푸앵카레 부등식

2.1. 고전적 푸앵카레 부등식

$1 \le p < \infty$이고 $\Omega$가 적어도 한 방향으로 유계인 집합일 때, 소볼레프 공간 $W_0^{1,p}(\Omega)$ (경계에서 0의 값을 갖는 함수들의 공간)의 모든 함수 $u$에 대해, $\Omega$와 $p$에만 의존하는 상수 $C$가 존재하여 다음 부등식이 성립한다.

: $\|u\|_{L^p(\Omega)} \le C \|\nabla u\|_{L^p(\Omega)}$

2.2. 푸앵카레-비르팅거 부등식

$1 \le p \le \infty$이고 $\Omega$가 립시츠 경계를 갖는 $n$차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$의 유계, 연결 열린 부분 집합일 때 (즉, $\Omega$는 립시츠 영역이다), 소볼레 공간 $W^{1,p}(\Omega)$의 모든 함수 $u$에 대해 $\Omega$와 $p$에만 의존하는 상수 $C$가 존재하여 다음 부등식이 성립한다.

: $\|u - u_\Omega\|_{L^p(\Omega)} \le C \|\nabla u\|_{L^p(\Omega)}$

여기서 $u_\Omega = \frac{1}

3. 일반화

측도 공간과 거리-측도 공간에서 푸앵카레 부등식은 일반적인 정의와 약간 다르다. 어떤 $1 \le q, p < \infty$와 상수 $C$, $\lambda \ge 1$에 대해, 공간 내의 각 공 $B$에 대해 다음 부등식이 성립하면, 이 공간은 $(q, p)$-푸앵카레 부등식을 만족한다고 한다.

:$\mu(B)^{-1/q} \|u - u_B\|_{L^q(B)} \le C \operatorname{rad}(B) \mu(B)^{-1/p} \|\nabla u\|_{L^p(\lambda B)}$

여기서 $u_B$는 $B$에서 $u$의 평균값, $\operatorname{rad}(B)$는 공 $B$의 반지름, $\lambda B$는 $B$를 $\lambda$배 확대한 공을 의미한다. $\|\nabla u\|$는 Heinonen과 Koskela가 정의한 $u$의 최소 $p$-약 상위 기울기이다.

공간이 푸앵카레 부등식을 만족하는지 여부는 그 공간의 기하학과 분석에 밀접하게 관련되어 있다. 예를 들어, Cheeger는 푸앵카레 부등식을 만족하는 두 배 공간이 미분 개념을 허용한다는 것을 보였다. 이러한 공간에는 부분 리만 다양체와 Laakso 공간이 포함된다.

다른 소볼레 공간에 대한 일반화도 존재한다. 예를 들어, 푸리에 변환 $\hat{u}$가 다음을 만족하는 함수 $u$들의 공간인 소볼레 공간 $H^{1/2}(\mathbf{T}^2)$ (단위 토러스 $\mathbf{T}^2$ 위의 L^2 공간에 속하는 함수들의 공간)을 고려해 보자.

:$[u]_{H^{1/2}(\mathbf{T}^2)}^2 = \sum_{k \in \mathbf{Z}^2} |k| |\hat{u}(k)|^2 < +\infty$

이 맥락에서 푸앵카레 부등식은 다음과 같다. 어떤 열린 집합 $E \subseteq \mathbf{T}^2$에서 $u$가 0인 모든 $u \in H^{1/2}(\mathbf{T}^2)$에 대해, 다음을 만족하는 상수 $C$가 존재한다.

:$\int_{\mathbf{T}^2} |u(x)|^2 \, \mathrm{d}x \le C \left( 1 + \frac{1}{\operatorname{cap}(E \times \{0\})} \right) [u]_{H^{1/2}(\mathbf{T}^2)}^2$

여기서 $\operatorname{cap}(E \times \{0\})$는 $\mathbb{R}^3$의 부분집합으로 간주했을 때 $E \times \{0\}$의 조화 용량을 나타낸다.

또한, 르베그 측도를 가중치를 부여한 측도로 대체하는 가중 푸앵카레 부등식도 존재한다.

3.1. 측도 공간에서의 푸앵카레 부등식

측도 공간에서 푸앵카레 부등식은 일반적인 정의와 약간 다르다. 어떤 $1 \le q, p < \infty$ 와 상수 $C$, $\lambda \ge 1$에 대해, 공간 내의 각 공 $B$에 대해 다음 부등식이 성립하면, 이 공간은 $(q, p)$-푸앵카레 부등식을 만족한다고 한다.

:$\mu(B)^{-1/q} \|u - u_B\|_{L^q(B)} \le C \operatorname{rad}(B) \mu(B)^{-1/p} \|\nabla u\|_{L^p(\lambda B)}$

여기서 $\operatorname{rad}(B)$는 공 $B$의 반지름을 나타내고, $\lambda B$는 $B$를 $\lambda$배 확대시킨 공을 의미한다. $\|\nabla u\|$는 Heinonen과 Koskela가 정의한 $u$의 최소 $p$-약 상위 기울기이다.

어떤 공간이 푸앵카레 부등식을 만족하는지 여부는 그 공간의 기하학적, 해석적 성질과 밀접하게 관련되어 있다. 예를 들어, Cheeger는 푸앵카레 부등식을 만족하는 두 배 공간이 미분 구조를 가질 수 있음을 보였다. 이러한 공간에는 부분 리만 다양체와 Laakso 공간 등이 포함된다.

푸앵카레 부등식은 다른 소볼레 공간으로도 일반화될 수 있다. 예를 들어, 푸리에 변환 $\hat{u}$가 다음 조건을 만족하는 함수 $u$들의 공간인 소볼레 공간 $H^{1/2}(\mathbf{T}^2)$ (단위 토러스 $\mathbf{T}^2$ 위의 L^2 공간에 속하는 함수들의 공간)을 생각해 보자.

