푸앵카레 부등식

3. 일반화

측도 공간과 거리-측도 공간에서 푸앵카레 부등식은 일반적인 정의와 약간 다르다. 어떤 $1 \le q, p < \infty$와 상수 $C$, $\lambda \ge 1$에 대해, 공간 내의 각 공 $B$에 대해 다음 부등식이 성립하면, 이 공간은 $(q, p)$-푸앵카레 부등식을 만족한다고 한다.^[12]

:$\mu(B)^{-1/q} \|u - u_B\|_{L^q(B)} \le C \operatorname{rad}(B) \mu(B)^{-1/p} \|\nabla u\|_{L^p(\lambda B)}$

여기서 $u_B$는 $B$에서 $u$의 평균값, $\operatorname{rad}(B)$는 공 $B$의 반지름, $\lambda B$는 $B$를 $\lambda$배 확대한 공을 의미한다. $\|\nabla u\|$는 Heinonen과 Koskela가 정의한 $u$의 최소 $p$-약 상위 기울기이다.^[2]

공간이 푸앵카레 부등식을 만족하는지 여부는 그 공간의 기하학과 분석에 밀접하게 관련되어 있다. 예를 들어, Cheeger는 푸앵카레 부등식을 만족하는 두 배 공간이 미분 개념을 허용한다는 것을 보였다.^[3] 이러한 공간에는 부분 리만 다양체와 Laakso 공간이 포함된다.

다른 소볼레 공간에 대한 일반화도 존재한다. 예를 들어, 푸리에 변환 $\hat{u}$가 다음을 만족하는 함수 $u$들의 공간인 소볼레 공간 $H^{1/2}(\mathbf{T}^2)$ (단위 토러스 $\mathbf{T}^2$ 위의 L^2 공간에 속하는 함수들의 공간)을 고려해 보자.

:$[u]_{H^{1/2}(\mathbf{T}^2)}^2 = \sum_{k \in \mathbf{Z}^2} |k| |\hat{u}(k)|^2 < +\infty$

이 맥락에서 푸앵카레 부등식은 다음과 같다. 어떤 열린 집합 $E \subseteq \mathbf{T}^2$에서 $u$가 0인 모든 $u \in H^{1/2}(\mathbf{T}^2)$에 대해, 다음을 만족하는 상수 $C$가 존재한다.^[4]

:$\int_{\mathbf{T}^2} |u(x)|^2 \, \mathrm{d}x \le C \left( 1 + \frac{1}{\operatorname{cap}(E \times \{0\})} \right) [u]_{H^{1/2}(\mathbf{T}^2)}^2$

여기서 $\operatorname{cap}(E \times \{0\})$는 $\mathbb{R}^3$의 부분집합으로 간주했을 때 $E \times \{0\}$의 조화 용량을 나타낸다.

또한, 르베그 측도를 가중치를 부여한 측도로 대체하는 가중 푸앵카레 부등식도 존재한다.

3. 1. 측도 공간에서의 푸앵카레 부등식

3. 2. 소볼레프-슬로보데츠키 공간에서의 푸앵카레 부등식

3. 3. 기타 일반화

4. 푸앵카레 상수

푸앵카레 부등식에서 최적의 상수 *C*는 영역 Ω에 대한 푸앵카레 상수라고 불린다. 푸앵카레 상수를 결정하는 것은 일반적으로 *p* 값과 영역 Ω의 기하학적 구조에 의존하는 매우 어려운 작업이다.^[14][15] 그러나 특수한 경우에는 다루기 쉽다. 예를 들어, Ω가 지름이 *d*인 유계, 볼록 립시츠 영역인 경우, 푸앵카레 상수는 *p* = 1일 때 최대 *d*/2이고, *p* = 2일 때 최대 *d*/π이다.^[15] 이는 지름만으로 푸앵카레 상수에 대한 최상의 추정치이다. 매끄러운 함수의 경우, 이는 함수의 레벨 집합에 대한 등주 부등식의 적용으로 이해할 수 있다.^[16] 1차원에서 이것은 함수에 대한 비르팅거 부등식이다.

그러나 일부 특수한 경우 상수 *C*를 구체적으로 결정할 수 있다. 예를 들어, *p* = 2인 경우, 단위 이등변 직각삼각형 영역에서 *C* = 1/π (*d*/π, 여기서 $d=\backslash sqrt\{2\}$)이다.

또한 매끄럽고 제한된 영역 Ω의 경우, 공간 $W^\{1,2\}\_0(\backslash Omega)$에서 라플라스 연산자에 대한 레일리 몫은 (음의) 라플라시안의 최소 고유값 λ₁에 해당하는 고유함수에 의해 최소화되며, 다음이 성립한다.

:$\backslash |u\backslash |\_\{L^2\}^2\backslash leq\; \backslash lambda\_1^\{-1\}\; \backslash left\; \backslash |\backslash nabla\; u\backslash right\; \backslash |\_\{L^2\}^2$

이때 상수 λ₁은 최적이다.

참조

_[1] 논문 Sur les Equations aux Dérivées Partielles de la Physique Mathématique http://www.jstor.org[...] 1890
_[2] 논문 Quasiconformal maps in metric spaces with controlled geometry
_[3] 논문 Differentiability of Lipschitz functions on metric measure spaces 1999-08-01
_[4] 논문 "Γ-limit of a phase-field model of dislocations"
_[5] 논문 An optimal Poincaré inequality in ''L''¹ for convex domains
_[6] 논문 An optimal Poincaré inequality for convex domains
_[7] 웹사이트 L1 Poincare Inequality http://maze5.net/?pa[...]
_[8] 논문 Estimation of interpolation error constants for the P0 and P1 triangular finite elements
_[9] 논문 Improved Poincaré inequalities in fractional Sobolev spaces 2018
_[10] 논문 Limiting embedding theorems for $W^\{s,p\}$ when $s\backslash uparrow\; 1$ and applications
_[11] 논문 Sur les Equations aux Dérivées Partielles de la Physique Mathématique http://www.jstor.org[...] 1890
_[12] 논문 Quasiconformal maps in metric spaces with controlled geometry
_[13] 논문 Differentiability of Lipschitz functions on metric measure spaces 1999-08-01
_[14] 논문 An optimal Poincaré inequality in ''L''¹ for convex domains
_[15] 논문 An optimal Poincaré inequality for convex domains
_[16] 웹인용 L1 Poincare Inequality http://maze5.net/?pa[...]