홀수의 집합 $2\backslash mathbb\; N+1$은 각각 공종 집합이지만, 그 교집합인 공집합은 공종 집합이 아니다.

원순서 집합 $(X,\backslash lesssim)$이 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

* 임의의 $x\backslash in\; X$에 대하여, $x$와 비교 가능한 극대 원소 $m\backslash ge\; x$가 존재한다.

그렇다면, $X$의 부분 집합 $S\backslash subseteq\; X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* $S$는 $(X,\backslash lesssim)$의 공종 집합이다.
* 임의의 극대 원소 $m\backslash in\backslash max\; X$에 대하여, $x\backslash sim\; s$인 $s\backslash in\; S$가 존재한다. 즉, $[x]\_\backslash sim\backslash cap\; S\backslash ne\backslash varnothing$이다.

특히, $X$가 추가로 부분 순서 집합이라면, $\backslash operatorname\{Cofin\}(X)$의 최소 원소는 $\backslash max\; X$ (즉, $X$의 최대 원소들의 집합)이다.

극대 원소가 있는 부분 순서 집합의 경우, 모든 공종 부분 집합은 모든 극대 원소를 포함해야 한다. 그렇지 않으면 부분 집합에 없는 극대 원소는 부분 집합의 어떤 원소보다 작거나 같지 않게 되므로 공종성의 정의를 위반하게 된다.

4. 예

자연수의 전순서 집합 $(\backslash mathbb\; N,\backslash le)$에서 무한 집합은 공종 집합이다. 전순서 집합에서 최대 원소를 포함하거나 상계를 갖지 않는 부분 집합은 공종 집합이다.

실수 집합에서 공종 부분 집합의 예시는 다음과 같다.

* 에 대해, 구간 $(x,\; \backslash infty)$는 $(\backslash mathbb\; R,\; \backslash leq)$의 공종 부분 집합이지만, $(\backslash mathbb\; R,\; \backslash geq)$의 공종 부분 집합은 아니다.
* 자연수 집합 $\backslash mathbb\; N$은 $(\backslash mathbb\; R,\; \backslash leq)$의 공종 부분 집합이지만, 음의 정수 집합 $-\; \backslash mathbb\; N\; :=\; \backslash \{\; -1,\; -2,\; -3,\; \backslash ldots\; \backslash \}$은 그렇지 않다.
* 모든 에 대해, 구간 $(-\; \backslash infty,\; y)$는 $(\backslash mathbb\; R,\; \backslash geq)$의 공종 부분 집합이지만, $(\backslash mathbb\; R,\; \backslash leq)$의 공종 부분 집합은 아니다.
* 음의 정수 집합 $-\; \backslash mathbb\; N$은 $(\backslash mathbb\; R,\; \backslash geq)$의 공종 부분 집합이지만, 자연수 $\backslash mathbb\; N$은 그렇지 않다.
* 모든 정수의 집합 $\backslash mathbb\; Z$는 $(\backslash mathbb\; R,\; \backslash leq)$와 $(\backslash mathbb\; R,\; \backslash geq)$ 모두의 공종 부분 집합이다. 유리수 집합 $\backslash mathbb\; Q$도 마찬가지이다.

4.1. 부분 집합 관계와 근방 기저

위상 공간 $X$에서 점 $x\; \backslash in\; X$의 근방 필터를 $\backslash mathcal\{N\}\_x$라고 하자. 상위 집합 관계 $\backslash ,\backslash supseteq\backslash ,$는 $\backslash mathcal\{N\}\_x$에 대한 부분 순서이다. 즉, 임의의 집합 $S$와 $T$에 대해 $S\; \backslash leq\; T$는 $S\; \backslash supseteq\; T$일 때만 성립한다 (따라서 $\backslash ,\backslash leq\backslash ,$는 $\backslash ,\backslash supseteq\backslash ,$와 같다). 부분 집합 $\backslash mathcal\{B\}\; \backslash subseteq\; \backslash mathcal\{N\}\_x$는 $\backslash mathcal\{B\}$가 $\backslash left(\backslash mathcal\{N\}\_x,\; \backslash supseteq\backslash right)$의 공종 부분 집합일 때 $x$에서의 근방 기저라고 불린다. 다시 말해, 모든 $N\; \backslash in\; \backslash mathcal\{N\}\_x$에 대해 $N\; \backslash supseteq\; B$인 (즉, $N\; \backslash leq\; B$인) $B\; \backslash in\; \backslash mathcal\{B\}$가 존재할 때이다.

4.2. 멱집합의 공종 집합

어떤 집합 $E$의 멱집합 $\backslash wp(E)$의 부분집합 $A$가 역 포함 관계 $\backslash ,\backslash supseteq.$로 정렬될 때, $A$의 부분집합 $B\; \backslash subseteq\; A$에서 모든 $a\; \backslash in\; A$에 대해 $a\; \backslash supseteq\; b$를 만족하는 $b\; \backslash in\; B$가 존재하면 $B$는 $A$에서 공종 집합이다.

예를 들어, $E$가 군이고 $A$가 유한 지표를 가진 정규 부분군의 집합이라고 하자. $E$의 프로유한군은 $E$의 유한 몫의 역극한으로 정의된다(이것은 집합 $A$에 의해 매개변수화된다). 이 상황에서, $A$의 모든 공종 집합은 $E$의 프로유한 완성을 구성하고 설명하는 데 충분하다.

5. 활용

공종 집합(Cofinal set^영어)은 다양한 수학 분야에서 활용될 수 있다. 특히, 프로유한군의 정의와 같이 역극한을 다루는 데 유용하게 사용될 수 있다.

예를 들어, $E$가 군이고 $A$가 유한 지표를 가진 정규 부분군의 집합이라고 하자. $E$의 프로유한군은 $E$의 유한 몫의 역극대의 역극한으로 정의된다 (이것은 집합 $A$에 의해 매개변수화된다). 이 상황에서, $A$의 모든 공종 집합은 $E$의 프로유한 완성을 구성하고 설명하는 데 충분하다.