:$[u]_{H^{1/2}(\mathbf{T}^2)}^2 = \sum_{k \in \mathbf{Z}^2} |k| |\hat{u}(k)|^2 < +\infty$

이 경우, 푸앵카레 부등식은 다음과 같이 표현된다. 어떤 열린 집합 $E \subseteq \mathbf{T}^2$에서 $u$가 0인 모든 $u \in H^{1/2}(\mathbf{T}^2)$에 대해, 다음을 만족하는 상수 $C$가 존재한다.

:$\int_{\mathbf{T}^2} |u(x)|^2 \, \mathrm{d}x \le C \left( 1 + \frac{1}{\operatorname{cap}(E \times \{0\})} \right) [u]_{H^{1/2}(\mathbf{T}^2)}^2$

여기서 $\operatorname{cap}(E \times \{0\})$는 $\mathbb{R}^3$의 부분집합으로 간주했을 때 $E \times \{0\}$의 조화 용량을 나타낸다.

또한, 르베그 측도를 가중치를 부여한 측도로 대체한 가중 푸앵카레 부등식도 존재한다.

3.2. 소볼레프-슬로보데츠키 공간에서의 푸앵카레 부등식

0 < s < 1^영어이고 p ∈ [1, ∞)^영어일 때, 소볼레프-슬로보데츠키 공간 W^s,p(Ω)^영어에서 푸앵카레 부등식은 다음과 같이 일반화될 수 있다.

:$\backslash |u\; -\; u\_\backslash Omega\backslash |\_\{L^p(\backslash Omega)\}\; \backslash leq\; C\; [u]\_\{s,p\}$

여기서 u_Ω^영어는 Ω^영어에 대한 u^영어의 평균이고, C^영어는 s, p^영어 및 Ω^영어에 의존하는 상수이다. 이 부등식은 모든 유계 Ω^영어에 대해 성립한다. [u]_s,p^영어는 세미노름이며 다음과 같이 정의된다.

:$[u]\_\{s,p\}\; =\; \backslash left(\; \backslash int\_\backslash Omega\; \backslash int\_\backslash Omega\; \backslash frac\{|u(x)\; -\; u(y)|^p\}\{|x\; -\; y|^\{n\; +\; sp\}\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash ,\; dy\; \backslash right)^\{1/p\}$

3.3. 기타 일반화

다른 소볼레프 공간에 대한 푸앵카레 부등식의 여러 일반화가 존재한다. 예를 들어, 소볼레프 공간 H^1/2 (T²), 즉 푸리에 변환 û가 다음을 만족하는 단위 토러스 T²의 L² 공간에서 함수 u의 공간을 생각해 보자.

:

이러한 맥락에서, 푸앵카레 부등식은 다음과 같다: 열린 집합 E ⊆ T²에서 u가 동일하게 0인 모든 u ∈ H^1/2(T²)에 대해, 다음과 같은 상수 C가 존재한다.

:$\backslash int\_\{\backslash mathbf\{T\}^2\}\; |\; u(x)\; |^2\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\; x\; \backslash leq\; C\; \backslash left(\; 1\; +\; \backslash frac1\{\backslash operatorname\{cap\}\; (E\; \backslash times\; \backslash \{\; 0\; \backslash \})\}\; \backslash right)\; [\; u\; ]\_\{H^\{1/2\}\; (\backslash mathbf\{T\}^2)\}^2,$

여기서 cap(E × {0})는 R³의 부분 집합으로 생각할 때 E × {0}의 조화 용량을 나타낸다.

또 다른 일반화는 르베그 측도가 가중 버전으로 대체되는 가중 푸앵카레 부등식을 포함한다.

4. 푸앵카레 상수

푸앵카레 부등식에서 최적의 상수 *C*는 영역 Ω에 대한 푸앵카레 상수라고 불린다. 푸앵카레 상수를 결정하는 것은 일반적으로 *p* 값과 영역 Ω의 기하학적 구조에 의존하는 매우 어려운 작업이다. 그러나 특수한 경우에는 다루기 쉽다. 예를 들어, Ω가 지름이 *d*인 유계, 볼록 립시츠 영역인 경우, 푸앵카레 상수는 *p* = 1일 때 최대 *d*/2이고, *p* = 2일 때 최대 *d*/π이다. 이는 지름만으로 푸앵카레 상수에 대한 최상의 추정치이다. 매끄러운 함수의 경우, 이는 함수의 레벨 집합에 대한 등주 부등식의 적용으로 이해할 수 있다. 1차원에서 이것은 함수에 대한 비르팅거 부등식이다.

그러나 일부 특수한 경우 상수 *C*를 구체적으로 결정할 수 있다. 예를 들어, *p* = 2인 경우, 단위 이등변 직각삼각형 영역에서 *C* = 1/π (*d*/π, 여기서 $d=\backslash sqrt\{2\}$)이다.

또한 매끄럽고 제한된 영역 Ω의 경우, 공간 $W^\{1,2\}\_0(\backslash Omega)$에서 라플라스 연산자에 대한 레일리 몫은 (음의) 라플라시안의 최소 고유값 λ₁에 해당하는 고유함수에 의해 최소화되며, 다음이 성립한다.

:$\backslash |u\backslash |\_\{L^2\}^2\backslash leq\; \backslash lambda\_1^\{-1\}\; \backslash left\; \backslash |\backslash nabla\; u\backslash right\; \backslash |\_\{L^2\}^2$

이때 상수 λ₁은 최적이다.